离散数学第二版答案(6-7章)
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离散数学第二版答案(6-7章)
第六章 代数系统
6.1第129页
1． 证明：
任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，
(,(,))*(*)*()
()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz
==+-=++--+-=++---+
((,),)(*)*()*()(,(,))
g g x y z x y z x y xy z
x y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=
因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。 2．
(*
,
x,
)
*
的最小公倍数
=
*=
y
)
y
（z
z
的最小公倍数
x
和
y
x
z
因此对于任意的z，
x，都有)*
，y
z
y
）
（=，即二
x（
x
*
y
*
*z
元运算*是可结合的。
③设幺元为e
=
=的最小公倍数
和
*
*，则1=e，即幺元为1.
x=
e
x
x
x
e
e
④对于所有的元素I
*，所以所有元
x∈，都有x
x=
x
素都是等幂的。
4．解：设n
X=
①设f是X上的二元运算，则f是一个从X
2的
X→
映射。
求X上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。
由于2
2n
X=，映射f的个数为2n n，即X上有2n n个二元运算。
②可交换即>
y
x
f
f,
,
<
>=
y
设集合}4,3,2,1{=X，要求X上可交换的二元运算的个 数，即相当于求映射f的个数，X :，其中： f→ A >< >< > >< >< >< < = A >< < > < >< 4,4 1,1 , 2,2 3,3 } 4,3 4,2 , 2,1 {> 3,1 4,1 3,2 具体如下图所示： A ><><><><><><><><><><><><><><><><4,43,32,21,13,4,4,32,4,4,22,3,3,21,4,4,12,3,3,11,2,2,1 X 432 1 此时映射f 的个数4 4 64244 4 ++==C N 推广到X 有n 个元素时，映射f 的个数n C n n n N +=2 ③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。 设集合}4,3,2,1{=X ，若幺元为1，则有 4 1,4,4,131,3,3,121,2,2,11 1,1>→<><>→<><>→<><>→< 此时的二元运算的个数相当于求映射X A f →:的个数，其中： > <><><><><><><><><3,44,32,44,22,33,24,43,32,2A 4 321 X 映射X A f →:的个数为2 )14(9 4 4 -==N 幺元为2，3，4时同理，2 )14(14 9 44 44-⋅=⋅=C N 因此集合}4,3,2,1{=X 上有2 )14(14 9 44 44-⋅=⋅=C N 个有单位 元素的二元运算。 推广到X 有n 个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为2 )1(1-⋅=n n n n C N 。 5．解：任取R a a a ∈3 2 1 ,, ① 2 121*a a a a -= 21211212**a a a a a a a a =-=-= 对于任意的R a a ∈2 1 ,都有2 112 **a a a a =，故二元运算*是 可交换的。 ()()3 21321321***a a a a a a a a a --=-= 3 21321321)(*)*(*a a a a a a a a a --=-= 若2,3,1321-=-==a a a ()6**321=a a a ，0)*(*321=a a a ，此时())*(***321321a a a a a a ≠ 故二元运算*是不可结合的。 不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x e x =-=*， 因此，二元运算*不含幺元。 ②()2/*2121a a a a += ()()21211212*2/2/*a a a a a a a a =+=+= 对于任意的R a a ∈2 1 ,都有2 112 **a a a a =，故二元运算*是