2020年高考圆锥曲线部分大题解析

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2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一．选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二．填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

2020高考—圆锥曲线(解答+答案)

2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m+=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。

【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线大题练(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(文数)圆锥曲线大题练1.已知抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．2.已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21,且经过点P （1,1.5）,过它的两个焦点F 1,F 2分别作直线l 1与l 2,l 1交椭圆于A,B 两点,l 2交椭圆于C,D 两点,且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围.3.已知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)在线段OF 上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.5.在平面直角坐标系中，直线2x －y ＋m=0不过原点，且与椭圆y 24＋x22=1有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数m 的取值所组成的集合M ；(2)是否存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→=OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB|=2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知Q 是C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案解析1.解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的准线方程为x=－p 2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 =4，解得p=2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)，设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 =4y 2＋y 1(x 1≠x 2)．∵线段AB 中点的纵坐标为－1，∴直线l 的斜率k AB =4y 2＋y 1=4－12=－2，∴直线l 的方程为y －0=－2(x －1)，即2x ＋y －2=0.法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x=my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4=0.设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 =4m 2=－1，解得m=－12，∴直线l 的方程为x=－12y ＋1，即2x ＋y －2=0.2.解:3.解：4.解:5.解：(1)因为直线2x －y ＋m=0不过原点，所以m≠0.将2x －y ＋m=0与y 24＋x22=1联立，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A ，B ，所以Δ=8m 2－16(m 2－4)>0，所以－22<m<2 2.故实数m 的取值所组成的集合M 为(－22，0)∪(0,22)．(2)假设存在定点P(x 0，y 0)使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补，即k PA ＋k PB =0.令A(x 1，2x 1＋m)，B(x 2，2x 2＋m)，则2x 1＋m －y 0x 1－x 0＋2x 2＋m －y 0x 2－x 0=0，整理得22x 1x 2＋(m －2x 0－y 0)(x 1＋x 2)＋2x 0(y 0－m)=0.(*)由(1)知x 1＋x 2=－2m 2，x 1x 2=m 2－44，代入(*)式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 0－x 0m ＋2(x 0y 0－2)=0，则⎩⎪⎨⎪⎧22y 0－x 0＝0，x 0y 0－2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－2，所以定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．经检验，此两点均满足题意．故存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补，且定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)． 6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－4=1，因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a 2＋12－=1，解得a 2=5或a 2=165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2=1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→=OD ―→，得D(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB =y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD =y 1＋y 2x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2=－15，所以k AB ·k OD =－15. 故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.7.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c ，t)(t>0)，∴c 2a 2＋t 2b 2=1，得t=b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a =b 2a c，即b=c ，∴a 2=b 2＋c 2=2b 2，①又|AB|=23，∴a 2＋b 2=12，②由①②得a 2=8，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y24=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，设Q(x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204=1，③∵k QA ·k QD =－12，A(－22，0)，∴y 0x 0＋22·y 0x 0－m =－12(x 0≠m)，④由③④得(m －22)x 0＋22m －8=0，即⎩⎨⎧m －22＝0，22m －8＝0，解得m=22，∴存在点D(22，0)，使得k QA ·k QD =－12.8.解：(1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x －1)(k>0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2=0. Δ=16k 2＋16>0，故x 1＋x 2=2k 2＋4k2.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l 的方程为y=x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2=－(x －3)，即y=－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，0＋2＝0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2=16或(x －11)2＋(y ＋6)2=144.。

2020年高考数学真题汇编10 圆锥曲线理( 解析版)

2020高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。

6223【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2020高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2020年高考数学精选专题(含答案详解)12 圆锥曲线的综合问题

2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、解答题（共15题；共145分）1.已知直线l1:3x−y−6=0与x轴，y轴分别交于A，B，线段AB的中垂线l2与抛物线E:y2=2px(p>0)有两个不同的交点C、D．（1）求p的取值范围；（2）是否存在p，使得A，B，C，D四点共圆，若存在，请求出p的值，若不存在，请说明理由．2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，离心率为√32，过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点，且ΔMNF2的周长为16（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A,B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．3.已知点A,B的坐标为(−√2,0)，(√2,0)，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是−12．（1）求点E的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，过点F(−1,0)的直线l与点E的轨迹交于M,N两点，求△MON的面积的最大值．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P(1,32)在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．5.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点F到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ 的面积．7.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A(0,1)，离心率为√22.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D 两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.8.已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求ΔAOB面积的最大值（O为坐标原点）．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A,B,且短轴长为2,T为椭圆上异于A,B的任意-一点,直线TA,TB的斜率之积为−13（1）求椭圆C的方程;（2）设O为坐标原点,圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P,Q两点,求△POQ面积的最大值.11.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点是F1(−1,0)，F2(1,0)，且过点A(1,√22)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F1的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点．问椭圆C上是否存在点P，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,F1,F2为C的左､右焦点,M为C上任意一点, SΔMF1F2最大值为1.（1）求椭圆C的方程;（2）不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.①若k2=12,且S△AOB=√22,求m的值.②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.13.已知点M(−1,0),N(1,0)，若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q(−√3,0)的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右顶点A(2,0)，且离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P、Q，直线AP和AQ分别与直线x=4交于点M、N，求ΔAPQ与ΔAMN面积之和的最小值.15.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0.焦点为F(1,1).（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标(x,y)都满足方程：x2−2xy+y2−8x−8y=0;（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.一、解答题1.【答案】（1）解：因为直线 l 1:3x −y −6=0 与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B . 所以 A(2,0) ， B(0,−6) ，所以线段 AB 的中点为 (1,−3) ， k AB =3 ，所以线段 AB 的中垂线 l 2 的方程为 y +3=−13(x −1) ，即 x +3y +8=0 . 将 x =−3y −8 代入 E:y 2=2px(p >0) ，得 y 2+6py +16p =0 ，因为 l 2 与 E 有两个不同的交点 C ， D . 所以 Δ=36p 2−4×16p >0 ，又 p >0 ，所以 p >169，即 p 的取值范围为 (169,+∞) .（2）解：若 A ， B ， C ， D 四点共圆，由对称性可知，圆心应为线段 CD 的中点，设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ，则 {y 1+y 2=−6py 1y 2=16p ，所以 y 0=y 1+y 22=−3p ， x 0=−3y 0−8=9p −8 ，|CD|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+(−3)2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√10⋅√36p 2−4×16p =2√10⋅√9p 2−16p若 A ， B ，C ， D 四点共圆，则 |MA|=12|CD| ，即 |MA|2=14|CD|2 ，所以 (x 0−2)2+y 02=14×40(9p 2−16p) . 所以 (9p −10)2+9p 2=90p 2−160p ，解得 p =5 ，又 p =5 满足 p >169，所以存在 p =5 ，使得 A ， B ，C ， D 四点共圆.【解析】【分析】（1）求出 A,B 两点坐标，得出其中垂线方程为 x +3y +8=0 ，与抛物线方程联立根据 Δ>0 即可得结果；（2）设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ，将（1）和韦达定理可得 M(9p −8,−3p) ， |CD|=2√10⋅√9p 2−16p ，结合四点共圆的特征得 |MA|2=14|CD|2 ，代入两点间距离公式可解得 p 的值. 2.【答案】（1）解：由椭圆定义知： ΔMNF 2 的周长为： 4a =16 ⇒a =4 由椭圆离心率： e =ca=√32 ⇒c =2√3 ， b 2=c 2−a 2=4 ∴ 椭圆 C 的方程：x 216+y 24=1（2）解：由题意，直线 AB 斜率存在，直线 AB 的方程为： y =kx +m设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2)联立方程 {y =kx +mx 216+y 24=1 ，消去 y 得： (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−16=0 由已知 Δ>0 ，且 x 1+x 2=−8km4k 2+1 ， x 1x 2=4m 2−164k 2+1由 OA ⊥OB ，即 OA⇀⋅OB ⇀=0 得： x 1x 2+y 1y 2=0 即： x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=x 1x 2+k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0 ∴(k 2+1)4m 2−164k 2+1+km ⋅−8km 4k 2+1+m 2=0 ，整理得： 5m 2=16(1+k 2) ，满足 Δ>0∴ 点 O 到直线 AB 的距离： d =√1+k2=4√55为定值【解析】【分析】（1）由 ΔMNF 2 周长可求得 a =4 ，利用离心率求得 c =2√3 ，从而 b 2=c 2−a 2=4 ，从而得到椭圆方程；（2）直线 AB 方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程 x 1x 2+y 1y 2=0 ，代入韦达定理整理可得 5m 2=16(1+k 2) ；利用点到直线距离公式表示出所求距离 d ，化简可得结果.3.【答案】（1）解：设 E(x,y) ，因为 A(−√2,0) ，所以直线 AE 的斜率 k AE =x+√2≠−√2) ，同理直线 BE 的斜率 k BE =x−√2≠√2) ，由已知有 x+√2×x−√2−12(x ≠±√2) ，化简得 E 的轨迹方程为 x 22+y 2=1 (x ≠±√2) .（2）解：设过 F(−1,0) 的直线方程为 x =my −1 ，设 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) 联立直线与椭圆的方程，化简得 (m 2+2)y 2−2my −1=0 ，显然 Δ>0 ． y 1+y 2=2mm 2+2 ， y 1y 2=−1m 2+2 ，从而， |y 1−y 2|=√(2mm 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)(m 2+2)2.所以 S △MON =12|OF|·|y 1−y 2|=√2√(m 2+2)−1(m 2+2)2，令 t =m 2+2≥2 ，则 S =√2·√−1t 2+1t =√2·√−(1t −12)2+14≤√22，当 t =2 ，即 m =0 时取等号.所以 △MON 面积的最大值为 √22.【解析】【分析】（1）设 E(x,y) ，根据斜率关系列方程化简即可；（2）设直线方程，并与曲线方程联立，求出两根之和两根之积，把面积用其表示出来，再借助于二次函数在区间上的最值求解方法即可得到结论．4.【答案】（1）解：由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P (1,32) 在椭圆C 上，所以 1a 2 ＋ 94b 2 ＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为 x 24＋y 23＝1.（2）解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），由 {y =kx +2x 24+y 23=1 得（4k 2＋3）x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16（12k 2－3）＞0，所以k 2＞ 14 ，则x 1＋x 2＝ −16k4k +3 ，x 1x 2＝ 44k 2+3 .因为∠AOB 为锐角，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，所以x 1x 2＋（kx 1＋2）（kx 2＋2）＞0，所以（1＋k 2）x 1x 2＋2k （x 1＋x 2）＋4＞0，即（1＋k 2）· 44k 2+3 ＋2k · −16k4k 2+3 ＋4＞0，解得k 2＜ 43 .又k 2＞ 14 ，所以 14 ＜k 2＜ 43 ，解得－ 2√33＜k ＜－ 12 或 12 ＜k ＜2√33.所以直线l 的斜率k 的取值范围为 (−2√33,−12) ∪ (12,2√33)【解析】【分析】（1）由c ＝1得a 2＝b 2＋1，再代入P 点坐标可求得a ,b ；（2）设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），直线方程与椭圆方程联立消元得 x 的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得 x 1+x 2,x 1x 2 ，条件∠AOB 为锐角对应 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 ，代入 x 1+x 2,x 1x 2 后可求得 k 的范围．5.【答案】（1）解：由题意， p2=1 ，所以p ＝2，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y（2）解：由 {x 2=4yy =kx +m得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0（*），由直线y ＝kx +m 与抛物线C 只有一个公共点，可得 Δ=0 ，解得m ＝﹣k 2 ，代入到（*）式得x ＝2k ， ∴P （2k ,k 2），当y ＝﹣1时，代入到y ＝kx ﹣k 2 得Q （ k −1k ，−1 ）， ∴以PQ 为直径的圆的方程为：(x −2k)[x −(k −1k )]+(y −k 2)(y +1)=0 ，整理得： (1−y)k 2−3x ⋅k +x ⋅1k +(x 2+y 2+y −2)=0 ，若圆恒过定点，则 {1−y =0−3x =0x =0x 2+y 2+y −2=0 ，解得 {x =0y =1， ∴存在点N （0,1），使得以PQ 为直径的圆恒过点N ．【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.6.【答案】（1）解：由题意知 c a =12 , a 2c−c =3 ,因为 b 2=a 2−c 2 ,解得a 2＝4,b 2＝3, 所以椭圆的方程为: x 24+y 23= 1（2）解：由题意知直线l 的斜率不为0,由（1）知F （1,0）, 设直线l 的方程为x ＝my+1,P （x,y ）,Q （x',y'）,联立直线l 与椭圆的方程整理得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0, 所以y+y' =−6m 4+3m 2 ,yy' =−94+3m 2 ,所以|PQ| =√1+m 2√(y +y ′)2−4yy ′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m2=12(1+m 2)3+4m 2,因为圆O:x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m 2 ,被圆O:x 2+y 2＝4截得的弦长为 √14 , 所以得14＝4（4 −11+m 2 ）,解得m 2＝1,所以d =√22,|PQ| =247 ,所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27.【解析】【分析】（1）由题可得 ca =12 ,a 2c−c =3 ,再由 b 2=a 2−c 2 可求得 a 2,b 2 ,即可得到椭圆方程；（2）显然直线 l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x ＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得 P,Q 的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得 |PQ| ,由直线截圆的弦长求得 m ,进而求解即可.7.【答案】（1）解：依题意可得： {b =1ca =√22a 2=b 2+c2,a =√2，b =1，c =1椭圆C ：x 22+y 2=1 ）（2）解：圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆C 的方程得： x 2+2(kx +1)2=2,x =−4k1+2k 2 ，可得 B(−4k 11+2k 12，1−2k 121+2k 12) ；同理可得 D(−4k 21+2k 22，1−2k 221+2k 22)由圆M 与l 相切得：√1+k 2=r,(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0由韦达定理得： k 1+k 2=21−r 2，k 1k 2=1 所以直线BD 的斜率 k =y 2−y 1x 2−x1=1−2k 221+2k 22−1−2k 121+2k 12−4k 21+2k 22+4k 11+2k 12=4k 12−4k 224(k2−k 1)(2k 1k 2−1)=−(k 1+k 2)=2r 2−1…… 直线BD 的方程为： y −1−2k 121+2k 22=2r 2−1(x +4k11+2k 12)化简为： y =2r 2−1x −1+k 12k 1×4k11+2k 12+1−2k 121+2k 12=2r 2−1x −3 ，即 y =2r 2−1x −3所以，当 r(0<r <√2−1) 变化时，直线BD 总过定点 R(0，−3)【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆，解出B ， D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率 k 1，k 2 的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点.8.【答案】（1）解：由题意知 m ≠0 ，可设直线AB 的方程为 y =−1m x +b ，由 {x 22+y 2=1y =−1m x +b ，消去 y ，得 (12+1m 2)x 2−2bm x +b 2−1=0 ，∵直线 y =−1m x +b 与椭圆 x 22+y 2=1 有两个不同的交点，∴ Δ=−2b 2+2+4m 2>0 ，①，将AB 中点 M(2mb m +2,m 2bm +2) 代入直线方程 y =mx +12 解得b =−m 2+22m 2，②。

2020高考数学分类汇编--解析几何圆锥曲线

2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学4．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．911．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 20.（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.4．C11．D15．220．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t（x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得221227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷理科数学5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3219．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a b y a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=．（1）求1C 的离心率；设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)11．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1 B ．2 C ．4 D ．820．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 5．B11．A20．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷文科数学6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．411．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．221．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点. 6．B11．B21．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y G t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷文科数学8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y -3=0的距离为A B C D 9．设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222-x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．3219．(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 8．B9．B19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.2020年普通高等学校招生全国统一考试三卷文科数学6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）14．设双曲线C :22221x y a b-= (a >0,b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．21．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 6．A7．B1421．解：（1=22516m =，所以C 的方程为1252516+=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（A ）经过点O （B ）经过点P（C ）平行于直线OP （D ）垂直于直线OP（12）已知双曲线:163C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．（20）（本小题15分）已知椭圆22221x y C a b+=：过点()21A --，，且2a b =（I ）求椭圆C 的方程：（II ）过点4,0B -（）的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q 求PBBQ的值 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 6．3218．满分16分.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 7．D12．518．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-． 2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考9．已知曲线22:1C mx ny +=.A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 13．C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 22．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．9．ACD13．16322．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2BCD 15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．21．（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．8．D1521．满分15分。

(完整版)2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练,推荐文档

2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】
题型一求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程．【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲线的右支，
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；

人教A版高中数学2020届高考复习专题--圆锥曲线(含解析)

第 1 页共 65 页圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E，半径是24F-E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，第 2 页共 65 页｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交⇔有两个公共点直线与圆相切⇔有一个公共点直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆双曲线抛物线轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0) 轴对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y= 焦点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦距｜F 1F 2｜=2c ， c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2+准线x=±c a 2x=±ca 2x=-2p 准线与焦点位于顶点曲线性质第 3 页共 65 页准线垂直于长轴，且在椭圆外.准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(x a +22k)-(y b =1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b =1 (±c+h,k) =±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b =1(h,±c+h)y=±c a 2+kx=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k) x=-2p +hy=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2p+k)y=-2p +kx=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

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1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。

（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。

解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。

（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得2,1428d d =±=± 3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。

解析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=，因为2121y y k x x -=- 两式相减可得：1212043x x y y k +++= 又因为12121,22x x y y m ++==即12122,2x x y y m +=+=代入上式得 34k m =-，又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）(1,0)F ，设33(,)P x y ，3311220(1,)(1,)(1,)0FP FA FB x y x y x y ++=⇒-+-+-=即3123123()1,()2x x x y y y m =-+==-+=- 因为点P 在椭圆上，代入得34m =，所以33(1,),||22P FP -=因为1||(22x FA x ==-，同理得2||22xFB =- 故121||||4()32FA FB x x +=-+=所以2||||||FP FA FB =+注意：文理科题目相同，但是给出的解题思路是不同的。

4.【2018天津理19】设椭圆22221x y a b+=的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心A 的坐标为(,0)b，且||||FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若||||4AQ AOQ PQ =∠（O 为原点），求k 的值。

解析：（1）由题意知：22222259c a b e a a -===，解得23a b =，又因为||,||FB a AB ==由||||FB AB ⋅=知6ab =，解得3,2a b ==故椭圆方程为22194x y += （2）设1122(,),(,)P x y P x y，则122||,||sin y y PQ AQ AOQ-==∠（得到一个等量关系，然后用k 分别表示出12,y y ）联立22212,21194y kxy kx k y y x y y x k =⎧=⎧⎪⇒=⇒=⎨⎨=-+++=⎩⎪⎩分别代入上式得181k k =+，解得12k =或1128k = 5.【2018江苏 18】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F 。

（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P（i ）设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；（ii ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB ∆，求直线l 的方程。

解析：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，其中c =1)2在椭圆上，故2222223114413a a bb a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y += 又因为圆O 的直径为12F F ，故圆的方程为223x y += （2）（i ）本题有两种解法：法一：椭圆和圆有公切线时求点P 的坐标，可先设公切线方程为y kx b =+ 然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出,k b 的值，再求出点P 的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。

法二：题目中让求点P 的坐标，不如一开始就设出点P 的坐标，利用点P 的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，0∆=即可求出点P 的坐标。

这里我们选用第二种方法：设直线与圆的切点00(,)P x y ，则满足22003x y +=，故直线l 的方程为： 0000()x y y x x y -=--即0003x y x y y =-+联立022*********23(4)24364014x y x y y x y x x x y x y ⎧=-+⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎪⎩ （1）因为直线l 与椭圆有且只有一个交点，故0∆=，即因为点P 位于第一象限，即000,0x y >>，故001x y == 所以点P的坐标为（ii ）分析：第二问由于OAB ∆的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长AB 的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程y kx b =+，根据直线与圆相切可得2233b k =+，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将k 或b 转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：解析：设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，根据直线与圆相切得2233b k =+将2233b k =+7= 注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将b 转化为k 的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。

12|||AB x x =-==解得225,18k b ==所以k b ==y =+ 5.定值问题6.【2018全国1 理】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠分析：第二问两角度相等如何证明？解析几何中常出现的量无非是距离长度，斜率，面积，周长，如果你想到了证明两个角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了长度，但是长度不容易求得，本题目M 点在x 轴上且角度均从O 点出发，,A B 两点一个在x 轴上方一个在下方，因此可以考虑两条直线关于x 轴对称，而对称又反应了斜率互为相反数的关系，因此本题目虽是证明题的形式出现，但本质上是求定值问题，即120k k +=解析：（1）由题意知(1,0)F ，当l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时(1,2A ±，所以直线AM 的方程为2)y x =- （2）设直线,AM BM 的斜率分别为12,k k当直线l 斜率不存在时，此时直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠当直线l 斜率存在时，设1122:(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =-联立2222221(21)42202(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩所以1212121212121212(1)(1)[23()4]2222(2)(2)y y k x k x k x x x x k k x x x x x x ---+++=+=+=------ （注意，此处为什么不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只需要证明分子为零即可）所以222212122(22)12[4]21210(2)(2)k k k k k k k x x --++++==-- 所以直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠7.【2018全国1 文20】设抛物线2:2C y x =，点(2,0),(2,0)A B -，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠解析：（1）当l 与x 轴垂直时，:2l x =，此时(2,2)B ±，直线BM 的方程为1(2)2y x =±+（2）具体过程可以参考32题，在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在的情况，其实无需讨论斜率是否存在，可以直接将直线方程设为2x my =+ 设:2l x my =+，直线,BM BN 的斜率分别为12,k k联立21212222402,42x my y my y y m y y y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩ 所以12121212121224()022(4)(4)y y my y y y k k x x my my +++=+==++++ 所以直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠8.【2018全国3 理16】已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90ABM ︒∠=，则k =________.解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切所以1N M y y ==，设0(,1)N x ，根据焦点弦斜率公式可得000122AB ON AB AB p k k k k x x x ⋅=⇒⋅=⇒= 9.【2018北京理 19】已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，,QM QO QN QO λμ==，求证：11λμ+为定值。