2011-2012学年北京四中高二(上)期中数学试卷(解析版)

2011-2012学年北京四中高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1. 过点(1, 0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程是( )

A.x−2y−1=0

B.x−2y+1=0

C.2x+y−2=0

D.x+2y−1=0

2. 已知过点A(−2, m)和B(m, 4)的直线与直线2x+y−1=0平行，则m的值为()

A.0

B.−8

C.2

D.10

3. 圆x2+y2−2x+6y+1=0的半径为（）

A.1

B.3

C.6

D.9

4. 圆x2+y2−2x−3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）

A.相交

B.相离

C.外切

D.内含

5. 如果x，y是实数，那么“cos x=cos y”是“x=y”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 若点(x, y)在不等式组{

x−2≤0

y−1≤0

x+2y−2≥0

表示的平面区域内运动，则t=x−y的取值范围是（）

A.[−2, −1]

B.[−2, 1]

C.[−1, 2]

D.[1, 2]

7. 若两直线3x+4y−3=0与6x+my+2=0平行，则它们之间的距离为（）

A.1

B.1

2C.2

5

D.4

5

8. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）

A.x2

9+y2

16

=1 B.x2

25

+y2

16

=1

C.x2 25+y2

16

=1或x2

16

+y2

25

=1 D.以上都不对

9. 圆：x2+y2−2x−2y+1＝0上的点到直线x−y＝2的距离最大值是（）

A.2

B.1+√2

C.1+√2

2

D.1+2√2

10. 若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a, b)与圆C的位置关系是（）

A.点在圆上

B.点在圆内

C.点在圆外

D.不能确定

11. 若中心在原点，焦点坐标为(0, ±5√2)的椭圆被直线3x−y−2=0截得的弦的中点的横坐标为1

2

，则椭圆

方程为()

A.2x2

25

+2y2

75

=1 B.2x2

75

+2y2

25

=1

C.x2

25

+y2

75

=1 D.x2

75

+y2

25

=1

12. 若圆x2+y2−4x−4y−10＝0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by＝0的距离为2√2，则直线l的倾

斜角的取值范围是（）

A.[π

12

,π

4

] B.[π

12

,5π

12

] C.[π

6

,π

3

] D.[0,π

2

]

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

直线y=3x−3绕着它与x轴的交点顺时针旋转π

2

所得的直线方程为________．

若焦点在x轴上的椭圆x2+y2

m

=1的离心率为√3

2

，则m的值是________．

已知圆C:x2+y2+2x−4y+m=0与直线l:y=x+2相切，且圆D与圆C关于直线l对称，则圆D的方程是

________．

已知直线y=2x+b与曲线y=√2x−x2有且仅有一个公共点，则b的范围是________．

三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分

已知O为坐标原点，△AOB中，边OA所在的直线方程是y=3x，边AB所在的直线方程是y=−1

2

x+7，且顶

点B的横坐标为6．

（1）求△AOB中，与边AB平行的中位线所在直线的方程；

（2）求△AOB的面积；

（3）已知OB上有点D，满足△AOD与△ABD的面积比为2，求AD所在的直线方程．

如图，Rt△ABC的顶点坐标A(−3, 0)，直角顶点B(−1, −2√2)，顶点C在x轴

上．

（1）求BC边所在直线方程；

（2）M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；

（3）直线l与圆相切于第一象限，求切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的切线方程．四、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

圆x2+y2−4x=0在点P(1, √3)处的切线方程为（）

A.x+√3y−2=0

B.x+√3y−4=0

C.x−√3y+4=0

D.x−√3y+2=0

过定点(1, 2)可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2−15=0相切，则k的取值范围是() A.k>2 B.−32 D.以上皆不对

曲线x2+y|y|=1与直线y=kx有且仅有两个公共点，则k的取值范围是（）

A.(−∞, −1)∪(1, +∞)

B.(−∞, −1]∪[1, +∞)

C.(−1, 1)

D.[−1, 1]

五、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

△ABC中，A(−2, 0)，B(2, 0)，则满足△ABC的周长为8的点C的轨迹方程为________．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x−5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于1

2

a2．

其中，所有正确结论的序号是________．

六、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

动圆C的方程为x2+y2+2ax−4ay+5=0．

(1)若a=2，且直线y=3x与圆C交于A，B两点，求弦长|AB|；

(2)求动圆圆心C的轨迹方程；

(3)若直线y=kx−2k与动圆圆心C的轨迹有公共点，求k的取值范围．

已知双曲线方程为x2

a2

−y2

b2

=1(a>0,b>0)，椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点．

（1）当a=√3，b=1时，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，直线l:y=kx+1

2

与y轴交于点P，与椭圆交与A，B两点，若O为坐标原点，△AOP 与△BOP面积之比为2:1，求直线l的方程；

（3）若a=1，椭圆C与直线l′:y=x+5有公共点，求该椭圆的长轴长的最小值．