2018年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
20182010圆锥曲线高考题全国卷真题汇总
2018（新课标全国卷2 理科）5．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．1419．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．2018（新课标全国卷2 文科）6．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1-B ．2CD 120．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．2018（新课标全国卷1 理科）8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．811．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．419．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.2018（新课标全国卷1 文科）4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 20．（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2018（新课标全国卷3 理科）6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为AB ．2CD20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．2018（新课标全国卷3 文科）8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2,32]D ．[22,32]10．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A ．2B ．2C ．322D ．2220．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．2017（新课标全国卷2 理科）9.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）.A ．2B 3C 2D ．23316.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ． 若M 为FN 的中点，则FN = ．20. 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2017（新课标全国卷2 文科）5.若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）.A.)+∞ B.) C. ( D. ()12，12.过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ）.B. C. D.20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2017（新课标全国卷1 理科）10.已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）. A ．16 B ．14 C ．12 D ．1015.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为________.20.已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点()111P ，，()201P ，，3–12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，412P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2017（新课标全国卷1 文科）5.已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PE 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF △的面积为（ ）.A ．13 B ．12 C ．23 D ．3212.设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）.A 20.设A ，B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程..(][)0,19,+∞ B.([)9,+∞ C.(][)0,14,+∞ D.([)4,+∞2017（新课标全国卷3 理科）5.已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆 221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）. A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.AB C D ．1320．已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程．2017（新课标全国卷3 文科）11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A B C D ．1314.双曲线()222109x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 20．在直角坐标系xOy 中，曲线2–2y x mx =+与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为()01，.当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.2016（新课标全国卷2 理科）（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 （11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）220.（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．2016（新课标全国卷2 文科）(5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32 （D ）2(6) 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（ ）（A ）−43 （B ）−34（C 3 （D ）2（21）（本小题满分12分）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =32k <<.2016（新课标全国卷1 理科）（5）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 20. （本小题满分12分）理科设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2016（新课标全国卷1 文科）（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若错误!未找到引用源。
2018年各地高考真题分类汇编-圆锥曲线---学生版
圆锥曲线1.（2018年全国一·文科4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12CD2.（2018年全国二·文科6）双曲线，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ． 3.（2018年全国二·文科11）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD4.（2018年全国三·文科10）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为AB ．C ．D ．5.（2018年北京·文科10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.6.（2018年北京·文科12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>，则a =_________.7.（2018年天津·文科7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -= 22221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y x =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-2122221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C 22（C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 8.（2018年江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐，则其离心率的值是 ． 9.（2018年浙江2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)10.（2018年浙江17）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．11.（2018年上海2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
2018届浙江省高考试题逐类透析――圆锥曲线
七、平面解析几何（二）圆锥曲线一、高考考什么？[考试说明]5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。
6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系。
7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。
8. 了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程。
[知识梳理]弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则：＝＝通径：椭圆、双曲线，抛物线定义及基本量：椭圆双曲线抛物线定义基本量离心率抛物线：若的焦点弦为AB，，则：①②；③[全面解读]圆锥曲线是高中数学教学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
综观历年高考，试题中几乎考查了解析几何教学中的所有内容，重点考查了定义、位置关系、弦长、离心率、渐近线等问题，有较高的思维度和灵活性，通过一定量的计算，分析研究圆锥曲线的性质特点，充分考查解析几何的本质。
[难度系数] ★★★★☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是( )A．y2=8-4x B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16（9）若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )A． B． C． D．[2005年]（13）过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．[2008年]（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=___________。
[2009年]（9）过双曲线（）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．[2010年]（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A． B．C． D．（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为________。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。
2018高考全国一卷理科数学答案解析与解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题，每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、 【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以｜z|=1 【考点定位】复数2、已知集合A={x ｜x 2—x-2〉0}，则A =A 、｛x|—1<x<2｝B 、｛x|—1x 2｝C 、{x|x<-1｝∪｛x|x 〉2｝D 、｛x|x -1｝∪｛x|x 2｝ 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2—x —2≤0}，所以{x|—1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍.D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37％*200%=74%〉60％，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列｛a n｝的前n项和,若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、—12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3＊(a1+a1+d+a1+2d）=（a1+a1+d）(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d），整理得:2d+3a1=0；d=—3 ∴a5=2+(5—1）*(-3）=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为:A、y=—2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x)为奇函数，有f（x)+f（-x)=0整理得：f（x)+f(—x）=2*（a-1）x2=0 ∴a=1f（x)=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、——B、—-C、—+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2
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2018高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.23 B 62 D. 3【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2018高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2018高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、5【答案】B【解析】设抛物线方程为22y px =，则点(2,2)M p ±Q 焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴ 22492p P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解得2p =，所以44223OM =+⨯=.5.【2018高考真题山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a ac -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 6.【2018高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=g ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7.【2018高考真题福建理8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B. C.3 D.5【答案】Ａ．【解析】由抛物线方程x y 122=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=b ，从而可得渐进线方程为x y 25±=，即025=-±y x ，所以545|0235|=+⨯-⨯±=d ，故选Ａ．8.【2018高考真题安徽理9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C2()D 【答案】C【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。
【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3，得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+，AOB ∆的面积为113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=。
9.【2018高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1【答案】C【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.10.【2018高考真题全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 11.【2018高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为 【答案】3【解析】由x y 42=可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为︒60，所以直线的斜率为360tan =︒=k ，利用点斜式，直线方程为33-=x y ，将直线和曲线联立⎪⎩⎪⎨⎧-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=)332,31()32,3(4332B A xy x y ，因此33212121=⨯⨯=⨯⨯=∆AOAF y OF S ． 二、填空题12.【2018高考真题湖北理14】如图，双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = . 【答案】;215+=e 25221+=S S 【解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22B F 的距离为a ，又由于虚轴两端点为1B ，2B ，因此2OB 的长为b ，那么在22OB F ∆中，由三角形的面积公式知，222)(21||2121c b a F B a bc +==，又由双曲线中存在关系222b a c +=联立可得出222)1(e e =-，根据),1(+∞∈e 解出;215+=e （Ⅱ）设θ=∠22OB F ,很显然知道θ=∠=∠222AOB O A F ,因此)2sin(222θa S =.在22OB F ∆中求得,cos ,sin 2222c b ccb b +=+=θθ故222224cos sin 4c b bca a S +==θθ； 菱形1122F B F B 的面积bc S 21=，再根据第一问中求得的e 值可以解出25221+=S S . 13.【2018高考真题四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
【答案】3【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中. 【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ∆的周长最大，1m ∴=； 将1x =带入解得32y =±；所以132322FAB S ∆=⨯⨯=. 14.【2018高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】62.【解析】设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系则，A 的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为py x 22-=，带入点A 得1=p ，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为)3,(0-x ，则6,32020±=-⨯-=x x ，所以水面宽度为62.15.【2018高考真题重庆理14】过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .【答案】65 【解析】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x ，设A,B 的坐标分别为的),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x ，设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x ，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF .16.【2018高考真题辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。