最新版教材高中数学必修二知识讲解_直线的点斜式与两点式_提高

直线的点斜式与两点式方程

【学习目标】

(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式； (2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。 【要点梳理】

要点一：直线的点斜式方程

方程)(00x x k y y -=-由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(00x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.

要点诠释：

1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线；

2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1y y =；

3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1x x =.

4.0

y y k x x -=

-表示直线去掉一个点),(000y x P ；)(00x x k y y -=-表示一条直线.

要点二：直线的斜截式方程

如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，根据直线的点斜式方程可得)0(-=-x k b y ，即

b kx y +=.我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距，方程b kx y +=由

直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程b kx y +=叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.

要点诠释：

1.b 为直线l 在y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；

2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；

3.当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.

4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线.

5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程b kx y +=中，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距. 要点三：直线的两点式方程 经过两点

)

,(),,(222111y x P y x P (其中

2

121,y y x x ≠≠)的直线方程为

11

12122121

(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.

要点诠释：

1.这个方程由直线上两点确定；

2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.

3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.

4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式

11

12122121

(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转

化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．

要点四：直线的截距式方程

若直线l 与x 轴的交点为A(a ，0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中0,0≠≠b a ，则过AB 两点的直线方程为

1=+b

y

a x ，这个方程称为直线的截距式方程.a 叫做直线在x 轴上的截距，

b 叫做直线在y 轴上的截距.

要点诠释：

1.截距式的条件是0,0≠≠b a ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.

2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y 轴上的截距；令y= 0得直线在x 轴上的截距. 要点五：中点坐标公式

若两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且线段12P P 的中点坐标为(x ，y)，则x=122x x +，y=12

2

y y +，则此公式为线段12P P 的中点坐标公式．

要点六：直线方程几种表达方式的选取

在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．

【典型例题】

类型一：点斜式直线方程

例1．已知直线l 过点（1，0），且与直线1)y x =-的夹角为30°，求直线l 的方程。

【答案】x=1或(1)3

y x =

-

【解析】 ∵直线1)y x =-60，且过点（1，0）。

又直线l 与直线1)y x =-的夹角为30°，且过点（1，0），由下图可知，直线l 的倾斜角为30°或90°。

故直线l 的方程为x=1或(1)3

y x =

-。

【总结升华】（1）由于直线l 过点（1，0），因此求直线l 的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。

（2）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k 是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标。

（3）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程y ―y 0=k(x ―x 0)可知该直线过定点P （x 0，y 0）且斜率为k 。

举一反三： 【变式1】（1）直线y=x+1绕着其上一点P （3，4）逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程；

（2）直线l 过点P （2，－3），且与过点M （－1，2），N （5，2）的直线垂直，求直线l 的方程． 【答案】（1）x+y －7=0（2）x=2 【解析】（1）直线y=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＇=tan135°=－1．

又点P （3，4）在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4=－(x －3)，即x+y －7=0． （2）直线MN 的斜率22

05(1)

k -=

=--，所以该直线平行于x 轴．

又直线l 垂直于直线MN ，因此直线l 的倾斜角为90°，又直线l 过点P （2，－3），所以直线l 的方程为x －2=0，即x=2．

【总结升华】用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．

【变式2】 直线1l 过点P （－l ，2），斜率为3

-1l 绕点P 按顺时针方向旋转30°得直线2l ，求直线1l 和2l 的方程．

【答案】21)3

y x -=-

+ 2(1)

y x -=+ 【解析】 1l 的方程可以由点斜式直接写出，2l 经过点P ，因此，关键是求出k 2，利用数形结合的方

法，找出2l 的倾斜角是关键

直线1l 的方程是21)3

y x -=-

+．

∵11tan 3

k α=-

，∴1150α=︒． 如图，1l 绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线2l 的倾斜角为215030120α=︒-︒=︒，∴

2tan120k =︒=2l 的方程为21)y x -=+． 【总结升华】 本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜角之间的关系，再利用1l 的斜率已知，