利用基本不等式求最值的类型及方法

利用基本不等式求最值的类型及方法

一、几个重要的基本不等式：

①，、)(2

22

22

2

R b a b

a a

b ab b a ∈+≤

⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)(333

3+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：b

a 112

+2a b

+≤≤≤

2

2

2b a +。 二、函数()(0)b

f x ax a b x

=+

>、图象及性质 (1)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+

=b a x

b

ax x f 、性质：

①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；

②单调递增区间：(,-∞

，)+∞

；单调递减区间：(0,

，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2

1

(1)2(1)

y x x x =+

>-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+

>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)

x x x x --=+++>-

1≥312≥+52=， 当且仅当

211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5

2

。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

①23

(32)(0)2

y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<

解析：①

30,3202

x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3

(32)[]13

x x x ++-≤=，

当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②

0,sin 0,cos 02

x x x π

<<

>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。

2

4

2

sin cos y x x =⋅2

2

2

sin sin cos x x x =⋅⋅222

1(sin sin 2cos )2

x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,

当且仅当22

sin 2cos x

x =(0)2

x π

<

<

tan x ⇒=x arc

= “=”号成立，故

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要

通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +

∈R ，求4

()f x x x

=+

)10(≤

f x ax a b x

=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数

4

()f x x x

=+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则

12121244

()()()()f x f x x x x x -=-+-211212

()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅，

∵1201x x <<≤，∴121212

4

0,

0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>， 即4()f x x x =+

在(0,1]上是减函数。故当1x =时，4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4

()f x x x =

+

24=+， 易知当01x <≤

时，0μ=

且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+

在(0,1]上是减函数，当1x =时，4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（拆分法）4

()f x x x

=+

)10(≤

+31≥5=，

当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足

81

1x y

+=，求2x y +的最小值。 解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x

y

y x =++=+

+1018≥+=, 当且仅当811

16x y x y y

x ⎧+=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法二：（消元法）由811x y +=得8x y x =-，由00088

x

y x x x >⇒>>⇒>-又，则

2x y +22(8)161616

2(8)108888

x x x x x x x x x x -+=+

=+=++=-++---

-1018≥=。 当且仅当16

88

x x -=

-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨

⎪=

⎪⎩ 则：22

82

2sin cos x y x x

+=

+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++

10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：

812()(2)8x y x y x y +=++≥=。原因就是等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 解法一：由0,0x y >>，则3xy x y =+

+3xy x y ⇒-=+≥，

即2

30-≥

13≤-≥(舍)，

当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2

3(

)2

x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞。

解法二：由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠，

则：31x y x +=

-，由3

0011

x y x x +>⇒

>⇒>-， 则：2233(1)5(1)44

(1)51111

x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++---

-59≥=， 当且仅当4

1(0)31

x x x x -=

>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+

=+=++=-++≥=----，