人教数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案

（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得 是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
开平方，得
，或
解得
5．已知 为正整数，二次方程 的两根为 ，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有 ， ．于是，对正整数 ，有
原式=
6．解下列方程：
(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；
(2)(x＋1)2＝6x＋6.
【答案】(1)x1＝1＋ ，x2＝1－ (2) x1＝－1，x2＝5.
【解析】
试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
2．已知关于 的方程 和 ，是否存在这样的 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的 值；若不存在，请说明理由？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴ ，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= ﹣ +1=﹣ ．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣ 是负整数，即 是正整数．
10．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．
【答案】（1）a= ，方程的另一根为 ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.
∴x1＝－1，x2＝5.
7．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若 ，则m的值为多少？
【答案】（1） ；（2）m的值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简 ,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
整理，得m2﹣5m+2=0
解得m= ；
∵﹣1≤m＜1
所以m= ．
（2）T= +
=
=
=
=
=2﹣2m．
∵﹣1≤m＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0
即0＜T≤4且T≠2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．已知：关于x的一元二次方程 .
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
4．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得
（1）若此方程有两个实数根，求没 的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
8．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）令T= ，求T的取值范围．
【答案】（1）m= ；（2）0＜T≤4且T≠2．
【解析】
【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；（2）把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥- ；
（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∵ 即 =-1,
∴ =-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得：m1=﹣1，m1=3，
由（1）知m≥- ，
∴m1=﹣1应舍去，
∴m的值为3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=- ，但1-n= 不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=- (舍)，
综上所述，n=0.
3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.
试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝ ，∴x2－2x＋1＝ .
∴(x－1)2＝ .
∴x－1＝± ＝± .
∴x1＝1＋ ，x2＝1－ .
(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.
（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可．
【详解】
（1）将Fra Baidu bibliotek＝2代入方程 ，得 ，解得：a＝ ．
将a＝ 代入原方程得 ，解得：x1＝ ，x2＝2．
∴a＝ ，方程的另一根为 ；
（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.
②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．
【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m＜1
∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；
（1）∵x12+x22=6，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，
即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6
【答案】存在，n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.
【详解】
若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2= ，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，
【详解】
解：（1）∵ 有两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为： ；
（2）由根与系数的关系得： ， ，
由 得：
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则 ， ．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；
当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．
综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.
考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.