二次函数的系数的确定

x

y

( , )

( , )

O

二次函数的最值

最大值或最小值的求法：

第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 例1 求下列函数的最大值或最小值．

（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．

例2 某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ； （1）求出一次函数b kx y +=的解析式；

（2）若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．

用函数观点看一元二次方程

知识梳理：

1、一元二次方程02

=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2

与x 轴交

点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2

）

2、二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）

二次函数c bx ax y ++=2

与

一元二次方程02

=++c bx ax

与x 轴有 个交点

⇔

ac b 42- 0，方程有

的实数根

x

y

( , )

O

x

y

O

与x 轴有 个交点；这个交点是 点

⇔

ac b 42- 0，方程有

实数根

与x 轴有 个交点

⇔

ac b 42- 0，方程 实数

根.

3、二次函数c bx ax y ++=2

与y 轴交点坐标是 . 4.根据图象判断二次函数c b a 、、的符号

① 开口向上，所以可以判断a 。 抛物线c bx ax y ++=2

② 对称轴是直线x = ，由图象可知对称轴在y 轴的右

侧，则x >0，即 >0，已知a 0，所以可以判定b 0.

③ 因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c 0.

④ 抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有两个交点，所以ac b 42

- 0；

5、⑴a 的符号由 决定： ①开口向 ⇔

a 0；②开口向 ⇔ a 0.

⑵b 的符号由 决定： ① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ； ③ 是y 轴 ⇔b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0； ②点（0，c ）在原点 ⇔c 0； ③点（

0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.

⑷ac b 42

-的符号由 决定：

跟踪练习

1. 二次函数232

+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ；

3、已知抛物线922

+-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________．

4．已知抛物线122

-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________．

5、如图，一元二次方程02

=++c bx ax 的解为 。

6、抛物线c bx ax y ++=2如图所示：看图填空： （1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42

- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽； （8）930a b c ++⎽⎽⎽⎽；（9）420a b c ++⎽⎽⎽⎽

7、.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）

c

0; （4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；

8、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（ ）

A ．a ＞0，b ﹤O ，c ＞0

B ．a ﹤O ，b ﹤O ，c ＞0

C ．a ﹤O ，b ＞0，c ﹤O

D ．a ﹤O ，b ＞0，c ＞0

9、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

10、如图26-12，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：

①a ﹤O ，b ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④4a+2b+c=0． 正确结论的序号是 .

（5）

G

F

E

D

C

B

A 23．某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个

B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元。 （1）求这两种品牌计算器的单价；

（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器不超出5个按原价销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，求购买计算器的数量至少多少个时，购买B 品牌的计算器更合算？

24．已知等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC AC ，点G 在BC 上，连接AG ，过C 作CF ⊥AG ，垂足为点E ，过点B 作BF ⊥CF 于点F ，点D 是AB 的中点，连接DE 、

DF ．

（1）若∠CAG =30°，EG =1，求BG 的长； （2）求证：∠AED =∠DFE