基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
基本不等式求最值的题型及解题策略
ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式求最值的八种思维方法
ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)
专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲 题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++，从而212b b a b-+=，21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号．例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】所以332222m n a b +=+-，因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式一. 基本不等式①公式：(0,0)2a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】 基本不等式求最值求最值使用原则：一正 二定 三相等一正： 指的是注意,a b 范围为正数。
二定： 指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b =典型例题：例1 .求1(0)2y x x x=+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q12x x ∴-+≥=-12x x∴+≤ 得到(,y ∈-∞例2 .求12(3)3y x x x =+>-的值域 解：123y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63x x =+-+-330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴+-≥-6y ∴≥， 即)6,y ⎡∈+∞⎣例3.求2sin (0)sin y x x xπ=+<<的值域分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈，2y t t=+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t +>，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
例4．求221(2)2x x y x x ++=>-+的值域 分析：先换元，令2,0t x t =+>，其中2x t =- 解：22(2)2(2)16116t t t t y t t t t-+-+++===++ 110268t t t t t>∴+≥∴++≥Q [8,)y ∴∈+∞ 总之：形如2(0,0)cx dx f y a c ax b++=≠≠+的函数，一般可通过换元法等价变形化为p y t t=+()p 为常数型函数，要注意t 的取值范围； 【失误与防范】1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【题型2】 条件是a b +或ab 为定值，求最值（值域）（简）例5．若0,0x y >>且18x y +=，则xy 的最大值是________．解析：由于0,0x y >>，则x y +≥，所以18≤，则xy 的最大值为81 例6．已知,x y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为________．解析：43x y +≥Q12≤，3xy ∴≤当且仅当434312x y x y =⎧⎨+=⎩即322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，xy 取得最大值3.例7．已知0,0m n >>，且81mn =，则m n +的最小值为________．解析：Q 0,0m n >>，18m n ∴+≥=，当且仅当9m n ==时，等号成立． 总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型3】 条件是a b +或11a b+为定值，求最值（范围）（难） 方法：将1整体代入例8.已知0,0x y >>且1x y +=，则11x y+的最小值是________________ 解析：1x y +=Q1111()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+= 所以最小值是4例9. 已知0,0a b >>，2a b +=，则14y a b=+的最小值是________． 解析：212a b a b ++=∴=Q则141412()()2222a b b a a b a b a b++=+=+++52592222b a a b =++≥+= 所以最小值是92 例10.已知0,0x y >>，且121,x y+=求2x y +的最小值是____________ 解析：Q 121,x y+=则12222()(2)14y x x y x y x y x y +=++=+++59=+= 从而最小值为9【题型4】 已知a b +与ab 关系式，求取值范围例11. 若正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 及a b +的取值范围．解析：把ab 与a b +看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求ab 的范围 （需要消去a b +：①孤立条件的a b +②a b +≥③将a b +替换） ①3ab a b =++Q 3a b ab ∴+=-，②a b +≥③3ab ⇒-≥a b +结束，下面把ab 看成整体，换元，求ab 范围）令(0)t t =>，则3ab -≥变成232t t -≥解得3t ≥或1t ≤-（舍去），从而9ab ≥⑵求a b +的范围 （需要消去ab ：①孤立条件的ab ②2()2a b ab +≤ ③将ab 替换） 3ab a b =++Q 2,2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∴232a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭（消ab 结束，下面把a b +看成整体，换元，求a b +范围） 令(0)t a b t =+> 则有232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，2412t t +≤，24120t t --≥，得到6t ≥或2t ≤-（舍去） 得到6a b +≥。
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法基本不等式是数学中常用的一种推断和求解最值的方法之一、基本不等式包括均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和几何平均与算术平均不等式等。
这些不等式的推导和使用方法可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
下面将介绍一些利用基本不等式求最值的常见方法。
1.均值不等式法：均值不等式是最常用的基本不等式之一、它包括算术平均数与几何平均数的关系、算术平均数与谐波平均数的关系等。
通过运用均值不等式，我们可以将一个问题中的复杂表达式或不等式进行简化，从而方便进行求解或判断最值。
例如，当我们需要求解一组数据的算术平均数时，可以通过均值不等式推导出一个简化的不等式，从而确定平均数的范围。
2.柯西-施瓦茨不等式法：柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解内积和范数的不等式。
通过柯西-施瓦茨不等式，我们可以推导出两个向量内积的最值以及两个向量范数的关系等。
在实际问题中，柯西-施瓦茨不等式可以用于求解线性规划问题、最小二乘法问题等。
例如，当我们需要求解两个向量的内积最大值时，可以通过柯西-施瓦茨不等式推导出一个简化的不等式来确定最大值。
3.几何平均与算术平均不等式法：几何平均与算术平均不等式是一种常用的不等式关系。
通过几何平均与算术平均不等式，我们可以推导出一组数的平方和与它们的几何平均的关系，或者一组数的立方和与它们的算术平均的关系等。
在实际问题中，几何平均与算术平均不等式可以用于求解数据的平均值、方差、标准差等。
例如，当我们需要求解一组数据的方差时，可以通过几何平均与算术平均不等式推导出一个简化的不等式，从而确定方差的范围。
4.归纳法：归纳法是一种常用的数学推导方法。
利用归纳法，我们可以通过已知条件和不等式的性质来推导出一组数的最值。
在实际问题中，归纳法可以用于求解复杂的不等式，例如任意n个数的幂和与它们的算术平均的关系等。
例如，当我们需要求解一组数据的幂和与它们的算术平均的关系时，可以通过归纳法证明一个定理，从而确定幂和与平均值的关系。
利用基本不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法基本不等式是利用数学推理和不等式性质来求解最值问题的一种方法。
在解决最值问题时，运用基本不等式能够有效地简化计算过程，并找到最优解。
下面将介绍几种常见的类型和方法。
1.求函数最值：假设已知一个函数f(x)，要求其在一些区间[a,b]上的最大值或最小值。
可以利用基本不等式结合导数来求解。
首先，对函数f(x)求导得到极值点，即f'(x)=0的解，然后利用基本不等式推论得到最值。
2. 求二次函数最值：对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c(a≠0)，可以通过求解二次函数的顶点来确定其最值。
二次函数的最大值或最小值在顶点处取得。
通过计算出二次函数的顶点坐标，可以得到函数的最值。
3.求几何问题最值：在几何问题中，常常需要求解最长距离、最短路径等最值问题。
对于空间几何问题，可以利用三角不等式和柯西-施瓦茨不等式等基本不等式进行推导，找到满足条件的最优解。
4.求代数问题最值：在代数问题中，常常需要求解最大值或最小值。
例如，求解多项式函数的最值、线性规划等问题。
可以利用基本不等式来对多项式进行分解和化简，从而找到最大值或最小值。
5.求概率问题最值：在概率问题中，需要求解满足一定概率条件的最值问题。
例如，已知一些事件发生的概率，求解最大化或最小化概率的问题。
通过利用基本不等式可以对概率进行推导和计算，找到满足条件的最值。
在使用基本不等式求解最值问题时，需要注意以下几个基本方法：1.将问题抽象化：将具体的问题转化为符号运算和数学模型，将需要求解的最值问题用数学语言表达出来。
2.应用基本不等式：根据不同的问题类型，运用相应的基本不等式进行推导和计算。
常用的基本不等式有柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等。
3.约束条件转化：将约束条件转化为等式或不等式，以便进行运算。
4.求解极值点：通过对函数求导，找到函数的极值点。
利用基本不等式结合导数求解最值问题。
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专题：基本不等式求最值的类型及方法解析：y x 1 2(x 1) (x2(x 1)1)2(xL 2LJ 21(x 1)2 22(x 1)、几个重要的基本不等式:①a 2b 2 2ababa 2b 2(a 、 x 1 x 133立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立;22(x 1)③a 3 成立• 注: 二、函数 b 32 ab ab2(a 、当且仅当b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立;2(x2(x 1)21)即x 2时，“ 5”号成立，故此函数最小值是 -23c 33abc abc — b 3c3 3-(a 、 b、R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
类型n ：求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：33----- abc , b c 3v abcabc ---------------- (a 、3① 注意运用均值不等式求最值时的条件:② 熟悉一个重要的不等式链: abf(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、0性质:①值域: ,2 ab] [2 ab,);R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号定 、三 等 ;2 2a b J --------------2①yx 2解析：①Q 0•- y(3 2x)(0 xx - ,• 32 当且仅当 2. 42y sin x cos x当且仅当 故此函数最大值是(3 2x)(0②单调递增区间：( );单调递减区间::],(0,］，,0).2xx 3 2x 即 x,•• sin x2sin 2x sin 2x .2sin x 2② y sin xcosx(0 x ) 23x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]1 ,231时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。
0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。
coSx 2cos x (01 2 2 2(sin x sin x 2cosx)21 sin2 x sin 2x 2co^ x 34二 -------- —)刃 tan x 2，即x arctan^^ 时“=”号成立,评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。
类型川：用均值不等式求最值等号不成立。
4x —x例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。
三、用均值不等式求最值的常见类型类型I ：求几个正数和的最小值。
解法一：(单调性法)由函数f(x)Kax 一(a 、b 0)图象及性质知，当x (0,1］时，函数x 例1、求函数y x 12(x 1)的最小值。
2(x 1)2f (x) x -是减函数。
证明:x任取X 2(0,1]且 0 禺X 2 1，则f (X i )4 4 f (X 2) (X 1 X 2)()X 1 X 2(X 1 X 2) 4 空上 X-|X 2(X iX 2)^・，X 1X 2当且仅当X 8即XX 812,此时y号成立，故此函数最小值是 1&■/ 0 X-I X 2 1 ,••• X 1X 2 0,空「X-|X 20，则 f(X i ) f(X 2)f (X i ) f (X 2),解法三：（三角换元法）令 解法f(X) X -在（0,1上是减函数。
X故当X 1时，f （X ） -在（0,1上有最小值5。
X（配方法）0 X 1，则有 f (X )则：X 2y 「sin X 22~cos X8csc ? sin则有2cos X2X 2sec X8(18 ~ 2 sin X 1 2cos X2 2 2cot X ) 2(1 tan X ) 10 8cot X 10 2 (8cot X ) (2tan 2 X )18,易求得X12,此时y 3时“=”号成立，故最小值是22ta n X1&2 .X 0且单调递减，则f （x ）.X ）2 4在（0,1］上也是减函数, 即 f (X ) X 4—在（0,1上是减函数，当X 1时，f （x ） X -在（0,1上有最小值5。
X X解法三：（拆分法） 4 1 3 f(X ) X (0 X 1) (X ) 2 X 1 3 5 ,X X X V X 1当且仅当 X 1时“=”号成立，故此函数最小值是 5。
易知当0 X 1时, 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。
类型W:条件最值问题。
8 例4、已知正数X 、y 满足一 X -1，求X 2y 的最小值。
y 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:8 1 8 1X 2 y （ ）（X 2 y ） 2!- 一 J x 2y 8。
原因就是等号成立的条件不一致。
X y X y类型V ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x 、y 满足xy X y 3，试求xy 、X y 的围。
解法一：由X 0, y0 ,则 xy X y 3 xy 3 X y 2 xy ,解法一：（利用均值不等式） X 2y 8 1X 16y( )(X 2y) 10 - X yy X18,解法当且仅当 X y 即X 12,y3 时“:=”号成立,X 16yy X8 1 X（消兀法） 1得 y 由y 0X yX 82X2(X 8] 16 c 16 , c 、 16 X XX 2 (X 8)X 8 X 8X 8 X 88 1 1故此函数最小值是 X 2y10 2 (X — 0 又 X 0 X 81&X 8，则即(xy)2 当且仅当当且仅当X 解法二：由则:则：xy当且仅当0,y2 xy3 0 解得xyy 且xy X y 3 即 X X xy (—2y 且xy X0 , xy，由y 3时取“=”号，故xy 的取值围是［9, y )2 (X y)24(X y) 12 0 X3时取“=”号，故X (X 1)yy2(舍)或xy 的取值围是［6, 8) ；68 10 1& X 2 3X X 1G (X(X 1)2 5(X1) 4(X 1)4(X 1)X 10)即X3，并求得3时取“=”号，故xy 的取值围是 [9,(X 1)X 4141 (X 1)「1 2)06 ,)09 ,)02 6,当且仅当x 1 —(x 0)即x 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值围是［9,)。
x 1 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。
四、均值不等式易错例析： 9当且仅当2x 2x，即 36 x —岀时等号成立，所以当 x2ymin3 36。
x 4 x 9例1.求函数y ------------------------- -- 的最值。
x例3.x 25 x 2 4(xR)的最小值。
错解：y 2x 13x36 —36 一 c ■'36“13 x13 2、x25xxV x6时，y 的最小值为 错解:当且仅当x36即x6时取等号。
所以当 x 25,此函数没有最大值。
分析: 忽视了取最小值时须x 2分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。
所以y min 2x 4 x 9因为函数y 的定义域为，所以须对x 的正负加以分类讨论。
正解: 1)当x 0时,y 13 36 13 厂I 2. x 36 25 当且仅当x 6时取等号。
所以当 6 时，y min 25成立的条件, 4而此式化解得x 23，无解，所2)当x时,x c 36门 0， 0，xx36y 13 [(x)( )]13 12 136 x当且仅当x即x 6时取等号, 所以当x 92的最小值。
例2. 当x 0时，求y 4xx错解： 因为x 0，y4x 9 …9 2 24x 26 ■- xxx36分析: 所以当且仅当4x39时,.46y min—<x 6时,2318 。
36 x12xy max 13 12 1.用均值不等式求“和”或“积”9而上述解法中4x 与二x的最值时, 必须分别满足 “积为定值” 或“和为定值”，的积不是定值，导致错误。
正解：因为x 0，y 4x 2x 2x39 32x 2x2\x33 36以原函数y 取不到最小值2。
一21正解：令 t . x 4 t 2，则 y t - (t 2)15又因为t 1时，y t ［是递增的。
所以当t 2，即x 0时，y min1 4例4.已知x, y R 且 1，求u x y 的最小值.x y错解:u x y 2 xy 8, u 的最小值为8.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为 正解：u (x y)(」—) 5经 丿5 49x y yx时成立，故取不到最小值 8.--和x y ，而这两个式子不能同x y4x当且仅当竺即x 3, y 6时等号成立.u 的最小值为9y x综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式 子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
技巧一：凑项例1 :已知 x 5，求函数y 4x 21的最大值。
44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又(4x 2)g1§不是常数，所以对 4x 2要进行拆、凑项, 当且仅当5 4x 5,5 4x 0， y 4x 2 41 ，即x 1时，上式等号成立，故当5 4x154x 5X 1 时，y max技巧二：凑系数 例2.当时，求y x(8 2x)的最大值。
解析：由 「•二知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到 2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。
A = ^(8-2X )气［2工•(E - 2巾 < 女骚亠:一吟-8 当二 —，即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。
技巧三：分离 2x 27x 10 例3.求y (x 1)的值域。
x 1 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1 )的项，再将其分离。
—+ 5)，牛上+心季+屮=(小)X + 1 9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。