2018中科大理论力学期末试题及答案
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⼀、（20分）自聚焦光纤具有轴对称的折射率分布
n r=n!1−α!r!
其中n!>0, α是较小的正常数, r是到光纤中轴线的距离。建立柱坐标系r,θ,z, θ表示绕中轴线的转角, z轴沿中轴线⽅向. 光线的轨迹记为
r=rλ,θ=θλ,z=zλ
根据费马原理，⼏何光学的拉⽒量可以写成
L=1
2
n!!1−α!r!r!+r!θ!+z!
（1）找出尽可能多的首次积分, 并说明理由； （2）写出这个系统的哈密顿量以及正则⽅程。
解：
(1)θ和z是循环坐标, 相应的⼴义动量守恒,
p!=ðL
ðθ
=n!!1−α!r!r!θ=c!
p!=ðL
ðz
=n!!1−α!r!z=c!
另外拉⽒量不含时, ⼴义能量守恒,
H=p!r+p!θ+p!z−L=E 拉⽒量是⼴义速度的⼆次多项式, 因此
ðL
q!
q!=2L
H=2L−L=L
即
H=1
2
n!!1−α!r!r!+r!θ!+z!=E
是首次积分.
评分标准：给出前两个首次积分各2分，后⼀个4分.
(2)由
p!=n!!1−α!r!r
p!=n!!1−α!r!r!θ
p!=n!!1−α!r!z 解出
r=
1
n!!1−α!r!
p!
θ=
1
n!!1−α!r!
p!
r!
z=
1
n!!1−α!r!
p!
代⼊
H=1
2
n!!1−α!r!r!+r!θ!+z!
得
H t,r,p!,θ,p!,z,p!=
1
2n!!1−α!r!
p!!+
p!!
r!
+p!!
正则⽅程为
r=
1
n!!1−α!r!
p!
p!=−
α!r
n!!1−α!r!!
p!!+
p!!
r!
+p!!+
1
n!!1−α!r!
p!!
r!
=−
α!r
n!!1−α!r!!
p!!+−
1
α!r!
+
2
r!
p!!+p!!
θ=
1
n!!1−α!r!
p!
r!
,p!=0
z=
1
n!!1−α!r!
p!,p!=0
评分标准：给出哈密顿量6分，正则⽅程6分.
⼆、（12分）质量为m，位⽮为r，动量为p的质点受到立⽅反比有⼼⼒的作用，其哈密
顿函数为H=!!
!!−!
!!
，其中k是常数，r=|r|，p=|p|
（1）计算泊松括号[G,H]，其中G=!∙!
!
−Ht，t表示时间； （2）请判断G是否为运动积分。
解：（1）G,H=!∙!
!−Ht,H=!∙!
!
,H=!∙!
!
,!!
!!
−!
!!
=
1
4m
p∙r,p!−
k
2
p∙r,
1
r!
=
1
4m
p!x!
!
!!!
,p!p!
!
!!!
−
k
2
p!x!
!
!!!
,
1
r!
=
1
2m
p!p!x!,p!
!
!,!!!
−
k
2
x!
!
!!!
p!,
1
r!
=
1
2m
p!p!δ!"
!
!,!!!
+
k
2
x!
!
!!!
ð
ðx!
1
r!
=p!
2m
−
k
r!
x!
!
!!!
x!
r
=
p!
2m
−
k
r!
=H
（2）!"
!"=!"
!"
+G,H=−H+H=0
所以G是运动积分。
评分标准：计算出泊松括号6分，G是运动积分6分.
三、（18分）考虑⼀维简谐振⼦，其哈密顿函数为H=!!
!!+!
!
mω!q!，m为质量，ω为
固有角频率：
（1）证明变换Q=p+imωq,P=!!!"#$
!!"#
为正则变换，并求出⽣成函数F!(q,Q)，其中i为虚数单位；
（2）求变换后的哈密顿函数K(Q,P)，并用变换后的正则变量Q,P求解该简谐振⼦的运动。
解：（1）pdq−PdQ=pdq−!!!"#$
!!"#
d p+imωq
=1
2
pdq−
pdp
2imω
+
1
2
qdp+
imω
2
qdq
=d(1
2
pq−
p!
4imω
+
imω
4
q!)
为全微分，因此题中变换为正则变换
F!q,Q=1
2
pq−
p!
4imω
+
imω
4
q!
=1
2
Q−imωq q−
Q−imωq!
4imω
+
imω
4
q!
=qQ−imω
2
q!−
1
4imω
Q!
（2）K Q,P=H+!!!
!"
=H
=p!
2m
+
1
2
mω!q!=
1
2m
p!+m!ω!q!
=
1
2m
p+imωq p−imωq=
1
2m
Q2imωP=iωQP
相应的正则⽅程为 Q=!"
!"=iωQ，P=−!"
!"
=−iωP
求解得 Q=Q!e!"#,P=P!e!!"#
评分标准：（1）判断变换为正则变换9分，（2）得到正确的解9分.
四、（25分）⼆维各向同性谐振⼦在极坐标中的势能为：V r,θ=!
!
k r!。试用哈密顿-雅克比⽅法在极坐标中求解⼆维谐振⼦的动⼒学⽅程及其解（得到积分形式的解即可）。在极坐标系下
H=
1
2m
p!!+
p!!
r!
+
k
2
r!
=
1
2m
(
ðW
ðr
)!+
1
r!
(
ðW
ðθ
)!+
k
2
r!=E