2018高考文科数学圆锥曲线与方程专项100题(WORD版含答案)
2018年高考文数解析几何圆锥曲线精选试题及知识点分析
文数解析几何1.已知椭圆L：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点(2,2)在L上．(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【答案】解：(Ⅰ)抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，由题意可得c=2，即a2−b2=4，又点(2,在L上，可得4a+2b=1，解得a=22，b=2，即有椭圆L：x28+y24=1；(Ⅱ)证明：设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=kx+b代入椭圆方程x28+y24=1，可得(1+2k2)x2+4kbx+2b2−8=0，x1+x2=−4kb1+2k2，即有AB的中点M的横坐标为−2kb1+2k，纵坐标为−k⋅2kb1+2k+b=b1+2k，直线OM的斜率为k OM=y M xM=−12⋅1k，即有k OM⋅k=−12．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解析】(Ⅰ)求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2.设椭圆C：x2a+y2b=1(a>b>0)，过点Q(2,1)，右焦点F(2,0)，(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l：y=k(x−1)(k>0)分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若CN=MD，求k值，并求出弦长|MN|．【答案】解：(Ⅰ)椭圆过点Q(1)，可得2a+1b=1，由题意可得c=2，即a2−b2=2，解得a=2，b=2，即有椭圆C的方程为x24+y22=1；(Ⅱ)直线l：y=k(x−1)与x轴交点C(1,0)，y轴交点D(0,−k)，联立y=k(x−1)x2+2y2=4，消y得，(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4k21+2k2，CN=(x2−1,y2)，MD=(−x1,−k−y1)，由CN=MD，得：x1+x2=4k21+2k2=1，解得k=±22.由k>0得k=22代入①得2x2−2x−3=0，x1+x2=1，x1x2=−32，可得|MN|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2=32⋅1+6=422．【解析】(Ⅰ)将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长|MN|．本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档题．3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A．(1)求该椭圆的方程：(2)过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【答案】解：(1)由题意可知：椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c=2，c=1，椭圆的离心率e=ca =22，则a=，b2=a2−c2=1，则椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(2,0)，当直线PQ不存在时，不符合题意。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(圆锥曲线与方程)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （圆锥曲线与方程）一、选择题1．（2018浙江）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（ ）A ．(−2，0)，(2，0) B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)1．.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).2. （2018上海）设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）（A ）2（B ）2（C ）2（D ）43．（2018天津文、理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）（A ）22139x y -= （B ）22193x y -=（C ）221412x y -= （D ）221124x y -= 3．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，()0c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b-=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得22122bc b bc b d c a b --=+，22222bc b bc b d c a b ++==+， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率：2229112c b e a a a==++，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为（）A．13B．12C．2D ．224、答案：C解答：知2c=，∴2228a b c=+=，22a=，∴离心率22e=.5．（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C：2213xy-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN△为直角三角形，则|MN|=（）A．32B．3 C．23D．45. 答案：B解答：渐近线方程为：2203xy-=，即3y x=±，∵OMN∆为直角三角形，假设2ONMπ∠=，如图，∴3NMk=，直线MN方程为3(2)y x=-.联立333(2)y xy x⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴33(,)22N-，即3ON=，∴3MONπ∠=，∴3MN=，故选B.6．（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M，N两点，则FM FN⋅=（）A．5 B．6 C．7 D．86. 答案：D解答：由题意知直线MN的方程为2(2)3y x=+，设1122(,),(,)M x y N x y，与抛物线方程联立有22(2)34y xy x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得1112xy=⎧⎨=⎩或2244xy=⎧⎨=⎩，∴(0,2),(3,4)FM FN==，∴03248FM FN⋅=⨯+⨯=.7．（2018全国新课标Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A．1-B．2 CD1 7．【答案】D【解析】在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，设2PF m =，则1222c F F m ==，1PF =，又由椭圆定义可知)1221a PF PF m =+=则离心率212c ce a a===，故选D ．8.(2018全国新课标Ⅱ文、理）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则其渐近线方程为（ ）A．y = B．y = C．y =D．y = 8．【答案】A【解析】c e a ==，2222221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴，因为渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.23 B ．12 C ．13D ．14 9．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP得，2tan PAF ∠，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ．10．（2018全国新课标Ⅲ文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（ ）AB ．2C ．2D ．10．答案：D解答：由题意c e a ==1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==.故选D.11．（2018全国新课标Ⅲ理）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．211．答案：C解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =； 又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =； 在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，∴222222222224(6)4644633b c a bb c a b c a c a c+-=⇒+-=⇒-=- 223c a ⇒=3e ⇒=.二、填空1．（2018北京文）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．1．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．2．（2018北京文）若双曲线()222104x y a a -=>5，则a =_________． 2．【答案】4【解析】在双曲线中，2224c a b a =++，且5c e a ==245a +，22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 3．31；2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为3113c a ==-+．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，222πtan 33n m ∴==，222222234m n m m e m m ++∴===，2e ∴=．4. （2018上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。
【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第十章 圆锥曲线与方程 10-4 word版含答案
1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94答案 D解析 由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34， ①y 2＝3x ， ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )点击观看解答视频A.12 B.23 C.34 D.43答案 D解析 由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝kx ＋2，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.4．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案 B解析 设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t . 而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |×y 1＝12×14y 1＝18y 1，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1－y 2.由98y 1－y 2＝98y 1＋(－y 2)≥298y 1×－y 2＝298×2＝3， 得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案22解析 直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2－y 2＝1的一条渐近线x －y ＝0平行，这两条平行线之间的距离为22，又P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则c ≤22，即实数c 的最大值为22. 6．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±1解析 设直线AB 方程为x ＝my －1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y 2－4my ＋4＝0，由根与系数关系得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.故Q (2m 2－1,2m )．由|FQ |＝2知2m2＋2m 2－1－12＝2，解得m 2＝1或m 2＝0(舍去)，故直线l 的斜率等于±1(此时直线AB 与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．解 (1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝x －22＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x .(2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝2 31＋m23m 2＋4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋343m 2＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14，故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.点击观看解答视频(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．解 解法一：(1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝x 1－x 22＋y 1－y 224＝1＋m2y 1－y 224＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22m 2＋2－31＋m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216m 2＋2>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 解法二：(1)同解法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1， GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3m 2＋1m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216m 2＋2>0， 所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设 4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 10．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3.因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m y 1＋y 2＋23＝43m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3my 1＋y 2＋3＝6－6m 2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)． 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 11．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解 (1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝⎛⎭⎪⎫2p1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1 ＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. 因此S1S2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.。
圆锥曲线高考真题专练(含答案),推荐文档
【解析】由已知得圆
的圆心为 （ -1 ，0）, 半径 =1，圆 的圆心为 (1,0), 半径
=3.
设动圆 的圆心为 （ ， ），半径为 R.
（Ⅰ）∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴ |PM|+|PN|=
=
=4，
由椭圆的定义可知，曲线 C是以 M， N为左右焦点，场半轴长为 2，短半轴长为
的椭圆 ( 左
由题设得 A( 1,0) ， B(1,0) ， | AB | 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：
x2 y2 1（ y 0 ）. 43
（ II ）当 l 与 x 轴不垂直时， 设 l 的方程为 y k( x 1)(k 0) ，M ( x1, y1) ，N ( x2 , y2 ) .
y k( x 1)
x02 3 p2
3p p
得： A(
3 p,
3p )
，直线
m:
y
2
2x p
x
3y
3p 0
2
3p 2
2
x2 2 py
x2 y
x y
3 x
3 p
3p p
切点 P(
,)
2p
p3
3
36
直线 n : y p
3 (x
3p )
3
x 3y
p0
63
3
6
坐标原点到 m, n 距离的比值为
3p : 3p 3。 26
已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C ： x2 y2 1在 y 轴正半轴上的焦点， 过 F 且 2
则 x1
2, x2
2 ，直线 MA ， MB 的斜率之和为 kMA kMB
y1
y2 .
x1 2 x2 2
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。
2018年全国高考近四年圆锥曲线题目
全国高考近四年圆锥曲线题目一．选择题（共14小题）1．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=2．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．3．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）5．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C 交于A ，B 两点，若，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．27．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．8．设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB|=（ ） A ．B ．6C ．12D ．79．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为（ ） A ．+=1 B ．+y 2=1 C ．+=1 D ．+=110．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上，若|F 1A|=2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1=（ ） A ． B ． C ． D ．11．双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（ ） A ．2B ．2C ．4D ．412．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y=（k ＞0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k=（ ） A ． B ．1C ．D ．213．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12二．填空题（共2小题）15．已知g（x）=+x2+2a1nx在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．三．解答题（共5小题）17．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．18．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．19．在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N 两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）20．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．全国高考近四年圆锥曲线题目参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．2．（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a 2=2b 2，再利用c=3=，即可解得a 2，b 2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，==．∴，化为a 2=2b 2，又c=3=，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为．故选D ．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．3．（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．4．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k=0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入（*）得﹣2y 2=且﹣3y 22=﹣4， 消去y 2得k 2=3，解之得k=∴直线l 方程为y=（x ﹣1）或y=﹣（x ﹣1）故选：C【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB 被焦点F 分成1：3的两部分，求直线AB 的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．5．（2013•大纲版）椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由椭圆C ：可知其左顶点A 1（﹣2，0），右顶点A 2（2，0）．设P （x 0，y 0）（x 0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C ：可知其左顶点A 1（﹣2，0），右顶点A 2（2，0）．设P （x 0，y 0）（x 0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．6．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F 且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B． C．D．2【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a2﹣b2=1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为故选：C【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．8．（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．9．（2014•大纲版）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（2014•大纲版）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上，若|F 1A|=2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1=（ ） A ． B ． C ．D ．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线C 的离心率为2， ∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上， 则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ， 又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ， 则由余弦定理得cos∠AF 2F 1===．故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．11．（2014•大纲版）双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2C．4 D．4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（2016•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C 交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A．B．1 C．D．2【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．13．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A 的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH =kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．（2015•新课标Ⅰ）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．二．填空题（共2小题）15．已知g（x）=+x2+2a1nx在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣] ．【分析】求函数的导数，利用g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，结合参数分离法进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=+x2+2a1nx在[1，2]上是减函数∴等价为g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，即g′（x）=﹣+2x+≤0，即≤﹣2x，则a≤﹣x2，设f（x）=﹣x2，则f（x）在[1，2]上是减函数，∴f（x）min=f（2）==﹣，即a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．【点评】本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．16．（2015•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．三．解答题（共5小题）17．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=﹣，S△PQF =|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF =|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．19．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a （a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k 1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（2014•大纲版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．故C的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2
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2018高考文科数学圆锥曲线与方程专项100题（WORD 版含答案）一、选择题（本题共40道小题） 1.双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点A ，点O 为坐标原点，点H 满足•=0， =4，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．3 2.已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，A ，B 分别为双曲线C 左、右两支上的点，且四边形ABOF （O 为坐标原点）为菱形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ． +1D ．2 3.已知抛物线C ：y 2=﹣8x 的焦点为F ，直线l ：x=1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B ，若，则|AB|=（ ）A ．20B ．16C ．10D ．54.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过点E(4, 0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则2AF BF +的最小值为A. 3+B. 7C. 3+D. 9 5. 已知双曲线22:1(0)1x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为A.95 B. 94 D. 326.已知曲线y=x 2+2x ﹣2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，﹣3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（﹣2，3） 7.已知双曲线x 2﹣m y 2=1与抛物线y 2=8x 的准线交于点P ，Q ，抛物线的焦点为F ，若△PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．34 B ．35 C ．925 D ．916 8.已知过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（1，） C ．（，） D ．（，）9. 抛物线y 2=8x 与双曲线C ：22a x ﹣22b y =1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点，且该焦点到双曲线C 的渐近线的距离为1，则双曲线C 的方程为（ ）A ．x 2﹣3y 2=1B ．y 2﹣3x 2=1C ．9x 2﹣y 2=1D ．3x 2﹣y 2=1 10.椭圆=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 11. 双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 12.直线l 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 交抛物线C 于A 、B 两点，则的取值范围为（ ）A ．{1}B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ． 13.已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上，若=，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．±1B ．±C ．±D ．±2 14.已知双曲线﹣=1，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±x D ．y=±3x 15.已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且=， •=0，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．﹣1 B ． C ． +1 D ． +1 16.设F 1，F 2分别为双曲线C ：的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．D ． 17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （0，4），C （0，﹣4），顶点B 在椭圆上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知双曲线C 2：的一个顶点是抛物线C 1：y 2=2x 的焦点F ，两条曲线的一个交点为M ，|MF|=，则双曲线C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．19.双曲线2221y x b -=的离心率e = ）A ．12y x =±B ．15y x =± C. y =±2x D ．y =±5x 20. 已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH|= ( )A ．1B ．2 C.4 D ．1221. 若双曲线3x 2﹣y 2=1的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．42 22.已知椭圆，双曲线和抛物线y 2=2px （p ＞0）的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（ ）A ．e 1e 2＞e 3B ．e 1e 2=e 3C ．e 1e 2＜e 3D ．e 1e 2≥e 3 23.设F 1、F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．x ±y=0 B ．x ±y=0 C ．x ±2y=0 D ．2x ±y=0 24.过抛物线y 2=4x 的焦点且与x 轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则AB=（ ）A ．B ．C ．6D ． 25.已知在椭圆方程+=1中，参数a ，b 都通过随机程序在区间（0，t ）上随机选取，其中t ＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．26.M 为双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．﹣1 B ．2 C ．4 D ．6 27.在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x 其中x ∈（0，1），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈（0，1）不等式t ＜e 1+e 2恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ． 28.已知斜率为3的直线l 与双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0）交于A ，B 两点，若点P （6，2）是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．B ．C ．2D ． 29.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），圆M ：（x ﹣a ）2+y 2=c 2，双曲线以椭圆C 的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M 相切，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 30.函数y=2x 2的焦点坐标为（ ）A ．（） B ．（1，0） C ．（0，） D ．（0，） 31.已知F 1、F 2是双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点M 在E 的渐近线上，且MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．232.双曲线﹣=1的顶点到渐近线的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 34.已知椭圆C ：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为（ ）A ．4B ．C ．8D ． 35.斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 36.过抛物线y 2=4ax （a ＞0）的焦点F 作斜率为﹣1的直线l ，l 与离心率为e 的双曲线1b y a x 2222=-(b ＞0)的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若x B ，x C ，x F 分别表示B ，C ，F 的横坐标，且C B 2F x x x ⋅-=，则e=（ ）A ．6B ．6C ．3D ．337. 已知椭圆C ：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的离心率为22，双曲线 x 2﹣y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2y 8x 22+=1 B ．6y 12x 22+=1 C ．3y 6x 22+=1 D ．5y 20x 22+=1 38. 若抛物线y 2=ax 的焦点到其准线的距离是2，则a=（ ）A ．±1B ．±2C ．±4D ．±839.抛物线y 2=4x 上有两点A ，B 到焦点的距离之和为7，则A ，B 到y 轴的距离之和为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．2 C．D．或2二、填空题（本题共13道小题）41.抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于．42.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为．43.两个正数a，b的等差中项为2，等比中项为，且a＞b，则双曲线的离心率e等于．44.已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为．45.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e= ．46.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．47.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为．48.抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于．49.双曲线17y ax 222=-（a ＞0）的右焦点为圆（x ﹣4）2+y 2=1的圆心，则此双曲线的离心率为 ．50.若双曲线x 2﹣=1的离心率为，则实数m= ．51. 直线y=2b 与双曲线22a x ﹣22by =1（a ＞0，b ＞0）的左支、右支分别交于B ，C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC=∠BOC ，则该双曲线的离心率为 ．52.定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的焦距为4，焦点三角形的周长为4+12，则椭圆C 的方程是 ． 53.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，若|AF 1|：|AB|=3：4，且F 2是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．5三、解答题（本题共47道小题）54.已知椭圆C 的左、右焦点分别为（﹣）、（），且经过点（）．（ I ）求椭圆C 的方程： （ II ）直线y=kx （k ∈R ，k ≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点，D 点为椭圆C 上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB 的方程：若不存在，说明理由．55.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k （k ≠0），且过定点的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．56.已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）离心率为，右焦点为F（c，0）到直线x=的距离为1（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB中点在直线y=x上，求△OAB面积的最大值．57.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程．（2）求证：AP⊥OM．（3）试问：•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．58.已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b）2=a2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．59.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F，上顶点为G，直线FG与直线x-=垂直，椭圆E经过点3 (1)2 P，.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点F 作椭圆E 的两条互相垂直的弦AB ，CD. 若弦AB ，CD 的中点分别为M ，NM ， 证明：直线MN 恒过定点. 60.已知椭圆C 的中心的中心在中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点12P ⎫⎪⎭，离心率是． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）直线l 过点(1,0)E -且与椭圆C 交于A 、B 两点，若||2||EA EB =，求直线l 的方程． 61.已知椭圆C 的离心率为23，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的周长为4+23，直线l ：y=kx+m （k≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 与圆x 2+y 2=1相切，过椭圆C 的右焦点F 2作垂直于x 轴的直线，与椭圆相交于M ，N 两点，与线段AB 相交于一点（与A ，B 不重合）．求四边形MANB 面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程． 62.已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=2与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|=2|PQ| （Ⅰ）求C 的方程（Ⅱ）判断C 上是否存在两点M ，N ，使得M ，N 关于直线l ：x+y ﹣4=0对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由． 63.如图，在平面平直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率e=23，在顶点为A （﹣2，0），过点A 作斜率为k （k≠0）的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k （k≠0）都有OP ⊥EQ ？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由； （3）若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求|OM ||AE ||AD |+的最小值．64.已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点，直线l1：y=﹣x与抛物线C的一个交点横坐标为8．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|=|AB|，求△FAB的面积．65.如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，且•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围．66.已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB 的面积S 的最大值．（其中O 为坐标原点）． 67.已知椭圆的中心是原点O ，焦点在x 轴上，离心率为，短轴长为2，定点A （2，0）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于点M 、N ，当|MN|最小时，求△AMN 的面积． 68.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，且离心率是21，过坐标原点O 的任一直线交椭圆C 于M 、N 两点，且|NF 2|+|MF 2|=4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且与圆x 2+y 2=1相切， （i ）求证：m 2=k 2+1；（ii ）求•的最小值． 69.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，|AB|=，点P 是椭圆C 上的动点，且cos ∠F 1PF 2的最小值为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点（﹣2，0）的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，求•的取值范围．70.已知点在抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）上．（1）求抛物线C 的方程；（2）设定点D （0，m ），过D 作直线y=kx+m （k ＞0）与抛物线C 交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）（y 1＜y 2）两点，连接ON （O 为坐标原点），过点M 作垂直于x 轴的直线交ON 于点G ．①证明点G 在一条定直线上； ②求四边形ODMG 的面积的最大值．71.已知椭圆C n ： +=n （a ＞b ＞0，n ∈N *），F 1、F 2是椭圆C 4的焦点，A （2，）是椭圆C 4上一点，且•=0；（1）求C n 的离心率并求出C 1的方程；（2）P 为椭圆C 2上任意一点，过P 且与椭圆C 2相切的直线l 与椭圆C 4交于M ，N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ；求证：△QMN 的面积为定值，并求出这个定值．72.已知椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F 2，过点F 2作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线AM 的斜率为． （1）求椭圆Γ的离心率；（2）若△AMN 的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，△F 2MD 的面积为，求椭圆Γ的标准方程． 73.已知椭圆经过点M （﹣2，﹣1），离心率为．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 74.已知椭圆C 的两个焦点为()1F 1,0-，()2F 1,0，且经过点E .(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若11AF 2F B =，求直线l 的斜率k 的值. 75.（14分）已知椭圆E ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）经过点A （2，3），离心率e=21．（1）求椭圆E 的方程；（2）若∠F 1AF 2的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当△ABC 的面积最大时，求C 点的坐标． 76.（14分）已知椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）离心率为22．（1）椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是椭圆上的一点，且点A 到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b 为何值时，过圆x 2+y 2=t 2上一点M （2，2）处的切线交椭圆于Q 1、Q 2两点，且OQ 1⊥OQ 2． 77.已知椭圆C ：的右焦点为F 1（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△PAB 的面积为，求直线AB 的方程．78.已知椭圆C ：，离心率为．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的下顶点为A ，直线l 过定点，与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且满足|AM|=|AN|．求直线l 的方程． 79.如图，在矩形ABCD 中，|AB|=4，|AD|=2，O 为AB 中点，P ，Q 分别是AD 和CD 的中点，且直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ： +y 2=1（a ＞0）上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设R 为椭圆E 的右顶点，T 为椭圆E 的上顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，求梯形ORMT面积的最大值．80.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点为F1，F2，点M为椭圆C上的任意一点，的最小值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．81.已知抛物线的方程为C：x2=4y，过点Q（0，2）的一条直线与抛物线C交于A，B两点，若抛物线在A，B两点的切线交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）设直线PQ与直线AB的夹角为α，求α的取值范围．82.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值．83.已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．84.（12分）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：2222by a x =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，且椭圆C 过点P （23，235）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线？若能，求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由． 85.已知点F 是拋物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，若点M （x 0，1）在C 上，且|MF|=．（1）求p 的值；（2）若直线l 经过点Q （3，﹣1）且与C 交于A ，B （异于M ）两点，证明：直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数． 86.已知直线l 过点P （2，0），斜率为，直线l 和抛物线y 2=2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求： （1）点M 的坐标； （2）线段AB 的长|AB|． 87.已知椭圆的两个焦点分别为，，点M （1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1+k 2为定值． 88.椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴两端点为B 1（0，﹣1）、B 2（0，1），离心率e=，点P 是椭圆C 上不在坐标轴上的任意一点，直线B 1P 和B 2P 分别与x 轴相交于M ，N两点，（Ⅰ）求椭圆C 的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M 坐标为（1，0），过M 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试求△ABN 面积的最大值．89.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（1，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （0，3）的直线m 与C 交于A 、B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的方程． 90.（14分）已知椭圆E ：2222by a x =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，离心率e=21，点D(0，3)在椭圆E 上．（Ⅰ） 求椭圆E 的方程；（Ⅱ） 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A ，B 两点，△DAF 的面积为S △DAF ，△DBF 的面积为S △DBF ，且S △DAF ：S △DBF =2：1，求直线AB 的方程． 91.双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A 、B 两点，△F 1AB 的面积为12，抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）如图，点为抛物线E 的准线上一点，过点PM作y 轴的垂线交抛物线于点，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．92.（14分）已知椭圆Ω：1by a x 2222=+(a ＞b ＞0)，直线22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点．（1）求椭圆Ω的方程；（2）设椭圆Ω的右焦点为F ，过点G （2，0）作斜率不为0的直线交椭圆Ω于M ，N 两点．设直线FM 和FN 的斜率为k 1，k 2． ①求证：k 1+k 2为定值； ②求△FMN 的面积S 的最大值．93.（12分）已知椭圆 C ：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别是F 1，F 2，点 D 在椭圆C 上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2|=43|DF|，△DFF 的面积为23． （1）求椭圆C 的方程；（2）圆x 2+y 2=b 2的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求|AB|的最大值． 94.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），圆Q ：（x ﹣2）2+（y ﹣）2=2的圆心Q 在椭圆C上，点P （0，）到椭圆C 的右焦点的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．95.已知椭圆C ：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的离心率是22，且过点P(2，1)．直线y=22x+m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△PAB 的面积的最大值；（Ⅲ）设直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明． 96.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(3,2)N ，和平面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,,AN NP BN 的斜率分别为123,,k k k ，2313k k k =+，试求,m n 满足的关系式. 97.已知椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率为21，且椭圆C 与圆M ：x 2+（y ﹣3）2=4的公共弦长为4 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2+y 2=58相切并交椭圆C 于另一点，求•的值． 98.已知抛物线y 2=2px （p ＞0），过点C （﹣2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，且=12（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当以AB 为直径的圆的面积为16π时，求△AOB 的面积S 的值． 99.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P （2，0）过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A ，B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式恒成立，求λ的最小值．100.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO|=|AF|=23； （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．试卷答案1.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用射影定理，确定c=|OA|，可得∠AOF=60°，=tan60°=，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由射影定理可得，|OF|2=|OH|•|OA|，∵=4，∴c=|OA|，∴∠AOF=60°，∴=tan60°=，∴c==2a，∴e==2，故选：C．2.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出A的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右两支上的点，且四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，不妨A在x轴上方，可知A（，），代入双曲线方程可得：．可得e4﹣8e2+4=0，e＞1，可得e2=．可得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，判断A的位置是解题的关键，考查计算能力．3.A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A （﹣1，a ），B （m ，n ），且n 2=﹣8m ，利用向量共线的坐标表示，由，确定A ，B 的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C ：y 2=﹣8x ，可得F （﹣2，0）， 设A （1，a ），B （m ，n ），且n 2=﹣8m ，∵，∴1+2=﹣3（m+2）， ∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n ，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A ．【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 4.C由抛物线C 的焦点F 到其准线的距离为2，得p=2，设直线l 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，设221212()()44y y A y B y ，，，，则1216y y =-，所以2212212(1)44y y AF BF +=+++221233342y y =++≥=+221242y y =，即22122y y =时，取等号），故选C. 5.C设(0)(0)F c c ->，，将(0)F c -，代入2226150x y x y +---=中得，22150c c +-=，解得c=3，所以2194m m c m ++===，，所以双曲线C 的离心率e == C. 6.B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出M （m ，n ），求出导数，求得切线的斜率，由题意可得2m+2=0，解得m ，进而得到n ，即可得到切点坐标．【解答】解：y=x2+2x﹣2的导数为y′=2x+2，设M（m，n），则在点M处的切线斜率为2m+2，由于在点M处的切线与x轴平行，则2m+2=0，解得m=﹣1，n=1﹣2﹣2=﹣3，即有M（﹣1，﹣3）．故选B．7.B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．8.B【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，即b＜a，∴＜a，整理得c＜a，∴e=＜∵双曲线中e＞1∴e的范围是（1，）．故选：B．9.D【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，即可得到c=2，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离求出b的值，再求出a，问题得以解决．【解答】解：∵抛物线y2=8x中，2p=8，∴抛物线的焦点坐标为（2，0）．∵抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，∴c=2，∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，∴=1，即=1，解得b=1，∴a2=c2﹣b2=3，∴双曲线C的方程为﹣y2=1，故选：D．10.D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．11.D【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即=解得e==故选：D．【点评】本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．12.A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得 k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴=+==1，故选A．13.C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合=，求出P的坐标，即可求解直线的斜率．【解答】解：抛物线Γ：y2=6x的焦点F（，0），=，|QF|=|PF|=|PA|，∵2p=6，P（，±3）∴直线PQ的斜率就是直线PF的斜率k PF=±=，故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．14.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，且a==2，b==2，将a、b的值代入焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其焦点在x轴上，且a==2，b==2，故其渐近线方程为y=±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的集合性质，注意分析双曲线的标准方程的形式，确定其焦点的位置．15.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件可得P是Q，F2的中点，⊥，由条件求出Q坐标，由中点坐标公式，求出P的坐标，代入双曲线方程，即可求解双曲线的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且=，•=0，可知P是Q，F2的中点，⊥，Q在直线bx﹣ay=0上，并且|OQ|=c，则Q（a，b），则P（，），代入双曲线方程可得：﹣=1，即有=，即1+e=．可得e=﹣1．故选：A．16.D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），∵△AMN的面积为，∴，∴4a2（c2﹣a2）=c4，∴e4﹣4e2+4=0，∴e=．故选D．17.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．18.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过题意可知F（，0）、不妨记M（1，），将点M、F代入双曲线方程，计算即得结论．【解答】解：由题意可知F（，0），由抛物线的定义可知：x M=﹣=1，∴y M=±，不妨记M（1，），∵F（，0）是双曲线的一个顶点，∴=1，即a2=，又点M在双曲线上，∴=1，即b2=，∴e==，故选：C．19.C在双曲线2221yxb-=中，a=1，由e=5ac=，得c=5，故b=22ac-=2，故双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选C.20.A21.C【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，即可求出p．【解答】解：双曲线的左焦点（﹣2，0）在抛物线y2=2px的准线x=﹣上，可得﹣2=﹣，解得p=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．22.C【考点】K4：椭圆的简单性质；K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意先分别表示出e1，e2和e3，然后求得e1e2的取值范围，检验选项中的结论即可．【解答】解：依题意可知e1=，e2=，e3=1∴e1e2=•=＜1，A，B，D不正确．故选C．23.A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，。