考点42 圆锥曲线中的综合性问题-2018版典型高考数学试

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点42 圆锥曲线中的综合性问题 【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【命题规律】圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大. 【典型高考试题变式】（一）探究直线与曲线的公共点例1.【2016新课标卷】在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （1）求OH ON；（2）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.【解析】（1）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t pt N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH .（2）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2=-,即)(2t y ptx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y , 解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【变式1】【2017陕西省咸阳市二模】已知动点M 到定点()1,0F 和定直线4x =的距离之比为12，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作斜率不为0的任意一条直线与曲线C 交于两点,A B ，试问在x 轴上是否存在一点P （与点F 不重合），使得APF BPF ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（2）存在.设直线()()()()1122:10,1,,1,,,0l x ty t A ty y B ty y P m '=+≠++, 则()22221{314123412x ty ty y x y =+⇒++=+=，即()2234690t y ty ++-=， 12122269,3434t y y y y t t --+==++， 由APF BPF ∠=∠得0AP BP k k +=,即1212011y y ty m ty m+=+-+-，整理得()()1212210ty y m y y +-+=， ∴()22962103434ttm t t --+-=++，解得4m =， 综上知, 在x 轴上是存在点()4,0P 满足题意.【变式2】【2017湖南省常德市一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交，所得弦长为1，斜率为k (0k ≠)的直线l 过点()1,0，且与椭圆C 相交于不同的两点A B ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，使得无论k 取何值， 2214k MA MB k⋅-+为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可知椭圆C 过点1,2c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222114c a b +=，又222c e a b c a ===+， 解得2,1,a b c ==()()()21111'a x x ax a x a f x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-.（2）设在x 轴上存在点M （t ，0）满足题意,直线l 过点（1， 0）且斜率为k ，则直线l 的方程可设为()1y k x =-，由()221{41x y y k x +==-，可知 ()222414x k x +-=，()2222148440k x k x k ∴+-+-=，易知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，则 21222122814{4414k x x kk x x k +=+-⋅=+，由题可设()2214k MA MB m m k ⋅-=+为常数， ()22224844k t t t m mk ∴-+-=+对任意实数()0k k ≠恒成立；22484{4t t mt m-=∴-= ，解得 2,0t m ==， 存在点M （2，0）满足题意，且常数为0. （二）探求参数值例2.【2016年高考四川卷】已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【分析】（1）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得a =，从而可得a =，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线'l 方程为12y x m =+，由两直线方程求出点P 坐标，得2PT ，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把'l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，再计算PA PB ⋅，比较可得λ值.【解析】（1）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=，点T 坐标为（2,1）.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把PA PB ⋅用12,x x 表示出来，并代入刚才的1212,x x x x +，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．【变式1】【2016湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学四校联考】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知1F 、2F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左、右焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，)0,1(D 为线段2OF 的中点，且522=+BF AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k .试问是否存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）∵2250AF BF +=，∴225AF F B =，∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=，点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而3a =，b =)0,2(1-F ，故椭圆E 的方程为15922=+y x ； （2）存在满足条件的常数λ，74-=λ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ， 则直线MD 的方程为1111+-=y y x x ，代入椭圆方程1592=+x ，整理得，0415112211=--+-y y x y y x ， ∵5)1(11131--=+x x y y y ，∴54113-=x y y ，从而595113--=x x x ，故点)54,595(1111---x y x x P ，同理，点)54,595(2222---x y x x Q ，∵三点N F M ,,1共线，∴222211+=+x y x y ， 从而)(2211221y y y x y x -=-，从而12341212211221234121144555()59594()55y y y y x x x y x y y y k x x x x x x x x -----+-===-------121127()74()4y y k x x -==-，故07421=-k k ，从而存在满足条件的常数λ，74-=λ. 【变式2】【2016洛阳市考试】已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ∙=.（1）求||||AM BM +的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由.【答案】（1）||||42AM BM +=22:184x y C +=（2）存在圆2283x y +=∴22:184x y C +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得222(12)4280k x kmx m +++-=，∵0∆>，∴22840k m -+>，且122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+， 22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++，∴22388m k -=， 由23808m -≥和22840k m -+>，得283m >即可，因为l 与圆222x y r +=相切，∴222||813m r k ==+， 存在圆2283x y +=符合题意. 【数学思想】①数形结合思想． ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】解决探索性问题的注意事项：探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 【典例试题演练】1. 【2016江西师大附中一联】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动 点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 【解析】（1）由题意，211||||2182222MONp p S OA MN p =⋅⋅=⋅⋅==△， 6p =∴，抛物线C 的标准方程为212y x =． （2）设1122()()M x y N x y ，，，，设直线MN 的方程为x my a =+，联立212x my ay x =+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，∴2144480m a ∆=+>， 1212y y m +=， 1212y y a =-， 由对称性，不妨设0m >，（ⅰ）0a <时，12120y y a =->∵， 12y y ∴，同号，又11||||t AM AN =+2221222222212()111441111()11441y y m t m y y m a a m +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭g g ∴，不论a 取何值，t 均与m 有关， 即0a <时，A 不是“稳定点”； （ⅱ）0a >时，12120y y a =-<∵， 12y y ∴，异号．又11||||t AM AN =+ 22122212()11()y y t m y y -=+g ∴212122212()411()y y y y m y y +-=+2221144481144m a m a +=∙+22111311a a m ⎛⎫- ⎪=+ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭， ∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关，2. 【2016广东广州测试】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，， 点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解析】（1） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． 因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=．由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令0x =得y =M ⎛ ⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛-⎝⎭．则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛++=⎝⎭2， 即224x y y ++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．3.【2017山东省实验中学一诊】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意知1c =，又tan 603bc==，所以23b =， 2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y += ； （2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y+=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k kx y k x k k +===-=-++ ， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= ， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. 所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈. 4. 已知双曲线2x 2－y 2＝2.（1）求以M (2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程；（2）过点N (1，1)能否作直线l ，使直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，且点N 是弦P 1P 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.5.【2018山西省名校模拟】已知圆22:650F x y y +-+=，某抛物线的顶点为原点O ，焦点为圆心F ，经过点F 的直线l 交圆F 于N ， S 两点，交此抛物线于M ， T 两点，其中S ， T 在第一象限， M ，N 在第二象限.（1）求该抛物线的方程； （2）是否存在直线l ，使52NS 是MN 与ST 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）22650x y y +-+=可化为()2234x y +-=，根据已知抛物线的方程为22x py =（0p >）. ∵圆心F 的坐标为()0,3F ，∴32p=，解得6p =. ∴抛物线的方程为212x y =. （2）∵52NS 是MN 与ST 的等差中项，圆F 的半径为2，∴55420MN ST NS +==⨯=. ∴24MT MN NS ST =++=.由题知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为3y kx =+， 设()11,M x y ， ()22,T x y ，由23{ 12y kx x y=+=，得212360x kx --=， 21441440k ∆=+>，故1212x x k +=， 1236x x =-.∵2122124)(1||x x x x k MT -+⋅+=，∴()2121MT k==+，由()212124k +=，解得1k =±.∴存在满足要求的直线l ，其方程为30x y -+=或30x y +-=.6.【2017河北省定州中学月考】已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C过点⎛ ⎝⎭1A ， 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向量OP OQ +与2A B 共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，依题意得22222,{1112a b c c a a b =+=+=解得22a =， 21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）假设存在过点(且斜率为k 的直线l 适合题意，则因为直线l 的方程为：y kx =立方程，22{12y kx x y =+⇒+=221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知，221842k k ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭2420k ->， 212k ∴>.令()11,P x y ， ()22,Q x y ， ()1212,OP OQ x x y y ∴+=++，12212x x k +=-+， ()1212y y k x x +=++212k=+，OP OQ ⎛∴+= ⎝⎭)2,1k =-，由题知)2A ， ()0,1B ， ()22,1A B -.从而，根据向量OP OQ +与2A B 共线，可得2k = 2k =，这与212k >矛盾.故不存在符合题意的直线l .7. 【2016年济宁市模拟】已知曲线E 上的任意点到点)0,1(F 的距离比它到直线2x =-的距离小1， （1）求曲线E 的方程；（2）点D 的坐标为)0,2(，若P 为曲线E 上的动点，求PD PF ×的最小值；（3）设点A 为y 轴上异于原点的任意一点，过点A 作曲线E 的切线l ，直线3x =分别与直线l 及x 轴交于,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？请证明你的结论.【解析】（1）设),(y x S 为曲线E 上的任意一点，依题意，点),(y x S 到点)0,1(F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，所以曲线E 是以)0,1(F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， 所以曲线E 的方程为24y x =. （2）设()()000,0P x y x ≥，则()()22220000000000002,1,3242322PD PF x y x y y x x x x x x x ⋅=-⋅-=+-+=+-+=++，因为00x ³，所以当00x =时，PD PF ×有最小值2 （3）当点A 在y 轴上运动（A 与原点不重合）时，线段AB 的长度不变，证明如下：依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设:l y kx b =+，代入24y x =得()222240k x kb x b +-+=，由()22224416160kb k b kb ∆=--=-=得1kb =，将3x =代入直线l 的方程得()3,3M k b +，又()3,0N ，故圆心33,2k b C +⎛⎫⎪⎝⎭， 所以圆C 的半径为32k br +=()222222333093622k b k b AB AC r b kb ++⎛⎫⎛⎫∴=-=-+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB ∴=当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB8.【2016湖南省四大名校联考】如图,在平面直角坐标系xOy 中, 已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点,A B 分别是椭圆E 的左、右顶点,()1,0D 为线段2OF 的中点, 且2250AF BF +=.（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点(异于点,A B ),连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ,连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点,P Q 连接PQ ,设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ,试问是否存在常数λ,使得120k k λ+=恒成立？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.【解析】（1）()222250,5,5AF BF AF F B a c a c +=∴=+=-,化简得23a c =,点()1,0D 为线段2OF 的中点,2c ∴=,从而3,a b ==,左焦点()12,0F -,故椭圆E 的方程为22195x y +=. （2）存在满足条件的常数4,7λλ=-.设()()()()11223344,,,,,,M x y N x y P x y Q x y , 则直线MD 的方程为1111x x y y -=+,代入椭圆方程22195x y +=整理得,2112115140x x y y y y --+-=. ()1111331114,55y x y y y y x x -+=∴=--,从而131955x x x --=,故点1111594,55x y x P x ⎛---⎫ ⎪⎝⎭.理,点2222594,55x y x Q x ⎛---⎫⎪⎝⎭.因为三点M 、1F 、N 共线，所以121222y y x x =++,从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --++----=====--------,故21407k k -=,从而存在满足条件的常数4,7λλ=-. 9.【2017湖南省长沙市模拟】已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的离心率为23， 12,F F 分别是它的左、右焦点，且存在直线l ，使12,F F 关于l 的对称点恰好是圆222:42540C x y mx my m +--+-=（,0m R m ∈≠）的一条直线的两个端点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与抛物线22y px =（0p >）相交于,A B 两点，射线1F A ， 1F B 与椭圆E 分别相交于点,M N ，试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D ；若不存在，请说明理由.（2）因为12,F F 产于l 的对称点恰好是圆C 的一条直径的两个端点， 所以直线l 是线段OC 的垂直平分线（O 是坐标原点），故l 方程为522m y x =-+，与22y px =，联立得： 22250y py pm +-=，由其判别式0∆>得100p m +>①.设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12y y p +=-， 1252y y pm =-，从而12125152222y y x x m p m ++=-+=+， ()212212225416y y x x m p ==. 因为1F 的坐标为()2,0-，所以()1112,F A x y =+， ()1222,F B x y =+， 注意到1F M 与1F A 同向， 1F N 与1F B 同向，所以点1F 在以线段MN 为直径的圆内11•0FM F N ⇔<， 所以()()111212•0220F A F B x x y y <+++<即()121212240x x x x y y ++++< 代入整理得()()2251024404m p m p +-++<② 当且仅当()()2100210040p p ∆=--+>'即5p >时，总存在m ，使②成立. 又当5p >时，由韦达定理知方程()()2251024404m p m p +-++=的两根均为正数， 故使②成立的0m >，从而满足①.故存在数集()5,D =+∞，当且仅当p D ∈时，总存在m 使点1F 在以线段MN 为直径的圆内. 10.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，且过点A.（1）求椭圆C 的方程和离心率；（2）设()00,P x y （000x y ≠）为椭圆C 上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .取点(B ，连结BQ ，过点B 作BQ 的垂线交x 轴于点D ，点E 是点D 关于y 轴的对称点.试判断直线PE 与椭圆C 的位置关系，并证明你的结论.【解析】（1）由题设，得22224231a b a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为22184x y +=，离心率c e a ===∵点P 在椭圆C 上，故2200184x y +=，即220028x y +=， ∴直线PE 的斜率为002x y -，其方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，联立方程组2200018482x y x y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，代入消元得 ()2222000021664160x y x x x y +-+-=，利用220028x y +=，化简得220020x x x x -+=， 12分∴0∆=，故方程组有两组相同的实数解，∴直线PE 与椭圆C 相切.。