高中物理竞赛习题 专题一：质点运动学(含详解)

高总物理竞赛习题专题一：质点运动学

一．选择题

1.如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )

(A) 匀加速运动,θ

cos 0v v = (B) 匀减速运动,θcos 0v v =

(C) 变加速运动,θcos 0

v v =

( D) 变减速运动,θcos 0v v =

(E) 匀速直线运动,0v v =

答案：C

2.如上题图1-5，此时小船加速度为（ ）

A.0

B.θθcos )tan (20l v

C.l

v 2

0)tan (θ D.θcos 0v 答案：B

3.地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小为（ ）

A.s m /1094.13-⨯

B.s m /1094.14-⨯

C.0

D.s m /100.35-⨯

答案：A

解析：设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s ＝htg ωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为

132s m 1094.1cos d d --⋅⨯===

t

ωωh t s v

二．计算题

4.质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m ·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m ·ｓ-1 ,求质点的运动方程．

解析： 由分析知,应有

⎰⎰=t t a 0d d 0v

v v 得 03314v v +-=t t (1)

由 ⎰⎰=t x

x t x 0d d 0v 得 004212

12x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m ·ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m ·ｓ-1,x0＝0.75 m ．于是可得质点运动方程为

75.012

1242+-

=t t x 5.一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a ＝

A -Bv,式中A 、

B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．

解析：本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为t a d )

(d =v v 后再两边积分． 解：选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．

(1) 由题意知 v v B A t

a -==

d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为 t B A d d =-v

v (2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

⎰⎰=-t t B A 0d d d 0

v v v v v 得石子速度 )1(Bt e B A --=

v 由此可知当,t →∞时,B A →

v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由)1(d d Bt e B

A t y --==v 并考虑初始条件有 t e

B A y t

Bt y

d )1(d 00⎰⎰--= 得石子运动方程

)1(2-+=

-Bt e B

A t

B A y

6.质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r ＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t 的单位为s ．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；

(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．

解析：根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即t ΔΔr =

v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度t

d d r =v ．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a ｔ 和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t t

e a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a ｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρ

a n 2

v =求ρ． 解 (1) 由参数方程

x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2

消去t 得质点的轨迹方程：

y ＝19.0 -0.50x2

(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度

j i r r 0.60.2ΔΔ1

212-=--==t t t r v (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

j i j i j i t t

y t x t y x 0.40.2d d d d )(-=+=+=v v v j j i a 222220.4d d d d )(-⋅-=+=s m t

y t x t 则t1 ＝1.00ｓ时的速度

v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j

切向和法向加速度分别为

t t y x t t t t

t e e e a 22

2s 1s m 58.3)(d d d d -=⋅=+==v v v n n t n a a e e a 222s m 79.1-⋅=-=

(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为