用基本不等式求最值六种方法
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是解决最值问题的一个重要工具。
它可以将一个复杂的问题简化为一个简单的不等式，从而帮助我们找到最值。
在本篇文章中，我将分享一些利用基本不等式求最值的技巧。
首先，我们回顾一下基本不等式的定义。
对于任意的正实数a和b，有以下两个基本不等式：1. 算术平均数与几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意的正实数a和b，有a+b/2≥√(ab)。
这个不等式可以表示为(a+b)/2≥√(ab)。
当且仅当a=b时，等号成立。
2.平方平均数与算术平均数不等式（QM-AM不等式）：对于任意的正实数a和b，有√(a²+b²)/2≥(a+b)/2、这个不等式可以简化为√(a²+b²)≥(a+b)/2、当且仅当a=b时，等号成立。
现在，让我们来看一些具体的例子，以说明如何利用基本不等式求最值。
例子1：求证x³+y³+z³≥3xyz，其中x、y和z是正实数。
解：根据AM-GM不等式，我们有x³/3+y³/3+z³/3≥√(x³y³z³)。
将等式两边乘以3，得到x³+y³+z³≥3√(x³y³z³)。
由于x、y和z是正实数，所以xyz>0，可以得到√(x³y³z³)≥xyz。
因此，我们有x³+y³+z³≥3xyz。
例子2：已知x+y+z=1，求证xy+yz+zx≤1/3解：根据AM-GM不等式，我们有x+y/2≥√(xy)和y+z/2≥√(yz)。
将这两个不等式相加，得到x+y/2+y+z/2≥√(xy)+√(yz)。
根据算术平均数与几何平均数不等式，有(x+y/2+y+z/2)/2≥(√(xy)+√(yz))/2根据已知条件x+y+z=1，对等式两边进行化简，可以得到(x+y/2+y+z/2)/2=(x+y+z)/2=1/2因此，我们有1/2≥(√(xy)+√(yz))/2将不等式两边乘以2，得到1≥√(xy)+√(yz)。
利用基本不等式求最值的类型及方法
1利用基本不等式求最值的类型及方法1解析：y x2(x 1) (x2(x 1)1)芳 1(x 1)-1 〜」1(x1)2 2 2(x 1)、几个重要的基本不等式:① a 2 b 2 2aba 2b 2ab（a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立;2122(x 1)② a b 2 ab2a b ab（a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立;2当且仅当1)即x 2时，“ 5”号成立，故此函数最小值是 -。
2③ a 3 b 3 c 33abc 3abc ―b 3 33c ( (a 、立；④ a b c 3v abc abc ab 3c (a abc3a 、b 、c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成b 、c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号成立• 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型n ：求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①yx 2(3 2x)(0 x2② y sin xcosx(0 x ) 2② 熟悉一个重要的不等式链: b 22解析：①Q 0x - ,• 32 2x•- y当且仅当 (3 2x)(0x 3 2x 即 x,•• sin x23x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]1 ,231时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。
0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。
二、函数 f(x) ax Xb 0）图象及性质 （1）函数f(x) ax b a、 Xb 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax ba 、 Xb 0性质： ①值域：（J 2 ab] [2 一ab,)；②单调递增区间：（ 2. 42y sin x cos x当且仅当 故此函数最大值是sin 2x sin 2x coSx 1 2 2 2(sin x sin x 2cosx)21 sin2 x sin 2x 2co^ x3 4「 -------- —)刃.2sin x 2cos x (0tan x 2，即x arctan^^ 时“=”号成立,）;单调递减区间:b ], a ，［(0,,0) •评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。
基本不等式求最值的类型与方法-经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法、几个重要的基本不等式:①a2b2 2ab ab a2—(a> b R),当且仅当a = b时, =”号成立;2 ab ab 2（a、b R ），当且仅当a = b时, =”号成立;11x 1 x 1 1解企.析斤：1)(x1)y x八2 (x2l（x丨丿小小〜八2 l（x 12(x1)2(x 1) 2 2 2(x 1)c x 1x 111 3 ’533-12，■ 222(x1)22当且仅当-x 112(x1)即x52时，=”号成立，故此函数最小值是一。
22(x1)22评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型n :求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：③a3b333 ac 3abc abc —.3 3b c /(a、3b、c R ）,当且仅当a =b = c时,="号成立;33----- abc ,b c 33 abc abc(a、3b、c R）,当且仅当 a = b = c 时,="号成①y x2(3 2x)(0 x 2② y sin xcosx(0 x ) 2立.注:解析：①Q 0 2x ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: 正”、定、三等；二、函数② 熟悉一个重要的不等式链: 、、ab•- y (3 2x)(0当且仅当f(x) axb(a、x 0）图象及性质(1)函数f(x) ax a、0图象如图:(2)函数f(x) ax a、0性质:①值域: ,2 ab] ab,)；x 3 2x 即x• sin x 2②单调递增区间：（）;单调递减区间:三、用均值不等式求最值的常见类型类型I :求几个正数和的最小值。
例1、求函数y x12 (x 1)的最小值。
2(x 1)2i)1时,x x(3 2x) [X x(3 2x)]3 1 ,3=”号成立，故此函数最大值是20,cos x 0，则y 0 ,欲求y的最大值，可先求y的最大值。
应用基本不等式,破解三角形最值
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀应用基本不等式,破解三角形最值◉河南省固始县高级中学㊀沈玉洁㊀㊀利用基本不等式破解三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注．本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值．１角的最值问题利用基本不等式求解三角形中角的最值问题,是高考的一个考点．解决这类问题的关键是,利用正㊁余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等．例１㊀在әA B C 中,已知０＜A ＜π２,０＜B ＜π２,２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ,则t a n A 的最大值为．解析:由２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ＝－c o s C s i n B 及正弦定理和余弦定理,可得２a ＝－a ２＋b ２－c２２a bˑb ,化简可得５a ２＋b ２＝c ２．而t a n ２A ＝s i n ２A c o s ２A ＝１c o s ２A－１,又A 为锐角,可得c o s A ＞０,t a n A ＞０,因此只要求出c o s A 的最小值,就可求得t a n A 的最大值．结合基本不等式,利用余弦定理有c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝３b ２＋２c ２５b c ȡ２３b ２ˑ２c ２５b c ＝２６５,当且仅当３b ２＝２c２,即c ＝６２b 时等号成立,所以t a n ２A ＝１c o s ２A －１ɤ１(２６５)２－１＝１２４,解得t a n A ɤ６１２,则t a n A 的最大值为６１２．点评:解决本题的关键是利用正弦定理㊁余弦定理化角为边的关系式,并结合基本不等式与余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围,然后利用三角关系式的变形与转化,以及不等式的性质来确定角A 的正切值的平方的最值,进而获解．２边的最值问题求解三角形中边(或对应的线段长度等)的最值问题是高考的一个基本考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值．例２㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知３a c o s C －a s i n C ＝３b ．(１)求角A 的大小;(２)若D 为B C 的中点,且A D ＝２,求a 的最大值．解析:(１)由３a c o s C －a s i n C ＝３b ,结合正弦定理,可得３s i n A c o s C －s i n A s i n C ＝３s i n B ＝３s i n (A ＋C ),整理可得－s i n A s i n C ＝３c o s A s i n C ,即t a n A ＝－３．又A ɪ(０,π),所以A ＝２π３．(２)由于D 为B C 的中点,可得２A D ң＝A B ң＋A C ң,式子两边同时平方,有４A D ң２＝AB ң２＋２A Bң A C ң＋A C ң２,又A D ＝２,所以１６＝c ２＋b ２＋２b c c o s A ＝c ２＋b ２－b c ,即b ２＋c ２＝１６＋b c ．而结合余弦定理,可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝b ２＋c ２＋b c ＝１６＋２b c ．由基本不等式,可得２b c ɤb ２＋c ２＝１６＋b c ,解得b c ɤ１６,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以２b c ＋１６ɤ４８,即a ２＝１６＋２b c ɤ４８,解得a ɤ４３,当且仅当b ＝c ,即әA B C为等腰三角形时,等号成立．所以a 的最大值为４３．点评:利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用,用b ２＋c ２及b c 的线性关系式表示出a ２是解决本题的关键,同时注意利用基本不等式来合理放缩b ２＋c ２与b c 之间的不等关系,为确定边的最值奠定基础．３三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型,这类问题一般可以求出一条边(或已知一边),然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等式求出周长的最值．例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０．５４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求A ;(２)若a ＝２３,求әA B C 周长的取值范围．解析:(１)由c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０及正弦定理,可得c o s B s i n A s i n B ＋c o s C s i n A s i n C ＋２c o s A s i n B s i n C＝０．整理得s i n C c o s B ＋s i n B c o s C ＋２s i n A c o s A ＝０,即s i n (B ＋C )＝－２s i n A c o s A ．在әA B C 中,s i n (B ＋C )＝s i n A ʂ０,所以可得c o s A ＝－１２,而A ɪ(０,π),可得A ＝２π３．(２)由(１)及余弦定理可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－２b c ＋b c ＝(b ＋c )２－b c ,合理变形并结合基本不等式,可得(b ＋c )２＝a ２＋b c ɤa ２＋(b ＋c２)２,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以(b ＋c )２ɤ４３a ２＝４３ˑ(２３)２＝１６,解得b ＋c ɤ４．又利用三角形的基本性质有b ＋c ＞a ＝２３,即b ＋c ɪ(２３,４]．所以әA B C 周长的取值范围为(４３,４＋２３]．点评:涉及三角形周长的最值问题,经常在已知或已求得其中一边的基础上,通过另外两边之和的最值转化来综合,而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用,同时也离不开三角形的基本性质等．４三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边(这两边的夹角往往已知或可求)之积满足的不等关系式,借助基本不等式合理放缩,再利用三角形面积公式解决问题．例４㊀在әA B C 中,D ,E 分别是线段A C ,B D 的中点,øB A C ＝１２０ʎ,A E ＝４,则әA B C 面积的最大值为．(３２３)解析:略．点评:解决本题的关键是利用余弦定理,或利用平面向量中的线性运算,或利用坐标运算等表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形面积公式解决问题．５涉及角或边的代数式的最值问题关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向,创新新颖,变化多端,解决这类问题的关键是消元 消边或消角,对元素进行统一化处理,然后利用基本不等式求出最值即可．例５㊀记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s A １＋s i n A ＝s i n ２B１＋c o s ２B．(１)若C ＝２π３,求B ;(２)求a ２＋b ２c２的最小值．解析:(１)利用二倍角公式,可得c o s A１＋s i n A＝s i n ２B １＋c o s ２B ＝２s i n B c o s B ２c o s ２B ＝s i n Bc o s B ,则有s i n B ＝c o s A c o s B －s i n A s i n B ＝c o s (A ＋B )＝－c o s C ＝－c o s ２π３＝１２,而０＜B ＜π３,所以B ＝π６．(２)由(１)可得－c o s C ＝s i n B ＞０,则知c o s C ＜０,则有C ɪ(π２,π),于是有B ＝C －π２,可得s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n (２C －π２)＝－c o s ２C ．结合基本不等式,利用正弦定理可得㊀㊀㊀㊀a ２＋b ２c ２＝s i n ２A ＋s i n ２Bs i n ２C＝c o s ２２C ＋c o s ２C s i n ２C＝(１－２s i n ２C )２＋(１－s i n ２C )s i n ２C＝４s i n ４C －５s i n ２C ＋２s i n ２C＝４s i n ２C ＋２s i n ２C－５ȡ２４s i n ２C ˑ２s i n ２C －５＝４２－５,当且仅当４s i n ２C ＝２s i n ２C ,即s i n C ＝１４２时,等号成立．所以a ２＋b ２c ２的最小值为４２－５．点评:解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角,结合诱导公式与二倍角公式的转化,综合三角关系式的恒等变形,利用基本不等式来确定相应的最值问题．当然,除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用,还可以利用平面几何图形的直观性质㊁三角函数的有界性㊁函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决．而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法,也是最常见的,要结合问题的实质加以合理转化,巧妙构建 一正㊁二定㊁三相等 的条件,为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件．Z６４。
用基本不等式求函数的最值
一、 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
二、，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.练习题：1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、a 2＋b 22的大小关系是 。
3.若,求的最大值.4 设1->x ，则函数461y x x =+++的最小值是 。
5.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。
6. 给出下列命题：①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥才成立。
②y=x+1x的最小值为2。
③y=sinx+2sin x(02x π<≤)的最小值为.④当x>0时，y=x 2+16x ≥,当x 2＝16x 时，即x=16,y 取最小值512。
其中错误的命题是 。
7.已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx11+的最小值有如下解法：解：∵12=+y x 且0,0>>y x . ∴242212)2)(11(11=⋅≥++=+xy xyy x yxy x∴24)11(min =+yx.判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． 8.已知141ab+=，且a>0，b>0,求a+b 最小值。
9.已知x ＞0，函数y ＝2－3x －4x 有 值是 .10．已知：226x y +=， 则2x y+的最大值是＿＿＿11.函数xx y4+=的值域是 。
12．某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？13、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值14、若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; 15、若0x <，求1y x x=+的最大值16、若x<0,求9()4f x x x=+的最大值 17、求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.18、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值 19、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值20、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值 21、求1 (3)3y x x x =+>-的最小值.22、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 23、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
用基本不等式求最值的常见类型及解题方法
用 【2 】根本不等式求最值的类型及办法均值不等式是《不等式》一章主要内容之一,是求函数最值的一个主要对象,也是高考常考的一个主要常识点.请求能闇练地应用均值不等式求解一些函数的最值问题.一.几个主要的均值不等式 ①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：①留意应用均值不等式求最值时的前提：一“正”.二“定”.三“等”; ②熟习一个主要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +. 二.函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质(1)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ;②单调递增区间：(,-∞,)+∞;单调递减区间：(0,,[0). 三.用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值.例1、 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.演习（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈类型Ⅱ：求几个正数积的最大值.例2、 当时,求(82)y x x =-的最大值.演习 ①23(32)(0)2y x x x =-<< 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立.例3.若x .y +∈R ,求4()f x x x =+)10(≤<x 的最小值.类型Ⅳ：前提最值问题.例4.已知正数x .y 知足811x y +=,求2x y +的最小值.类型Ⅴ：应用均值不等式化归为其它不等式求解的问题.例5.已知正数x y 、知足3xy x y =++,试求xy .x y +的规模.类型 前提求最值例6.若实数知足2=+b a ,则ba 33+的最小值是演习 1.若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 2.已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值.四.均值不等式易错例析：例1. 求函数()()y x x x =++49的最值.例2. 当x >0时,求y x x =+492的最小值.例3. 求yxxx R=++∈2254()的最小值.例4.已知+∈Ryx,且141=+yx,求yxu+=的最小值.综上所述,应用均值不等式求最值要留意：一要正：各项或各因式必须为正数;二可定：必须知足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子构造,假如找不出“定值”的前提用这个定理,求最值就会出错;三能等：要保证等号确能成立,假如等号不能成立,那么求出的仍不是最值.。
凑配基本不等式求最值
“ 的最小值 ． ＋６
分析 由于 ａ －（ ｂ “＋６ 一 １ （ 一 １ （ 一 １ 一２， ） “ ）ｂ ）
“＋６ （ 一 口一 １ ＋ （ － １ ＋ ２ ） ｂ ） ≥
２、 二 ＋ ２： ２ ＋ ２，
数单调性的定义知 —ｆ ＋÷一２ ２＋一） 在Ｅ ， 上是增
鼎 —例 ２ 当 ＞ ０时 求 一 １ｘ Ｕ的最小 值． ： ６ ＋
，
解法 ｌ 一 １ 一√ 。Ｉ ） √ 一 。 （— ≤
１
一
分析
１ 与 的 积 不 是 定 值 ， 不 能 应 用 基 本 ６ 故
Ｌ— — — 一
一
’
不等式求最值， 但拆项为８ ＋ ｘ 三后柳暗花明． ｘ ８＋
毒品言 喾 麓 茎曩 萎 蓑 曩
为零．
２ ）裂 项
基 本不 等 式 是不 等 式 中 的重 点 ， 内涵 丰 富 、 用 应 广泛 ， 高考 每年 必 考． 最 值 是 基 本 不 等 式 最 重 要 的 求
应用 ， 用 时要注意 “ ” 定 ” 等 ” 应 正 “ “ ３个 条 件 以 及 “ ” 凑 的技 巧．
错 因分 析
的条件 不满 足． 正 解 令 ￡ 。 一 ＋２（≥ ２ ， ｙ ＋－ ２ 由 函 ￡ ） 则 ＝ｔ Ｌ一 ． ｌ
粪嘉 昙 萋萎
３） 添 项
州
本题 “ “ 的 条件 都 满 足 ， “ 正” 定” 但 等”
例 ４ 已 知 ｎ １ ６ １ 且 ａ 一 （ 十 ６ 一 １ 求 ＞ ，＞ ， ｂ 口 ） ，
将分 子化成 关 于分母 的代 数式 ， 而 转化 进
为求 和 的最 值 问题．
解 一 一 ＝
拆项 、 平衡 系数 等方 法 凑 成 和 （ 积 ） 或 为定 值 ； 等 ”指 “
如何运用基本不等式求最值
基本不等式是求解最值问题的重要工具.运用基本不等式:ab ≤a +b2求最值需要把握三个前提条件:一正二定三相等.一正是a 、b 两个数都为正数;二定是指如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a =b 时，和a +b 有最小值2p ，如果和a +b 是定值p ，那么当且仅当a =b时，积ab 有最大值p 24；三相等是当且仅当a =b 时不等式取等号.在运用基本不等式求最值时，要首先确定两个式子是否为正数；然后配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值；最后检验当且仅当两式相等时不等式是否能取等号.而运用基本不等式求最值的关键是，配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值.配凑出两式的和或积的常用方法有添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式，下面举例说明.例1.当x >1时，求x +1x -1的最小值.解:∵x >1,∴x -1>0,∴x +1x -1=x -1+1x -1+1≥+1=3，，当且仅当x -1=1x -1，即x =2时取等号，∴y min =3.该目标式含有整式和分式，为了使它们的积为定值，需添加一项-1，构造出分式的分母，以便利用基本不等式来求得目标式的最小值.例2.求y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值.解：y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)+4x +1+5，当x >-1,即x +1>0时,y ≥+5=9，且仅当x =1时取“=”号，所以y min 该目标式看似无法运用基本不等式，但将分式、整式分离，便创造出运用基本不等式的条件.例3.已知正数a ,b 满足1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3得a +b =3ab ，所以b =a 3a -1，由于a >0,b >0，可得a >13，于是a +b =a +a 3a -1=a -13+19(a -13)+23≥+23=43，当a -13=19(a -13)，即a =23时取等号，所以a +b 的最小值43.在解答含有多个变元的最值问题时，可以通过减少变元的方式，把问题转化为只含一个变元的问题，然后通过添加项配凑出两式的和或者积，再利用基本不等式求最值.例4.已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值.解：∵x >0,y >0,1x +9y=1，∴x +y =()x +y æèçöø÷1x +9y =yx +9x y +10≥16,当且仅当y x =9xy时，等号成立，又1x +9y =1，则x =4,y =12，此时()x +y min =16.这里，我们利用“1”的代换来构造出运用基本不等式的条件.通过常数代换，可把所求的目标化为可以使用基本不等式求解的式子，以达到解题的目的.例5.已知a ，b 为正实数，2b +ab +a =30，求函数y =1ab的最小值.解：由题意得30-ab =a +2b ，∵a +2b ≥22ab ，∴30-ab ≥22ab ，令u =ab ，则u 2+22u -30≤0，解得-52≤u ≤32，∴ab ≤32，ab ≤18，∴y ≥118，即当a =b =32时，y min =118.我们由已知不等式出发求出ab 的范围，进而求得目标式的最值.解答本题的关键是利用基本不等式建立a +b 与ab 之间的关系.构建目标不等式是创造应用基本不等式条件的常用方法.很多问题往往所给的条件是非“标准”的，无法直接利用基本不等式来解题，因而在解题时，我们需要将不等式进行适当的变形，通过添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式等方法，对“原始”的条件进行整合、转化，构造出“一正二定三相等”的三个条件，以保证可以用基本不等式求最值.黎华高46。
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是在数学中经常用到的一种求最值的技巧，它可以帮助我们在求解问题时找到合适的界限，从而得到最优解。
本文将详细介绍基本不等式的概念、性质以及如何利用它来求解最值问题。
1.基本不等式的概念基本不等式是指一个关于非负实数的不等式，其表达形式为a≥b。
在数学中，我们常常需要比较两个数的大小关系，而基本不等式则提供了一种简便的方法来判断这种关系。
2.基本不等式的性质基本不等式具有以下几个性质：(1)反身性：对于任意实数a，有a≥a。
(2)对称性：对于任意实数a和b，如果a≥b，则b≤a。
(3)传递性：对于任意实数a、b和c，如果a≥b，并且b≥c，则a≥c。
(4)加法性：对于任意实数a、b和c，如果a≥b，则a+c≥b+c。
(5) 乘法性：对于任意非负实数a、b和c，如果a≥b，并且c≥0，则ac≥bc。
3.利用基本不等式求最值的方法在实际问题中，我们经常需要求解一些函数的最值，而基本不等式可以帮助我们找到这个函数的最优界限。
下面将介绍几种常见的求解最值问题的方法。
(1)最值的存在性判断：根据基本不等式的定义，我们可以得出如果一个函数在一些区间上是连续的，那么它在这个区间上一定有最值。
(2)最大最小值的求解：有时候我们需要求解一个函数的最大值或最小值。
对于一个连续函数，我们可以通过极值点来求解。
而在确定极值点时，基本不等式可以提供一种简单的方法。
首先计算函数的导数，然后令导数等于零，求得极值点。
接着我们比较这些极值点与函数在区间端点处的值来确定最值。
(4)最优解的存在性判断：在一些优化问题中，我们需要证明一些最优解的存在性。
基本不等式可以作为一种常用的工具来判断最优解是否存在。
首先，我们需要构造一个满足条件的函数，然后根据条件推导出函数的最优界限。
最后，我们利用基本不等式来判断这个界限是否存在，从而证明最优解的存在性。
综上所述，基本不等式是一种求解最值问题的常用技巧。
在实际问题中，我们可以根据具体情况灵活运用基本不等式来求解最值。
巧用基本不等式求最值 李林
巧用基本不等式求最值李林基本不等式ab≤（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号），是人教版高中数学必修五第三章《不等式》第四小节内容。
利用基本不等式求最值是其重要应用之一，也是高考考查的一个热点问题，很多学生由于对基本不等式认识过于简单、片面，因此在应用时就会出现很多问题，知道要用基本不等式就是不知道怎么用，显得束手无策。
为此灵活应用基本不等式求最值的方法显得尤为重要，下面就通过几例来说明，希望能达到穿针引线的效果。
题型一：神奇的“1”的妙用例1：已知a>0,b>0,a+b=1,求y=+的最小值。
分析：注意到条件a+b=1,充分利用“1”代换。
解析：y=+=（+）（a+b）=5+（+）≥5+2·=9（当且仅当=，即a=时，等号成立）。
变式：设a>0,b>1,若a+b=2,求+的最小值。
分析：由a+b=2，得a+（b-1）=2-1=1，再用“1”代换。
解析：+=(+)×1=(+)×[a+（b-1）]=4+[+]≥4+2×=4+23。
〔当且仅当=，即a=3（b-1）时，等号成立。
〕题型之二：巧妙变形后，利用基本不等式例2：已知x＞3，求函数y=x+的最小值。
分析：巧妙变形后，使两项的积或和是定值的类型，再使用基本不等式。
解析：因为x>3，所以x-3>0，y=（x-3）++3≥2（x-3）+3=2+3=5（当且仅当x-3=，即x=4时，等号成立）。
变式：已知f(x)=（k＞0），若存在x>3，使得f(x)≥1成立，求k的最小值。
分析：这是一道函数与基本不等式的综合题型，在解题过程中要进行有效的变形处理，才能使用基本不等式。
解析：因为x>3，所以x-3>0，且x2+6k>0。
由f（x）≥1，得：2k≥=≥（x-3）++6≥2（x-3）+6=12，即k≥6，故其最小值为６（当且仅当x-3=，即x=6时，等号成立）。
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用基本不等式求最值六种方法一．配项
例1：设x>2,求函数y=x+9
2
x-
的最小值
解析：y=x-2+
9
2
x-
+2≥8 当x-2=
9
2
x-
时，即x=5时等号成立
例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值
法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时
等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3
二．配系数
例3:设0<x<1,求
解析：
当
三．重复使用不等式
例4：已知a>b>0，求2a+16
()
a b b
-
的最小值
解析：2a+16
()
a b b
-=2
a b b
-+
（）+16
()
a b b
-
≥4(a-b)b+16
()
a b b
-
≥
当时，等号成立。
四．平方升次
例5：当x>0时，求函数的最大值。
解析：y2=x2+4-x2≤4+［x2)2］
=8 当，即时，y取得最大值.
五．待定系数法
例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
解析：y=2sin 2x+2sinxcosx
=2 sin 2x+
2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a
+ =a+22(21)sin a a x
a
+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,
所以y 六． 常值代换 例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值
解析：1x +1y =13(x+2y)(
1x +1y )=1+13(2y x +x y )≥1+23
当且仅当2y x =x y ，且x+2y=3，即-1),y=32)时，取得
最小值为1+23。