用基本不等式求最值六种方法
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是解决最值问题的一个重要工具。
它可以将一个复杂的问题简化为一个简单的不等式，从而帮助我们找到最值。
在本篇文章中，我将分享一些利用基本不等式求最值的技巧。
首先，我们回顾一下基本不等式的定义。
对于任意的正实数a和b，有以下两个基本不等式：1. 算术平均数与几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意的正实数a和b，有a+b/2≥√(ab)。
这个不等式可以表示为(a+b)/2≥√(ab)。
当且仅当a=b时，等号成立。
2.平方平均数与算术平均数不等式（QM-AM不等式）：对于任意的正实数a和b，有√(a²+b²)/2≥(a+b)/2、这个不等式可以简化为√(a²+b²)≥(a+b)/2、当且仅当a=b时，等号成立。
现在，让我们来看一些具体的例子，以说明如何利用基本不等式求最值。
例子1：求证x³+y³+z³≥3xyz，其中x、y和z是正实数。
解：根据AM-GM不等式，我们有x³/3+y³/3+z³/3≥√(x³y³z³)。
将等式两边乘以3，得到x³+y³+z³≥3√(x³y³z³)。
由于x、y和z是正实数，所以xyz>0，可以得到√(x³y³z³)≥xyz。
因此，我们有x³+y³+z³≥3xyz。
例子2：已知x+y+z=1，求证xy+yz+zx≤1/3解：根据AM-GM不等式，我们有x+y/2≥√(xy)和y+z/2≥√(yz)。
将这两个不等式相加，得到x+y/2+y+z/2≥√(xy)+√(yz)。
根据算术平均数与几何平均数不等式，有(x+y/2+y+z/2)/2≥(√(xy)+√(yz))/2根据已知条件x+y+z=1，对等式两边进行化简，可以得到(x+y/2+y+z/2)/2=(x+y+z)/2=1/2因此，我们有1/2≥(√(xy)+√(yz))/2将不等式两边乘以2，得到1≥√(xy)+√(yz)。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式(完整版)
2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时 等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（ ） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x） 等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则 故选：C．
＝2，不符合题意； ＝ ，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝ 时取
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法不等式是数学中常见的一类关系式，在数学建模、优化问题以及概率论等各个领域都有广泛的应用。
为了解决不等式问题，我们需要找到基本不等式的最值。
下面我将为大家详细介绍基本不等式的最值求法。
首先，我们来回顾一下基本不等式的概念。
基本不等式是指那些不能再被简化或扩展的不等式，通常包括线性不等式、二次不等式、指数不等式和对数不等式等。
这些不等式的最值是指不等式的左边和右边可以取到的最小值和最大值。
对于线性不等式，最值求法相对简单。
我们可以通过图像法、代数法和数值法来求解。
图像法就是将不等式转化为几何问题，在坐标系中直观地看出不等式的解集；代数法则是通过变量的代数运算和推理来解决不等式问题；数值法是通过尝试不同的数值，找到满足不等式的最小值和最大值。
对于二次不等式，最值求法相对复杂一些。
一般情况下，我们需要先将不等式化为标准形式，即把不等式中的一切项都移到一个侧，并将不等号移到另一侧。
然后我们可以通过求导法、配方法、分析法和图像法来解决问题。
求导法是一种常见的方法，通过对不等式两边求导得到零点，进而判断最值点的位置；配方法则是将不等式化为完全平方的形式，从而方便求解；分析法则是通过观察不等式的特点，找到最值点的位置；图像法则是将二次不等式转化为几何问题，在坐标系中找出最值点的位置。
对于指数不等式和对数不等式，最值求法也是比较复杂的。
对于指数不等式，我们需要首先利用指数函数的性质，将指数不等式转化为对应的算术不等式，然后再使用线性不等式和二次不等式的求解方法。
对于对数不等式，我们同样需要利用对数函数的性质，将对数不等式转化为对应的算术不等式，然后再使用线性不等式和二次不等式的求解方法。
综上所述，基本不等式的最值求法可以通过图像法、代数法、数值法、求导法、配方法、分析法和图像法来解决。
在求解过程中，我们需要具备扎实的数学基础，熟悉各种求解方法，特别是对不等式的性质和转换有较深入的理解。
通过反复实践和练习，我们可以不断提高对基本不等式最值的求解能力，解决更为复杂的不等式问题，为数学建模和优化问题等领域提供更有效的解决办法。
用基本不等式求最值的常见类型及解题方法
用基本不等式求最值的类型及方法均值不等式是不等式一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重要知识点;要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题;一、几个重要的均值不等式 ①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤222b a +; 二、函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 1函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如图：2函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞,)+∞；单调递减区间：,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值;例1、 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值;练习 1231,(0)x x y x x ++=> 212,33y x x x =+>- 312sin ,(0,)sin y x x x π=+∈类型Ⅱ：求几个正数积的最大值;例2、 当时,求(82)y x x =-的最大值;练习 ①23(32)(0)2y x x x =-<<类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立;例3、若x 、y +∈R ,求4()f x x x =+)10(≤<x 的最小值;类型Ⅳ：条件最值问题;例4、已知正数x 、y 满足811x y+=,求2x y +的最小值;类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题;例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++,试求xy 、x y +的范围;类型 条件求最值例6、若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是练习1、若44log log 2x y +=,求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 2、已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值;四、均值不等式易错例析：例1. 求函数()()y x x x =++49的最值;例2. 当x >0时,求y x x =+492的最小值;例3. 求y x x x R =++∈2254()的最小值;例4.已知+∈R y x ,且141=+yx ,求y x u +=的最小值.综上所述,应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值;。
基本不等式中常见的方法求最值
基本不等式中常见的方法求最值基本不等式是数学中常用的不等式形式，它可以解决两个或多个变量之间的大小关系问题。
在实际问题中，求最值是一类常见的问题，可以通过基本不等式的方法来解决。
下面将介绍一些常见的方法用于求解最值的基本不等式。
一、最值问题的数学建模在解决最值问题之前，首先需要进行数学建模。
数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，通常包括确定问题的目标函数和约束条件。
在求解最值问题中，目标函数表示要求解的最值，约束条件是指限制该函数取值范围的条件。
例如，求解一个函数在给定范围内的最大值，可以将问题建模为求解一个目标函数在一组特定约束条件下的最大值。
二、最值问题的基本不等式方法在实际问题中，一般使用不等式约束来限制变量的取值范围。
下面将介绍几种常用的基本不等式方法来求解最值问题。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）算术平均-几何平均不等式是一种常见的不等式方法，用于求解多个正实数的不等式关系。
它可以将多个正实数的乘积限制在一些范围内，并且表明乘积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an为n个正实数，那么AM-GM不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解向量内积的不等式关系。
它可以将两个向量的内积限制在一些范围内，并且表明内积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为n个实数，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值六种方法一．配项求 $\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq 8$。
当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二．配系数求 $y=x^4-3x$ 的最大值。
解析：$y=\frac{1}{2}(3x^4-3x)\leq \frac{1}{2}\cdot 2=1$。
当 $x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ 时，即 $y=1$ 时等号成立。
三．重复使用不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值，已知 $a>b>0$。
解析：$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2=2ab$。
再用$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2$，得 $a^2+b^2\geq 2ab+(a-b)^2$。
当 $a-b=b$ 时，即 $a=2b$ 时等号成立，此时$a^2+b^2=5b^2$。
四．平方升次求 $y=x+4-x^2$ 的最大值，当 $x>0$ 时。
解析：$y^2=x^2+2x(4-x^2)+(4-x^2)^2=8-2x^4+6x^2\leq8+(x^2+(4-x^2)^2)=16$。
当 $x=2$ 时，即 $y=4$ 时等号成立。
五．待定系数法求 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2 x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)\leq 2\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^2 x+2\cos^2 x)}=2\sqrt{\sin^2x+2\cos^2 x}$。
当 $\sin^2 x=2\cos^2 x$ 时，即 $\tan^2 x=2$，即 $x=\frac{\pi}{8}$ 时取得最大值 $\sqrt{6}$。
六．常值代换已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。
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用基本不等式求最值六种方法一．配项
例1：设x>2,求函数y=x+9
2
x-
的最小值
解析：y=x-2+
9
2
x-
+2≥8 当x-2=
9
2
x-
时，即x=5时等号成立
例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值
法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时
等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3
二．配系数
例3:设0<x<1,求
解析：
当
三．重复使用不等式
例4：已知a>b>0，求2a+16
()
a b b
-
的最小值
解析：2a+16
()
a b b
-=2
a b b
-+
（）+16
()
a b b
-
≥4(a-b)b+16
()
a b b
-
≥
当时，等号成立。
四．平方升次
例5：当x>0时，求函数的最大值。
解析：y2=x2+4-x2≤4+［x2)2］
=8 当，即时，y取得最大值.
五．待定系数法
例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
解析：y=2sin 2x+2sinxcosx
=2 sin 2x+
2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a
+ =a+22(21)sin a a x
a
+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,
所以y 时成立。
六． 常值代换 例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值
解析：1x +1y =13(x+2y)( 1x +1y )=1+13(
2y x +x y )≥1+23
当且仅当2y x =x y ，且x+2y=3，即-1),y=32)时，
取得最小值为1+23。