时变电磁场的波动方程和坡印廷定理

—— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率
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推证
r r r ⎧ ∂D ∇× H = J + ⎪ ⎪ ∂t r 由麦氏方程：⎨ r ∂B ⎪∇ × Ε =− ⎪ ∂t ⎩
r r r r r r ⎧ ∂D Ε ⋅∇ × H = Ε ⋅ J + Ε ⋅ ⎪ ⎪ ∂t r ⎨ r r r ∂B ⎪H ⋅∇ × Ε = − H ⋅ ⎪ ∂t ⎩
I
U
ZL
同轴线
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电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负 载，如图所示。
E S H
I
U
H
E S
ZL
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
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解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存 在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分 量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求 得内外导体之间的电场和磁场分别为
r r r 定义：S = Ε × H
物理意义：
(
W/m2
)
r E
r S
能流密度矢量
r S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 r S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
r H
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例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间 填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电 流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的 功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面 进入每单位长度内导体的功率。
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1 时变电磁场波动方程 2 电磁能量守恒的坡印廷定理 3 惟一性定理
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1 波动方程
问题的提出 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系 波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程组 无源区的波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有 波动方程
r r ∂ E 2 ∇ E − με 2 = 0 ∂t
2
r 2 r ∂ H 2 ∇ H − με 2 = 0 ∂t
电磁波动方程
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推证
r r ⎧ ∂Ε ⎪∇ × H = ε ∂t ⎪ r r ⎪ ∂H ⎨∇ × Ε = − μ t ∂ ⎪ r ⎪∇ ⋅ H = 0 ⎪ r ⎩∇ ⋅ Ε = 0
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V S
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惟一性定理的证明
r r uu r uu r H 1和 E2 、 一的，那么至少存在两组解 E1 、 H 2 满足同样的麦克斯韦
方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令
利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟
r r r E0 = E1 − E2
r r r H 0 = H1 − H 2
P=∫
S
r r b .ez dS = ∫ S
a
UI 2πρ dρ = UI 2 2πρ ln(b a )
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（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方 向的电场
r E内 = r J
r r 根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 E外z = E
σ
r = ez
I π a 2σ
空间区域V中的电磁能量：
1 r r 1 r r W = ∫ w dV = ∫ ( E ⋅ D + H ⋅ B)dV V V 2 2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系： 进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
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r r r r E1 = E2 , H1 = H 2
惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。
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z 内
因此，在内导体表面外侧的电场为
r E外
ρ =a
r = eρ
U r I + ez π a 2σ a ln(b a )
r H外 r I = eφ 2π a
U
H I
Eρ
Ez
S S
磁场则仍为
H E Ez
ρ
ZL
ρ =a
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
r S外
ρ =a
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
d 1r r 1 r r 其中： ∫ ( E ⋅ D + H ⋅ B) dV dt V 2 2
—— 单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量
∫
V
r r E ⋅ J dV —— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；
在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率
S
− ∫
r r r ( E × H ) ⋅ dS
r r ∂E ∇ × ∇ × H = ∇ × (ε ) ∂t
同理可得
问题 若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？
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r r ∂ E 2 ∇ E − με 2 = 0 ∂t
2
r r r ∂ H 2 ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H = − με 2 ∂t r 2 r ∂ H 2 ∇ H − με 2 = 0 ∂t
r d r r r r 1r r 1 r r − ∫ S (E × H) ⋅ dS = dt ∫V ( 2 E ⋅ D + 2 H ⋅ B) dV + ∫V E ⋅ J dV
物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
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坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
r r E = eρ
U , ρ ln(b a )
r r I H = eφ 2πρ
( a < ρ < b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r r r r S = E × H = [eρ U UI r I r ] × (eφ ) = ez ρ ln(b a) 2πρ 2πρ 2 ln(b a)
穿过任意横截面的功率为
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坡印廷定理 表征电磁能量守恒关系的定理
r r ∂ 1r r 1 r r r r 微分形式： −∇ ⋅ (E × H ) = ( E ⋅ D + H ⋅ B) + E ⋅ J ∂t 2 2
r r r r r r r r r 积分形式： − (E × H ) ⋅ dS = d ( 1 E ⋅ D + 1 H ⋅ B) dV + E ⋅ J dV ∫S ∫V dt ∫V 2 2
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2 电磁能量守恒的坡印廷定律 讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
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电磁能量及守恒关系 电场能量密度： 磁场能量密度：
1r r we = E ⋅ D 2 1 r r wm = H ⋅ B 2
dW dt
S
V
1 r r 1 r r 电磁能量密度： w = we + wm = E ⋅ D + H ⋅ B 2 2
r r = ( E外 × H 外 )
ρ =a
r = −eρ
I2 UI r e + z 2π 2 a 3σ 2பைடு நூலகம் a 2 ln(b a )
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由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径 向分量，如图所示。 进入每单位长度内导体的功率为
P=∫
S
r S外
ρ =a
1 r . (−eρ )dS = ∫
由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得 r 2 t 1 r 2 1 r 2 ∫V ( 2 μ H 0 + 2 ε E0 )dV + ∫0 (∫V σ E0 dV )dt = 0
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上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有
r E0 = 0
即
uu r H0 = 0
（证毕）
r r r r r r r r r .e = (e × E ) . .E = 0 ( E0 × H 0 ) = ( H 0 × en ) n S n 0 H0 0
S
所以，得
r 2 d 1 r 2 1 r 2 ( μ H 0 + ε E0 )dV + ∫ σ E0 dV = 0 ∫ V V dt 2 2
将以上两式相减，得到
r r r r r r r r r ∂D r ∂B Ε ⋅∇ × H − H ⋅∇ × Ε = Ε ⋅ J + Ε ⋅ +H⋅ ∂t ∂t
在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有 r r r r r ∂D r ∂Ε 1 ∂ ( Ε ⋅ Ε ) ∂ 1 r r Ε⋅ =εΕ⋅ = ε = ( Ε ⋅ D) ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2 r r r r r ∂B r ∂H 1 ∂ ( H ⋅ H ) ∂ 1 r r H⋅ = μH ⋅ = μ = ( H ⋅ B) ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2
r r r uu 则在区域V 内 E0和H 0 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 E0的 r uu r uu r 切向分量为零或磁场强度 H 0的切向分量为零，且 E0 和 H 0 满足麦克
斯韦方程
r r r ∂E0 ∇ × H 0 = σ E0 + ε ∂t
r .( μ H 0 ) = 0 ∇
r r ∂H 0 ∇ × E0 = − μ ∂t
r .(ε E ) = 0 ∇ 0
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根据坡印廷定理，应有
− ∫
S
r r uu 根据 E0 和H 0 的边界条件，上式左端的被积函数为
S
r r r r 2 d 1 r 2 1 r 2 . ( E0 × H 0 )en dS = ∫ ( μ H 0 + ε E0 )dV + ∫ σ E0 dV V dt V 2 2
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3 惟一性定理
惟一性问题 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初 始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条 件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦 克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性定理 在以闭曲面S为边界的有界区域内V， 如果给定t＝0时刻的电场强度和磁场强度 的初始值，并且在 t ≥ 0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
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r r r r r r 再利用矢量恒等式： Ε ⋅∇ × H − H ⋅∇ × Ε = −∇ ⋅ ( Ε × H )
即可得到坡印廷定理的微分形式 r r r r ∂ 1 r r 1 r r −∇ ⋅ ( Ε × H ) = ( Ε ⋅ D + H ⋅ B) + Ε ⋅ J 2 ∂t 2 在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度 定理，即可得到坡印廷定理的积分形式
I2 I2 2 2 π a d z = = RI 0 2π 2 a 3σ π a 2σ
1 式中 R = 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导 2 πa σ
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向 引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中 的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。