2020年高考数学(文科)一轮复习 第47讲直线与圆 圆与圆的位置关系
2020高考数学一轮复习课时规范练47直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版
课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=-和圆2+y2-4+2y-20=0的位置是()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相离D.相切2.( 2018陕西西安八校联考,3)若过点A(3,0)的直线l与曲线(-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.(-)B.C.-D.3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l;y=-a+a是圆C;(-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4B.6C. D.24.已知圆M;2+y2-2ay=0(a>0)截直线+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N;(-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d 的最大值为()A.1B.2C.3D.46.已知圆C;2+y2-2+4y=0关于直线3-ay-11=0对称,则圆C中以,-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-+m与圆2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.1,8.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆;(-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.9.设直线y=+2a与圆C;2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.(2018湖南长郡中学一模,14)若过点(1,1)的直线与圆2+y2-6-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.综合提升组11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆2+y2+4-6y+4=0相外切,则圆C的方程为()A.2+y2+4+2=0B.2+y2-4+2=0C.2+y2+4=0D.2+y2-4=012.(2018湖南衡阳一模,12)若对圆2+y2=1上任意一点P(,y),|3-4y+a|+|3-4y-9|的取值与,y无关,则实数a 的取值范围是()A.a≤-5B.-5≤a≤5C.a≤-5或a≥5D.a≥513.已知圆C;2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O;2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥轴,垂足为B点,AB中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件;圆心C位于轴正半轴上,与直线3-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.已知圆O;2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明;|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.参考答案课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A2+y2-4+2y-20=0可化简为(-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.将(2,-1)代入y=-中,3×2-4×(-1)-10=0,满足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.故选A.2.D设直线l的方程为y=(-3),代入圆的方程中,整理得(2+1)2-(62+2)+92=0,则Δ=4(1-32)≥0,解得-≤≤,故选D.3.B∵直线l;y=-a+a是圆C;(-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-a+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.B圆M的方程可化为2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线+y=0的距离d==a.所以直线+y=0被圆M所截弦长为2=2=a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|==,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.C设P(,y),则2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+.当m=0时,d ma=3.6.D∵圆C;2+y2-2+4y=0关于直线3-ay-11=0对称,∴直线3-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴,-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,圆C;2+y2-2+4y=0的半径r==,∴圆C中以,-为中点的弦长为2=2=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8. 设P(,y),则2+y2=(-3)2+(y-4)2-1,即3+4y=12,所以点P的运动轨迹是直线3+4y=12,所以d min=,则|PQ|min==.9.4π圆C的方程可化为2+(y-a)2=2+a2,直线方程为-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4圆2+y2-6-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r==3,点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d==,所以|AB|的最小值|AB|min=2=2=4.11.D圆2+y2+4-6y+4=0,即(+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知,圆心距为=5=3+r.所以r=2,圆C的方程为(-2)2+y2=4,即2+y2-4=0.故选D.12.D由2+y2=1可知-5≤3-4y≤5,令3-4y=t,则|t+a|+|t-9|的取值与,y无关,需-a≤t≤9,∴[-5,5]⫋[-a,9],所以a≥5.13.2+3y-4=0以O(0,0),A(2, 3)为直径端点的圆的方程为(-2)+y(y-3)=0,即2+y2-2-3y=0,与圆C;2+y2=4相减得2+3y-4=0,故直线PQ的方程为2+3y-4=0.14.解 (1)设P(,y),则A(,2y).将A(,2y)代入2+y2=4得点P的轨迹E的方程为+y2=1(y≠0).(2)由题意可设直线l方程为=my-,由得(m2+4)y2-2my-1=0.所以所以|AB|=|y1-y2|===2.所以m=±.当m=时,中点纵坐标y 0==,代入=my-1得中点横坐标0=-,斜率为=-.故线段MN 的垂直平分线方程为2+y+=0.当m=-时,同理可得MN 的垂直平分线方程为2-y+=0.所以线段MN 的垂直平分线方程为2+y+=0或2-y+=0.15.解 (1)设圆C ;(-a )2+y 2=r 2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr 2<13,∴a=1,∴圆C 的标准方程为(-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时,直线l 为=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l ;y=+3,A (1,y 1),B (2,y 2),又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得消去y 得(1+2)2+(6-2)+6=0.∴Δ=(6-2)2-24(1+2)=122-24-20>0,解得<1-或>1+.1+2=-,y 1+y 2=(1+2)+6=,=+=(1+2,y 1+y 2),=(1,-3),假设∥,则-3(1+2)=y 1+y 2,解得=∉-∞,1-∪1+,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.解 (1)证明;设AP 的中点为E ,切点为F ,连接OE ,EF (图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.∴点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C 2的方程是+y 2=1.(2)设直线DM 的方程为=my-2(m ≠0).∵MN 为圆O 的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN 的方程为=-y-2,由得(1+m 2)y 2-4my=0,∴y M =,由得(4+m 2)y 2-4my=0,∴y S =,∴=,∴=.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又∵△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴=·=·.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴=4-1+∈4,.。
2020版高考数学一轮复习课时规范练47直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版
课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=x-和圆x2+y2-4x+2y-20=0的位置是()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相离D.相切2.( 2018陕西西安八校联考,3)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.(-)B.C.-D.3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A 作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4B.6C. D.24.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.46.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以,-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.1,8.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.(2018湖南长郡中学一模,14)若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.综合提升组11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则圆C的方程为()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=012.(2018湖南衡阳一模,12)若对圆x2+y2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y 无关,则实数a的取值范围是()A.a≤-5B.-5≤a≤5C.a≤-5或a≥5D.a≥513.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B点,AB 中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.已知圆O:x2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明:|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.参考答案课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A x2+y2-4x+2y-20=0可化简为(x-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.将(2,-1)代入y=x-中,3×2-4×(-1)-10=0,满足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.故选A.2.D设直线l的方程为y=k(x-3),代入圆的方程中,整理得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,则Δ=4(1-3k2)≥0,解得-≤k≤,故选D.3.B∵直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-ax+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=x-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d==a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2=a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|==,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.C设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+.当m=0时,d max=3.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴,-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r==,∴圆C中以,-为中点的弦长为2=2=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8. 设P(x,y),则x2+y2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,所以点P的运动轨迹是直线3x+4y=12,所以d min=,则|PQ|min==.9.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r==3,点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d==,所以|AB|的最小值|AB|min=2=2=4.11.D圆x2+y2+4x-6y+4=0,即(x+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知,圆心距为=5=3+r.所以r=2,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.故选D.12.D由x2+y2=1可知-5≤3x-4y≤5,令3x-4y=t,则|t+a|+|t-9|的取值与x,y无关,需-a≤t≤9,∴[-5,5]⫋[-a,9],所以a≥5.13.2x+3y-4=0以O(0,0),A(2, 3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)设P(x,y),则A(x,2y).将A(x,2y)代入x2+y2=4得点P的轨迹E的方程为+y2=1(y≠0).(2)由题意可设直线l方程为x=my-,由得(m2+4)y2-2my-1=0.所以所以|AB|=|y1-y2|===2.所以m=±.当m=时,中点纵坐标y0==,代入x=my-1得中点横坐标x0=-,斜率为k=-.故线段MN的垂直平分线方程为2x+y+=0.当m=-时,同理可得MN的垂直平分线方程为2x-y+=0.所以线段MN的垂直平分线方程为2x+y+=0或2x-y+=0.15.解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=+=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设∥,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=∉-∞,1-∪1+,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.解 (1)证明:设AP的中点为E,切点为F,连接OE,EF(图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.∴点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C2的方程是+y2=1.(2)设直线DM的方程为x=my-2(m≠0).∵MN为圆O的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN的方程为x=-y-2,由得(1+m2)y2-4my=0,∴y M=,由得(4+m2)y2-4my=0,∴y S=,∴=,∴=.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又∵△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴=·=·.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴=4-1+∈4,.。
第9章 第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第九章 解析几何
3. 求有关弦长问题的两种方法：
(1) 几何法：直线被圆截得的半弦长2l ，弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形， 即 r2＝_____2l_2_＋__d_2___；
(2) 代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x 的一元二次方程，由 根与系数的关系即可求得弦长 AB＝____1_＋__k_2|_x_1－__x_2_| __＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2或 AB＝_____1_＋__k1_2_|y_1_－__y2_|_＝ 1＋k12· y1＋y22－4y1y2.
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第九章 解析几何
第九章 解析几何 第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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第九章 解析几何
设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：y－5＝kx，即 kx－y＋5＝0.由点 C 到直线 AB 的距离 d＝|－2kk－2＋6＋1 5|＝2，得 k＝34，此时直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝ 0.
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第九章 解析几何
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1. (必修 2P128 第 4 题改编)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则
实数 a 的取值范围是( C )
高考数学复习考点知识专题讲解课件44---直线与圆、圆与圆的位置关系
相交 相切 相离
； ； .
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2．圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
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方法
位置
几何法：圆心距 d 与 r1，r2 代数法：联立两圆方程组
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跟踪训练 1 (1)(2020·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆 x2＋y2 －2x＋2y－7＝0 的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
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解析：方法一 x2＋y2－2x＋2y－7＝0 化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9， 故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝3，圆心到直线的距离 d＝|a＋a1＋－12a＋－a1－＋122a|＝ |22aa＋2＋2|2.再根据 r2－d2＝9－4a22＋a28＋a＋ 2 4＝7a2a－2＋4a1＋7.而 7a2－4a＋7＝0 的判别式 Δ＝16－196＝－180＜0，故有 r2＞d2，即 d＜r，故直线与圆相交．
(3)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (4)过圆 O：x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O， P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
的关系
成方程组的解的情况
2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆、圆与圆的位置关系含解析
教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆、圆与圆的地点关系含分析编辑： __________________时间： __________________第 4节直线与圆、圆与圆的地点关系最新考纲中心修养考情聚焦本部分作为 2020年高考的1.直线与圆的地点关系判断要点内容、主要波及直线1.能依据给定直线、圆的方与圆的地点关系、弦长问、完成数学建模和数学抽象程判断直线与圆的地点关系题、最值问题等．常与椭的修养．；能依据给定两个圆的方程圆、双曲线、抛物线交汇2.直线与圆订交、相切问题判断两圆的地点关系．考察、有时也与对称性等的研究、加强数学抽象、逻2.能用直线和圆的方程解决性质联合考察．题型以选辑推理和数学运算的修养．一些简单的问题．择题、填空题为主、有时3.圆与圆的地点关系的判断3.初步认识用代数方法办理也以解答题形式出现、一、加强数学抽象、逻辑推理几何问题的思想般难度不会太大、属中低和数学运算的修养档题型、解答时要正确利用图形及性质、合理转变1．直线与圆的地点关系设圆 C： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r 2、直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0、圆心 C( a、 b)到直线 l的距离为 d、x－ a 2＋ y－ b 2＝ r 2，消去 y(或x)、获得对于 x( 或y) 的一元二次方程、其鉴别式为.由Ax＋By＋ C＝ 02.圆与圆的地点关系设两个圆的半径分别为R、 r 、 R＞ r、圆心距为 d、则两圆的地点关系可用下表来表示：方法地点关系几何法代数法订交d<r>0相切d＝ r＝0相离d>r<0地点关系相离外切订交内切内含几何特点d＞ R d＝ R＋ R－ r ＜ dd＝ R－ rd＜R ＋ r r＜ R＋ r－ r代数特点无实一组实两组实一组实无实数解数解数解数解数解公切线条43210数1.直线被圆截得弦长的求法(1)几何法：利用弦心距 d、弦长一半1 2l及圆的半径 r所构成的直角三角形来求、即12. r 2＝d2＋ l2(2)代数法：利用根与系数的关系来求、即|AB|＝1＋ k2·|x A－ x B|＝2A B 2－ 4xA B1＋ k[ x＋ x x ].2．两圆订交时公共弦的方程设圆 C1： x2＋ y2＋ D1x＋ E1y＋ F1＝ 0、①圆C2： x2＋ y2＋ D2 x＋E2y＋ F 2＝ 0、②若两圆订交、则有一条公共弦、其公共弦所在直线方程由①－②所得、即： (D 1－ D2) x＋ ( E1－ E2)y＋ (F1－ F2 )＝ 0.3．两圆不一样的地点关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时、有4条公切线；(2)两圆外切时、有3条公切线；(3)两圆订交时、有2条公切线；(4)两圆内切时、有1条公切线；(5)两圆内含时、没有公切线．[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”．(1)“ k＝ 1”是“直线 x－ y＋ k＝ 0与圆 x2＋ y2＝ 1订交”的必需不充足条件．()(2)假如两个圆的方程构成的方程组只有一组实数解、则两圆外切．()(3)假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和、则两圆订交．()(4)从两订交圆的方程中消掉二次项后获得的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(5)过圆 O： x2＋ y2＝ r2上一点 P(x0、y0)的圆的切线方程是 x0x＋ y0y＝ r2.()(6)圆 C1：x2＋y2＋2x＋ 2y－ 2＝ 0与圆 C2： x2＋ y2－ 4x－ 2y＋1＝ 0的公切线有且仅有2条． ( )分析： (1) “ k＝ 1”是“直线 x－ y＋ k＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 1 订交”的充足不用要条件．(2)除外切外、还有可能内切．(3)两圆还可能内切或内含．答案： (1) × (2)× (3)× (4) √ (5)√(6)√[小题检验 ]1．(20xx ××·市调研 )若直线 x－y＋ 1＝ 0与圆 (x－ a)2＋ y2＝ 2有公共点、则实数 a的取值范围是 () A．[－ 3、－ 1]B． [－ 1,3]C． [－ 3,1]D． (－∞、－ 3]∪ [1、＋∞ )分析： C [ 由题意可得、圆的圆心为(a,0)、半径为2、∴|a－0＋1|≤ 2、即 |a＋ 1|≤ 2、解得－ 3≤ a≤1.] 12＋－1 22．一条光芒从点(－ 2、－ 3)射出、经 y轴反射后与圆(x＋ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 1相切、则反射光线所在直线的斜率为()A ．－5或－ 3B．－3或－23523C．－5或－ 4D．－4或－ 34534分析： D[ ∵ A(－ 2、－ 3)对于 y 轴的对称点 A′ (2、－ 3)在反射光芒上、圆心 (－ 3,2)．设反射光芒的斜率为k、则其方程为y＋ 3＝k(x－2)、即 kx－y－2k－ 3＝ 0、∵d＝|－3k－2－2k－3|、由 d＝ r、得 k＝－4或 k＝－3.] 34k2＋13．圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋ y2－4x－ 2y＋ 1＝0的公切线有且仅有 () A．1条B． 2条C． 3条D． 4条分析： B[ ⊙ C1： (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 4、圆心 C1(－ 1、－ 1)、半径 r1＝ 2.⊙ C2： (x－ 2)2＋ ( y－ 1)2＝ 4、圆心C2(2,1)、半径r 2＝ 2.∴ |C1C2|＝13、∴ |r 1－ r 2|＝ 0 ＜|C C|＜ r ＋ r ＝ 4、∴两圆订交、有两条公切线．]12124．(人教A版教材必修2P133A组第9题改编 )圆 x2＋ y2－ 4＝ 0与圆 x2＋ y2－ 4x＋ 4y－ 12＝0的公共弦所在的直线方程为_________________ _____．x2＋ y2－ 4＝ 0，分析：由得4x－4y＋8＝0、即x－y＋2＝0.x2＋ y2－ 4x＋ 4y－ 12＝ 0答案： x－ y＋ 2＝ 05．(20xx ·高考全国卷Ⅰ)直线 y＝ x＋ 1与圆 x2＋ y2＋ 2y－3＝ 0交于 A、 B两点、则 |AB|＝________.分析：圆的方程可化为x2＋ (y＋ 1)2＝ 4、∴圆心为 (0、－ 1)、半径 r＝ 2、圆心到直线x－y4/132＋ 1＝ 0 的距离 d＝＝2、∴ |AB |＝ 2 22－ d2＝ 2 4－2＝ 2 2.答案：22考点一直线与圆的地点关系(自主练透 )[ 题组集训 ]1．(20xx ·豫南九校联考 )直线 l： mx－ y＋ 1－m＝0与圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 5的地点关系是()A ．订交B．相切C．相离D．不确立mx－ y＋ 1－ m＝ 0，分析： A [ 法一：由消去 y、整理得 (1＋m2)x2－ 2m2x＋m2－ 5＝0、x2＋ y－1 2＝ 5，则＝4m4－ 4(1＋m2)( m2－ 5)＝ 16m2＋ 20>0、因此直线l 与圆 C 订交．应选 A.法二：因为圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝|m|<1< 5、故直线 l 与圆订交、选 A. m2＋ 1法三：直线 l： mx－ y＋ 1－ m＝0 过定点 (1,1)、因为点 (1,1)在圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 5 的内部、因此直线 l 与圆 C 订交．应选 A.]2．“ a＝ 3”是“直线 y＝ x＋ 4与圆 ( x－a)2＋ (y－ 3)2＝8相切”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析： A[ 若直线 y＝ x＋4 与圆 (x－ a)2＋ (y－ 3)2＝8相切、则有|a－3＋4|＝ 2 2、即 |a＋ 1| 2＝ 4、因此 a＝ 3 或－ 5.但当 a＝ 3 时、直线 y＝ x＋ 4 与圆 (x－ a)2＋ (x－ 3)2＝ 8必定相切、故“a＝ 3”是“ 直线 y＝x＋ 4 与圆 (x－ a)2＋ (y－ 3)2＝ 8 相切”的充足不用要条件．] 3．圆 x2＋ y2＝ 1与直线 y＝ kx＋ 2没有公共点的充要条件是________________________________________________________________________ ．分析：法一：将直线方程代入圆方程、得(k2＋ 1)x2＋ 4kx＋ 3＝ 0、直线与圆没有公共点的充要条件是＝ 16k2－ 12(k2＋ 1)＜ 0、解得－3＜ k＜ 3.法二：圆心 (0,0)到直线 y＝ kx＋ 2 的距离 d＝2、直线与圆没有公共点的充要条件是k2＋ 1d＞ 1、即2＞ 1、解得－ 3＜ k＜ 3.k2＋ 1答案：－3＜ k＜3判断直线与圆的地点关系时、若双方程已知或圆心到直线的距离易表达、则用几何法；若方程中含有参数、或圆心到直线的距离的表达较繁琐、则用代数法．能用几何法、尽量不用代数法．考点二直线与圆订交、相切问题(多维研究 )[命题角度1]求弦长或由弦长求直线(圆) 的方程1．(经典高考 )过三点 A(1,3)、 B(4,2)、 C(1、－ 7) 的圆交 y轴于 M、 N两点、则 |MN|＝ () A．2 6B．8C．4 6D． 10分析： C [ 设圆的方程为x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0、将点 A、 B、 C代入、D ＋3E＋ F＋ 10＝ 0， D ＝－ 2，得 4D＋ 2E＋ F＋ 20＝ 0，解得E＝ 4，D － 7E＋ F＋ 50＝ 0，F＝－ 20.则圆的方程为 x2＋y2－2x＋ 4y－ 20＝ 0.令x＝0、得 y2＋ 4y－ 20＝ 0、设 M(0、 y1) 、N(0、 y2)、则y1、 y2是方程 y2＋ 4y－ 20＝ 0的两根、由根与系数的关系、得 y1＋ y2＝－ 4、 y1y2＝－ 20、故|MN |＝ |y1－ y2 |＝y1＋ y22－ 4y1y2＝16＋80＝ 4 6.应选 C.]弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组、消元后获得一个一元二次方程．在鉴别式＞ 0 的前提下、利用根与系数的关系、依据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d、圆的半径长为r、则弦长l ＝ 2r2－ d2.[提示 ]代数法计算量较大、我们一般采纳几何法．[命题角度2]由弦长求参数取值(范围 )2．(20xx ·××市一模 )已知直线 x－ y＋m＝ 0与圆 x2＋ y2＝ 4交于不一样的两点A、 B、 O是坐标原点．若圆周上存在一点 C、使得△ ABC为等边三角形、则实数m的值为 ________．分析：依据题意画出图形、连结OA、 OB、作 OD 垂直于 AB 于 D 点．因为△ ABC 为等边三角形、因此∠AOB ＝ 120°.由余弦定理得 |AB |＝2 3、∴|BD |＝ 3、 |OD |＝ 1、∴O(0,0)到直线 AB 的距离|m|＝ 1、解得 m＝± 2.2答案：±2解决与弦长相关参数或取值范围问题、一般是找到与弦长公式l ＝ 2 r2－ d2相关的方程或不等式、解方程或不等式即可．[命题角度3] 求切线方程 ( 切线长 )3．已知点 A(1、 a)、圆 x2＋ y2＝ 4.若过点 A的圆的切线只有一条、则切线方程为_________ _____________ ．分析：因为过点 A 的圆的切线只有一条、则点 A 在圆上、故12＋ a2＝ 4、∴ a＝± 3.当 a＝ 3时、 A(1、3)、切线方程为x＋ 3y－ 4＝ 0；当 a＝－3时、 A(1、－ 3)、切线方程为 x－3y－ 4＝0、答案： x＋3y－ 4＝0或 x－3y－ 4＝ 04．(20xx ××·市模拟)已知直线 l： mx＋ y－ 1＝ 0(m∈R )是圆 C： x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋ 1＝ 0的对称轴、过点A(－ 2、 m)作圆 C的一条切线、切点为B、则 | AB|为 ()A ． 4B．2 5C．4 2D． 3解析：A[∵圆 C： x2＋y2－4x＋ 2y＋ 1＝0、即 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4、表示以 C(2、－ 1)为圆心、半径等于2的圆．由题意可得、直线l ：mx＋ y－ 1＝ 0经过圆 C 的圆心 (2、－ 1)、故有 2m－ 1－ 1＝ 0、∴ m＝ 1、点 A(－2,1)．∵AC ＝20、 CB＝ R＝ 2、∴切线的长 |AB|＝ 20－ 4＝ 4.应选 A.]1．求过一点的圆的切线方程时、第一要判断此点与圆的地点关系、若点在圆内、无解；若点在圆上、有一解、利用点斜式直接求解；若点在圆外、有两解．设切线的点斜式方程、用待定系数法求解、注意、需考虑无斜率的状况．2．切线长问题、利用圆心到定点的距离、半径、切线长三者之间的勾股定理来解决．[命题角度4]圆的最值问题5．在平面直角坐标系xOy中、以点 (1,0) 为圆心且与直线mx－y－ 2m－ 1＝ 0(m∈R )相切的全部圆中、半径最大的圆的标准方程为________．解析：解法一：设 A(1,0)、由 mx－y－ 2m－ 1＝ 0、得 m(x－ 2)－ (y＋1)＝ 0、则直线过定点P(2、－ 1)、即该方程表示全部过定点P的直线系方程．当直线与 AP 垂直时、所求圆的半径最大． 此时、半径为 |AP |＝ 2－1 2＋ －1－ 0 2＝ 2. 故所求圆的标准方程为 (x － 1)2 ＋y 2＝2.解法二：设圆的半径为r 、依据直线与圆相切的关系得r ＝|m ＋ 1| ＝m2＋ 2m ＋ 11＋ m2 m2＋ 1＝1＋2m、m2＋ 1当m<0时、 1＋2m2m无最大值；m2＋1<1 、故 1＋m2＋ 1当m ＝ 0时、 r ＝ 1；当m>0时、 m 2＋1≥ 2m(当且仅当 m ＝ 1时取等号 )．因此 r ≤ 1＋ 1＝ 2、即 r max ＝ 2、故半径最大的圆的方程为 (x － 1)2＋ y 2＝ 2.答案： (x － 1)2＋ y 2＝ 2对于圆的最值问题、一般是依据条件列出对于所求目标的式子 —— 函数关系式、而后根据函数关系式的特点采纳参数法、配方法、鉴别式法等、应用不等式的性质求出最值．考点三 圆与圆的地点关系 (子母变式 )[ 母题 ]已知圆 C 1： (x － a)2＋ (y ＋ 2)2＝ 4与圆 C 2： (x ＋ b)2＋( y ＋2)2 ＝1相外切、则 ab 的最大值为 ()6 3 9A. 2B.2C.4D ．2 3[分析 ] C [由圆 C 1与圆 C 2 相外切、 可得a ＋b 2＋ － 2＋ 2 2＝ 2＋ 1＝ 3、即( a ＋b)2＝9、依据基本不等式可知ab ≤a ＋b2＝9、24当且仅当 a ＝b 时等号建立．应选 C.][子题 1] 本例条件中“外切”变成“内切”、则ab 的最大值为 ________．分析：由Ca ＋b 2＋ －2＋2 2＝1.1与 C 2内切得即( a ＋b)2＝1、又 ab ≤ a ＋ b 2＝ 1、当且仅当 a ＝ b 时241等号建立、故 ab 的最大值为 4. 答案：14[子题 2]本例条件“外切”变成“订交”、则公共弦所在的直线方程为________．分析：由题意得、把圆C1、圆 C2的方程都化为一般方程．圆C1： x2＋ y2－ 2ax＋ 4y＋a2＝0、①圆 C2： x2＋ y2＋ 2bx＋4y＋ b2＋ 3＝ 0、②由②－①得 (2a＋2b)x＋ 3＋ b2－ a2＝ 0、即(2a＋2b)x＋ 3＋ b2－ a2＝0 为所求公共弦所在直线方程．答案： (2a＋ 2b)x＋3＋ b2－ a2＝ 0[子题3]本例条件“外切”变成“若两圆有四条公切线”、则直线x＋ y－ 1＝0与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 1的地点关系是________．分析：由两圆存在四条切线、故两圆外离、a＋ b 2＋－2＋ 2 2>3.∴( a＋b)2>9.即 a＋ b>3 或 a＋ b<－3.又圆心 (a、 b)到直线 x＋ y－ 1＝0 的距离|a＋ b－ 1|d＝>1、2∴直线 x＋ y－1＝ 0 与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 1 相离．答案：相离1．办理两圆地点关系多用圆心距与半径和或差的关系判断、一般不采纳代数法．2．若两圆订交、则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差获得．提示：判断两圆地点关系经常用几何法、利用两圆构成的方程组解的个数、不可以判断内切与外切、外离与内含．[追踪训练 ]1．(20xx ·高考山东卷 )已知圆 M：x2＋ y2－2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0所得线段的长度是 2 2 、则圆 M与圆 N： (x － 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1的地点关系是()A ．内切B．订交C．外切D．相离分析： B[ ∵圆 M∶ x2＋ (y－ a)2＝ a2、∴圆心坐标为M(0、 a)、半径 r1为 a、圆心 M 到直线 x＋ y＝ 0 的距离 d＝|a|、2|a|2＋(22、解得 a＝ 2.由几何知识得2) ＝ a2∴M (0,2)、 r1＝ 2.又圆 N 的圆心坐标N(1,1) 、半径 r 2＝ 1、∴|MN |＝ 1－ 0 2＋ 1－2 2＝ 2、 r 1＋ r 2＝ 3、 r1－ r2＝ 1.∴r 1－ r 2＜ |MN|＜ r 1＋r 2、∴两圆订交、应选 B.]2．若圆 x2＋ y2＝ 4与圆 x2＋ y2＋ 2ay－6＝ 0(a>0) 的公共弦的长为 2 3、则 a＝ ________.分析：两圆的方程相减、得公共弦所在的直线方程为(x2＋ y2＋ 2ay－6)－ (x2＋y2)－ 4＝0?y＝1、又 a>0、联合图形、利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形、可知1 a a＝22－ 3 2＝1? a＝ 1.答案： 11．(20xx ·××市一模 )已知直线 x＋ ay＋ 2＝ 0与圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ 1＝ 0有公共点、则实数a的取值范围是()A ． a＞ 0B． a≥ 0C． a≤ 0D． a＜ 0分析： C [圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ 1＝ 0、即 (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1的圆心 ( －1,1)、半径为 1、∵直线 x＋ ay＋ 2＝ 0与圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ 1＝ 0有公共点、∴|－1＋a＋2|≤ 1、∴ a≤ 0、应选C.] 1＋ a22．(20xx ××·市模拟) 已知圆 C： (x－1)2＋( y－ 4)2＝ 10和点 M(5、 t)、若圆 C上存在两点 A、B、使得 MA⊥MB、则实数 t的取值范围为 ()A ． [－ 2,6]B． [－ 3,5]C． [2,6]D． [3,5]分析： C[由题意、 |CM|≤10× 2、∴ (5－ 1)2＋ (t －4) 2≤20、∴ 2≤ t≤ 6、应选 C.]3．(20xx ××·市模拟 )直线 ax－y＋ 3＝ 0与圆 (x－ 1)2＋ (y－2)2＝4订交于 A、 B两点且 |AB|＝22、则 a＝()A ． 1B 3C． 2D． 3分析： A[ 圆的圆心为(1,2)、半径为 2、∵|AB |＝ 22、∴圆心到直线 AB的距离 d＝4－2＝ 2、即|a＋1|＝2、解得 a＝ 1.应选： A.] a2＋ 14．(20xx·高考全国卷Ⅲ)直线 x＋ y＋2＝ 0分别与 x轴、 y轴交于 A、B两点、点 P在圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 2上、则△ABP面积的取值范围是 ()A ． [2,6]B． [4,8]C．[ 2、3 2]D．[2 2、3 2 ]分析： A[ ∵直线 x＋ y＋ 2＝ 0分别于 x轴、 y轴交于 A、 B两点、∴ A(－ 2,0)、 B(0、－ 2)、10/13∴|AB|＝ 2 2、∵点 P在圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 2上、∴圆心为 (2,0)、设圆心到直线的距离为d、则d＝ |2＋ 0＋ 2|2＝ 2 2.故点 P到直线 x＋ y＋ 2＝0的距离 d′的范围是 [12、 3 2]、则 S△ABP＝ |AB |d′＝ 2d′∈2[2,6] ． ]5．(20xx ××·市模拟 )过点 P(1、－ 2)作圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝ 1的两条切线、切点分别为A、B、则 AB所在直线的方程为()31A ． y＝－4B． y＝－231C． y＝－2D． y＝－4分析：B[圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 1的圆心为 (1,0)、半径为 1、以 |PC|＝1－1 2＋－2－0 2＝ 2为直径的圆的方程为(x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1、1将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝ 0、即 y＝－2. 应选 B.]6．(20xx ××·市质→→ →检 )直线 ax＋ by＋ c＝ 0与圆 C： x2－ 2x＋ y2＋ 4y＝0订交于 A、 B两点、且 |AB |＝15 、则 CA ·CB ＝ ________.分析：圆 C： x2－ 2x＋ y2＋ 4y＝ 0?(x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 5、如图、过 C 作 CD⊥AB 于 D、|AB|＝ 2|AD|＝ 2|AC| ·sin∠ CAD、∴15＝ 2× 5× sin ∠ CAD 、∴∠ CAD＝ 30°、→ →°∴∠ ACB ＝ 120°、则 CA ·CB ＝ 5× 5× cos 120＝－5 . 2答案：－5 27．点 P在圆 C1： x2＋ y2－ 8x－4y＋ 11＝ 0上、点 Q在圆 C2： x2＋ y2＋ 4x＋ 2y＋ 1＝ 0上、则 |P Q|的最小值是 ________．解析：11/13把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式、得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 9、 (x＋ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4.圆 C1的圆心坐标是 (4,2) 、半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是 (－ 2、－ 1)、半径是 2.圆心距 d＝4＋2 2＋ 2＋1 2＝3 5.因此、 |PQ|的最小值是 3 5－ 5.答案： 3 5－58．已知圆 O： x2＋ y2＝ 8、点 A(2,0)、动点 M在圆上、则∠ OMA 的最大值为 ________．解析：设 |MA | ＝ a 、因为 |OM | ＝ 2 2 、 |OA| ＝ 2 、由余弦定理知 cos ∠ OMA ＝|OM|2 ＋ |MA|2 － |OA|2 2 2 2＋ a2－ 2214＋ a≥1·24·a＝2、当且仅当 a＝ 2 时等2|OM| ·|MA|＝＝·2× 22a42a42a2ππ号建立．因此∠ OMA ≤、即∠ OMA 的最大值为4.4答案：π49．已知点 M(3,1)、直线 ax－ y＋ 4＝ 0及圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 4.(1)求过点 M的圆的切线方程；(2)若直线 ax－ y＋ 4＝0与圆相切、求 a的值；(3)若直线 ax－ y＋ 4＝0与圆订交于 A、 B两点、且弦 AB的长为23、求 a的值．解： (1) 由题意知圆心的坐标为(1,2)、半径 r ＝2、当过点 M 的直线的斜率不存在时、方程为x＝ 3.由圆心 (1,2) 到直线 x＝ 3 的距离 d＝ 3－ 1＝2＝ r 知、此时、直线与圆相切．当过点 M 的直线的斜率存在时、设方程为 y－ 1＝ k(x－ 3)、即 kx－ y＋ 1－ 3k＝0.由题意知 |k－ 2＋ 1－ 3k|＝2、解得k＝ 3.k2＋－ 1 243∴方程为y－ 1＝4(x－ 3)、即 3x－ 4y－ 5＝0.故过点 M 的圆的切线方程为x＝ 3 或 3x－ 4y－ 5＝ 0.|a－ 2＋ 4|＝ 2、解得 a＝ 04(2)由题意有或 a＝ .a2＋－123 (3)∵圆心到直线 ax－ y＋ 4＝ 0 的距离为|a＋ 2| 、a2＋ 1∴|a＋2|2＋2 32＝4、解得a＝－3. a2＋ 12410．过平面内 M点的光芒经 x轴反射后与圆C： x2＋ (y－ 2)2＝ 2相切于 A、 B两点．(1)若 M点的坐标为 (5,1)、求反射光芒所在直线的方程；(2)若 |AB|＝314、求动点 M的轨迹方程．4解： (1) 由光的反射原理知、反射光芒所在直线必过点(5、－ 1)、设反射光芒所在直线的12/13斜率为 k、则此直线方程能够设为y＋ 1＝ k(x－ 5)、即 kx－ y－ 5k－ 1＝0(*) ．又反射光芒与圆 C： x2＋( y－ 2)2＝2 相切、因此|－2－5k－1|＝ 2、解得 k＝－ 1 或－7、k2 ＋ 123代入 (*) 化简整理、得反射光芒所在直线的方程为x＋ y－ 4＝0 或 7x＋ 23y－ 12＝0.(2)设动点 M 的坐标为 (x、y)( y≥ 0)、则反射光芒所在直线必过点M 对于 x 轴的对称点Q(x、－ y)、设动弦 AB 的中点为 P、则|AP |＝3 14、故 |CP |＝2－3142 882＝8.由射影定理 |CP| |CQ· |＝ |AC|2、得 |CQ|＝2＝ 82 、即 x2＋－ y－ 2 2＝ 8 2、即 x2＋ (y＋282)2＝128(y≥ 0)．13/13。
2024年高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件
B.线段 AB 中垂线方程为 x＋y－1＝0
C.公共弦
AB
的长为
2 2
D.P 为圆 O1 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 22＋1
外离
d＝R＋r d>R＋r
3
4
【名师点睛】(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋ y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方 程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两 切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16 的圆心为 M(5，5)，由题易 知直线 AB 的方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0，则圆心 M 到直线 AB 的距离 d＝|5＋2×55－4|＝ 115＞4，所以直线 AB 与圆 M 相离， 所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值为 4＋d＝4＋115，4＋ 115＜10， 故 A 正确；易知点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 d－4＝115－4，
a2，0，半径 r＝a2，
a
圆心 O1 到直线 x－y＝0 的距离 d＝ 22＝2 a 2，所以由题意可
得弦长 2 2＝2 r2－d2＝2
a42－a82，解得 a＝4，所以圆 O1 的
方程为 x2＋y2－4x＝0，即圆心坐标 O1(2，0)，半径 r＝2，圆 O2 的圆心 O2(4，2)，半径 r′＝1，
程中，体会用代数方法处理几何 主，难度中等中出现
1.直线与圆的位置关系
判断方法
相交
几何法
d<r
高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件
解析：当 k＝ 33时，直线 l 为 y＝ 33(x＋2)，即 3x－3y＋2 3＝ 0，所以圆心(0，0)到直线 l 的距离为 d＝|0－( 03＋)22＋323|＝1＝r， 所以直线与圆相切.当直线与圆相切时，圆心(0，0)到直线 kx－y＋
解析：如图 D71，曲线 C：y＝ 1－x2 的图象为单位圆的上半
圆(包含端点)，直线 l：x＋y＝m 的斜率为－1，在 y
轴上的截距为 m.当直线 l 经过A(1，0)，B(0，1)两点 时，m＝1，此时直线 l 与曲线 C 有两个公共点.当直 线 l 与曲线 C 相切时，m＝ 2.因此当 1≤m< 2时， 直线 l 与曲线 C 有且只有两个公共点.
2k＝0 的距离为 d＝ k|22＋k| 1＝r＝1，解得 k＝±33.故“k＝ 33”是 “直线 l：y＝k(x＋2)与圆 O：x2＋y2＝1 相切”的充分不必要条件. 故选 A.
答案：A
2.若直线 l：x＋y＝m 与曲线 C：y＝ 1－x2 有两个公共点， 则实数 m 的取值范围是________________.
∵点(1，1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的内部， ∴直线 l 与圆相交.
(方法三，代数法)由mx2x＋－(yy－＋11)－2＝m5＝，0，
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交. 答案：A
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则 实数 m 的取值范围为( )
第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系.
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|<r2+r1,所以两圆相交.
7.(人教A版选择性必修第一册第93页2.5.1节练习第3题改编)直线2x-y+2=0
8 5
被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为__________.
5
解析 圆的圆心坐标为(1,2),半径 r=2.
圆心到直线的距离 d=
)
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册2.5.1节例1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位
置关系为( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心(0,0)到直线 y=x+1,即 x-y+1=0 的距离 d=
而
2
0< <1,但是圆心不在直线
2
1
2
=
2
,
2
y=x+1 上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.
3
=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0
相切,则m=__________.
3
解析 圆的方程可化为 x2+(y-2)2=1,双曲线的一条渐近线方程为 x=my(m>0),
由题意得
|2|
1+
=1,解得
2
3
m= 或
3
3
m=- .又
3
m>0,所以
3
m= .
3
研考点
精准突破
考点一
直线与圆的位置关系
于m,则m的值为__________.
2
解析 由题知,圆心(1,1)到直线
专题49 直线与圆、圆与圆的位置关系-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(原卷版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专题49直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
基础知识融会贯通 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系． dr⇔相离．
(2)代数法：――――→判别式Δ＝b2－4ac >0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离. 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). 方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【知识拓展】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2
4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
重点难点突破 【题型一】直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系ppt课件
1个 2个 1个 0个 0个
0
16
圆与圆的 五 种 位置关系 圆心距为d
r1
r2
O1
O2
r1
r2
O1
O2
rr1 1
r2
O1 O2
相交
外离 d>r1 +r2
无公共点 4条公切线
外切 d=r1 +r2 | r1 -r2|<d<r1 +r2
唯一公共点
两个公共点
3条公切线
2条公切线
r1 r2
O1 O2
r1 r2
x 12 y 42 25.
圆把C圆1的C2圆的x 心方2是程2 点化 y（为 2-标12准，1方-04.程），,半得径长r1=5.求标两及圆半心径坐 圆C1的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10（. 配方法）
圆C1与圆C2的连心线长为
圆C1与圆C2的半径之和是 1 22 4 22 3 5,
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系。
26
小结：
1、研究两圆的位置关系可以有两种方法:
y
（-1,1） A
. （2，2）C2
O
. （-1，-4）
x
B（3,-1）
x+2y-1=0
C1
20
判断C1和C2的位置关系
解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
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听课手册第47讲直线与圆圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相离无实数解(续表)位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相切d=r相交22.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(|O1O2|=d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的情况)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1 两组相同实数解内含0 无实数解常用结论 1.圆的切线(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x+y 0y=r 2;(2)过圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2;(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x+y 0y=r 2.2.直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成直角三角形,且有r 2=d 2+(12a)2.3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一 常识题1.[教材改编] 若直线x-y+1=0与圆(x-a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为 ,弦长为 .3.[教材改编] 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 .4.[教材改编] 圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为 .5.[教材改编] 过坐标原点O 作圆x 2+y 2-6x-8y+20=0的切线,则切点到O 的距离为 .题组二 常错题◆索引:求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况;两圆相切时易忽视有内切与外切两种情况.6.已知圆C 1:(x-a )2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b )2+(y+2)2=1相切,则(a+b )2= . 7.过点A (3,5)作圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .8.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为.探究点一直线与圆的位置关系例1(1)[2018·云南昆明二模]已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则实数m的值等于()A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或1(2)[2019·河北唐山二中月考]在△ABC中,若a sin A+b sin B-c sin C=0,则圆C:x2+y2=2与直线l:ax+by+√2c=0的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定[总结反思]判断直线与圆的位置关系的一般方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断.变式题(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能(2)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,则圆心C的坐标为;若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k的值为.探究点二圆的切线与弦长问题角度1过圆上一点的切线问题例2(1)已知圆的方程是x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的圆的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x-y=1(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程是()A. x+2y-5=0B. x-2y+3=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y=0[总结反思]过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:若切线斜率存在,先求切点与圆心连线,再由点斜式方程可求出切线方程;若切线斜率不的斜率k(k≠0),由垂直关系知切线斜率为-1k存在,则由图形得出切线方程x=x0.变式题已知点P(√2+1,2-√2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为.角度2过圆外一点的切线问题例3(1)[2018·茂名一模]从坐标原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.(2)若直线y=k(x+3)与圆x2+y2-2x=3相切,则k= .[总结反思]处理切线、弦长问题的策略:(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.变式题 [2018·重庆三诊] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,过第一象限内的点P (a ,b )作圆O 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则a+b 的最大值为 ( ) A. 3 B. 3√2 C. 4√2 D. 6角度3 有关弦长问题例4 (1)[2018·全国卷Ⅰ] 直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= . (2)[2018·湖南益阳4月调研] 已知斜率为1,且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆C :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为√3,则b= .[总结反思] 解有关弦长问题的两种方法:(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形,且r 2=(l 2)2+d 2.(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k ≠0).变式题 已知直线l :kx-y-3=0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则k=( )A. 2B. ±√2C. ±2D. √2探究点三 圆与圆的位置关系例5 (1)[2018·四川绵阳三诊] 已知圆C 1:x 2+y 2=r 2,圆C 2:(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,给出以下结论:①a (x 1-x 2)+b (y 1-y 2)=0;②2ax 1+2by 1=a 2+b 2;③x 1+x 2=a ,y 1+y 2=b.其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2)[2018·辽宁丹东二模] 圆心坐标为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x+2=0 B. x 2+y 2-4x+2=0C. x2+y2+4x=0D. x2+y2-4x=0[总结反思](1)判断两圆的位置关系,有两种方法:一是代数法,联立两圆方程,消去其中一个未知数,通过对所得方程的根进行判断,从而可得两圆关系;二是几何法,通过计算两圆的圆心距与两圆的半径和或差进行比较,从而可得两圆的位置关系.(2)当两圆相交时,公共弦所在直线的方程可由两个圆的方程相减得到,而且在解决圆的有关问题时,注意合理利用圆的几何性质简化计算.变式题(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离(2)过两圆x2+y2+4x+y=-1和x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为.(3)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.完成课时作业(四十七)。