9-法方程解算---高斯约化法
大地测量学重要名词解释简答题
大地测量学基础一、名词解释1、大地测量学：是指在一定的时间与空间参考系中，测量和描绘地球形状及其重力场并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息的一门学科。
2、天球：是指以地球质心O（或测站）为中心，半径r为任意长度的一个假想的球体。
3、大地基准：指用以描述地球形状的参考椭球的参数，以及参考椭球在空间中的定位及定向，还有在描述这些位置时所采用的单位长度的定义。
4、岁差：地球绕地轴旋转，由于日、月等天体的影响，地球的旋转轴在空间围绕黄级发生缓慢移动。
5、章动：地球旋转轴在岁差的基础上叠加18.6年的短期周圆周运动，振幅为9.21秒，这种现象称为章动。
6、极移：地球自转使地球体自身内部结构的相对位置变化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现象被称为极移。
7、恒星时(ST)：以春分点作为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间，称为恒星时。
8、真太阳时MT：以真太阳作为基本参考点，由其周日视运动确定的时间，称为真太阳时。
一个真太阳日就是真太阳连续两次经过某地的上中天（上子午圈）所经历的时间。
9、大地水准面：假想海洋处于完全静止的平衡状态时海水面延伸到大陆地面以下所形成的闭合曲面，叫大地水准面。
10、正常椭球：与地球质量相等且质量分布均匀的椭球。
11、正常重力加速度：正常椭球对其表面与外部点所产生的重力加速度。
12、正常位水准面：相应于正常重力加速度的重力等位面。
13、理论闭合差：由水准面不平行而引起的水准环线闭合差，称为理论闭合差。
14、正常椭球面：是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。
因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。
15、总的地球椭球：一个和整个大地体最为密合的。
总地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体最为密合。
16、参考椭球：具有确定参数(长半径 a和扁率α)，经过局部定位和定向，同某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球。
条件平差原理
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2111⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
数学史论文高斯
高斯对数学的主要贡献数学科学学院数学与应用数学李娜 20101103766指导教师套格图桑摘要正如莱布尼茨所说：“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。
”学习数学史能够正确的认识到数学是什么；数学的发展过程；数学的研究领域以及数学与其他学科的交叉；数学在人类文明过程中的作用。
数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个自然学科，毫不夸张的说，没有数学就没当今的文明。
因此，数学史是每一学习者的必修课程。
关键词高斯；十七边形作图；最小二乘法；贡献高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。
他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。
高理的数论研究总结在《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。
高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。
他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。
他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。
1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。
高斯的曲面理论后来由黎曼发展。
高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。
1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。
为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。
高斯和韦伯一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。
以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，写了《地磁的一般理论》，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
基于植被表面的激光测高仪回波波形模型化分析
被植被遮挡的地面 ，有着 巨大的潜力。第一个通过分析回波波形数据去分类地表不同 目 标物属性的算法是 在ＧＡ Ｌ Ｓ激光测高系统中实现的【，可以看出全波数据克服了经典多 回波数据的许多缺点，通过终端用户 ｊ Ｊ 的线下处理 ，全波数据能够 比三维点云数据提供更多的被照亮表面的结构细节信息 ，例如地表 目 标物反射 率以及处于地表和植被冠盖之间的低矮植被可被分离出来 ，可进一步提高地表测距精度。 目前有很多机构针对全波激光雷达回波信号处理和分析进行研究ｌ ， ４ 其中非线性最小二乘法 和基于 ＿ 圳 Ｅ Ｅ ｐｃ ｔ ｎＭａｉ ｚｔ ｎ的最大似然估计算法 被用于拟合高斯混合 回波 ，并提取回波中每个单模波 Ｍ（ｘｅｔ ｉ ｘ ａ ｏ） ａｏ ｍｉ ｉ 形的参数 ， 研究发现小激光足印回波分析更适合于高斯和函数 。 Ｊ 通过实际观察激光测高仪发射波形来看， 很多情况下其 出射脉 冲形状并不是左右对称的高斯波形 ，并且其下降沿尾部总存在过冲和拖拽 ，使用高斯 函数来近似这些波形并不能正确复现激光足印，这种情况下 ，通过更复杂的表达式 ，例如不同衰减系数的 双指数曲线，或许能更精确近似 出发射波形 。因此本文希望找出更好的波形拟合算法和模型 ，以此来提高
ｓ ｉ ｂ ｅ ｔ ｃ ｉｖ ｈ ｎ ｏ ｍａｉ ｎ ｏ ｅ ｔｒ ｅ ． ｔ ｔｅ ｌ ｓ ｒ ｉ ｕ ｓ ｓ ｓｉ ｈ ｌ ｓ ｍｍｅ ｒ ， ｎ ｐ ｒ ｘ ｍａ ｉ ｇ ｔ ｅ ｕ ｔ ｌ ｏ ａ ｈ ｅ ｅ ｔ ｅ ｉ ｆ ｒ ｔ ｆｔ ａ ｇ ｔ Ｂｕ ｈ ａ ｅ ｍｐ ｌｅ ｉ ｌ ｔ ａ ｙ ａ ｏ ｈ ｇ ｙ ｔｉ ａ ｄ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｈ ｃ ｎ ｗａ ｅ ｏ ｒ ｓｂ ｓｎ ｕ ｏ ｕ ｓａ ｓｍａ ｏ ｅ ａ ｃ ｕ ａｅ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｔ ｎ ｄ ｐ ｎ ｉ ｇ ｏ ｅａ ｐ ｉ ａｉ ｎ ａ ｄ ｔｒ ｅ． ｖ ｆ ｒｎ ｙ ｕ ｉ ｇ ａ ｓ ｍ ｆＧａ ｓ ｉｎ ｙ ｎ ｔｂ ｎ ａ ｃ ｒ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ａｉ ｅ ｅ ｄ ｎ ｎ ｔ ｐ ｌ ｔ ｎ ｇ ｔ ｏ ｈ ｃ ｏ ａ
整体最小二乘法及其在测量数据处理中的应用
整体最小二乘法及其在测量数据处理中的应用丁克良[1]，欧吉坤[2]，陈义[2]1北京建筑工程学院 测绘与城市空间信息学院；2中国科学院测量与地球物理研究所3 同济大学 测量与国土信息工程系Ding Ke-liang,OU Ji-kun，Chen yi(1Beijing Institute of Civil Engineering And Architecture, School of Geomatics andurban information, 1000442 Institute of Geodesy and Geophysics, Chinese Academy ofSciences, Wuhan, 4300773. Department of Surveying and Geo-Informatics , Tongji University , Shanghai 200092 , China)摘要在参数求解中，针对参数估计模型的观测向量和系数矩阵都可能存在误差情况，20世纪80年代提出了整体最小二乘方法。
本文系统阐述了整体最小二乘基本原理、思想，基于奇异值分解原理详细阐述了整体最小二乘的解算方法。
在对普通最小二乘和整体最小二乘深入比较的基础上提出要注意整体最小二乘应用条件问题。
关键词：普通最小二乘，整体最小二乘，奇异值分解；测量数据处理Abstract: For parameter solution, the total least square (TLS) method was proposed in early 80’s of twenty century as to deal with some estimation models that both the observation and design matrix are subject to errors. The basic concept of TLS, principle of computational algorithms for TLS based on the singular value decomposition theory are described systematically in this paper. The applicability and limitation of TLS in surveying data process are proposed based on comparisons and analyses between the ordinary least squares and the total least squares.Key words: ordinary least squares; total least squares; singular decomposition; surveying data process1绪论最小二乘法经历了百余年的发展考验，已经成为许多领域数据处理广泛应用的方法。
高动态_北斗_双频载波相位差分工程化方法
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载波相位差分方法
通过差分可消除或减弱电离层、 对流层、 接收机 钟差等对定位的影响 , 因此可大大提高相对测量精 度。通常使用的差分模式有位置差分、 伪距差分、 载 波相位差分三种, 三种差分模式精度依次递增, 载波 相位差分精度最高。传统的单频测量不能很好地消 除电离层的影响, 使得在长基线的情况下误差积累 严重 , 导致定位精度和可靠性下降。而通过利用北 斗系统的双频观测量, 并使其进行有效的线性组合, 便可以很好地消除电离层误差, 同时还可以加速整 周模糊度的收敛。鉴于双频载波相位差分的种种优
在实际应用中 , 应根据精度指标要求及平台的处理 能力, 从所有可用共视星中选择适当的星数进行相 对定位解算。下面给出一种新的可以从 n 颗共视星 中任意选取 m 颗进行相对定位解算的选星算法。 相对定位中的选星就是从 n 颗共视星中选出 m 颗组成观测 方程, 选星的主 要依据是 这 m 颗星的 RDOP 值最小。经 计算, 从 10 颗共 视星中 选出 6 颗 , 共有 210 种 情况 , 如果 采 用 每次 输 出 前计 算 RDOP 值的方法进行选星 , 将涉及到大量的矩阵乘 法与求逆计算 , 需要很大的计算量, 对硬件平台的要 求很高, 因此需要对选星算法进行设计与优化。我 们首先从组合遍历算法的优化入手, 并结合 RDOP 值的递推计算进行研究。 经典组合算法是一种递推算法 , 但在从一个组 合得到下一个组合的递推过程中, 往往需要多次进 行交换 , 交换效率较低, 为此改变递推的顺序 , 即可 得到新的每次仅 需一次交换的一步交 换的组合算 法。这在相对定位选星中 , 即相当于替换已选定的 m 颗共视星中的某一颗卫星而得到一个新的选星组 合 , 也就是有一颗共视星掉下, 而同时有一颗新的共 视星进入。利用一 步交换的组合算法及 RDOP 值 的递推 , 可以方便地从 n 颗共视星中选取 RDOP 值 最小的 m 颗卫星。且在组合遍历及 RDOP 值计算 过程中 , 仅仅需要针对第一个组合进行矩阵求逆以 获得相应的 RDOP 值, 在后续的组合遍历过程中无 需 再进 行 矩 阵 求 逆 运 算, 只 需 根据 前 一 组 合 的 RDOP 值, 进行几次矩阵相乘运算即可方便地计算 出新组合的 RDOP 值。该算法既可避免大量的矩 阵求逆运算, 节省计算量, 又可以根据实际需要从 n 颗共视星中选择所需的 m 颗导航卫星 , 且导航卫星 数 m 的选取灵活可变, 能满足不同的需求。
第三章 线性方程组的解算
第三章 线性方程组的解算测绘观测数据处理主要采用最小二乘法进行解算，平差计算中的法方程式为线性方程组。
本章主要介绍线性方程组解算及相应的程序设计。
§3-1 高斯（GAUSS ）消去法3.1.1 非对称方程组求解设有非对称方程Ax = b ，其中，A 是 m ×m 阶非奇异实矩阵，b 是给定的m ×1阶向量。
为了说明简便，下面表3-1以4阶方程组为例介绍消去法的具体做法。
（设矩阵A 的主元素不等于零）表3-1 消去法解非对称线性方程根据上表的消去过程，归纳如下：1. 消去第k 个未知数是从k+1行开始，使第k 列所有元素为零。
（k = 1，2，…， m －1）2. 从第k+1列开始，各元素为 )1(/)!()1()1()(-----=k kkak kj a k ik a k ij a k ij a (3-1) )1()1()1()1()(/-----=k kk k k k ik k i k ia b a b b (3-2)用赋值语句写为kk akjaik a ij a ij a /-⇐(3-3) kk k ik i i a b a b b /-⇐(3-4)k = 1，2，…，m－1；i = k+1，… ，m；j = k+1，… ，m。
将上述消去过程用VB语言写成程序如下：Sub GS1(m as Integer)Dim c as DoubleFor k=1 To m-1For i=k+1 To mc=a(I,k)/a(k,k)For j=k+1 to ma(I,J)=a(I,J)-c *a(k,J)Next jb(i)=b(i)-b(k)*cNext iNext kEnd Sub3.1.2 列主元消去法为了避免主元素等于零而使消去过程失败，有时由于主元素的有效数字严重损失而使舍入误差的相对误差增大，舍入误差扩散使得最终答解极不准确。
为克服这些困难，选主元消去法是有效的。
大地测量学知识点
大地测量学知识点第一篇：大地测量学知识点1.大地坐标系：地面点在参考椭圆的位置用大地经度和纬度表示，若地面的点不在椭球面上，它沿法线到椭球面的距离称为大地高2.空间大地直角坐标系：是大地坐标系相应的三维大地直角坐标系3.地心坐标系：定义大地坐标系时，如果选择的旋转椭球为总地球椭球，椭球中心就是地质中心，再定义坐标轴的指向，此时建立的大地坐标系叫做地心坐标系大地方位角：p点的子午面与过p点法线及Q点的平面所成的角度正高系统：地面上一点沿铅垂线到大地水准面的距离正常高系统：一点沿铅垂线到似水准面的距离国家水准网布设的原则：从高级到低级，从整体到局部，分为四个等级布设，逐级控制，逐级加密4.理论闭合差：在闭合的环形水准路线中，由于水准面不平行所产生的闭合差5.大地高系统：地面一点沿法线到椭球面的距离6.平面控制网的测量方法三角测量：在地面上按一定的要求选定一系列的点，他们与周围的邻近点通视，并构成相互联接的三角网状图形，称为三角网，网中各点称为三角点，在各点上可以进行水平角测量，精确观测各三角内角，另外至少精确测量一条三角形边长度D和方位角，作为网的起始边长和起始方位角，推算边长，方位角进而推算各点坐标三边测量：根据三角形的余弦公式，便可求出三角形内角，进而推算出各边的方位角和各点坐标7.国家高程基准的参考面有平均海水面，大地水准面，似大地水准面，参考椭球面1956年黄海高程系统1985年国家高程基准8.角度观测误差分析视准轴误差：视准轴不垂直于水平轴产生水平轴误差：水平轴不垂直于垂直轴产生这2个的消除误差方法为取盘左盘右读数取平均值垂直轴倾斜误差：垂直轴本身偏离铅垂线的位置，即不竖直解决的方法：观测时，气泡不得偏离一格，测回之间重新整理仪器，观测目标的垂直角大于3度，按气泡偏离的格数计算垂直轴倾斜改正9.方向观测法是在一测回内将测站上所有要观测的方向先置盘左位置，逐一照准进行观测，再盘右的位置依次观测，取盘左盘右的平均值作为各方向的观测值。