高中数学 变化率与导数的概念课件 新人教版选修1-1
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高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
人教A版高中数学选修变化率与导数课件
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
思考
y
根据平均变化率的定义：
=
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x2 x1
你认为其几何意义是什么？
设A( x1, f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 ))
平均变化率表示直线AB的斜率
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
（2）平均速度不能准确反映该段时间的运 动状态.
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
平均变化率的定义
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理 学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如 法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗 、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡 献。
高二人教A版数学选修1-1同步课件3-1-1变化率问题与导数的概念
第三十四页，编辑于星期一：点 四十七分。
[辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函 数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0 ＝－Δx.
[正解] ∵f(x)在 x0 可导，
∴Δlixm→0
f(x0－Δx)－f(x0) Δx
＝－－lΔimx→0
f(x0－Δx)－f(x0) －Δx
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的 高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝ (v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
第一页，编辑于星期一：点 四十七分。
第二页，编辑于星期一：点 四十七分。
●课程目标 1．双基目标 (1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
(3)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝1x的导数．
第五页，编辑于星期一：点 四十七分。
●重点难点 本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题． 本章难点：导数概念的理解． ●学法探究 导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题 的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速度的 概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握导数的 几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则，通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的 联系，感受导数在解题中的作用，充分体会数形结合思想、 分类讨论思想、等价转化思想及理论联系实际的思想方法．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
第一章 导数及其应用
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
活页规范训练
题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
课前探究学习
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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高中数学(人教A版选修1-1)课件3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念
第三章 导数及其应用
课 标 研 读
1.考纲要求 (1)了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内 涵． (2)通过函数图像直观地理解导数的几何意义． (3)能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ 1 x ，y＝ x，y＝ x的导数．
3
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数． (5)会使用导数公式表．
2．设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0 时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是 ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比， St0＋Δt－St0 就是这段时间内物体的________，即 v ＝ . Δt
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时 刻 t0 的速度．Δt 越小， v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0 St0＋Δt－St0 ΔS 时，这个平均速度的极限 v＝lim Δt ＝lim 就 Δt Δt→0 Δt→0 是物体在时刻 t0 的速度即为________．
(6)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (7)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以 及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值． (8)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题， 体会导数在解决实际问题中的作用．
(3)要有意识解答一些导数与解析几何、函数单调性、函 数极值、最值、方程、不等式、代数不等式的证明等知识交 汇的综合题，提高综合解题的能力．
3． 1
变化率与导数
3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念
课 标 研 读
1.考纲要求 (1)了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内 涵． (2)通过函数图像直观地理解导数的几何意义． (3)能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ 1 x ，y＝ x，y＝ x的导数．
3
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数． (5)会使用导数公式表．
2．设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0 时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是 ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比， St0＋Δt－St0 就是这段时间内物体的________，即 v ＝ . Δt
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时 刻 t0 的速度．Δt 越小， v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0 St0＋Δt－St0 ΔS 时，这个平均速度的极限 v＝lim Δt ＝lim 就 Δt Δt→0 Δt→0 是物体在时刻 t0 的速度即为________．
(6)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (7)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以 及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值． (8)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题， 体会导数在解决实际问题中的作用．
(3)要有意识解答一些导数与解析几何、函数单调性、函 数极值、最值、方程、不等式、代数不等式的证明等知识交 汇的综合题，提高综合解题的能力．
3． 1
变化率与导数
3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第3课时)》名师课件
点
时，割线PPn的变化趋势是什么？
我们发现，当点Pn沿着 曲线无限接近点p即 时，割线PPn趋近于确定 的位置，这个确定位置 的直线PT称为曲线在点 P处的切线.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究二 导数有怎样的几何意义？重点、难点知识★▲ 想一想：（1）割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ （2）切线PT的斜率k为多少？
预习下节任务并完成 《变化率与导数（第4课时）》预习自测
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点击“互动训练” 选择“《变化率与导数（第3课时）》随堂检测”
配套课后作业： 《变化率与导数（第3课时）》基础型 《变化率与导数（第3课时）》能力型 《变化率与导数（第3课时）》探究型 《变化率与导数（第3课时）》自助餐
有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；
③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚
至可以无穷多个.
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 即
处的切线的斜率，
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问题探究三 如何求切线在某点处的切线方程？
●活动一 初步运用导数几何意义
3.1 变化率与导数 (第3课时)
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（1）函数f(x)从x1到x2的平均变化率为
（2）函数y=f(x)在x=x0处的导数是:
（3）两点
, 连线的斜率
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究一 曲线的切线是指什么
●活动一 分析实例
如下图，当
沿着曲线f(x)趋近于
●活动二 结合实例，深化运用
例2.在曲线y=x2上切线倾斜角为45°的点是（ ）
最新人教版高中数学选修1.1.1变化率问题. (2)ppt课件
【思路点拨】 物体在(t0,t0＋Δ t)内的平均速 Δ s s（ t0＋Δ t）－ s（t0） 度为 v＝ ＝ ; Δt Δt
【解】 (1)当 t 由 t0 取得一个改变量Δ t 时 ,s 取得的相应改变量为 1 1 2 2 Δ s＝ g(t0＋ Δ t) － gt0＝ 2 2 1 2 gt0Δ t＋ g(Δ t) . 2 因此 ,在 t0 到 t0＋Δ t 这段时间内 ,物体的平均 速度为 :
【解】
函数 f(x)＝ 2x2＋ 1 在区间 [x0,x0＋Δ
f（ x0＋Δ x）－ f（ x0） x]上的平均变化率为: Δ x ＝ [2（x0＋Δ x）
2 2 ＋ 1]－（ 2x0＋ 1）
Δ x
＝ 4x0＋ 2Δ x. 1 当 x0＝ 1,Δ x＝ 时 , 2 1 平均变化率为 4×1＋2× ＝5. 2
1 gt0Δ t＋ g（Δ t）2 Δ s 2 1 v＝ ＝ ＝ g· t0＋2Δ t Δ t Δ t
问题 2
高台跳水
如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
Δx是一个相对于x的变化量,可正可负,但不能为0. 不一定,平均变化率可正、可负、可为零. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”； 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
平均变化率为:
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
思考2：平均变化率有什么几何意义呢？ 平均变化率的几何意义就是 函数f(x)图像上两点(x1,f(x1)), (x2,f(x2))所在直线的斜率。
数学3-1-1变化率问题与导数的概念课件成才之路(人教A版选修1-1)
• ●课程目标
• 1．双基目标
• (1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实 际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会 导数的思想及其内涵．
• (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义(．3)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y
＝1x的导数．
• (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数．
• 求导数的步骤是： • 由导数的定义知，求函数y＝f(x)在点x0处的 • 导 (1)(数求2)求的函平步数均骤变的化：增率量ΔΔyxΔ＝yf(＝x0＋f(ΔxΔx0x)＋－fΔ(xx0))；－f(x0)；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx(或当 Δx→0 时，ΔΔyx
• (5)结合实例，借助几何直观图探索并了解 函数的单调性与导数的关系，能利用导数 研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
• (6)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会利用导数 求不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值，以及在给定区间上不超过三次的多 项式函数的最大值、最小值．
＝ΔΔxf，称作函数 f(x)从 x1
到 x2 的平均变化率．
• 3．物体在某一时刻的速度瞬称时为速度
．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体
在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，
当 Δt→0 时 平 均 速 度 的 极 限 ， 即 v ＝ Δlitm→0
• 2．过程与方法 • 理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数
的概念和定义．
• 本节重点：函数在某一点的平均变化率， 瞬时变化率、导数的概念．
• 1．双基目标
• (1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实 际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会 导数的思想及其内涵．
• (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义(．3)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y
＝1x的导数．
• (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数．
• 求导数的步骤是： • 由导数的定义知，求函数y＝f(x)在点x0处的 • 导 (1)(数求2)求的函平步数均骤变的化：增率量ΔΔyxΔ＝yf(＝x0＋f(ΔxΔx0x)＋－fΔ(xx0))；－f(x0)；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx(或当 Δx→0 时，ΔΔyx
• (5)结合实例，借助几何直观图探索并了解 函数的单调性与导数的关系，能利用导数 研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
• (6)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会利用导数 求不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值，以及在给定区间上不超过三次的多 项式函数的最大值、最小值．
＝ΔΔxf，称作函数 f(x)从 x1
到 x2 的平均变化率．
• 3．物体在某一时刻的速度瞬称时为速度
．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体
在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，
当 Δt→0 时 平 均 速 度 的 极 限 ， 即 v ＝ Δlitm→0
• 2．过程与方法 • 理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数
的概念和定义．
• 本节重点：函数在某一点的平均变化率， 瞬时变化率、导数的概念．
人教A版高中数学选修1-1课件3.1变化率与导数2
x0
x
h0
2h
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解：(1)原式 lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 )
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求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: (1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 (2)利用点斜式求切线方程.
例1:已知曲线 y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解: KP
lim y ,而y x0 x
x0
(x)
x0
x
f '( x0 );
(2)原式 lim f ( x0 h) f ( x0 ) [ f ( x0 h) f ( x0 )]
h0
2h
1 [lim f ( x0 h) f ( x0 ) lim f ( x0 h) f ( x0 )]
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例3:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim f ( x0 x) f ( x0 ) ; (2) lim f ( x0 h) f ( x0 h) .
KP tan 1, 45 ,
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:如图已知曲线
人教A版高中数学选修1—1第二章3.1.1变化率与导数复习课件
(2)Δy＝(－1＋Δx)2＋a(－1＋Δx)＋b－(1－a＋b)＝(a－2)Δx ＋(Δx)2，
ΔΔyx＝a－2＋Δx，由导数的定义，得 y′x＝－1＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0(a－2＋Δx)＝a－2.
等于( ) A.－4 C.－2
B.2 D.±2
解析：f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋2Δx－2x Δx
＝ lim Δx→0
xx－＋2Δx＝－x22，
∴f′(m)＝－m22＝－12，∴m＝±2.故选 D. 答案：D
6.利用导数的定义求： (1)y＝x22在 x＝1 处的导数； (2)y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)在 x＝－1 处的导数. 解：(1)Δy＝1＋2Δx2－2＝－4Δ1＋x－Δ2xΔ2 x2， ΔΔyx＝－41＋＋2ΔΔxx2. 由导数的定义，得 y′x＝1＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0－41＋＋2ΔΔxx2＝－4.
则ΔΔyx＝3ΔΔxx＝3.
答案：B
4.(2019·福建罗源月考)一物体的运动方程为 s＝1t ＋2t(t>1)，
其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 2 秒末的瞬时速
度是( )
7 A.4
米/秒
9 B.4
米/秒
3 C.2
米/秒
5 D.2
米ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ秒
解
析
：
Δs
＝
1 2＋Δt
＋
2(2
＋
Δt)
－
解析：Δs＝(2－22)－(2－02)＝－4，
∴ΔΔst＝2－－40＝－2.
∴该质点在[0,2]内的平均速度为－2.
答案：－2