利用基本不等式求最值的技巧
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式应用一：直接应用求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋解：（1）y ＝3x 2＋≥2)＝∴值域为[，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋≥2)＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋=－（－x －）≤－2)=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 二：凑项例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
变式12,33y x x x =+>- 三：凑系数例3.当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=3,03x 时等号成立。
变式2：已知x ，y 为正实数，且x 2＋＝1，求x 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。
（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。
1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。
解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
利用基本不等式求最值的技巧_题型分析
利用基本不等式求最值的技巧一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
利用基本不等式求最值高一
利用基本不等式求最值的技巧注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数 例２. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。
变式已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. 例：求函数2y =练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =的最大值.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
一.基本不等式注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” . （2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值、应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域基本不等式应用1解：(1) y = 3x 2 + 21^ 1X = - 2例1 ：已知x 4，求函数y4x 2 —1—的最大值。
4x 5解：因4x 5 0 ,所以首先要 “调整”符号，又（4x 」不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, Qx 544x 0, y4x 21---- 54x 52)g4x 54x 32 3 15 4x11一，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数当且仅当5 4x上式等号成立, 故当x 1时，y max 1。
1. (1)若 a,b R ，则 a 1 2b 2 *2ab (2)若a,bR ，则 ab 2. (1)若 a,b R *，则2Jab ⑵若a,b R ，则 a b2 .2a —L （当且仅当a22J OE （当且仅当ab 时取“二”） b 时取“=”)⑶若a,b R ,则ab（当且仅当a b 时取“=”)3.若x 0，则x— 2 （当且仅当x 1时取“=”x若x 0，则 x 1 1 1 2 即 X — 2 或 X - -2 (x x X 3.若 ab 0，则 a b .2 （当且仅当a b 时取b a1时取“=”)若ab 0,则- b-2（当且仅当a b 时取“=”）4.若 a,b2 .2a—L (当且仅当 2b 时取“=”)比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.(1) y = 3x 2+ 女1(2) y = x + x“=”)当且仅当a b 时取“=”）2例1.当Dux 4时，求y x(8 2x)的最大值。
解析：由0 < J <4知，S- 2工> 0|,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
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基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,459y t t≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： ba33和都是正数，ba33+≥632332==⋅+b a b a当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，ba 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19xy+≥条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为12， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5 变式: 求函数15()22y x <<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y = 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。