第6讲 算符的运算规则

则称
ˆ 为线性算符， ˆ A 为线性算符，如: p x = −ih ∂ ∂x
ˆ ˆ 为单位算符， A 为单位算符，并记为 A = I
2、单位算符 ˆ ˆ ∀ψ , 对算符A, 若 Aψ = ψ
则称
3、算符相等 ˆ ˆ ˆ ˆ 则称两个算符相等， ∀ψ, 对算符 A 和 B ,若 Aψ = Bψ ，则称两个算符相等， ˆ ˆ 记为 A= B 5
2、坐标动量对易关系——最基本对易关系 坐标动量对易关系——最基本对易关系 ——
= −ih ∂ ∂α , α = x, y, z. ˆ ˆ ˆ 为例，坐标表象中 x 以 α = x 为例，坐标表象中， = x，计算 [ x, p x ]
动量算符在坐标表象中 ˆ 动量算符在坐标表象中：pα 在坐标表象
ˆ ˆ ∴ ( xp x − p x x)ψ = ihψ ⇒
∂ ˆ ∀ψ , xp xψ = −ihx ψ ∂x ∂ ∂ ˆ p x xψ = −ih ( xψ ) = −ihψ − ihx ψ ∂x ∂x
ˆ ˆ [x, px ] =ih
8
四、算符的对易关系（2） 算符的对易关系（ ˆ ˆ ˆ ˆ 同理： 同理： [ y, p y ] = ih [ z , p z ] = ih
14
五、厄米算符（1） 厄米算符（
1、逆算符
ˆ ˆ 其中： 使得 Aψ = φ ，则可将 ψ 表示为 ψ = A−1φ ，其中：
ˆ 已知算符 A 和任意波函数 φ ，若存在唯一的 ψ ，
ˆ −1称为算符 A的逆算符 ˆ 算符A
ˆ A−1 = A−1 A = I , ˆ ˆ Aˆ ˆ , A−1 ] = 0 [A ˆ
ˆ B ) −1 = B −1 A−1 ˆ ˆ (A ˆ
15
五、厄米算符（2） 厄米算符（
ˆ ˆ 2、转置算符 若 ∫ ψ * B ϕ d τ = ∫ ϕ A ψ * d τ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 即， 则称B ≡ A 为A的转置算符。 ∫ ψ * A ϕ d τ = ∫ ϕ A ψ * d τ
∴[lˆx , y ]ψ = ihzψ → [lˆx , y ] = ihz
11
四、算符的对易关系（5） 算符的对易关系（
ˆ ˆ 同理可得： ˆ 同理可得：[l x , x ] = 0, [l x , y ] = ihz , [l x , z ] = −ihy , [lˆy , x] = −ihz , [lˆy , y ] = 0, [lˆy , z ] = ihx, [lˆz , x] = ihy, [lˆz , y ] = −ihx, [lˆy , z ] = 0,
同样可证明： 同样可证明： ˆ ˆ ˆ [lˆx , p y ]ψ = (lˆx p y − p y lˆx )ψ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −ih[( y − z )(−ih ψ ) − (−ih )( y − z )ψ ] ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ = h 2[ y −z 2ψ − −y +z 2] ∂z∂y ∂y ∂z ∂z∂y ∂y ∂ψ 2 ∂ψ ˆ ˆ ˆ =h = −ih (−ih ) = −ihp zψ ⇒ [lˆx , p y ] = −ihp z 12 ∂z ∂z
5、厄米算符
ˆ , 若 A+ = A, 则称A为厄米算符, 或自共轭算符。 ˆ ˆ ˆ ∀A ~* ˆ ˆ ˆ ˆ 也就是说，∀A, 若 A = A , 则A就是厄米算符。
由此导致量子力学中的一个基本问题： 由此导致量子力学中的一个基本问题：
对易关系
7
四、算符的对易关系（1） 算符的对易关系（
1、对易式
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ∀A, B和ψ , [ A, B ]ψ ≡ ABψ − BAψ
ˆ ˆ ˆ ˆ 通常情况： ˆ ˆ 简记为： ˆ ˆ 简记为： A, B ] ≡ AB − BA ，通常情况：[ A, B ] ≠ 0 [
4、厄米共轭
~* ˆ ˆ ˆ ˆ ∀A, 则A的共轭转置算符 A 称为A的厄米共轭算符, ~* ~* + + + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 记为A , 即A ＝A 。 如 p x = p x
ˆ 和 B , 则 ( AB ) + = B + A + ˆˆ ˆ ˆ ∀A ˆ
17Baidu Nhomakorabea
五、厄米算符（4） 厄米算符（
三、算符的运算规则（2） 算符的运算规则（
4、算符之和 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∀ψ , 对算符A和B, 如果( A + B )ψ = Aψ + Bψ , ˆ ˆ ˆ ˆ 则称A + B为算符A与B之和 5、算符之和的交换律和结合律 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∀ψ , 若( A + B )ψ = ( B＋A)ψ → A和B满足交换律 ˆ （ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∀ψ，若[ A + B＋C )]ψ = [( A + B )＋C ]ψ ,
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第六讲 算符的运算规则 厄米算符
1
第6讲目录 讲目录
一、算符引入的回顾 二、力学量在坐标表象下算符的形式 三、算符的运算规则 四、算符的对易关系 五、厄米算符 六、例题
2
一、算符引入的回顾
为了在坐标表象中计算动量的平均值: 为了在坐标表象中计算动量的平均值 坐标表象中计算动量的平均值 +∞ +∞ v 3 v 3 * v v * v p = ∫ ϕ ( p) pϕ ( p)d p = ∫ψ (r )(−ih∇)ψ (r )d r
同理可得： 同理可得：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, BC ] = [ A, B ]C + B[ A, C ]
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ AB, C ] = A[ B, C ] + [ A, C ]B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, [ B + C ]] + [ B, [C , A] + [C , [ A, B ]] = 0
∂ ∂ ˆ 但是， ˆ 但是， ( xp y − p y x )ψ = − xih ( ψ − ψ ) = 0 ∂y ∂y 即： [ x , p y ] = 0
归纳起来，得到： 归纳起来，得到：
ih, α = β ˆ [α, pβ ] =ihδαβ = 0, α ≠ β
α , β = x, y , z
四、算符的对易关系（6） 算符的对易关系（
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [lˆx , p x ] = 0, [lˆx , p y ] = ihp z , [lˆx , p z ] = −ihp y , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 即： [l y , p x ] = −ihp z , [l y , p y ] = 0, [l y , p z ] = ihp x , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [lˆz , p x ] = ihp y , [lˆz , p y ] = −ihp x , [lˆy , p z ] = 0,
同理证明： 同理证明：
[lˆx , lˆx ] = 0, [lˆy , lˆy ] = 0, [lˆz , lˆz ] = 0, [lˆx , lˆy ] = ihlˆz , [lˆy , lˆz ] = ihlˆx , [lˆz , lˆx ] = ihlˆy
称为角动量平方算符 角动量平方算符， 令：lˆ 2 = lˆx2 + lˆy2 + lˆz2 ,称为角动量平方算符，有：
−∞
v v v v ˆ ≡ −ih∇ = −ih( ∂ ex + ∂ e y + ∂ e y ) 引入了动量算符: 引入了动量算符: p ∂x ∂y ∂y
从而，动量平均值可以表示为: 从而，动量平均值可以表示为:
+∞
−∞
v v v 3 ˆ p = ∫ ψ ( r ) pψ ( r ) d r
* −∞
3
二、力学量在坐标表象下算符的形式
h2 2 2 ˆ ˆ 动能 T = p / 2m ，动能算符 T = p 2 / 2m = − ∇ 2m 2 2 2
∂ ∂ ∂ 其中： 其中： ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2
+∞
ˆ 动能平均值： 动能平均值： T = ∫ψ * (r )Tψ (r )d 3r
ˆ 2 , lˆ ] = 0, [lˆ 2 , lˆ ] = 0, [lˆ 2 , lˆ ] = 0 [l x y z
13
四、算符的对易关系（7） 算符的对易关系（
4、对易恒等式
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ [ A , B ]ψ = [ A B − B A ]ψ = [ − B A + A B ]ψ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = − [ B , A ]ψ ,∴ [ A , B ] = − [ B , A ]
v
v
v v v 角动量 l = r × p
−∞
，角动量算符
v v v v v ˆ =r×p=r×p ˆ l ˆ ˆ
v +∞ * v r v 3 ˆ 角动量平均值： 角动量平均值： l = ψ ( r )l ψ ( r ) d r ∫
−∞
4
三、算符的运算规则（1） 算符的运算规则（
1、线性算符 ˆ ∀波函数ψ 1、ψ 2 , 并且∀常数c1 , c2。对算符A, 如果 ˆ ˆ ˆ A(c1ψ 1 + c2ψ 2 ) = c1 Aψ 1 + c2 Aψ 2
∂ ˆ p x = −ih , ∀ψ和ϕ , 有 ∂x +∞ +∞ +∞ ∂ * * * +∞ * ∂ ˆ xψ = −ih ∫ dxϕ ψ = −ih[ϕψ − ∫ dxψ ϕ] ∫ dxϕp −∞
−∞ −∞ +∞ +∞ ∂ * * ~ ˆ ˆ = ih ∫ dxψ ϕ = ∫ dxψ ( − p x )ϕ = ∫ dxψ ( p x )ϕ −∞ −∞ −∞ ∂x ~ ˆ ˆ 所以，p x = －p x . 注意用到了 | x |→ ∞,ψ ( x) → 0的条件 +∞ *
四、算符的对易关系（4） 算符的对易关系（
角动量算符和坐标算符的对易关系 ˆ = − i h ( y ∂ − z ∂ ),∴ [ lˆ , x ]ψ = ( lˆ x − x lˆ )ψ = 0 Q lx x x x ∂z ∂y
[lˆx , y ]ψ = (lˆx y − ylˆx )ψ ∂ ∂ ∂ ∂ = −ih[( y − z )( yψ ) − y ( y − z )ψ ] ∂z ∂y ∂z ∂y ∂ψ ∂ψ 2 ∂ψ 2 ∂ψ = −ih[ y − zψ − zy −y + zy ] ∂z ∂z ∂z ∂z = ihzψ
ˆ ˆ ˆ A、B和C满足结合律
6
三、算符的运算规则（3） 算符的运算规则（
6、算符之积
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ∀ψ , 对A和B, 如果( AB )ψ = A( Bψ ), ˆˆ ˆ ˆ 则称AB为算符A与B之积
一般说来，算符之积不满足交换律， 一般说来，算符之积不满足交换律，即：
ˆB ≠ BA ˆ ˆˆ A
∂x
−∞
∂x
~ ~~ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ∀A和B, 设C = AB, 则C = B A
束缚态条件
16
五、厄米算符（3） 厄米算符（
3、共轭算符
ˆ , 称A*为A的共轭算符 ˆ ˆ ∀A
∂ ∂ * ∂ * ˆ ˆ ˆ 如p x = −ih , 则p x = ( −ih ) = ih = − p x ∂x ∂x ∂x
9
四、算符的对易关系（3） 算符的对易关系（
3、角动量的对易式 v v v v v v ˆ ˆ ˆ 角动量： 所以角动量算符： 角动量： = r × p ， 所以角动量算符： l = r × p l v ˆ = −ih∇ = −ih (ex ∂ + e y ∂ + ez ∂ ) ˆ ˆ ˆ 在坐标表象中 在坐标表象中：p ∂x ∂y ∂z v v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r = r = ex x + e y y + ez z l = ex l x + e y l y + ez l z
ˆ = yp − zp = −ih ( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy lx ∂z ∂y ˆ = zp − xp = −ih ( z ∂ − x ∂ ) ˆx ˆz ly ∂x ∂z ˆ = xp − yp = −ih ( x ∂ − y ∂ ) ˆy ˆx lz ∂x ∂y
x
z
y
顺时针： 顺时针：正号 逆时针： 逆时针：负号 10