高等数学 第六章定积分的应用习题课
6-1,6-2元素法,定积分在几何上的应用
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
问题：积分变量只能选 x吗？
y x2
x x+dx
9
解法2. 两曲线的交点 (0,0)，(1,1)
选 y为积分变量，y [0,1]
y dy
y
x y2 y x2
面积元素 dA ( y y2 )dy
A
1(
0
y
y2 )dy
2
3
3
y2
y3 1
3
0
1. 3
14
例4 求椭圆 x2 y2 1的面积.
a2 b2
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4
a
ydx 4
0
bsintd(a cost)
o
上曲线 下曲线
y g(x)
a xx xb x
6
(3)以 x ( y) 为曲边，以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.
d
d
A c ( y)dy
xdy
c
(4)由曲线x ( y)，x ( y), c y d,
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
其面积元素为：
dA [ ( y) ( y)]dy，则面积为
第六章 定积分的应用
6-1、定积分的元素法 回顾(求曲边梯形的面积)
设函数 y f (x)( f (x) 0) 在[a,b]上连续，求以 y f (x)为
曲边， 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.
b
A a f ( x)dx
y
y f (x)
A
oa
六章定积分应用ppt课件
WF(ba)
F
a
b
若F 为变力，力对
物体所作的功W=？
例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点， 求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。
解: 如图建立坐标系：在上述移动过程中，电场
对q1作用力是变化的。
(i)取r为积分变量，则 r[a,b] q0
q1
(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] o a
br
的功元素
dW Fdrkq0q1dr
(iii)所求功
r2
W
b
k
a
qr0q21dr
kq0q1
(1) r
b a
kq0q1(1ab1)
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等 温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S） 从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。
解: 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。
引力
问题的提出：从物理学知道，质量分别为m1、m2，相
距为r的两质点间的引力大小为
F Gmr1m2 2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。
如何计算一根
细棒对一个质点的 引力F=？
r
o
m1
m2 x
例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在
其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。
试计算该棒对质点M的引力。
x
问题的解决方法： 定积分元素法
以液面为y轴，x轴铅直向下。
设平板铅直位于液体中形状如图。
o
距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的
矩形平板所受压力的近似值，即压力 元素为
a x x+dx
高等数学-第七版--6-3定积分应用习题课
求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
分析
积分变量: t 积分区间: [0, ]
y
d
F
G
(x2 x2
y
2
)
3 2
y2
d
s
G( x 2
2
y
2
)
1 2
d
s
B
d Fx
d
F
cos
G(
x2
y
2
)
1 2
x
x2
G x d s 3Ga2 cos4 t sin td t
y2
ds
d s (x,
o
y)
Ax
d Fy d F sin G y d s 3Ga2 cos t sin4 td t
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
例5 求由曲线x=acos3t,y=asin3t的所围成的图形的面积
例6 求曲线
与
所围成图形的公共部分的面积 . r2 a(cos sin )
o
r1 a cos
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
【高数】第六章 定积分 答案-推荐下载
A(0) 1 , A(1) 1 , A(1) 2
3 24
y )dy
3
所以当t时，1 面积之和最大，当t时，1面积之和最小。 2
24
24
2
1 12,0x2
0, x 1
1
2dx
0
2c
, x 1
c te2t dt 。
c
2
0dx
1
)x lim (1
x
x x c
c e2tdt)
62
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
南理工高等数学上第6章定积分应用61
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
o
x
2
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d . 2
例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
一象限部分面积
y x
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi值
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
可看作平面图OABC 与OBC
x x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dt
0
2a
x
2
1
(
y
)dt
0
济南大学高等数学C(一)5定积分及其应用-疑难解答
第六章 定积分及其应用习题6-1 定积分的概念下列定积分：利用定积分的定义计算.1⎰21;)1(-dx x[]等分个分点，把区间中插入在闭区间解：n n 12,1.10-- ,211210=<<<<<=--n n x x x x x.3)1(2Δn n x i =--= ).,,2,1(31n i i nx i =+-=[]，所以因为中取右端点为在每个区间x x f i nx ξx x i i i i =+-==-)(.31,.210.3)31(ΔΔ)(111∑∑∑===⋅+-==ni i n i i i n i i ni n x ξx ξf .2)1(939393Δ)(212121+⋅+-=+-=+-=∑∑∑===n n n i n i n x ξf n i ni i ni i 即{})Δ(232)1(93lim Δ)(lim .31210210n i i n i ni i λx max λn n n x ξf xdx ≤≤∞→=→-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+-==∑⎰其中⎰10.)2(dx e x[]等分个分点，把区间中插入在闭区间解：n n 11,0.10-,101210=<<<<<=-n n x x x x x.1Δn x i = ).,,2,1(0n i ni n i x i ==+=[]，所以因为中取右端点为在每个区间x i i i i e x f ni x ξx x ===-)(.,.210.1ΔΔ)(111∑∑∑===⋅==ni ni i n i ξi n i i ne x e x ξf i.1)1(1)(1Δ)(111211--⋅=++++=-=∑n nnn nn nni ni i e e e ne e e e nx ξf 即{})Δ(11)1(1lim Δ)(lim .311110100n i i n nn i ni i λxx max λe e e e n x ξf dx e ≤≤∞→=→=-=--⋅==∑⎰其中，说明下列等式：利用定积分的几何意义.2;12110⎰=x xd ）（ ;412102⎰=-πx d x ）（⎰-=ππx sinxd ；）（03 ⎰⎰-=2022.24πππx cosxd x cosxd ）（角形的面积，故表示如图所示的直角三）解：（⎰1021x xd.x xd 12121210=⋅⋅=⎰ ⎰-1024112圆的面积，故表示如图所示）（x d x.414111022⎰=⋅⋅=-ππx d x ⎰-ππx x sinxd 轴上方为正面积，的面积，其中表示如图所示阴影部分）（3轴下方为负面积，故x ⎰-=ππx sinxd .0⎰-2224ππx cosxd 倍，面积的的面积，它是第一象限表示如图所示阴影部分）（⎰⎰-=2022.2πππx cosxd x cosxd 故习题6-2 定积分的性质积分的大小：比较下列各题中的两个.2;,110421021dx x I dx x I ⎰⎰==）（ ;,221422121dx x I dx x I ⎰⎰==）（;)(ln ,ln 34332431dx x I dx x I ⎰⎰==）（ ;)1ln(,4102101dx x I dx x I ⎰⎰+==）（.)1(,5102101dx x I dx e I x ⎰⎰+==）（ ，只有有限个成立的解：)"(",10)1(42x x x x =≥∴≤≤ ,,42是连续函数又x x .,21104102I I dx x dx x >>⎰⎰即故是连续函数，，又只有有限个成立的4242,)"(",21)2(x x x x x x =≤∴≤≤ .,21214212I I dx x dx x <<⎰⎰即故是连续函数，，又33)(ln ,ln )(ln ln ,1ln ,43)3(x x x x x x <∴>∴≤≤ .,)(ln ln 2143343I I dx x dx x <<⎰⎰即故.,)1ln(),10()1ln(,0)0()()(10),10(111)(,)1ln()()4(211010I I dx x dx x x x x f x f x f x x xx f x x x f ><+∴≤<<+=<≤≤<<-+='-+=⎰⎰即即单调递减，故时，故当则设.,1,)1(,0)5(21I I e x x x n l x x >∴<+∴<+>时[]，证明：上连续在及设)(,)()(3b a b a x g x f .< [].0)(,0)(,0)(,)1(>≡/≥⎰ba dx x f x f x fb a 则且上，若在[][].0)(,,0)(,0)(,)2(≡=≥⎰x f b a dx x f x f b a ba 上，则在且上，若在[][]).()(,,)()(),()(,)3(x g x f b a dx x g dx x f x g x f b a ba ba ≡=≤⎰⎰上，在则且上，若在[]⎰≥∴≥ba dx x f x fb a ,0)(,0)(,)1(上，在证明：，假设⎰=ba dx x f 0)(上，知在由],[)2(b a ，0)(≡x f 矛盾，这与0)(≡/x f .0)(⎰>∴ba dx x f ，假设反证法0)())(2(≡/x f ，则至少存在一点],[b a ξ∈，使得0)(≠ξf ，0)(≥x f ，0)(>∴ξf []上连续，在b a x f ,)( 的区间包含ξ∴，],[],[21b a c c ⊆ ，可设0)(>x f ],[21c c x ∈，易知：⎰>210)(c c dx x f ， ，，而⎰⎰≥≥120)(0)(c abc dx x f dx x f ⎰⎰⎰⎰>++=∴ba c a c c bc dx x f dx x f dx x f dx x f 1212.0)()()()(矛盾，这与⎰=ba dx x f 0)([].0)(,≡∴x f b a 上，假设不成立，即在，令)()()()3(x f x g x F -=，],[)()(b a x x g x f ∈≤ .0)(≥∴x F，且⎰⎰⎰=-=b a b a ba dx x f dx x g dx x F 0)()()( ,0)()2(≡x F 知由).()(x f x g ≡即习题6-3 微积分的基本公式计算下列各导数：.1;11302dt t dx d x ⎰+）（ ;112422dt t dx d x x ⎰+）（ ⎰x x dt t πdx d cos sin 2)cos()3( ;1331162223x x x x +=⋅+=）（）原式解：（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰⎰420022112x x t dt t dt dx d ）原式（ ⎰⎰+-+=24020211x x t dt dx d t dt dx d x x x x 2)(114)(1122324⋅+-⋅+= ;1214483xx x x +-+= []⎰⎰-=x x dt t πdt t πdxd cos 0sin 022)cos()cos()3(原式 ⎰⎰-=x x dt t πdxd dt t πdx d sin 02cos 02)cos()cos( [][]x x πx x πcos )(sin cos )sin ()(cos cos 22--= [][].cos )(sin cos sin )(cos cos 22x x πx x π--= 计算下列各积分：.2a ax x dx x x 02302|)21()3(1-=-⎰）（2321a a -=821|)3131()1(221334212=-=+-⎰x x dx x x ）（ 67|)2132()()1(30122301211-=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x ）（⎰⎰⎰-+=ππππdx x nxdx si dx x 2020)sin (sin 11）（4|cos |cos 20=+-=πππx x 617|31|)21()(122131022010212=+=+=⎰⎰⎰x x dx x xdx dx x f ）（ :3求下列极限.;lim )1(02x dt e x t x ⎰→ .sin )sin (lim )2(0320220⎰⎰→x x x dtt t dt t;11lim )1(002===→e ex x 原式解： 320220320220sin 2lim sin sin sin 2lim )2(xx x dt t xx x dt t xx xx ⋅⋅=⋅=⎰⎰→→原式3020sin 2lim xdtt xx ⎰→=.323sin 2lim 22==→x x x .)(0cos 500dxdyx y y dt t dt e .xyt的导数所确定的隐函数求由方程==+⎰⎰求导，得对解：原方程左、右两边x0cos =+x dx dy e y .1sin cos cos -=-=∴x x e x dx dy y.)(602的极值求函数⎰-=xt dt te x f .2)(x xex f -='解： ，令02=-x xe0=x 得极值点 01)0(>=''f .f x f x 0)0()(0==∴有极小值时函数[]()，证明函数内可导且上连续，在在设0)(,,)(.7<'x f b a b a x f ().0)(,)(1)(<'-=⎰x F b a dt t f ax x F xa内的一阶导数在 2)()())(()(a x dtt f a x x f x F xa ---='⎰证明：)()())(())((2x ξa a x a x ξf a x x f ≤≤----= )())(()()(x ηξax ξx ηf a x ξf x f <<--'=--=，0,0,0)(>->-<'a x ξx ηf .0)(<'∴x F习题6-4 定积分的换元积分法计算下列定积分：.1;02121)3cos()3sin()1(33=-=+-=+⎰πππππx dx πx 解：;16921)49(81)49()49(41)49()2(122123123=+-=++=+-----⎰⎰x x d x x dx ;31cos 31cos cos cos sin )3(203202202=-=-=⎰⎰πππφφd φφd φφ;2)2sin 4121(22cos 1sin )cos 1()4(000202πθθθd θθd θθd θππππ=-=-==-⎰⎰⎰;232)2(31)2(2212)5(202322202202=--=---=-⎰⎰x x d x dx x x;1)6(2102dx x x -⎰,cos ),20(sin tdt dx πt t x =≤≤=令.164sin 41812141241cos cos cos 20202202202202πt t dtt os4c dt t sin tdt t sin tdt t t sin πππππ=-=-===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰）（）（原式;45)7(11⎰--xxdx;2,45,452dt tdx t x t x -=-==-则令;61)53(8185)2(45133131322=-=-=--=⎰⎰t t dt t dt t tt 原式;1)8(41⎰+xdx,2,,2tdt dx t x t x ===则令;23ln 22)1ln (2)111(212212121-=+-=+-=+=⎰⎰t t dt t t tdt 原式;2121)]21([)(21)9(11021010222---=-=--=⎰⎰--e e t d e dt te tt t;212ln 2)ln 1(2)ln 1()ln 1(ln 1ln ln 1)10(212121212121-+=+=++=+=+⎰⎰⎰-x x d x xxd x x dx .41arctan )2arctan(1)2(54)11(12122122πx x dx x x dx ==+=++=++------⎰⎰ ;32)31(31)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos )12(222222=--=+=+=---⎰⎰ππππππx x dx x x xdx x .34)(cos 32)(cos 32cos cos cos cos sin cos )sin (cos sin cos )cos 1(cos cos cos )13(202302232002200222222223=-=-=⋅+-==-⋅=-------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππππππx x xd x x d x xdx x dx x x dxx x dx x x dx x x .22sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22cos 1)14(2202200020=-=-===+⎰⎰⎰⎰⎰πππππππππx x dx x dx x dxx dx x dx x 列定积分：利用函数奇偶性计算下.2;1arcsin 1212122dx xx ⎰--）（）（.12sin )2(552432dx x x x x ⎰-++ 为偶函数，故）（解：221arcsin )()1(xx x f -=;324arcsin 32arcsin 21arcsin 232103210221022πx x arcsin d x dx xx ===-=⎰⎰）（）（）（原式.012sin )()2(2432=++=为奇函数，故原式x x x x x f 证明下列各题：.3;)0(11)1(11212⎰⎰>+=+xx x xdx x dx ;)1()1()2(1010dx x x dx x x mnnm⎰⎰-=-.cos 2cos )3(2010010dx x dx x ππ⎰⎰=右边；左边令证明：=+=+=+-=-==⎰⎰⎰xx x x dx t dt t dt t dt t dx t x 1121121122211111,1,1)1( 右边；左边，则令=-=-=--=-=-==-⎰⎰⎰dx x x dt t t dt t t dt dx t x t x nmnmnm101001)1()1()()1(,,11)2(,cos cos cos )3(2102010010xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰+=则令,,dt dx t πx -=-=,cos cos )(cos cos 201020100210210xdx tdt dt t xdx πππππ⎰⎰⎰⎰==-= .cos 2cos cos cos 201020102010010xdx xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰⎰=+=故习题6-5 定积分的分部积分法计算下列定积分：.1);1(414121121ln 21)21(ln ln )2(21221212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e xe dx x x x x x xd xdx x e e e ee;2sin 2)cos (cos )cos (sin )3(2020202020πx πdx x x x x xd xdx x πππππ-=+-=---=-=⎰⎰⎰;2ln 33cos ln 33cos cos 133cos sin 33tan tan tan sec cos )4(303030303030302302-=+=+=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰πx πx d x πdx x x πdx x x x x d x dx x x dx xx ππππππππ;ln )5(41dx xx ⎰,2,2tdt dx t x t x ===，则令;42ln 8)22ln 4(2)214ln 2(2)ln ln (2ln 22ln 212221212212212-=-=⋅⋅-=-===⎰⎰⎰⎰dt t tt t d t t t dt t tdt t t 原式.214)arctan (218)111(2181121arctan 21)21()6(10102102210210210-=--=+--=+⋅-==⎰⎰⎰⎰πx x πdx x πdx x x x x x arctamxd xarctamxdx ).2(51cos ,2cos 5cos 42)2cos cos (2)cos (22sin sin sin cos )7(202202202202202202202202202202-=∴-=--=⋅-+=--=⋅-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππx ππxπx ππx πxππxππx πxπxπxe xdx e e xdx e xdxe e dx e x x e e x d e e dxe x x e x d e xdx e 故;)sin(ln )8(1⎰edx x,,dt e dx e x t x ln t t ===，则令,sin 11cos 1sin )sin cos (1sin cos 1sin cos sin sin sin )sin(ln 101010101110101dt e t e e dt e t t e e tde e dt e t t e tde dt e t dx x t tt t tttte⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-+-=⋅+-=-=⋅-==⋅=.21)1cos 1(sin sin )sin(ln ,1)1cos 1(sin sin 210110+-=⋅=+-=⋅∴⎰⎰⎰e dt e t dx x e dt e t tet 故.12ln 23ln 31ln ln )1ln()9(32323221--=⋅-==+⎰⎰⎰dt t t t t tdt dx x ;sin )10(20dx x π⎰,2,2tdt dx t x t x ===，则令.2sin 22cos 2cos 2)cos (22sin 00000πtπdt t t t t d t dt t t πππππ=+=+-=-=⋅=⎰⎰⎰原式.22)1(111ln ln ln )ln (ln )11(1111111111e e e e e dxx x dx x x dx x dx x dx x eeeee e e e -=--+-+-=-++-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰利用递推公式计算：.2.)1()2(;sin )1(299102990100100dx x J xdx x J π⎰⎰-==.212,)12(2)12()12(sin )12(sin )12(sin cos ]cos )12([sin cos sincos )cos (sin sin ,sin )1()1(22)1(222)1(2020220120120120120122022----------=∴-=---=---+=-++-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰m m m m mm πmπm πm 2-2m πm πm πm πm m πm m J mm J J m mJ J m J m xdxx m xdx x m xdx x dxx x sin m x x x x x x x xd x xdx sin x x J xdx x J 故则设解：.2196959897100999897100991009910011000482492492502100J J J J J J ⋅⋅⋅⋅==⋅==-==⨯⨯⨯⨯ 故.224969810013959799,22100200πJ πxdx J π⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⎰ 故而.224969810013959799sin )sin ()(sin ,sin ]2,0[,cos )2(10020990299πdt t dt t t J tdt dx πt t x ππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=-=∈=⎰⎰ ，则令习题6-6 广义积分算广义积分的值：收敛性，如果收敛，计判别下列各广义积分的.1;4141)4(41)3(040404=-=--=∞+-∞+-∞+-⎰⎰xx xex d e dx e.21sin ,1sin 2,sin 1]sin sin [1sin 1cos 1cos cos )cos (sin )4(00000000000==∴-=+-=-=-=-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞-+∞-dx x e dx x e dx x e dx x e x e x d e dx x e dxx e xe x d e dx x e xxxx xxxx xxx 故.)2(2)2arctan(1)2(54)5(22πππx x dx x x dx =--=+=++=++∞+∞-∞+∞-∞+∞-⎰⎰ .1]1)1([lim 1)1(21lim 1)6(21210221102=+--=---=---→→⎰⎰b x x d dx x x b b b ;1()7(203⎰-）x dx .1(1,1,1111,,11203103013103013113113发散）都发散，原式，则令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∴+==-=-=-==-----x dx dt t dt t dt tdt t dt t dt t dt dx t x t x.1)8(21⎰-x xdx.38)3(2)1(22)1(,2,1,1110310210222=+=+=+==+==-=-⎰⎰t t dt t dt t t t tdt dx t x t x t x 原式，则令 )1()(ln 111ln ln )(ln )(ln 212≠+⋅-==-∞+⎰⎰⎰k C x k x x d x x dx k k x x dxk .k k k k 解：取得最小值？为何值时，这广义积分当发散？为何值时，这广义积分收敛？当为何值时，广义积分当时，当1=k ⎰x x dx ln C x xxd +==⎰ln ln ln ln⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅-==∴∞+-+∞∞+⎰1|)(ln 1111|ln ln )(ln 2122k x k k x x x dx k k时，当1)1(=k .，原广义积分发散原式+∞= 时，当1)2(<k .,|)(ln 1121发散原式+∞=-=∞+-k x k=>时，原式当1)3(k .,)2(ln 111|)(ln 111121收敛-∞+--=⋅-k k k x k 时，当1>k 则记,)2ln 1(11)(1--=k k k f12)2(ln 1)1(1)(---='k k k f )2ln 1ln()2ln 1(111--+k k ).2ln ln 11()2(ln 1)1(11+---=-k k k ，令0)(='k f ，1>k 从而,0)2ln 1(111≠-∴-k k,02ln ln 11=+-k ,2ln ln 11-=k 即.值为唯一驻点此k时，当2ln ln 11->k 时，即02ln ln 11<+-k .0)(>'k f时，当2ln ln 11-<k .0)(该驻点是极小值点，∴<'k f时，即当1>k .)(),1(处的极小值就是最小值故唯一驻点没有边界值进行比较，时，在此区间上k f k ∞+∈习题6-7 定积分的几何应用形的面积：求由下列各曲线所围图.1 ).0(ln ,ln ,0,ln )7(;1,,)6(;2,1)5(;(8,2)4(;2,3)3(;,0,)2(;,)1(2222>>===========+==-======-a b b y a y x x y x e y e y x x y xy x y x y x y x y e y x e y x y x y x x x 与两部分都要计算）.61)()1(10⎰=-=dx x x S 面积解：.1)()2(10⎰=-=dx e e S x 面积 .332)23(),6,3(),2,1(32)3(1322⎰-=--=--⇒⎩⎨⎧-==dx x x S B A x y x y 面积.342)218()4(22221⎰+=--=-πdx x x S 阴影部分的面积 .346)34282-=+-=πππS （另一部分的面积.2ln 23)1()5(21⎰-=-=dx x x S 面积.21)()6(10⎰-+=-=-ee dx e e S xx 面积.)0(,ln )7(ln ln ⎰-=-==⇒=ba yy a b dy e S e x x y 面积转的旋转体的体积：围平面图形绕指定轴旋求下列各题中的曲线所.2轴；轴绕y x x y x y ,,2,0,)1(3=== 轴；绕y y x x y ,,)2(22== 轴；绕x y x ,16)5()3(22=-+ ).0(,)4(222>>==+a b b x a y x 绕,7128)()1(2203πdx x πV x ==⎰解：,33y x x y =⇒=dy y πdy πV y ⎰⎰⋅-⋅=8023802)(2.56459632πππ=-=,)2(2y x x y =⇒=.10352)()(1022102πππdy y πdy y πV y =-=⋅-⋅=⎰⎰,165,165:16)5()3(222122x y x y y x --=-+==-+得由dx y y πdx y πdx y πV x )(22442144224421-=⋅-⋅=⎰⎰⎰---.160162102442πdx x π=-⋅=⎰-,,,:)4(22222122222y a b R y a b R y a x a y x --=-+=-±==+设得由dy R πdy R πV aa aa b ⎰⎰---=2221dy R R πaa )(2221-=⎰-dy y a b πaa 2222-⋅⋅=⎰-b a π222=.3列各题中立体的体积的立体体积公式计算下用平行截面面积为已知..)1(的正劈锥体为高底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于以半径为H R .)()2(的球缺的球体中高为半径为R H H R <.)20(1)3(2222的平面所截的劈形立体轴且与底面夹角的椭圆柱体被通过底面为椭圆πααx b y a x <<≤+ 截面的面积为：解：)1( [],,,221)(2222R R x x R h h x R x A -∈-=-⋅=：故此正劈锥体的体积为.21)(222h R πdx x R h dx x A V R R R R ⎰⎰--=-==截面的面积为：)2( [],,),()(22R H R y y R πy A -∈-=故球缺的体积为：).31()(222H R H πy d y R πV RH R -=-=⎰- 截面的面积为：)3( [],,,tan 1121)(2222ααx αax b a x b x A -∈-⋅-=故劈形立体的体积为： .tan 32tan )1(21)(2222αab dx αa x b dx x A V a a a a ⎰⎰--=-==习题6-8 定积分的经济应用.1000257)(1，求总成本函数，固定成本为已知边际成本为xx C .+=' .5071000)257(1000)()0()(00⎰⎰++=++='+=x x x x dx xdx x C C x C 解：.30202100)(.3应追加的成本数时，增加到，求当产量由已知边际成本==-='x x x x C：解：应追加的成本数为.500)2100()(30203020=-='⎰⎰dx x dx x C.0260)(430)(.4）（设固定成本为，求最大利润，边际收益为已知边际成本x x R x x C -='+=').0(230230)430()(22固定成本为解：x x C x x dx x x C +=++=+=⎰.60)260()(2C x x dx x x R +-=-=⎰,60)(,0,0)0(2x x x R C R -=∴=∴=,33023060)()()(222x x x x x x x C x R x L -=---=-=∴ ,06)(,5,0630)(<-=''==-='x L x x x L .75)5(5=-=L x 利润为时，有最大利润，最大故当 支出增加多少？费亿元时，购买冰箱的消亿元增加至，当居民收入由的函数，的变化率是居民总收入消费支出某地区居民购买冰箱的942001)()(.5xx W x x W =').(10012001)(9494亿解：=='⎰⎰dx xdx x W .1001亿增加故购买冰箱的消费支出.20)3(20)2()1(.10100106价值万元时，求收益的资本当应满足的方程）；万元时，求内部利率（当本？为何值时，公司不会亏元收入年后报废，公司每年可备使用万元购买某设备，该设（连续复利）贷款某公司按利率==b b b b %.年后的总收益：：年后这笔贷款的本利和解：10,10010010)1(101.0e e =⨯),1(101001)10(1.0⎰---=e eb dt e b t ),1(101001--=e eb e 若公司不亏本，则.1101--=eb 则 ，则设内部利率为ρ)2(),1(202010010100ρtρe ρdt e ---==⎰.1510ρe ρ--=即投入资金的现值收益流现值资本价值-=)3( 100201001.0-=⎰-dt e t.20010010020020011---=--=e e总习题六计算下列极限：.1.1lim 11lim )1(11111e edt e x xx x t x ==-→→⎰ .111)(1lim 21121)(lim .1)(lim )(,1)(lim )2(2220=⋅=+=⋅+==++∞→+∞→+∞→+∞→⎰x f xx xx x f t f t f x dt t f x x t xx 原式连续且其中计算下列积分：.2.22ln 2ln 2cos 1sin ,2ln )cos 1ln(cos 1)cos 1(cos 1sin ,2ln 22tan 2tan 2tan 22sec 2sec 22cos 2cos 1,cos 1sin cos 1cos 1sin )1(2020202020202020220220220202020ππdx x x x x x x d dx x x πdx x x x x d x x dx x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x x ππππππππππππππ=+-=++=+-=++-=+-=-=====++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故而而 ;42)2(22⎰-+xdx.122tan 22sec 2122cos 212)cos 111(cos 1cos cos 22cos 2,cos 2]2,0[,sin 220202202202020-=-=-=-=+-=+=+==∈=⎰⎰⎰⎰⎰πt πdt t πdtt πdt t t tdt t tdt tdt dx πt t x ππππππ原式，则令).12(2)sin cos ()cos (sin )cos (sin )sin (cos cos sin )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1)3(2440244020202202220-=--++=-+-=-=-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππππx x x x dx x x dx x x dx x x dxx x dx x x x x dx x .22)tan 2arctan(211)tan 2(tan 2211tan 2tan 1tan 2sec 1tan 21tan sin 2cos cos sin sin 1)4(202022022022222202222202πx x x d x x d dx x x dx x x x x xdx x x dx πππππππ==+=+=+=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 且说明理由：指出下列计算中的错误4..01lim 1)3(;01,11)2(;2]1[arctan )1(1)1(1)1(4343112112111211112112=+=+=+∴+-=+-=-=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∞→∞∞---=----b bb tx xdx x x dx x x dx t dt x dx πx x x d x dx.0)1(2x x 以，故不能分子分母同除可以取为第一步到第二步错，因解：.2)4(4arctan 111112πππx x dx =--==+⎰--正确的做法： .x tx 0,1)2(就取不到因为这样不能令=.)3(是没有关系的限设法错误，因为它们第二步中定积分的上下解下列几何问题：.5；轴旋转的旋转体的体积所围图形绕求由y y x x y 0,4,)1(23===；轴旋转的旋转体的体积绕求圆盘y y x 1)2()2(22≤+- .940,1,,.0]1,0[)0,0()3(22积最小轴旋转而成的旋转体体，且使图形绕为所围图形的面积与直线的值，使抛物线试确定时，，且当过原点设抛物线x y x c bx ax y c b a y x c bx ax y ==++=≥∈++=应取何值？所围图形面积最小时，与抛物线）点，当直线过（已知直线b a x y b ax y b ax y ,1,0)4(2=+=+=.7512128)(4)1(80348023280212πdy y ππdy y πdy πV V V =-=⋅-⋅=-=⎰⎰⎰解：故旋转体的体积为，得由],1,1[121)2()2(222-∈-±==+-y y x y x.418124)12()12(211211221122112πdy y πdyy πdy y πdy y πV =-=-⋅=----+=⎰⎰⎰⎰----,896,94)(,0)3(1022=+=++==⎰b a dx bx ax bx ax y c 故，故由已知轴旋转体的体积绕x ),235()(22102abb a πdx bx ax πV ++=+=⎰)],98(12131)98(1801[),98(61222b b b b πV b a -++-=∴-=.0,35,2,0151,2,0]152151[22满足条件时，故当故=-==>⋅===-=c a b πdb V d b b πdb dV ）（即由已知11)4(=+=b ax y ，即它所围面积，则两交点的横坐标为与抛物线设直线⎰-+=<=+=21)1()(,1221212x x dx x ax A x x x x x y ax y ),(31)()(23132122122x x x x x x a A ---+-=,01122=--⇒⎩⎨⎧=+=ax x xy ax y 是此方程的两根，有设21,x x ,1,2121-==+x x a x x ,44)(2)(221212212122212+=-+=-+=-a x x x x x x x x x x ,4))(()(,4212122122212+=-+=-+=-a a x x x x x x a x x 又 .)4(64)1(314421),1(4]))[((232222222221212123132+=++-+++=++=-+-=-a a a a a a A a a x x x x x x x x 故.1,0480,0,0)4(18212=====+=b a A a a a a dadA ，故有最小值时，故当则令解下列经济应用问题：.6？台的平均利润各为多少台与后台时，前售出台电视机的总利润售出试求的边际利润为已知某商场销售电视机需求出满足的方程）万元，求内部利率（只年，每年收益厂投产期万元扩建一个工厂，该某企业投资少？单位时，总成本减少多单位减少到由问当产量成本已知生产某产品的边际303060.2.401),20(10250)()3(.2020232)2(312,30183)()1(2.x xx L x x x x C ≥-='+-='.11120232)2(.756)30183()()1(202001232123ρtρeρ.6dt e ρdx x x dx x C C --⎰⎰⎰-===+-='=，解得：，则设内部利润为减少的成本解：,20250)10250()(.1)3(2C x x dx x x L +-=-=⎰,20250)(,0,0)0(2x x x L C L -=∴=∴=.9920)40(40=L 台电视机的总利润为：售出,5.24830745530)30(,7455)30(.2===L L ,5.24530)30()60(,7365)30()60(,14820)60(=-=-=L L L L L.5..5245302483060台的平均利润为，后台的平均利润为台时，前故售出（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高等数学第六章定积分的应用
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r( ) ( ) 令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d
r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
第六章 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节
第六章
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个Байду номын сангаас体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
表示为
U
lim
0 i1
f
(i )xi
定积分定义
b
n
a
f
(x) dx
lim
0 i1
f
(i )xi
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 y x4
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
高等数学(定积分的应用)习题及解答
练习6-2练习6-2练习6-3总习题六高等数学（文专）练习题A一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
下列函数是奇函数的是（）．（A）1y x=+；（B）e e2x xy-+=；（C）e e2x xy--=；（D）2y x x=+．2．ln(2)y x=-的定义域为（）．（A）(,2)-∞；（B）(2,)+∞；（C ）(,2)(2,)-∞+∞； （D ）(,)-∞+∞．3．设2()sin f x x x =+，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．（A ）24π； （B ）214π+； （C ）214π-； （D ）424πππ⎛⎫+⎪⎝⎭． 4．3d (e )d xx x+=（ ）． （A ）3e 1x +； （B ）33e 1x +； （C ）31e 13x +； （D ）3211e 32x x +．5．ln d xx x=⎰（ ）． （A ）ln |ln |x ； （B ）ln ln ||x c + （C ）21(ln )2x（D ）21(ln )2x c +．6．10(1)d x x +=⎰（ ）． （A ）2；（B ）1；（C ）32； （D ）12． 7．设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim（ ）.A ． )(3a f 'B ． )(2a f 'C ． )(a f 'D ．)(31a f '8. 函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ） A ．1=yB ．1=xC ．0=yD ．0=x9.cos()x dx +=⎰5( )A. 155cos()x c ++ B.55sin()x c ++ C.55cos()x c ++ D. sin()x c ++5 二、填空题 10．xxx 23sin lim0→ ___________.11．x x e y x sin ln 2-+=则='y ． 12．dx x ⎰--3329 =．13．曲线y =在1x =处的切线方程为 _______________.14．已知某商品的成本函数为221020)(q q q C +-= (万元),则20=q 时的边际成本为___________．15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,2,242x a x x x y 在2=x 处连续，则=a ______.16．x x f sin )(=在[]π,0上满足罗尔中值定理的条件, 当ξ= 时,0)(='ξf ． 三、计算题 17．求)32(13lim23--+-→x x x x x .18．求由方程423=+y x 所确定的隐函数y=y(x)的dxdy . 19．求极限1lim(13)xx x →-．20．求极限201cos lim2x xx →-．21．设)0()1(>+++=a ax x a y aax，求.dy 22．计算⎰+edx xx1ln 2 23．求dx xex ⎰-22四、综合题24．求函数212x xy +=的极值与拐点.25．证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。
(完整版)高等数学定积分应用习题答案.doc
第六章定积分的应用习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积：(1) y x 2 6x 8, [0, 3]( 2) y 2x x2 , [ 0, 3]2．求下列各图中阴影部分的面积：1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：(1) y e x , y e x与x1;( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ;(3) y 2x x2与 y x , y 0 ;( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ;(5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ;(6) y x2 与 y x , y 2x ;(7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ;(8) y x 2,x 2 y 2 （两部分都要计算）;2 84．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p, p) 处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。
x 2 y 21 所围图形的面积。
8．求椭圆2 b 2a9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。
11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1) 2a sin (a 0) ;( 2) 2a (2 cos ) (a 0);(3) 2 2 cos 2 （双纽线） ;12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用
表示为
定积分定义
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二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
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A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
则所求的几何面积为 A 2 A1 18 a2
【例5】设由曲线
y
sin x (0
x
)，y
2
1
及x
0围成
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
则绕直线 y
1 2
旋转而成
的旋转体的体积微元dV
就是矩形S1
分别绕直线 y
1 2
旋转而成的旋转体的体积。
解: (1) 确定积分变量和积分区间：
绕直线 y 1 旋转如图 ，
y
2
1
取 x为积分变量,则 x [0, ].
2
(2) 求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
0
1 dy]
1 y2
[(arcsin1)2 2
1
(arcsin y)d(
1 y2 )]
0
3 [2
4
1 y2 arcsin y 2 y]10
3 2
4
通过例5，同样可求出绕平行于x 轴和平行于 y 轴的直线
旋转而成的旋转体的体积，见例6。
【例6】设由曲线 y sin x (0 x ), x 及 y 0围成
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x2 ,高为 2 4 x2 3 .
2
所以截面积为
A( x) 1 2 4 x2 2 4 x2 3
2
2
3(4 x2 ).
y
y
因此, 对x [2, 2], [x, x dx] [2, 2] 所对应的体积元素为
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
2
【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[ x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
2
旋转体体积元素 dVx 是[x, x dx]对应的矩形绕 x 轴所得的
旋转体的体积，即
dVx (12 sin2 x)dx
（3）求定积分：绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积表示为
Vx
2 (1 sin2 x)dx
0
计算积分得： Vx
2(1 sin2 x)dx
分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 x轴旋转时，
取 x为积分变量; 绕y 轴旋转时, 取 y 为积分变量。
对 x [0, ] 或对 y [0,1], 设区间 [ x, x dx]
2
或 [ y, y dy]所对应的曲边梯形为S, 是以直代曲
所形成的矩形为 S1, 则绕 x 轴、y轴旋转而成的旋
积分变量为 x ,x [2, 2], 如果能求出平面 x x
所截立体的截面面积A( x),那么，[ x, x dx] [2, 2]
所对应的体积元素为 dV A( x)dx.
解: (1) 确定积分变量和积分区间： 建立如图所示的坐标系， 则底圆方程为x2 y2 4.
取 x 为积分变量, 所以 x [2, 2].
转体的体积微元dV就是矩形S1分别绕x 轴、y 轴
旋转而成的体积.
解: (一) 求 x 绕轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 x 轴旋转如图, 取 x 为积分变量,则 x [0, ].
2
（2）求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
2
2
平面图形 A,试求平面图形A绕直线 y 1 旋转而成的
2
旋转体的体积。
分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线 y 1
2
平行于 x轴, 所以绕直线y 12旋转时, 取 x 积分变量。
对x [0, ],设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形为S,
2
以直代曲所形成的矩形为 S1,
③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
所形成的矩形面积。
2a
0
x x dx
2 a x
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a],
那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
0
2
cos 2
xdx
2
0
4
(二) 求绕 y轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 y 轴旋转如图,
取 y为积分变量, 则y [0, 1].
（2）求微元：对 y [0,1],
[ y, y dy] [0, 1],
旋转体的体积元素dV y
是[ y, y dy]对应的矩形绕 y 轴所得的旋转体体积, 即
第六章 定积分应用习题课
一、定积分应用的类型
1．几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用
水压力
引力
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
由
y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
就是在[ x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
考虑到当[ x, x dx] [ , 0]和 [ x, x dx] [0, 1] 时[ x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
A A1 A2
0 exdx
1(ex ex)dx
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx
0
lim
0 e xdx
(ex
e
1
x2)
e
a a
2 02
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [ x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须