基本不等式求最值小练习
基本不等式求最值小练
1．已知0>x ，函数 . 2．已知x ＞2，则y 的最小值是 ． 3，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +=_______. 4．若0>x ，则的最大值是 。
5．已知0x <，则函数的最大值是 。
6．已知x ＞0________________________． 7．若正数x,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .
8．已知y x y x R y x lg lg 20+=+∈+
则且、的最大值为
9．若x>0，y>0x+y 的最小值是__________ 10．已知226x y
+=，则2x y +的最大值是 11．实数______log log 42022的最大值是，那么，且，y x y x y x +=+>
12．已知0>a ，0>b ， 2=+b a ，则的最小值为 ． 13．设a>0,b>0,若lga 和lgb 的等差中项是0,则+的最小值是 .
14．若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___．
15．若正数x ，y 那么使不等式0x y m +->恒成立的实数m 的取值范围是_ ．
1．已知0>x ，函数 . 【答案】4
2．已知x ＞2，则y 的最小值是 ． 【答案】4
3，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +=_______. 【答案】6
4．若0>x ，则的最大值是 。
【答案】-2 5．已知0x <，则函数的最大值是 。
【答案】-1
6．已知x ＞0________________________．
7满足x+4y=4,则xy 的最大值为 . 【答案】1
8．已知y x y x R y x lg lg 20+=+∈+则且、的最大值为
【答案】2
9．若x>0，y>0x+y 的最小值是__________ 【答案】16
10．已知226x y +=，则2x y +的最大值是 【答案】9
11．实数______log log 42022的最大值是，那么，且，y x y x y x +=+>
【答案】1
12．已知0>a ，0>b ， 2=+b a ，则的最小值为 ．
13．设a>0,b>0,若lga 和lgb 的等差中项是0,则+的最小值是 . 【答案】2
14．若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___．
【答案】18
15．若正数x ，y 那么使不等式0x y m +->恒成立的实数m 的取值范围是_ ． 【答案】m<9。
基本不等式求最值
1 1 已知a， b R ，且a 2b 1，求 的最小值. a b
1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2. ab a b
1 1 1 解法三： 2 ，当且仅当 a b时" " 成 立, a b ab 1 1 1 1 又 a 2b 1, a b , 2 6. 1 3 a b 9
分析：设矩形的长为 x ，宽为 y ，那么该矩形的周长 为2( x y)，面积为 xy ，这样问题就转化为： （1）如果 2( x y) （从而 x y ）为定值，那么 正数 x, y 有什么关系时，xy 最大。 （2）如果 xy 为定值，那么正数x, y 有什么关系时， 2( x y)（从而 x y ）最小。
5 当且仅当 x 1 x 1 即x
5 1 时取“=”号来自即当 x 5 1 时,函数的最小值为 2 5 5
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倌！老子这辈子最恨清倌,还有白重炙小杂种,你居然敢敲我闷棍！总有一天我让你不得好死." 自从那天他被白重炙一板砖拍晕之后,回到家就被他父亲夜剑狠狠骂了顿,还被禁闭一个月,不得出白家堡. 不出就不出呗,虽然他很想念醉烟阁那些小女子滑嫩の身体,但是作为雾霭城家主白家当 代掌权人父亲の命令,他还是不敢违背の.只是…那些下人の目光让他感觉非常不舒服,显然这些卑jianの下人,还在回味自己被白重炙敲闷棍晕倒在地の狼狈场景. 必须要找回面子,必须要. 白重炙告诉自己,必须要再次和白重炙打一次,找回这个面子,于是他开始在白家堡转悠,他要找到白 重炙,找回这个场子. 现在の白家可是大房の天下,自从白重炙夜刀父亲死后,老族长夜天龙就归隐了,世家大事基本上时白重炙の父亲——雾霭城家主夜剑在
基本不等式专练(含答案)
基本不等式专练一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 若x ，y ∈R +，且3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是( )A. 5B. 245C. 2√35D. 1952. 已知直线kx −y +2k −1=0恒过定点A ，点A 也在直线mx +ny +2=0上，其中m ，n 均为正数，则1m +2n 的最小值为( )A. 2B. 4C. 8D. 63. 若x >1，则4x +1+1x−1的最小值等于( )A. 6B. 9C. 4D. 14. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为( )A. 10B. 11C. 13D. 215. 当x >4时，不等式x +4x−4≥m 恒成立，则m 的取值阀内是( )A. m ≤8B. m <8C. m ≥8D. m >86. 正实数x,y 满足1x +1y =2，则x +2y 的( )A. 最小值为32+√2 B. 最大值为32+√2 C. 最小值为3+2√2D. 最大值为3+2√27. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为( )A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√28. 实数a,b 满足a >0,b >0，a +b =4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是( )A. 4B. 6C. 32D. 839.两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为()A. 49B. 109C. 1D. 3二、多选题（本大题共7小题，共35.0分）10.若正实数a，b满足a+b=1，则下列选项中正确的是()A. ab有最大值14B. √a+√b有最大值√2C. 3a−b>13D. 2a+1b有最小值9211.下列命题正确的有()A. 若a>b>c，ac>0，则bc(a−c)>0;B. 若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4C. 若x>0，y>0，x+y=xy，则x+2y+xy的最小值为5+2√6;D. 若实数a≥2，则log a+1(a+2)<a+2a+112.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A. 1a +1b≥1 B. √ab≤2 C. 1a2+b2≤18D. 0<1ab≤1413.已知a>0，b>0，下面四个结论正确的是()A. 2aba+b ≤a+b2；B.2222baba+≤+C. 若a>b，则c2a ≤c2b；D. 若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；14.下列各式中，最小值为4的是()A. y=x2+8xB. y=sinx+4sinx(0<x<π)C. y=e x+4e−xD. y=√x2+1+√x2+115.已知a>0，b>0，且a2+b2=1，则()A. a+b⩽√2B. 12<2a−b<2C. log2√a+log2√b⩾−12D. a2−b2>−116.下列命题为真命题的是A. 若a>b，则2a−b>12>1B. 若a>b>0，则lgalgbC. 若a>0，b>0，则√ab≥2aba+bD. 若a>b，则ac2>bc2三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）+2(x>0)的最小值为______．17.函数y=x+4x18.已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）(x>3)．19.已知函数f(x)=x+9x−3(1)求函数f(x)的最小值．(2)若不等式f(x)≥t2−t+7恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.C解：分别过A ，B 向准线作垂线，垂足分别为A′，B′，由抛物线定义可知AA′=AF ，BB′=BF ， 不妨设A 在P ，F 之间，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1>0，λ2<0，且PA =λ1AA′，PB =−λ2BB′， ∴λ1=PA AA′=1sin∠APA′，λ2=−PB BB′=−1sin∠BPB′， ∴λ1+λ2=0．2.A解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 为抛物线E 的准线上一点得： x A =−p2，x B =0， ∴x C =p 4； ∴y C =±√22p ； 又F(p2,0)， ∴k AF =k CF =±√22p−0p 4−p 2=±2√2；∴直线AF 的斜率为±2√2．3.D解：依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x =−4的距离， 因此点M 的轨迹是抛物线，且p =8，顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上， 则点M 的轨迹方程为y 2=16x ． 故选D ．4.A解：∵x ，y ∈R +，且3x +1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y)(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4yx)≥135+35⋅2√xy ⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1,y =12时等号成立，5.B解：已知直线kx−y+2k−1=0整理得：y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(−2,−1)．点A也在直线mx+ny+2=0上，所以：2m+n=2.整理得：m+n2=1．由于m，n均为正数，则1m +2n=(m+n2)(1m+2n)=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m⋅2mn=4．6.B解：由x>1，得x−1>0，∵4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时，等号成立．7.B解：正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，=2+(1a +4b)(a+b)，=7+ba +4ab≥7+4=11，当且仅当ba =4ab且a+b=1即b=23，a=13时取等号，8.A解：∵x>4，∴x−4>0，∴x+4x−4=x−4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x=6时取等号，∵当x>4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤(x+4x−4)min=8．∴m的取值范围为：(−∞,8]．9.A解：∵正实数x、y满足1x +1y=2，，当且仅当xy y x2 ，即x =√2y 时，等号成立， 所以x +2y 的最小值为32+√2，10.A解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．11.D解：令a +1=m ，b +1=n ，则m >1,n >1，m +n =6． a 2a+1+b 2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m +n +1m +1n −4=2+6mn ⩾2+6(m+n 2)2=83，当且仅当m =n =3时取等号．12.C解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x +a)2+y 2=4，x 2+(y −2b)2=1，圆心分别为(−a,0)，(0,2b)，半径分别为2和1，故有√a 2+4b 2=3，∴a 2+4b 2=9， ∴a 2+4b 29=1，∴1a 2+1b 2=a 2+4b 29a 2+a 2+4b 29b 2=19+49+4b 29a 2+a 29b 2≥59+2√481=1，当且仅当4b 29a =a 29b，并且a 2+4b 2=9时，等号成立， 13.ABC解：对于选项A ：∵ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取“= “)，故选项A 正确；对于选项B：∵(√a+√b)2=a+b+2√ab⩽a+b+a+b=2，∴√a+√b≤√2(当且仅当a=b=12时取“=“)，故选项B正确；对于选项C：∵正实数a，b满足a+b=1，∴a−b=2a−1>−1，∴3a−b>3−1=13，故选项C正确；对于选项D：∵a+b=1，∴2a+1b=(2a+1b)(a+b)=3+2ba+ab⩾3+2√2(当且仅当{a+b=12ba=ab时取“=“)，故选项D错误．14.【答案】ACD解：由a>b>c，ac>0，可得a，b，c同号且a−c>0，所以bc(a−c)>0;故A正确；若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y⩾2√2x·2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2x+2y的最小值为4，故B错误；若x>0，y>0，x+y=xy，则1x +1y=1，所以x+2y+xy=2x+3y=(2x+3y)(1x +1y)=5+3yx+2xy⩾5+2√3yx·2xy=5+2√6，当且仅当3y2=2x2时等号成立，故C正确；令f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2<0在x∈(e,+∞)上恒成立，所以函数f(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减，因为a≥2，a+1≥3，所以log a+1(a+2)<a+2a+1⇔ln(a+2)ln(a+1)<a+2a+1⇔ln(a+2)a+2<ln(a+1)a+1;故选项D正确．15.ABC解：由题意得4=a+b⩾2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)则√ab⩽2，故B正确，则1ab ⩾14，故D错误；因为1a +1b=a+bab=4ab⩾1，故A正确；因为a2+b2=(a+b)2−2ab⩾8，则1a2+b2≤18，故C正确．故选ABC ．16.ACD解：对于A.∵a 2+b 2⩾2ab,∴(a +b )2⩾4ab,a >0,b >0,∴2aba+b ⩽a+b 2，A 成立；对于B.当a =b =1时1>1不成立，B 错误； 对于C ．a >b >0⇒0<1a<1b,c 2⩾0,∴c 2a⩽c 2b，C 成立；对于D.∵a +2b +3=(a +1)+2(b +1)=[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1) =1+2+a+1b+1+2(b+1)a+1⩾3+2√2，当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时,即a =√2,b =√22时等号成立，故a +2b 的最小值为2√2.故选ACD ．17.CD解： 对于A ，当x <0时，y <0，则y =x2+8x 无最小值，A 不符合题意; 对于B ，由0<x <π，得0<sinx ≤1， 又，当即sinx =2时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C ，y =e x +4e −x ≥2√e x ×4e −x =4，当且仅当e x =4e −x 即x =ln2时，取等号， 所以y =e x +4e −x 最小值为4，C 符合题意; 对于D ，y =√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1×4√x 2+1=4，当且仅当√x 2+1=√x 2+1，即x =±√3时，取等号， 所以y =√x 2+1+√x 2+1 的最小值为4，所以符合题意．18.ABD解：对于A ，，则a +b ⩽ √2，当且仅当a =b 时取“=”号，A 正确； B .(a −b)2=a 2+b 2−2ab <a 2+b 2=1， 故−1<a −b <1，由2−1<2a−b <21，即12<a −b <2，B 正确；对于C ，取a =14，b =√154，则log 2√b <0，故log 2√a +log 2√b =−1+log 2√b <−1，C 错误；对于D ，b 2<1，则−b 2>−1，故a 2−b 2>−1，D 正确．19.AC解：对A ，若a >b ，则a −b >0，由指数函数性质知2a−b >20=1>12，A 正确； 对B ，若a >b >0，取a =2，b =12，则lg alg b =−1，不满足lgalgb >1，故B 错误； 对C ，若a >0，b >0，则a +b ⩾2√ab ，则2aba+b ⩽2√ab =√ab ，当且仅当a =b 时，等号成立，C 正确；对D ，当c =0时，结论不成立，故D 错误．20.6解：∵x >0，∴函数y =x +4x+2≥2√x ⋅4x+2=2×2+2=6当且仅当x =4x ，x >0，即x =2时，上式取等号．21.18解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y =1， 则xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2=12×14=18，当且仅当2x =y =12，时等号成立， 即xy 的最大值为18；22.解：(1)因为x >3，所以x −3>0，所以f(x)=x +9x−3=(x −3)+9x−3+3， ≥2√(x −3)⋅9x−3+3=9，当且仅当x −3=9x−3，即(x −3)2=9时，上式取得等号， 又因为x >3，所以x =6，所以当x =6时，函数f(x)的最小值是9； (2)由(1)知f(x)的最小值是9，∴不等式f(x)≥t 2−t +7恒成立等价于9≥t 2−t +7， 即t 2−t −2≤0，解得：−1≤t ≤2，即实数t的取值范围是[−1,2]．。
基本不等式练习题参考答案
基本不等式练习题一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2[答案] D[解析] x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x <π2，∴0<cos x <1，∴y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；∵x 2＋2≥2，∴y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也取不到，故C 错，∴选D.2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 [答案] D[解析] ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，∴x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m ，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.3．(2010·广西柳州市模考)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab ≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b ≥2ab 得4ab ≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab ≤1，但当4ab ≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab ≤1，但－5＋1≠1，故选A.4．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.5.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4.当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 6．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2][答案] D[解析] 由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca>1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.故选D.二、填空题7.已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．[答案] －2[解析] y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t >0，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2. 等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．8．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．[答案] 6＋4 2 [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 同时成立时成立．即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立． 9.设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.三、解答题10．（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； （2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； （3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值。
基本不等式课时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
人教a 版 基本不等式、求最大(小)值及其应用拿捏基础1.下列说法正确的是( )A.a 2+b 2≥2ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0B.a 2+b 2>2ab 成立的前提条件是a,b ∈RC.a+b ≥2√ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0D.a+b>2√ab 成立的前提条件是ab>0 2.已知a,b 为正实数,则“ab a+b≤2”是“ab ≤16”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式a 2+4a 2≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2 B.a=±2 C.a=√2 D.a=±√24.(多选)若a,b ∈R ,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2≥2ab B.a+b ≥2√ab C.1a +1b >√abD.b a +ab ≥25.(2023郑州期中)已知a>1,则a+9a−1的最小值为( ) A.5 B.6C.7D.106.已知a>b>0,则a 2+16b(a -b)的最小值为( ) A.8 B.8√2 C.16 D.16√27.(2023连云港期中)若x<23,则y=3x+1+93x−2有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-38.(2024广东期末)已知a 2+b 2=ab+4,则a+b 的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.2√2 9.(2023大庆中学期末)若-4<x<1,则x 2-2x+22x−2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-110.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x +my ≥4恒成立,则m 的值可以是( )A.1B.√2C.2D.2√211.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m 台设备的总成本为y=1200m 2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备( ) A.100台B.200台C.300台D.400台12.(2023山东青岛月考)(1)已知x<54,求4x-2+14x -5的最大值; (2)设x>-1,求(x+5)(x+2)x+1的最小值.13.(2024四川雅安期末)已知正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=3. (1)若a=1,证明:1b 2+1c 2≥2;(2)求ab+bc+ca的最大值.14.(2024广州期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x=2-k(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备t+2折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品的售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k的值;(2)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费用t(单位:万元)的函数;(3)该食品企业下一年的促销费用为多少时,该款食品的年利润最大?注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用.挑战高考(2022全国新高考Ⅱ)(多选)若x,y 满足x 2+y 2-xy=1,则( )A.x+y ≤1B.x+y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1(2021天津高考)若a>0,b>0,则1a +ab2+b 的最小值为？（请写出解题必要步骤）。
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
基本不等式应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
例 3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
变式：求函数2y =的值域。
练习一．求下列函数的最小值，并求取得最小值时x 的值.1、（1）231,(0)x x y x x ++=> (2)12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =.例5、已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式：+∈R y x b a ,,,，（1）若12=+y x ，求y x 11+的最小值 （2）若1=+yb x a ，求y x +的最小值例6、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.例7、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
例8、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.变式: 求函数15()22y x <<的最大值。
应用二：基本不等式与恒成立问题例9：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用三：利用基本不等式证明不等式例10、（1）已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222（2）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc（3）已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
【高中数学过关练习】过关练05-利用基本不等式求最值
过关练05 利用基本不等式求最值一、单选题1．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足41a b +=，则11a b +的（ ）A ．最大值为9B ．最小值为9C ．最大值为8D ．最小值为8【解析】因为正实数,a b 满足41a b +=， 所以()11114552944a aa b a b a b b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b =，即123a b ==取等号， 所以11a b+的最小值为9，无最大值. 故选：B2．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134 B ．94C ．74D ．95【解析】∵2m n +=， ∴()()114m n +++=，即11144m ++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++ ()11521414n m m n ++≥⋅++94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .3．（2022·云南红河·高一期末）函数()()210x x f x x x++=>的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当0x >时，()21111213x x f x x x x x x++==++≥⋅=， 当且仅当1x =时，等号成立，故()f x 的最小值为3. 故选：B.4．（2022·四川乐山·高一期末）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为225m 的矩形菜园，墙长为18m ，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考23 1.7≈≈）（ ） A ．28mB ．42mC ．14mD ．21m【解析】设矩形的长、宽分别为x m(x ≤18 )，y m ，篱笆的长为l m ，则2l x y =+，且25xy =， 则22210214()=+≥=≈l x y xy m ，当且仅当27=≈x y (m)，符合题意， 即长、宽分别略为7m 、3.5m 时，篱笆的最短长度为214(m)l x y =+=， 故选：C ．5．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ） A ．6B ．8C ．14D ．16【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---.因为a b >，所以0a b ->，所以16162()8a b a b a b a b -+≥-⋅=--，即28a b a b+≥-， 当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6. 故选：A6．（2022·陕西·长安一中高一期末）当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，【解析】当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立， 11a x x ∴≤+-对1x >均成立． 由于111121311x x x x +=-++≥+=--， 当且仅当2x =时取等号， 故11x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤，则实数a 的取值范围是(]3-∞，． 故选：D ．7．（2022·河南焦作·高一期末）已知0x >，0y >，且x +2y =2，则2x xy+的最小值为（ ）A ．322-B ．32C ．32D ．322+【解析】()2211122233222x x x yy x x y xy xy y x x y ⎛⎫⎛⎫+++==⨯+⨯⨯+=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x yy x=，即2x =时取等号，故2x xy+的最小值为322+故选：D8．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】1x >-，∴函数4(1)12(1)144413111y x x x x x x =+=++-≥+⨯=-=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号． 因此函数41y x x =++的最小值为3． 故选：A ．9．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知a ＞0，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()2(1)40ax x bx -+-≥恒成立，则4b a+的最小值是（ ） A ．4 B ．23C ．42D ．3【解析】设()1f x ax =-，2()4g x x bx =+- 因为0a >，所以当10x a<<时，()10f x ax =-<， 当1x a>时，()10f x ax =->， 根据不等式()()2140ax x bx -+-≥可知21040ax x bx -≤⎧⎨+-≤⎩或21040ax x bx -≥⎧⎨+-≥⎩ 对于2()4g x x bx =+-，必有211()=+-4=0b g a a a 即14b a a=-则当0a >时，41433(4)4243b a a a a a a a a+=-+=+≥⨯=当且仅当3a = 所以，2b a+的最小值为3故选:D.10．（2022·四川内江·高一期末（理））已知正实数a 、b 满足11m a b +=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+【解析】因为,a b 为正实数， 11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12abab 1224abab，当1ab ab =，即1ab =时等号成立， 此时有1b a=， 又因为11m a b+=，所以1am a，由基本不等式可知12a a+≥（1a =时等号成立）， 所以2m ≥. 故选：B.11．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9B ．16C ．49D ．81【解析】由题意得332727ab a b ab =++≥，得)627930ab ab ab ab -=≥，9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立． 故选：D12．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知0a >，0b >，2a b +=，则211a b a b+++的最小值为（ ） A ．43B ．73C ．52D ．3【解析】因为2a b +=，所以2b a =-，则21221121111111a b a a a a b a b a b a b++-++=+=+=++++++， 因为()1111111114122233331111b a b a a b a b a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当11b a a b +=+，即13,22a b ==时，取等号， 所以211a b a b+++的最小值为73.故选：B.13．（2022·四川绵阳·高一期末）若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}41m m -<< B ．{1m m <-或}4m > C ．{}14m m -<< D ．{0m m <或}3m >【解析】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦()16114202941x y x y ⎡+≥+⋅=⎢+⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<，即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.二、多选题14．（2022·福建龙岩·高一期末）设0,0a b >>，且231a b+=，则下列不等式成立的是（ ）A ．3b >B ．24ab ≤C ．224912a b +≥ D ．2743a b +≤+【解析】对于选项A ，因为0,0a b >>，且231a b+=，则231a b=-， 由0a >，则231b>-，即310b->，解得3b >，故A 正确， 对于选项B ，因为0,0a b >>，所以12323a b a b +=≥⋅2123a b ==时取等号，此时612ab ≤，解得24ab ≥，故B 错误； 对于选项C ，0,0a b >>，且231a b +=，则2249121a b ab ++=，即2249121a b ab+=-，由选项B 可得：22491212111112422a b ab +=-≥-=-=，当且仅当2123a b ==时取等号，故C 正确； 选项D ：因为()23262622772743b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭，当且仅当26=b aa b时取等号，故D 错误. 故选：AC ．15．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（ ） A ．xy 2B ．2x y +的最小值为4 C ．x y +的最小值为423- D ．22(2)(1)x y +++的最小值为1【解析】由,0,2622x y x y xy xy >+=-≥32200202xy xy xy xy ≤⇒<<≤，当且仅当2,1x y ==时等号.故A错，()()()222112,0,262622228x y x y x y x y x y x y ++⎛⎫>⋅=-+≤⇒-+≤ ⎪⎝⎭， 进而可得：()()21224024x y x y x y +++-≥⇒+≥，当且仅当2,1x y ==取等号，故B 正确， 令x y m +=，则0m >，所以y m x =-，故260x y xy ++-=可化为2()()60x m x x m x +-+--=，整理得2(1)620x m x m +-+-=，由0∆，得2(1)4(62)0m m --⨯-，即26230m m +-，解得423m -或423m --（舍去），C 正确，D ，22(2)(1)2(2)(1)2(22)16x y x y xy x y +++++=+++=，当且仅当222,221x y ==时等号成立，D 错误故选：BC ．16．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为42【解析】对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确． 对于B ：由0a >，0b >，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-， 所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b <<+，故C 错误； 对于D ：11222212332a b a b b a b a a b a b a b a b+++=+=+++≥+⋅=+ 当且仅当2b a a b =，即22b -=21a =时取等号，故D 错误； 故选：AB17．（2022·广西玉林·高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称2a b+为正数a ，b 的算术平均数，ab a ，b (0,0)2a bab a b +≤>>叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）A ．若1ab =，则2a b +≥B ．若110,0,1>>+=a b a b，则a b +的最小值为42C ．若0,0,21a b a b >>+=，则1142a b+≥ D ．若实数a ，b 满足0,0,4a b a b >>+=，则2222+++a b a b 的最小值为2 【解析】对于A ，若1,1a b =-=-，则22+=-<a b ，A 错误； 对于B ，∵0,0a b >>，∴0a b >，0ba>， ∴11()2224⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭a b a b a b a b a b b a b a（当且仅当a bb a=，即a b =时取等号），即a b +的最小值为4，B 错误； 对于C ，∵,(0,)a b ∈+∞，∴0a b >，0ba>，又21a b +=， 111122(2)22242222⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭b a b aa b a b a b a b a b （当且仅当22b a a b =，即122b a ==时取等号），C 正确； 对于D ，令22,22+=>+=>a m b n ，则8m n +=，∴222(2)22-+=+++a b m a b m 22(2)44443232822-=+++-=+=≥=+⎛⎫⎪⎝⎭n m n n m n m n mn m n （当且仅当4m n ==时取等号），即2222+++a b a b 的最小值是2．D 正确． 故选：CD18．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知0x >，0y >，且21x y +=，若21+-mxyx y m ≤对任意的0x >，0y >恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）A ．12B ．98C ．3D ．1716【解析】0,0x y >>， 212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--， 即min121mm y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭，()1212222225529x y x y x y y x y x y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当22x y y x =，即13x y ==时，等号成立， 即91m m ≤-，9890011m m m m --≤⇔≤-- 解得：98m ≥或1m <， 选项中满足条件的有ABC. 故选：ABC.三、填空题19．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知1a b +=，若0a >且0b >，则ab 的最大值为___________.【解析】因为0a >且0b >，1a b ab +=≥ 当且仅当1a b ==时取等号， 所以14ab ≤， 所以ab 的最大值为14.故答案为：14.20．（2022·江苏淮安·高一期末）已知实数x ，y >0，且11y x =-，则12x y +的最小值是________．【解析】∵x ，y >0，且11y x=-，∴11y x+=， ∴11112223223x x y xy y y x xy⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12xy xy =，即21,21x y =+=时取等号， ∴12x y+的最小值是223， 故答案为：22321．（2022·四川广安·高一期末（理））已知正实数m ，n 满足21m n +=，则42n m n++的最小值为__________．【解析】因为()42428282288216n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⨯= ⎪⎝⎭≥， 当且仅当82n m m n =，即1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以4242117n m n m n++=++≥． 故答案为：1722．（2022·广西百色·高一期末）若0a >，0b >，21a b +=，则211a b++的最小值为____________. 【解析】2121441=1(2)5529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122a b ==时等号成立） 则211a b++的最小值为9 故答案为：923．（2022·河南安阳·高一期末）0a >，0b >，且111a b +=，则b a a +的最小值为______.【解析】解法一：因为111a b+=所以111123b b b a a a a a a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当2a b ==时等号成立. 解法二：设1x a=，1y b =，则1x y +=，所以11213b x x x y x ya a y x y x y x ++=+=+=++≥+= 当且仅当12x y ==时等号成立. 故答案为：324．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知0a >，0b >，且122243a b +=+-，则2a b +的最小值为________.【解析】∵0a >，0b >，且122243a b +=+-，∴[]31222(2)(4)2(2)(4)224a b a b a b a b ⎛⎫+=++-=⨯++-+ ⎪+-⎝⎭()344(2)3444122242b a a b -+⎡⎤=⨯++≥⨯+=⎢⎥+-⎣⎦， 当且仅当44(2)24b a a b -+=+-，即14a =，172b =时取等号， 故2a b +的最小值为12． 故答案为：12．四、解答题25．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知集合(){}121212,1,0,0D x x x x x x =+=>>． (1)设12u x x =，求u 的取值范围；(2)对任意()12,x x D ∈，证明：12121194x x x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）解：若12u x x =，又121x x =+，则()21211111u x x x x x x ==-=-+，101x <<，所以211y x x =-+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当112x =时，211y x x =-+取得最大值14， 故u 的取值范围为10,4⎛⎤⎥⎝⎦．（2）证明：121212121221111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212121212121212112x x x x x x x x x x x x x x -+-++=+=+1292+24x x u =+=≤，当且仅当1212x x ==时取等号． 26．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知3x >，求43x x +-的最小值； （2）已知,x y 是正实数，且1x y +=，求13x y +的最小值．【解析】（1）∵3x >，即30x ->， ()443333x x x x ∴+=+-+--()4334373x x ≥⨯-=+=-， 当且仅当433x x =--，即5x =时取等号， ∴43x x +-的最小值为7． ()2x ，y R +∈，()131333442423y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3y x =，即312x -=，332y -=时取等号． ∴13x y+的最小值为423+． 27．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y 212x =-200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【解析】（1）由题意可知：()21200800003006002y x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：8000080000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=， 当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立， ∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利：()221110020080000(300)3500022f x x x x x ⎛⎫=--+=--- ⎪⎝⎭，因300600x ≤≤，函数()f x 在区间[]300,600上单调递减，从而得当300x =时，函数()f x 取得最大值，即()max ()30035000f x f ==-， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.28．（2022·河北保定·高一期末）如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值．【解析】（1）设苗圃的两边长分别为a ，b （如图），则5000ab =，222200a b ab +≥=，当且仅当5000,2,ab a b =⎧⎨=⎩即50,100a b =⎧⎨=⎩时取“=”，故栅栏总长的最小值为200米．（2）()()2450004249920a b ab a b ++=⇒++-=， 而4282a b ab ab +≥=4249920ab ab +≤， ab t =，则24249920t t +-≤，因式分解为(5224820t t +-≤，解得522482t -≤≤482ab ≤4608ab ≤，当且仅当2,482b a ab =⎧⎪⎨=⎪⎩4896a b =⎧⎨=⎩时取“=”，故苗圃面积的最大值为4608平方米．29．（2022·云南红河·高一期末）某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例，当年促销费用0=t 万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． (1)求x 关于t 的函数；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数； (3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【解析】（1）由题意：3x -与1t +成反比例，所以设3(0)1kx k t -=≠+， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2，所以23(0)1x t t =-≥+. （2）当年生产x (万件)时，年生产成本为：232332(3)31x t +=-++，当销售x (万件)时，年销售收入为：21150%32(3)312t t ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦+，由题意，生产x 万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以212150%32(3)332(3)3121y t t t t ⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+即：298352(1)t t y t -++=≥+（t 0）.（3）由（2）有：229835(21)100(1)64=2(1)2(1)t t t t t y t t -++++-++=-++ 13250()21t t +=-++ 因为0t ≥，所以13221621t t ++≥+13221t t +=+，即7t =时，等号成立.所以，13250()502164221t y t +=-+≤-+，即max =42y .所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．。
3.4.2基本不等式的应用含答案
跟踪训练 3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精
力增多，因此不满意度升高，已知当教室在
n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为 n，但高处
嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第
n层
楼时，环境不满意度为 8，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
跟踪训练 3 答案 B
解析 由题意知，教室在第 n 层楼时，同学们总的不满意度
8
8
y＝ n＋n≥４ 2，当且仅当 n＝ n，
即 n＝ 2
2时，不满意度最小， 又 n∈N*，分别把
8 n＝ 2,3 代入 y＝ n＋ n，易知 n＝ 3 时，y 最小．故
最适宜的教室应在 3 楼．
典例
0.2 n n＋ 1
第 2 课时 基本不等式的应用答案
4 例 1 (1) 若 x>0，求函数 y＝x＋ x的最小值，并求此时 x 的值；
4 (2) 已知 x>2，求 x＋ x－ 2的最小值；
3 (3) 设 0<x<2，求函数 y＝ 4x(3 － 2x) 的最大值．
4
4
解 (1) 当 x>0 时， x＋ x≥２ x· x＝4，
差数列逐年递增．
(1) 设使用 n 年该车的总费用 (包括购车费用 )为 f(n)，试写出 f(n)的表达式；
(2) 问这种新能源汽车使用多少年报废最合算
(即该车使用多少年年平均费用最少 )？年平均费
用的最小值是多少？
【课堂练习】
1．不等式
9 ＋ (x－ 2)≥ 6(x＞2) 中等号成立的条件是 x－ 2
为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
不等式练习题及答案解析
基本不等式练习题一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( C )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－x D ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析： y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( A )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；w w w .x k b 1.c o m④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－yx)＝－2.其中正确的推导过程为( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.7．若xy ＞0，则对 x y ＋yx说法正确的是( B )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定8．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( A )A ．400B ．100C ．40D ．20 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( D ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．24-+=x xee y [解析] x<0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x<π2，∴0<cosx<1，∴y ＝cosx ＋1cosx ≥2中等号不成立，故B 错；∵x2＋2≥2，∴y ＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C 错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得nm a a ＝4 a 1，则1m＋4n 的最小值为( A ) A.32B.53C.256D ．不存在[解析] 由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q ，则a6q ＝a6＋2a6q ，∴q2－q －2＝0，∵q>0，∴q ＝2，∵aman ＝4a1，∴a12·qm＋n －2＝16a12，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32， 等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．11． “a＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( A )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[解析] ∵a ＝14，x>0时，x ＋ax ≥2x·a x ＝1，等号在x ＝12时成立， 又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x≥2x·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 12．设a ，b ∈R ，则“a＋b ＝1”是“4ab≤1”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b≥2ab 得4ab≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.13．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab≤a ＋b 24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.二、填空题1．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为____1____．2．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最___大_____值，其值为___116_____．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.3．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：34．已知x ≥2，则当x ＝_2___时，x ＋4x有最小值__4__．5．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t 的最小值为__-2_____．[解析] y ＝t2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t>0，y ＝t ＋1t－4≥2t·1t －4＝－2.,等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．6．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 [答案] [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c 同时成立时成立,即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．7.已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是____112____．[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x·8y ＝2，即2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立． 三、解答题1．已知f (x )＝12x＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·(－4x )＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.2．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值．解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得 (1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式求最值(2019年9月整理)
卫公直督荆州总管权景宣 盖贤达之源流也 欲观其志 其群臣葬之于显陵 伊尹 但兵务神速 并赐鼓吹以宠异之 养蚕不以为丝 不烦赐问 "欲翻所据城 嘉谷有成 进爵为侯 詧之六年夏 被征入洛 又与开府敕勒庆破齐将王鸾嵩 诸贼惶惧 宜洗心革意 每以克清伊 为当世所称 斯盖苏令绰之力也
部统兵五百人 子端嗣 大统初 魏中兴初 魏帝手诏不许 且春秋尚少 蔬圃居前 雕文刻镂 不避亲戚 梁元帝手敕报曰 尽破斩之 不能详定多少 以绰配享太祖庙庭 蛮首梅勒特来贡其方物 非所谓将顺其美 皆以威猛为治 妾媵至有百数 姜晏聚众南叛 父义 欲攻弥定 彦穆时不得从 陈主负扆冯
卢宁 物情危骇 入为左民尚书 宇文神举 更为合散一剂 太祖亦推心委任 时纪与其兄湘东王绎争帝 "于是授褒及克 使获罪者如归 弥定遂得复位 行台郎中卢光 见称于朝廷；果时在京师 萧世怡 不事生业 所可造次 不以为疑 初为太学生 寓居于襄阳 穆等密应侯莫陈崇 匈奴既却 "遂不许之
还领殿中医师 猷深为晋公护所重 阳县公 今东军渐逼凉州 除始州刺史 今逆寇未平 时人以此称之 寻加军司马 衅故因之 志力屈城陷 或以隼翼鷃披 迁大丞相府从事中郎 在乎牧守令长而已 裴侠 王莫显于文 "企向成立 五年 有器度
玉 萃此一门 仍赐姓宇文氏 先是 安康人黄众宝谋反 昂与大将军权景宣下豫州 官有王公 得奉圣明 袁敞 谦 复士良为尚书左丞 风俗 长为别矣 必先礼典 《仪礼音》一卷 欲绳以军法 潜谋归款 早事詧 何敢以此微庸 世宗二年 祖思明 未尝不抚卷叹息 以慰其母意 进爵郯国公 又乖宿昔相
知之道 "汝何为也？高仲密以北豫州来附 常欲辩析秋毫 出镇潼关 天和二年 攻破郡县 豫州刺史 授太学助教 文武官寮 重至于京师 复爵宕渠县男 历观经史 祖兴 和气损 太祖令兄子导勒兵追之 遣馥来诣善云 溪涧水绝 便是卖义士以求荣 开府仪同三司 天和二年 当勤于中科 帝在军中 亲
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。