中考综合闯关专题六《二次函数中存在性问题》精练解析
中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．2．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
2021年冲刺中考数学之热点专题二次函数综合专题(解析版)
热点专题二次函数综合题型二次函数的综合探究题一直是中考的必考题。
通常考查与动点、存在性、相似有关的二次函数综合题，解答与动点有关的函数探究问题，通常需要把问题拆开，分清动点在不同位置运动，或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象这类问题往往与函数知识、特殊三角形、特殊四边形的性质，以及分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系。
解题时要特别注意把握题目中的“动中有变(图形的变化)、变中有静(特殊三角形或四边形的性质及其数学思想)”的内在规律并注意挖掘隐含条件，综合运用数学知识解决问题。
此类问题的考查形式通常为解答题，解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况。
二次函数综合题型有以下三种常见题型:题型一：二次函数与线段最值问题；题型二：二次函数与图形面积问题；题型三：二次函数与特殊三角形的存在性问题；题型四：二次函数与特殊四边形的存在性问题。
考向3二次函数与特殊三角形的存在性问题例：（2019•梅江区期末）如图1，已知抛物线23(0)y ax bx a =++¹与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD D 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将点(1,0)A ，(3,0)B -代入23y ax bx =++，得，309330a b a b ì++=ïïíï-+=ïî，解得，12a b ì=-ïïíï=-ïî，\抛物线表达式为223y x x =--+；（2）如图1，过点E 作EF x ^轴于点F ，设(E a ，223)(30)a a a --+-<<，223EF a a \=--+，3BF a =+，OF a =-，\()1122BOCE S BF EF OC EF OF =×++×四边形2211(3)(23)233)()22a a a a a a =+--++--++-g 2399222a a =--+23363(228a =-++，\当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638；当32a =-时，2915233344a a --+=-++=，此时，点E 坐标为315(,)24-；（3）如图2，连接AC ，①当CA CD =时，此时CO 为底边的垂直平分线，满足条件的点1D ，与点A 关于y 轴对称，点1D 坐标为(1,0)-；②当AD AC =时，在Rt ACO D 中，1OA =Q ，3OC =，由勾股定理得，2210AC OC OA =+，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交x 轴于两点2D ，3D ，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为2(101,0)D -，3(101,0)D ；③当DA DC =时，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点4D ，即为满足条件的点，设垂直AC 的垂直平分线交y 轴于点P ，过AC 中点Q ，90AOC BOC PQC PQA Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，4D PO CPQ Ð=Ð，4ACO OD P \Ð=Ð，\△4D AQ CAO D ∽，\4D A AQ CA AO =4102110，45D A \=，444OD D A OA \=-=，\点4D 的坐标为(4,0)-；综上所述，存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -或3101,0)D 或4(4,0)D -．练习：1.（2019•阳江市二模）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）设点(,0)M m 为线段OA 上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．①求PN 的最大值；②若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM D 相似，请直接写出点M 的坐标．【解析】（1）直线23y x c =-+交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，02c \=-+，解得2c =，(0,2)B \，Q 抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ，将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式并解得：2410233y x x =-++；（2）①(,0)M m ，则2(,3P m ，2410(,2)33N m m m -++，224102424(03)3333PN m m m m m \=-++-=-+ ；当32m =时，线段PN 有最大值为3；②由（1）可知直线解析式为223y x =-+，(,0)M m Q 为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，2(,2)3P m m \-+，2410(,2)33N m m m -++，223PM m \=-+，3AM m =-，22410242(2)43333PN m m m =-++--+=-+，BPN D Q 和APM D 相似，且BPN APM Ð=Ð，90BNP AMP \Ð=Ð=°或90NBP AMP Ð=Ð=°，当90BNP Ð=°时，则有BN MN ^，N \点的纵坐标为2，24102233m m \-++=，解得0m =（舍去）或52m =，5(2M \，0)；当90NBP Ð=°时，过点N 作NC y ^轴于点C ，则90NBC BNC Ð+Ð=°，NC m =，22410410223333BC m m m =-++-=-+，90NBP Ð=°Q ，90NBC ABO \Ð+Ð=°，ABO BNC \Ð=Ð，Rt NCB Rt BOA \D D ∽，NC CBOB OA=，\241023323m m m-++=，解得0m =（舍去）或118m =，11(8M \，0)；综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM D 相似时，点M 的坐标为5(2，0)或11(8，0)．2.（2019•龙岗区期末）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为(3,0)B ．(0,3)C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ^轴于点D ．若OD m =，PCD D 的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标；（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD D 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）将点(3,0)B ，(0,3)C 代入2y x bx c =-++，得09333b c ì=-++ïïíï=ïî，解得，23b c ì=ïïíï=ïî，\二次函数的解析式为223y x x =-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+Q ，\顶点(1,4)M ，设直线BM 的解析式为y kx b =+，将点(3,0)B ，(1,4)M 代入，得304k b k b ì+=ïïíï+=ïî，解得26k b ì=-ïïíï=ïî，\直线BM 的解析式为26y x =-+，PD x ^Q 轴且OD m =，(,26)P m m \-+，211(26)322PCD S S PD OD m m m m D \===-+=-+g ，即23S m m =-+，Q 点P 在线段BM 上，且(3,0)B ，(1,4)M ，13m \ ；②2393()224S m m m =-+=--+Q ，10->Q ，\当32m =时，S 取最大值94，3(2P \，3)；（3）存在，理由如下：如图21-，当90CPD Ð=°时，90COD ODP CPD Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形CODP 为矩形，3PD CO \==，将3y =代入直线26y x =-+，得，32x =，3(2P \，3)；如图22-，当90PCD Ð=°时，3OC =Q ，OD m =，22229CD OC OD m \=+=+，//PD OC Q ，PDC OCD \Ð=Ð，cos cos PDC OCD \Ð=Ð，\DC OCPD DC=，2DC PD OC \=g ，293(26)m m \+=-+，解得，1332m =--（舍去），2332m =-+，(332P \-+，1262)-，当90PDC Ð=°时，PD x ^Q 轴，\不存在，综上所述，点P 的坐标为3(2，3)或(332-+，1262)-．3.（2019•香洲区校级模拟）如图，抛物线的顶点(P m ，1)(0)m >，与y 轴的交点2(0,1)C m +．（1）求抛物线的解析式（用含m 的式子表示）（2）点(,)N x y 在该抛物线上，NH ^直线34y =于点H ，点5(,)4M m 且60NMH Ð=°．①求证：MNH D 是等边三角形；②当点O 、P 、N 在同一直线上时，求m 的值．【解析】设抛物线解析式是2()1(0)y a x m a =-+¹，将2(0,1)C m +代入，得22(0)11a m m -+=+解得1a =．故该抛物线解析式是：2()1y x m =-+；（2）①根据题意知，34NH y =-．34NM y =-．则NM NH =．又因为60NMH Ð=°，所以MNH D 是等边三角形；②由①知，MNH D 是等边三角形．则13(24M N y y =-，即513(424N y =-．故74N y =．由于点7(,4N x 在抛物线2()1y x m =-+上，27()14x m \-+=①所以点N 的坐标是(x ，2()1)x m -+．设直线OP 的解析式是(0)y kx k =¹．把(P m ，1)(0)m >代入，得1mk =．解得1k m=．故该直线方程是x y m=．把(N x ，2()1)x m -+代入，得2()1xx m m -+=②．①②联立方程组，解得m =．4.（2019•汕头市二模）如图，二次函数21y x bx c =++与22()y x cx b b c =++<的图象相交于点A ，分别与y 轴相交于点C ，B ，连接AB 、AC ．（1）过点(1,0)作直线l ，判断点A 与直线l 的位置关系，并说明理由．（2）当A 、C 两点是二次函数21y x bx c =++图象上的对称点时，求b 的值．（3）当ABC D 是等边三角形时，求点B 的坐标．【解析】（1）联立1y 、2y 并解得：1x =，故点(1,1)A b c ++，故直线l 过点A ；（2）由题意得：点B 、C 的坐标分别为(0,)b 、(0,)c ，A Q 、C 两点是二次函数21y x bx c =++图象上的对称点，故点A 、C 的纵坐标相同，即：1b c c ++=，解得：1b =-；（3）如下图所示，过等边三角形的点A 作AH BC ^，则点(0,2b cH +，点(1,1)A b c ++，则1AH =，则3tan 1tan 303HB AH HAB =�窗=，则323b c HB b +=-=，而12b cb c +=++，解得：33b +=-，故点33(0,)B +-．考向4二次函数与特殊四边形的存在性问题例：（2019•越秀区校级一模）如图1，抛物线21:2C y ax bx =+-与直线11:22l y x =--交于x 轴上的一点A ，和另一点(3,)B n （1）求抛物线1C 的解析式；（2）点P 是抛物线1C 上的一个动点（点P 在A ，B 两点之间，但不包括A ，B 两点）PM AB ^于点M ，//PN y 轴交AB 于点N ，求MN 的最大值；（3）如图2，将抛物线1C 绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线2C ，已知抛物线2C 的顶点E 在第一象限的抛物线1C 上，且抛持线2C 与抛物线1C 交于点D ，过点D 作//DF x 轴交抛物线2C 于点F ，过点E 作//EG x 轴交抛物线1C 于点G ，是否存在这样的抛物线2C ，使得四边形DFEG 为菱形？若存在，请求E 点的横坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）直线11:22l y x =--交x 轴于点A 11022x \--=，解得：1x =-(1,0)A \-Q 点(3,)B n 在直线l 上113222n \=--=-(3,2)B \-Q 抛物线21:2C y ax bx =+-经过点A 、B \209322a b a b ì--=ïïíï+-=-ïî解得：1232a b ìïï=ïïïíïï=-ïïïî\抛物线1C 的解析式为213222y x x =--（2）如图1，延长PN 交x 轴于点H90AHN \Ð=°设(P m ，2132)(13)22m m m ---<<//PN y Q 轴N H P x x x m \===11(,)22N m m \--，1AH m =+，1111()2222NH m m \=---=+，22111313(2)222222PN m m m m =-----=-++Rt AHN D Q 中，1tan 2NH NAH AH Ð==sin NHNAH AN\Ð==PM AB ^Q 于点M 90AHN PMN \Ð=Ð=°ANH PNM Ð=ÐQ NAH NPM \Ð=ÐRt PMN \D 中，sin 5MN NPM PN Ð==2213)1)5522105MN PN m m m \==-++=--+MN \的最大值为（3）存在满足条件的抛物线2C ，使得四边形DFEG 为菱形，如图2，连接DE ，过点E 作EQ DF ^于点Q221313252()22228y x x x =--=--Q \抛物线1C 顶点为3(2，25)8-设(E e ，2132)(4)22e e e -->\抛物线2C 顶点式为22113()2222y x e e e =--+--当22211313()2222222x e e e x x --+--=--解得：1x e =，232x =\两抛物线另一交点3(2D ，258-为抛物线1C 顶点//EG x Q 轴，//DF x 轴322()232EG DF DQ e e \===-=-，2213251392228228EQ e e =--+=-+\四边形DFEG 是平行四边形若DFEG Y 为菱形，则DG DF=Q 由抛物线对称性可得：DG DE EF ==，DE EF DF \==，DEF \D 是等边三角形\tan EQEDQ DQ=Ð=，\213932282e e e -+=-解得：132e =（舍去），232e =E \点的横坐标为32时，四边形DFEG 为菱形．练习：1.（2019•禅城区模拟二）如图1，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC D 的面积为S ．求S 关于t 的函数表达式，并求出当t 为何值时，PBC D 的面积S 有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将(1,0)A -、(3,0)B 代入2y x bx c =-++，，得，10930b c b c ì--+=ïïíï-++=ïî，解得，23b c ì=ïïíï=ïî，\抛物线的表达式为223y x x =-++；（2）如图1，过点P 作//PF y 轴，交BC 于点F ，设直线BC 的解析式为(0)y mx n m =+¹，将(3,0)B 、(0,3)C 代入y mx n =+，得，303m n n ì+=ïïíï=ïî，解得，13m n ì=-ïïíï=ïî，\直线BC 的解析式为3y x =-+，Q 点P 的坐标为2(,23)t t t -++，\点F 的坐标为(,3)t t -+，2223(3)3PF t t t t t \=-++--+=-+，221393327(222228S PF OB t t t \==-+=--+g ，302-<Q ，\当32t =时，S 取最大值，最大值为278；（3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，Q 抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，\抛物线的对称轴为直线1x =，1D C x x -=Q ，1P M x x \-=，2P x \=，(2,3)P \，在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，(0,3)C \，3C D y y \-=，3M P y y \-=，6M y \=，\点M 的坐标为(1,6)；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则CE PE =，Q 点C 的横坐标为0，点E 的横坐标为1，\点P 的横坐标1202t =´-=，又2P x ¹Q ，\不存在，综上所述，点M 的坐标为(1,6)．2.（2018•三水区二模）如图，对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -，(2,3)B -两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的动点，连接PO 交直线AB 于点Q ，当Q 是OP 中点时，求点P 的坐标；（3）C 在直线AB 上，D 在抛物线上，E 在坐标平面内，以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为正方形，直接写出点E 的坐标．【解析】（1）对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -，则抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为：(3,0)，则抛物线的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点B 的坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--；（2）设点2(,23)P m m m --，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：1y x =--，当Q 是OP 中点时，则点1(2Q m ，2232m m --，将点Q 的坐标代入直线AB 的表达式并解得：m =，故点P 或；（3）①当BC 为正方形的对角线时，如图1所示，直线AB 的表达式为：1y x =--，则点(0,1)C -，点(0,3)D -，2BD CD ==，故点1(2,1)E -；②当BC 是正方形的一条边时，（Ⅰ）当点D 在BC 下方时，如图2所示，抛物线顶点P 的坐标为：(1,4)-，点(2,3)B -，故PD BC ^，有图示两种情况，左图，点C 、E 的横坐标相同，在函数对称轴上，故点2(1,4)E -；此时，点D 、E 的位置可以互换，故点3(0,3)E -；右图，点B 、E 的横坐标相同，同理点4(2,5)E -；（Ⅱ）当点D 在CB 上方时，此时，点B 、D 坐标相同，这是不可能的，故不存在；综上，点E 的坐标为：(2,1)-或(1,4)-或(0,3)-或(2,5)-．3.（2017•天河区校级模拟）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A ，B ，C 三点的拋物线对应的函数关系式是251201223y x x =--+．【解析】Q 沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，A \点的坐标为：(4,2)-，B 点的坐标为：(2,6)-，C 点的坐标为：(2,4)，将A ，B ，C 代入2y ax bx c =++，1642426424a b c a b c a b c ì-+=ïïïï-+=íïïï++=ïî，解得：51212203a b c ìïï=-ïïïïïï=-íïïïïï=ïïïî，\二次函数解析式为：251201223y x x =--+．故答案为：251201223y x x =--+．4.（2019•南海区二模）如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点B ，交y 轴于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P ，使PC PO =，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M 、N 的坐标．【解析】（1）把点(1,0)A 、(0,3)C 代入二次函数表达式得：013b c c ì=++ïïíï=ïî，解得：43b c ì=-ïïíï=ïî，则抛物线的表达式为：243y x x =-+；（2）如下图，过P 作PH OC ^，垂足为H ，PO PC =Q ，PH OC ^，则：32CH OH ==，23432x x \-+=，解得：22x =±，故点(2P +或(2-；（3）如下图，连接NA 并延长交OC 于GQ 四边形ACMN 为等腰梯形，且//AC MN ，ANM CMN \Ð=Ð，ANM GAC Ð=Ð，GCA CMN Ð=Ð，GAC GCA \Ð=Ð，GA GC\=设GA x =，则GC x =，3OG x =-在Rt OGA D 中，222OA OG AG +=2221(3)x x \+-=，解得53x =，433OG x \=-=，4(0,)3G \直线AG 的解析式为4433y x =-+令2444333x x x -+=-+，解得11x =（舍去），253x =5(3N \，8)9-，225810(1)()399CM AN \==-+-，1037399OM OC CM \=+=+=，37(0,9M \，\存在37(0,9M 、5(3N ，8)9-使四边形ACMN 为等腰梯形．。
专题六二次函数十大考点中考题型归纳2022年中考数学一轮专题复习讲义
专题六 二次函数考点题型归纳考点一：求二次函数的解析式1．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；(6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 考点二：二次函数的图像与性质1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线x ＝－12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a ＋c>0；③当x<0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1＝－13，x 2＝12；⑤b 2－4ac4a <0；⑥若m ，n(m<n)为方程a(x ＋3)(x －2)＋3＝0的两个根，则m<－3且n>2，其中正确的结论有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2. 在同一平面直角系中，若抛物线42)12(2-+-+=m x m x y 与n x n m x y ++-=)3(2关于y 轴对称，则m= ,n= .3. 如图，抛物线是二次函数1322-+-=a x ax y 的图像，那么a 的值为 。
4. 在同一直角坐标系XOY 中，一次函数ax y =与二次函数a ax y -=2的图像可能是（ ）5.已知（﹣3，y 1），（1，y 2），（5，y 3）是抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x +m 上的点，则（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＝y 2＞y 3D ．y 1＞y 2＝y 36.已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+h ，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是（ ） A ．k ≥2B ．k ≤2C ．k ＝2D ．k ≤﹣27.如图，点A 、B 在y ＝x 2的图象上．已知A 、B 的横坐标分别为﹣2、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA 、OB ． （1）求直线AB 的函数表达式； （2）求△AOB 的面积；（3）若函数y ＝x 2的图象上存在点P ，使△PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点P 共有 个．考点三：根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系1.如图，已知点A （﹣1，0）和点B （1，1），若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点，则c 的取值范围是（ ） A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤2.已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a +b +c ＜0；④a ﹣b +c ＞0；⑤4a +2b +c ＞0． 其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.对称轴为直线x ＝1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）如图所示，现有结论：①abc ＜0，②b 2＞4ac ，③3a +c ＞0，④ac ﹣bc +c 2＜0．其中结论正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点四：二次函数中平移、旋转问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧︒︒=--=：得到抛物线绕原点旋转：得到抛物线绕顶点旋转：轴对称得到抛物线沿：轴翻折后得到抛物线沿：）对称得到抛物线，关于点（个单位得到抛物线轴向右平移沿：已知抛物线76543221180)6180).5).4y ).312).2:3).14)1(.1C C C x C C C x x y C 2. 已知抛物线C 1：222--=ax ax y 的顶点M ，直线l ：a x y -=2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。
备战中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，∴y ＝2x ﹣6，令y ＝0，解得：x ＝3，∴B 的坐标是（3，0）．∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-132（m＝1+132＞0，舍），∴P（1-13，13-1）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴1DQADOD DB=，即56=135，∴DQ1＝52，∴OQ1＝72，即Q1（0，-72）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴2OQOBOD OB=，即2363OQ=，∴OQ2＝32，即Q2（0，32）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴33OQOBQ E AE=，即33341OQOQ=-∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为P （2，9），与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C （0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A ，B 的坐标；（Ⅱ）设点Q 在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q 的坐标；（Ⅲ）若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，使得以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，且AC 为其一边，求点M ，N 的坐标．【答案】（1）y=﹣x 2+4x+5，A （﹣1，0），B （5，0）；（2）Q 553）M （1，8），N （2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C 点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A 和B 点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．5．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为28，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．6．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝252m m--，S的最大值是25 8，此时动点M的坐标是（52，74）；（3）点M82秒．【解析】【分析】（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB ＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.【详解】（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴点B的坐标为（0，3），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴点C的坐标为（3，0），∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1，∴点A 的坐标（1，0），∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ， ∴3BA A H''=， 即3BA A H ''=，∵A ′H +A ′C ≥HC =，∴t ，即点M 在整个运动过程中用时最少是3秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.7．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x 2-2mx+3=（x-m ）2-m 2+3， ∴对称轴为直线x=m ，∵二次函数y=x 2-2mx+3的图象与x 轴交于点A 和点B ∴点A 和点B 关于直线x=m 对称， ∴a+n-m=m-a ， ∴a=m-；（3）y=x 2-2mx+3（m ＞）化为顶点式为y=（x-m ）2-m 2+3（m ＞）①当a 为整数，因为n ＞0且n 为整数 所以a+n 是整数， ∵线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数， ∴n=2， ∴a=m-1，∴A （m-1，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得（x-m ）2-m 2+3=0， ∴m 2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去）， ∴a=2-1=1，②当a 不是整数，因为n ＞0且n 为整数 所以a+n 不是整数， ∵线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数， ∴n=3， ∴a=m-∴A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3， ∴m 2=， ∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−． 考点：二次函数综合题．8．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223433y x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103）【解析】 【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩，∴A （-2，3B （1,0）； （2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N 在y 轴上，且AD=2， 在Rt △AND 中，由勾股定理可得 DN=22AN -AD =13-4=3， ∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ， ∴∠ ACK=∠ EFH ， 在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFHAKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ， ∴FH=CK=1，HE=AK=23 ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F 点的横坐标为0或-2， ∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-），F（-4，103）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题9．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．10．已知抛物线27y x3x4=--的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（34-，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．①点G是否在直线l上，请说明理由；②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1） D （32，﹣4） （2） P （0，74）或（0，17） （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程求出A 、B 的坐标，令x=0求出点C 的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D 的坐标．（2）根据点A 、C 的坐标求出OA 、OC 的长，再分OA 和OA 是对应边，OA 和OC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP 的长，从而得解．（3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l 的解析式，再利用中点公式求出点G 的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可． ②设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，求出OE 、OF 、HD 、HB 的长，然后求出△OEF 和△HDB 相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD ，然后求出EG ⊥BD ，从而得到直线l 是线段BD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D 关于直线l 的对称点就是B ，从而判断出点M 就是直线DE 与抛物线的交点．再设直线DE 的解析式为y=mx+n ，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE 的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M ． 【详解】解：（1）在27y x 3x 4=--中，令y=0，则27x 3x 04--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0， 解得x 1=12-，x 2=72．∴A （12-，0），B （72，0）． 在27y x 3x 4=--中，令x=0，则y=74-．∴C （0，74-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41⎛⎫⨯⨯--- ⎪--⎝⎭-=-===-⨯⨯，，∴顶点D （32，﹣4）． （2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ． 设点P 的坐标为（0，y ），∵A （12-，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=74，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴OP OA OC OA =．∴y=OC=74，此时点P （0，74）．②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，∴OP OAOA OC=，即1y21724=．解得y=17，此时点P（0，17）．综上所述，符合条件的点P有两个，P（0，74）或（0，17）．（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），∵直线l经过点E（32-，0）和点F（0，34-），∴3k b023b4⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1k23b4⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线l的解析式为13y x24=--．∵B（72，0），D（32，﹣4），∴[]1735104222222+=+-=-（），（），∴线段BD的中点G的坐标为（52，﹣2）．当x=52时，153y2224=-⨯-=-，∴点G在直线l上．②在抛物线上存在符合条件的点M．设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（32，0），∵E （32-，0）、F （0，34-），B （72，0）、D （32，﹣4）， ∴OE=32，OF=72，HD=4，HB=72﹣32=2． ∵，∠OEF=∠HDB ，∴△OEF ∽△HDB ．∴∠OFE=∠HBD ． ∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°． ∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD ） =180°﹣90°=90°，∴直线l 是线段BD 的垂直平分线． ∴点D 关于直线l 的对称点就是点B ． ∴点M 就是直线DE 与抛物线的交点． 设直线DE 的解析式为y=mx+n ， ∵D （32，﹣4），E （32-，0）， ∴，解得．∴直线DE 的解析式为．联立，解得，．∴符合条件的点M 有两个，是（32，﹣4）或（，）．。
中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
专题27 二次函数-存在性问题(全国通用)(解析版)
专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。
存在性的问题有点、线段、图形的存在等等。
解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。
1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =--；（2）存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-． 【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象交y 轴于点()0,4C -，∴设二次函数表达式为24y ax bx =+-， 把A 、B 二点坐标代入可得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解这个方程组，得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：234y x x =--；（2））∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为()2,34t t t --过P 作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F设直线BC 的函数表达式y mx n =+，将B （4，0），C （0，-4）代入得404m n n +=⎧⎨=-⎩， 解这个方程组，得14m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为4y x =-，∴点F 的坐标为(),4t t -，()()224344PF t t t t t ∴=----=-+， ()2114422PBC S PF OB t t ∆∴==-+⨯ ()2228t =--+，∵20a =->，∴当2t =时，PBC S ∆最大，此时223423246y t t =--=-⨯-=-，所以存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的关键．2．如图,二次函数 22y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ． ()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在2 3ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．【答案】(1) 213222y x x =-++；(2) 存在，D （1，3）或（2，3）或（5，-3） 【分析】 （1）利用待定系数法将点A 和点B 的坐标代入，求出a 和b 的值即可；（2）求出△ABC 的面积，根据23ABC ABD S S ∆∆=求出△ABD 的面积，得出△ABD 中AB 边上的高，从而分点D 在x 轴上方和x 轴下方分别求出点D 的坐标.【详解】解：（1）把点()1,0A -和点()4,0B 代入22y ax bx =++中,得0201642a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++； （2）存在，()()()231,3,2,3,5,3D D D -，理由是：∵A （-1，0），B （4，0），C （0，2）， ∴()141252ABC S ∆=⨯+⨯=， ∵23ABCABD S S ∆∆=， ∴315522ABD S ∆=⨯=， 在△ABD 中，∵AB=5，∴AB 边上的高，即点D 到x 轴的距离为3， ∵抛物线表达式为213222y x x =-++， 若点D 的纵坐标为3，令y=3，解得x=1或2，∴点D 的坐标为（1，3）或（2，3）；若点D 的纵坐标为-3，令y=-3，解得x=5或-2（舍），∴点D 的坐标为（5，-3）.综上：存在()()()231,3,2,3,5,3D D D -，使得23ABC ABD S S ∆∆=. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，解题的关键是注意分类讨论思想的运用.3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0， 4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++；（2）D 的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，163）；（3）满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的解析式得点D 的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；（3）设P 的坐标为P （x ，y ），到y 轴的距离为|x|，则S △BOP =12•BO •|x|，解出x=±54，进而得出P 点坐标．【详解】解：(1)把点A (－1，0)和点B (0， 4)代入二次函数283y ax x c =++中得： ()()280=1134a c c⎧-+⨯-+⎪⎨⎪=⎩ 解得：434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以二次函数的解析式为：248433y x x =-++ ； （2）根据（1）得点D 的坐标为（3，0），248433y x x =-++=()()224416241333x x x --+=--+， ∴顶点坐标为（1，163）； (3)存在这样的点P ，设P 的坐标为P (x ，y )，到y 轴的距离为∣x ∣∵ S △BOP ＝12•BO •∣x ∣ ∴52＝12×4•∣x ∣ 解得：∣x ∣＝54所以x ＝±54把x ＝54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫=-⨯+⨯+ ⎪⎝⎭ 即：y ＝214， 把x ＝－54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：y ＝－1712∴满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）3a =-；（2）存在，P 点的坐标为(2,3)-或(13)-+-或(13)---．【分析】（1）根据求出A,B,C 的坐标，再由BAC ∆的面积是6得到关于a 的方程即可求解；（2）根据ABP ABC S S ∆∆=得到P 点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．【详解】（1）∵2(1)y x a x a =-++-，令0x =，则y a =-，∴(0,)C a -，令0y =，即2(1)0x a x a -++-=解得1x a =，21x =由图象知：0a <∴(,0)A a ，(1,0)B∵6ABC S ∆= ∴1(1)()62a a --= 解得：3a =-，（4a =舍去）；（2）∵3a =-，∴(0,3)C ，∵ABP ABC S S ∆∆=.∴P 点的纵坐标为±3，把3y =代入223y x x =--+得2233x x --+=，解得0x =或2x =-，把3y =-代入223y x x =--+得2233x x --+=-，解得1x =-+1x =--∴P 点的坐标为(2,3)-或(13)-+-或(13)--．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．【答案】（1）228833y x x =--+；（2）2142S m m =-+(0<m<8);（3）当4m =时S 有最大值8，此时点E 的坐标为(20)-，，△BCE 为等腰三角形. 【分析】（1）通过解方程x 2−10x ＋16＝0得到二次函数图象上的点B 、C 的坐标，再结合A 的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；（2）用m 表述出AE 、BE 的长，得到△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得到比例式8108EF m -=，求出EF 的表达式，利用sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45得到45FG EF =，求出FG 的表达式，再根据S ＝S △BCE −S △BFE 求S 与m 之间的函数关系，m 的值不超过AB 的长．（3）将S ＝12-m 2＋4配方为S ＝12-（m −4）2＋8，求出S 的最大值，进而判断出此时△BCE 的形状．【详解】（1）方程210160x x -+=的两个根为2和8.由于OB OC <，所以2OB =，8OC =，故8c =，点B 坐标为(20)，. 因为点A 坐标为(60)-，，所以22(6)(6)802280a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎨⨯+⨯+=⎩． 解得23a =-，83b =-. 故此二次函数的表达式为228833y x x =--+. （2）∵AB ＝8，OC ＝8，依题意，AE ＝m ，则BE ＝8−m ，∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10．∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ． ∴EF BE AC AB=． 即8108EF m -=． ∴EF ＝4054m -． 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45． ∴45FG EF =． ∴FG ＝45•4054m -＝8−m ． ∴S ＝S △BCE −S △BFE ＝12（8−m ）×8−12（8−m ）（8−m ） ＝12（8−m ）（8−8＋m ） ＝12（8−m ）m ＝2142m m -+，自变量m 的取值范围是0＜m ＜8．（3）存在．理由如下：∵S ＝2142m m -+=−12（m −4）2＋8，且−12＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8．∵m ＝4，∴点E 的坐标为（−2，0）．∴△BCE 为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及函数和方程的关系、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、配方法求函数最大值等知识，是一道好题．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根. ()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14k ≤且0k ≠；（2）不存在 【分析】(1)由题意，方程需满足：根的判别式大于0且二次项系数不为0，求不等式的解即可；(2)根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可．【详解】解：()1有题意得()22202140k k k ⎧≠⎪⎨=--≥⎪⎩，解得，14k ≤且0k ≠ ()2设方程的两根为x1,x 2,依题意， 122210k x x k -+==， ∴12k =， 又∵14k ≤且0k ≠ 所以不存在【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C .(1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.【答案】(1)2y x =-点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2(3)8【解析】试题分析：(1) ∵点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴0,230.b c b c -+=++=解得{2b c ==-∴二次函数解析式为222y x =--（2）可求点C 的坐标为（1，-∴点D 的坐标为（1，.可求直线AD的解析式为y =+由题意可求直线BK的解析式为y =-.∵直线l的解析式为y x =+∴可求出点K 的坐标为(5,易求4AB BK KD DA ====.∴四边形ABKD 是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2） .(3) ∵点D 、B 关于直线AK 对称,∴DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥x 轴于F 点. 过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q , ∴KP ⊥AD .∵AK 是∠DAB 的角平分线,∴KF KQ PQ ===∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.∵BK ∥AD ,∴90BKP ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴DN NM MK ++的最小值为8.考点：二次函数点评：本题难度较大，主要考查学生对二次函数性质的掌握，本题难度较高在图像分析较复杂，需要学生有扎实基础来理清思路．一般为压轴题型，基础较好的同学要多加训练，培养解题感觉．8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -． （1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1m =-，4k =-；（2）()1,0A -，()3,0B ；（3）存在点P ，坐标为()4,5或()2,5-【分析】（1）由顶点坐标确定m 、k 的值；（2）令y=0求得图象与x 轴的交点坐标；（3）设存在这样的P 点，由于底边相同，求出△PAB 中AB 边上的高P y ，然后得出P 点纵坐标代入二次函数表达式求得P 点坐标．【详解】解：（1）由顶点坐标为M （1，-4）可知二次函数解析式为()214y x =--．∴1m =-，4k =-；（2）在()214y x =--中，令0y =得()2140x --=，解得13x =，21x =-，∴()1,0A -，()3,0B ．（3）∵PAB △与MAB △同底，且54PAB MAB S S =△△， ∴554544P M y y ==⨯=，即5P y =±． 又∵点P 在()214y x =--的图象上，∴4P y ≥-，∴5P y =，∴()2145x --=，解得14x =，22x =-，∴存在点P ，坐标为()4,5或()2,5-，使54PAB MAB SS =． 【点睛】本题考查了由二次函数顶点式的求法及抛物线与x 轴交点坐标的求法，以及给出面积关系求点的坐标，综合体现了数形结合的思想．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．【答案】（1）21462y x x =-+ （2）(4,−2)，(6,0)（3）存在，C(4,2)【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D 的坐标；（3）连接CA ，由于BD 是定值，使得△CBD 的周长最小，只需CD+CB 最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD ，只需CA+CB 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A 、C 、B三点共线时，CA+CB 最小，只需用待定系数法求出直线AB 的解析式，就可得到点C 的坐标．【详解】（1）把A(2，0)，B(8，6)代入212y x bx c =++，得 1402164862bx c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得46b c =-⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为21462y x x =-+ 故答案为：21462y x x =-+ （2）由221146(4)222y x x x =-+=--得二次函数图象的顶点坐标为(4，−2) 令y=0，得214602x x -+= 解得：x 1=2，x 2=6，∴D 点的坐标为(6，0)．故答案为：(4，−2)，(6，0)（3）二次函数的对称轴上存在一点C ，使得△CBD 的周长最小．连接CA ，如图，∵点C 在二次函数的对称轴x=4上，∴x C =4，CA=CD ，∴△CBD 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD ，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，此时，由于BD 是定值，因此△CBD 的周长最小．设直线AB 的解析式为y=mx+n ，把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n ，得2+086m n m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 的解析式为y=x −2当x=4时，y=4−2=2，∴当二次函数的对称轴上点C 的坐标为(4，2)时，△CBD 的周长最小．故答案为：存在，C(4，2)【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，会将二次函数一般式化为顶点式，表示出顶点坐标，本题是抛物线动点问题的综合题型，在求线段和最短的时候，“两点之间，线段最短”是经常会被用到的知识点．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）．（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1） A （-1,0） B （3,0） （2）P 1（4,5） P 2（-2,5）.【解析】试题分析：（1）将顶点M （1，-4）代入二次函数c bx x y ++=2，求出二次函数解析式，令y=0，解方程即可；（2）假设存在点P （x ，y ）满足条件，用点P 坐标分别表示出两个三角形的面积，解方程确定点P 的坐标.试题解析：：（1）因为M （1，-4） 是二次函数c bx x y ++=2的顶点坐标， 所以222(1)423y x bx c x x x =++=--=--，令解得 ∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3，0）.（2）在二次函数的图象上存在点P ，使设P （x ，y ）则 又∴即y=±5 ∵二次函数的最小值为-4∴当时，或故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）.考点：1.二次函数的图像；2.一次函数的图像；3.二次函数的最值；4.轴对称 .11．如图，二次函数y ＝﹣14x 2+bx +c 的图象经过点A （4，0），B （﹣4，﹣4），且与y 轴交于点C ．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO 平分∠BAC ；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P 使得AP ＝BP ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣14x 2+12x +2；（2）见解析；（3）存在．点P 的坐标为（1，﹣4）； 【解析】【分析】 （1）将点A （4，0）与点B （−4，-4）代入函数解析式即可；（2）求出直线AB 的解析式，求出AB 与y 轴交点D （0，−2），可得OC ＝OD ，再由AO ⊥CD ，可证AO 平分∠BAC ；（3）二次函数的对称轴为直线x ＝1，设点P 的坐标为（1，m ），AP 2＝（4−1）2＋m 2，BP 2＝（1＋4）2＋（m4）2，当AP ＝BP 时，求出m ＝−4即可；【详解】（1）∵点A （4，0）与点B （﹣4，-4）在二次函数的图象上， ∴044444b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩， 解得122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝211242x x -++； （2）设直线AB 的解析式为y ＝ax +n则有4040a n a n +=⎧⎨-+=⎩， 解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB的解析式为y＝12x﹣2，设直线AB与y轴的交点为点D，x＝0，则y＝﹣2，故点D为（0，﹣2），由（1）可知点C为（0，2），∴OC＝OD又∵AO⊥CD，∴AO平分∠BAC；（3）存在．∵y＝﹣14x2+12x+2＝﹣14（x﹣1）2+14+2，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，设点P的坐标为（1，m），AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，当AP＝BP时，AP2＝BP2，则有9+m2＝25+m2+16+8m，解得m＝﹣4，∴点P的坐标为（1，﹣4）；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用勾股定理求边长是解题的关键．12．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）A （－1,0） B （3,0）；（2）存在，P （－2,5）或 P （4,5）【解析】试题分析：1）由已知得，抛物线解析式令y=0，解得 ∴A （－1,0） B （3,0）（2）84421=⨯⨯=∆MAB S ∴∵AB=4 ∴令y=5，解得∴P （－2,5）或 P （4,5）考点：1．抛物线的顶点式；2．抛物线的值13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）y ＝－12x 2＋4x －6；（2）S △ABC ＝6；（3）点P 坐标为（-2，0）或()2-或()2+或()80-， 【解析】试题分析：（1）把A 、B 两点的坐标代入y=-12x 2+bx+c 中得到关于b 、c 的方程组，然后解方程求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．（3）分类讨论，进行求解即可.试题解析：（1）∵的图象经过A （2，0）、B （0，-6）两点， ∴2206b c c -++⎧⎨-⎩＝＝， 解得b=4，c=-6，∴这个二次函数的解析式为y ＝−12x 2+4x −6 （2）令-12x 2+4x-6=0 ∴x 2-8x+12=0解得：x 1=2 x 2=6∴C （4，0）∴AC=2∴S △ABC =12×2×6=6 （3）点P 坐标为（-2,0）或()(()2-80+或或， 14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.【答案】（1）二次函数解析式为223y x x =+-，B 点坐标为(3,0)-;（2）()4,5-，(2,5);（3）412y -<.【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式;.（2）设()2,23P x x x +-,然后利用三角形的面积计算即可;（3）根据图象可得出y 的取值范围..【详解】解：（1）将(1,0)A ，(0,3)C -代入2y x bx c =++中， 得：103b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得23b c =⎧⎨=-⎩. 所以二次函数解析式为223y x x =+-.令0y =，即2230x x +-=，解得：11x =，23x =-.∴B 点坐标为(3,0)-.（2）设()2,23P x x x +-，∵ABP ∆的面积为10， ∴21423102x x ⨯⨯+-=， 解方程2235x x +-=得14x =-，22x =，此时P 点坐标为()4,5-，(2,5).方程2235x x +-=-没有实数解.综上所述，P 点坐标为()4,5-，(2,5).（3）如图所示，当33x -<<时，当1x =-时，y 有最小值，将1x =-代入223y x x =+-中，得4y =-. 当3x =时，y 有最大值.将3x =代入223y x x =+-中，得12y =. ∴y 的取值范围是412y -<.【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】存在，点33(,)22P --或(0,3)P -或(3,22P -+-．【分析】由抛物线解析式可得出C 、B 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当PC PO =时，点P 在OC 的垂直平分线上，根据O 、C 坐标可得OC 中点坐标，把OC 中点的横坐标代入BC 解析式即可得P 点坐标；当PO CO =时，设P （x ，-x-3），利用两点间距离公式即可得P 点坐标；当PC CO =时，利用利用两点间距离公式即可得P 点坐标．【详解】当0y =时，2230x x +-=，解得：123,1x x =-=，∵点C 在点D 的左边，∴(3,0)C -当x=0时，y=-3，∴B （0，-3），设直线BC 的函数解析式为y kx n =+∴0330k n n=-+⎧⎨-=+⎩， 解得13k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y=-x-3，①当PC PO =时，点P 在OC 的垂直平分线上，∵点C （-3，0），O （0，0），∴OC 中点坐标为（32-，0）， 把x=32-代入y=-x-3得：y=32-3=32-， ∴点33(,)22P -- ②当PO CO =时，设P （x ，-x-3），，解得：x 1=0，x 2=-3（舍去），∴-x-3=-3，∴点(0,3)P -，③当PC CO =时，设点(,3)P x x --，3=，解得13x =-+，232x =--（不合题意，舍去）∴(3P -+∴存在，点33(,)22P --或(0,3)P -或(3,)22P -+-． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）1a =-，22y x x =--+，函数图象如图所示见解析；（3）存在这样的点P ，点P 的坐标为35,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1)．【解析】【分析】（1）1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（−2，0）、（−1a，0），结合a ＜0即可得证；（2）根据题意求出1a =-，再求出函数与x 轴的交点，即可作图；（3）根据题意作出图像，根据题意分两种情况讨论：①当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，根据75PCA ︒∠=求出30OEC ︒∠=，因此OC tan OEC OE ===∠E ，则可求出求得直线CE解析式为2y x =+，再联立两直线即可求出P 点坐标；②当点P 在直线AC 下方时， 同理求出P 的坐标.【详解】（1）∵2(21)2(2)(1)y ax a x x ax =+++=++，且0a <，∴抛物线与x 轴的交点为(2,0)-、1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数，∴1a =-，则抛物线与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-、B 的坐标为(1,0)，∴抛物线解析式为(2)(1)y x x =+-+22x x =--+21924x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 当0x =时，2y =，即(0,2)C ，函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P ，∵2OA OC ==，∴45ACO ︒∠=，如图2，当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，∵75PCA ︒∠=，∴120PCO ︒∠=，60OCE ︒∠=，则30OEC ︒∠=，∴OC tan OEC OE ===∠则E ，求得直线CE解析式为2y x =+，联立2232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或53x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P ⎝⎭； 如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵75ACP ︒∠=，45ACO ︒∠=，∴30OCF ︒∠=，则tan 2OF OC OCF =∠==，∴F ⎫⎪⎪⎝⎭，求得直线PC解析式为2y =+，联立222y y x x ⎧=+⎪⎨=--+⎪⎩， 解得：02x y =⎧⎨=⎩或11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴1)P ，综上，点P 的坐标为⎝⎭或1)． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质及三角函数的应用.17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝－x 2－2x ；（2）（3，-3），（1，-3）．【分析】（1）把点（0，0）和点A （-2，0）分别代入函数关系式来求b 、c 的值；（2）设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x ），利用三角形的面积公式得到-x 2-2x =±3．通过解方程来求x 的值，则易求点P 的坐标．【详解】解：（1）∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过坐标原点（0，0）∴c =0．又∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象过点A （-2，0）∴-（-2）2-2b +0=0，∴b =-2．∴所求b 、c 值分别为-2，0；（2）存在一点P ，满足S △AOP =3．设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x ）∵S △AOP =3 ∴12×2×|-x 2-2x |=3 ∴-x 2-2x =±3． 当-x 2-2x =3时，此方程无解；当-x 2-2x =-3时，解得 x 1=-3，x 2=1．∴点P 的坐标为（-3，-3）或（1，-3）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解（1）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式；（2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）画图见解析；（3）存在，点P 的坐标为（1，﹣1）．【解析】试题分析：（1）根据对称轴的公式x =2b a -和函数的解析式，将2b a-=1和A （3，0），B （2，﹣3）代入函数解析式，组成方程组解答即可；（2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可；（3）根据两点之间距离公式解答即可．试题解析：解：（1）根据题意得：12930423b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）二次函数图象如图：（3）存在．作AB 的垂直平分线交对称轴x =1于点P ，连接PA 、PB ，则PA =PB ，设P 点坐标为（1，m ）．∵PA =PB ，∴22+m 2=（﹣3﹣m ）2+1，解得：m =﹣1，∴点P 的坐标为（1，﹣1）． 点睛：（1）所用方法被称为待定系数法；（2）考查了二次函数草图的画法；（3）会用距离公式d19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出A B 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ． ①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【答案】（1）()()1,0,3,0A B ；（2）①对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形，k =③线段EF 的长度不会发生变化，值为6．【分析】（1）令2430x x -+=，求出解集即可；（2）①根据二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据()22432y kx kx k k x k =-+=--，可得到结果；③根据已知条件列式2438kx kx k k -+=，求出定值即可证明．【详解】解：（1）令2430x x -+=，∴()()130x x --=，∴11x =，23x =，∵点A 在点B 的左边，∴()()1,0,3,0A B ；（2）①二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质：（I ）对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；（II ）都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形．∵()22432y kx kx k k x k =-+=--，∴顶点()2,P k -，∵()()1,0,3,0A B ，∴2AB =，要使ABP ∆为等边三角形，必满足k -=∴k =③线段EF 的长度不会发生变化．∵直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，∴2438kx kx k k -+=，∵0k ≠，∴2438x x -+=，∴11x =-，25x =，∴216EF x x =-=，∴线段EF 的长度不会发生变化．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点．（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m=﹣3；（2）Q （﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由见解析【分析】（1）函数的对称轴为：x=1，点C 为AD 的中点，则点A （-1，0），即可求解；（2）tan ∠ABQ=3，点B （3，0），则AQ 所在的直线为：y=±3x （x-3），即可求解；（3）分点Q （2，-3）、点Q （-4，21）两种情况，分别求解即可．【详解】（1）设对称轴交x 轴于点E ，直线AC 交抛物线对称轴于点D ，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BP的表达式为：y＝﹣13（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣43，故点P（﹣41339，），此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣21139，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．【点睛】此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质、三角形相似、中点公式的运用等，解题关键在于要注意分类求解，避免遗漏．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x 2﹣4x+6；（2）D 点的坐标为（6，0）；（3）存在．当点C 的坐标为（4，2）时，△CBD 的周长最小【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D 的坐标；（3）连接CA ，由于BD 是定值，使得△CBD 的周长最小，只需CD+CB 最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD ，只需CA+CB 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，只需用待定系数法求出直线AB 的解析式，就可得到点C 的坐标．【详解】（1）把A （2，0），B （8，6）代入212y x bx c =++，得 14202164862b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得：46b c =-⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为21462y x x =+﹣；（2）由2211464222y x x x =+=﹣（﹣）﹣，得二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．令y=0，得214602x x +=﹣，解得：x 1=2，x 2=6，∴D 点的坐标为（6，0）；（3）二次函数的对称轴上存在一点C ，使得CBD 的周长最小．连接CA ，如图，∵点C 在二次函数的对称轴x=4上，∴x C =4，CA=CD ，∴CBD 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD ，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，此时，由于BD 是定值，因此CBD 的周长最小．设直线AB 的解析式为y=mx+n ，把A （2，0）、B （8，6）代入y=mx+n ，得208m n m n +=⎧⎨+=⎩解得：12m n =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 的解析式为y=x ﹣2．当x=4时，y=4﹣2=2，∴当二次函数的对称轴上点C 的坐标为（4，2）时，CBD 的周长最小．【点睛】本题考查了（1）二次函数综合题；（2）待定系数法求一次函数解析式；（3）二次函数的性质；（4）待定系数法求二次函数解析式；（5）线段的性质：（6）两点之间线段最短．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为223y x x =+- ；（2）=4AB ；（3）存在，点P 的坐标为1(1P -+或2(1P --或3(1,4)P --. 【分析】（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入二次函数y=x 2+bx+c 中，即可算出b 、c 的值，进而得到函数解析式是y=x 2+2x-3；（2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长；（3）设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为8可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标．【详解】 解：（1）依题意把()0A 1，，()03C -，代入2y x bx c =++得： 103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ， ∴ 该二次函数的解析式为223y x x =+- ；（2）令0y =，则2230x x +-=，解之得：11x =，23x =- ，∴ 点B 坐标为（－3，0），。
决胜2020中考数学压轴题全揭秘下专题16二次函数的存在性问题试题
专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）①12k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似，F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC =DC =，AD =，可得ΔACD 为直角三角形，若1CF AD 2=，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)Q 抛物线2y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)，933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；()22y x 2x 3x 14=--+=-++Q ， ∴顶点D 的坐标为(1,4)-；(2)①Q 在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，222AC OA OC 18∴=+=，()D 1,4-Q ，()C 0,3，()A 3,0-，222CD 112∴=+=， 222AD 2420∴=+=，222AC CD AD ∴+=，ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=，1CF AD 2=Q ， ∴F 为AD 的中点，AF 1AD 2∴=， 1k 2∴=；②在Rt ΔACD中，DC 1tan ACD AC 3∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1tan OCB OC 3∠==， ACD OCB ∠∠∴=， OA OC =Q ，OAC OCA 45∠∠︒∴==，FAO ACB ∠∠∴=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，OF BC ∴P ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，∴直线OF 的解析式为y=3x -，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，618F ,55⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，CAB 45∠︒=Q ，OF AC ∴⊥，∴直线OF 的解析式为y=x -，26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，综合以上可得F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()40Q ，或()04-，，理由见解析；（3）3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将A 、C 的坐标代入2y 2ax x c =++求出a 、c 即可得到解析式；（2）先求出E 点坐标，然后作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q 、与A 、E ，Q'与A 、E 组成的三角形是以AE 为底边的等腰三角形，设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A 、E 坐标，求出AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设()p 0m ，，由相似得到PB ABBC AE=或PB AEBC AB=，建立方程求解即可．【详解】（1）将(1,0)A -，(0,3)C 代入2y 2ax x c =++得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为2y 23=-++x x （2）存在，理由如下：联立y 1x =--和2y x 2x 3=-++，2y 123x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标为(4,-5)，如图，作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，此时Q 点与Q'点的坐标即为所求， 设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)， 由QA=QE ，Q'A= Q'E 得：()()()221405--=-++x x ()()()()2222010045++-=-++y y 解得4x =，4y =故Q 点坐标为()40，或()04-， （3）∵(1,0)A -，()45E -，∴()22145=52=--+AE当2230x x -++=时，解得1x =-或3 ∴B 点坐标为(3,0)， ∴3OB OC ==∴45ABC ∠=︒，4AB =，32BC =，由直线1y x =--可得AE 与y 轴的交点为(0,-1)，而A 点坐标为(-1,0) ∴∠BAE=45°设()p 0m ，则3m BP =-， ∵PBC ∆和ABE ∆相似 ∴PB AB BC AE =或PB AE BC AB =，即3252=或52432=解得35m =或92m =-， ∴3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）211242y x x =-++；（2）点H 的坐标为（1，32）；（3）当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 【解析】 分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()?(0)y x x m m m=-+->中，解出m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点A 、B 、C 的坐标，由题意可知，点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H ，根据B 、C 的坐标求出直线BC 的解析式即可求得点H 的坐标；（3）由解析式1(2)()?(0)y x x m m m=-+->可得点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，0）、（m ，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA ，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解：（1）把点（2，2）代入抛物线， 得2=()()1222m m-+-. 解得m=4.∴抛物线的解析式为()()2111y x 2x 4x x 2442=-+-=-++. （2）令211y x x 2042=-++=，解得12x 2x 4=-=，. 则A （-2，0），B （4，0）.对称轴x=-121124=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. ∵ 211y x x 242=-++中当x=0时，y=2，∴点C 的坐标为（0，2）.∵点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与对称轴的交点即为点H ，此时AH+CH 的值最小， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （4，0），C （0，2）代入得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线BC 的解析式为y=1x 22-+. ∵当x=1时，y=1122-⨯+=32.∴点H 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 如下图，连接AC ，BC ，AM ，BM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB ∽△ABM 时，有AC AB =ABAM，即2AB AC?AM =. ∵A （-2，0），C （0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=∠BAM=o 45.∵MN ⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°， ∴AN=MN.∴可设M 的坐标为：（x ，-x-2）（x ＞0）， 把点M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=()()1x 2x m m-+-. 化简整理得：x=2m ，∴点M 的坐标为：（2m ，-2m-2）. ∴()())222m 22m 222m 1++--=+.∵2AB AC?AM =，AC=22AB=m+2， ∴())2m 22222m 1+=+. 解得：m=222±. ∵m ＞0， ∴m=222+.②当△ACB ∽△MBA 时，有AB MA =CBBA，即2AB CB?MA =. ∵∠CBA=∠BAM ，∠ANM=∠BOC=o 90， ∴△ANM ∽△BOC ，∴MN AN =COBO. ∵BO=m ，设ON=x ， ∴2MN x +=2m ，即MN=2m（x+2）.令M （x ，()2x 2m-+）（x ＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式，得()2x 2m -+=()()1x 2x m m-+-.解得x=m+2.即M （m+2，()2m 4m-+）.∵2AB CB?MA =，CB=2m 4AN m 4+=+，，MN=()2m 4m+， ∴()()()222224m 4m 2m 4?m 4m ++=+++. 化简整理，得16=0，显然不成立.综上所述，当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A 、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA 这两种可能情况”是解答第3小题的关键. 【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD V 的面积；()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使DEF V 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22(2)143y x x x =--=-+ ;(2)2;(3)见解析. 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A 、B 坐标，利用待定系数法可求得直线BC 解析式，利用对称轴可求得D 点坐标，则可求得AD 2、AC 2和CD 2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF ∥x 轴，则可求得E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD 解析式，联立直线AC 和抛物线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线BC 可求得点E 的坐标． 【详解】解：()1∵抛物线的顶点坐标为()2,1-， ∴可设抛物线解析式为()2(2)10y a x a =--≠，把()0,3C 代入可得2(02)13a --=，解得1a =，∴抛物线解析式为22(2)143y x x x =--=-+；()2在243y x x =-+中，令0y =可得2430x x -+=，解得1x =或3x =，∴()1,0A ，()3,0B ，设直线BC 解析式为3y kx =+，把()3,0B 代入得：330k +=，解得1k =-， ∴直线BC 解析式为3y x =-+，由()1可知抛物线的对称轴为2x =，此时231y =-+=， ∴()2,1D ，∴22AD =，210AC =，28CD =， ∵222AD CD AC +=，∴ACD V 是以AC 为斜边的直角三角形，∴11222ACD S AD CD =⋅==V ； ()3由题意知//EF y 轴，则90FED OCB ∠=∠≠o ，∴DEF V 为直角三角形，分90DFE ∠=o 和90EDF ∠=o 两种情况， ①当90DFE ∠=o 时，即//DF x 轴，则D 、F 的纵坐标相同， ∴F 点纵坐标为1，∵点F 在抛物线上，∴2431x x -+=，解得2x =E 的横坐标为2 ∵点E 在直线BC 上，∴当2x =31y x =-+=-2x =-31y x =-+=+∴E 点坐标为(2或(2-； ②当90EDF ∠=o 时， ∵()1,0A ，()2,1D ， ∴直线AD 解析式为1y x =-， ∵直线BC 解析式为3y x =-+， ∴AD BC ⊥，∴直线AD 与抛物线的交点即为E 点，联立直线AD 与抛物线解析式有2431x x x -+=-，解得1x =或4x =， 当1x =时，32y x =-+=，当4x =时，31y x =-+=-， ∴E 点坐标为()1,2或()4,1-，综上可知存在满足条件的点E ，其坐标为(2或(2+或()1,2或()4,1-． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：（1）用含m 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q ，使BDQ △为直角三角形？如能，求出Q 点的坐标，若不能，请说明理由。
专题04 二次函数的存在性问题-2019年中考数学辅导之考点二次函数讲解与真题分析(解析版)
【考点讲解】二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。
存在探索性问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现问题。
解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。
【真题分析】1.（2018广西省桂林市，26，12分）如图，已知抛物线26(0)y ax bx a=++≠与x轴交于点A（－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4t an∠ABE＝11tan∠ACB?若存在，求出满足条件的所有E点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】（1）将点A（－3，0）和点B（1，0）分别代入26y ax bx=++即可求出抛物线的解析式及点C的坐标；（2）如图（1），分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点M，则点M可使MA＝MB＝MC，根据点A和点C的坐标可求出点D的坐标，根据互相垂直的两条直线的k值乘积为－1，则可求出线段AC 的垂直平分线DE的关系式，从而得出点M的坐标；（3）过点B作BG⊥AC于点G，过点E作EF⊥y轴于点F，先求出直线BG的关系式，即可得到点G的坐标，求得t an∠ABE的值，再根据4t an∠ABE＝11tan∠ACB 解得EF＝2 BF,即可求出点E的坐标．【解题过程】解：（1）将点A（－3，0）和点B（1，0）分别代入26y ax bx=++得，()()2033620116a ba b=⋅-+⋅-+=⋅+⋅+⎧⎪⎨⎪⎩，解得24a b =-=-⎧⎨⎩a ＝1，∴抛物线的解析式为2246y x x =--+，当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为（0，6）；（3）如图（2），过点B 作BG ⊥AC 于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，∵抛直线AC 的解析式为：62y x =+，∴可设直线BG 的关系式为212y x b =-+，将点B 的坐标为（1，0）代入得，20112b =⨯-+⎛⎫⎪⎝⎭，解得2b ＝12，∴直线BG 的关系式为1221y x =-+，联立612221y y x x =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩得，11585x y =-=⎧⎪⎨⎪⎩，∴点G 的坐标为（－115，85），∴BG==CG＝== ∴在R t △BCG 中， tan ∠ACB＝118BG CG==，又∵4t an ∠ABE ＝11tan ∠ACB ，∴4t an ∠ABE ＝8，即48EF BF=，解得2EF BF=，∴EF ＝2 BF ，设点E 的坐标为（e ，2246e e --+），则点F 的坐标为（e ，0），∴EF ＝2246e e --+，BF ＝1e -，又∵EF ＝2 BF , 即2246e e --+＝21e -,∴2246e e --+＝2（1e -）或2246e e --+＝2（1e -），即22e e +-＝0或234e e +-＝0，解得e ＝－2或e ＝1，e ＝－4或e ＝1（与点B 重合，舍去），当x ＝－4时，y ＝2246x x --+＝－10，当x ＝－2时，y ＝2246x x --+＝6，∴点E的坐标为（－4，－10）或（－2，6）.【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；两点间距离公式；勾股定理；解一元二次方程；解一元一次方程；二次根式的化简2.（2018省市，题号，分值）如图，已知顶点为C （0，-3）的抛物线y=ax 2+b （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，直线y=x +m 过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数y=ax 2+b （a ≠0）的解析式（3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB =15°？若存在，求出点的M 坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将C 点坐标代入直线y=x +m 中求出m ；（2）令y=0，求出B 点坐标，利用C 点和B 点坐标，由待定系数法求出二次函数解析式；（3）15°不是特殊角，因此我们考虑∠OCB 度数，若∠OCB 为45°或60°，则∠OCM 为特殊角，可以利用特殊角求解，而又上一题知∠OCB 为45°角，因此只需根据两种情况讨论∠OCM =30°或60°时直线CM 与抛物线的交点即可.解得133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为：y=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：23题答题图①当M 在B 上方时，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC =45°+15°=60°， ∴OD =OC •t an 30°=，设DC 为y=k 1x ﹣3，将（，0）代入y=k 1x ﹣3，得k 1=，由23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得1103x y =⎧⎨=-⎩（舍），226x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以M 1（3，6）；②当M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC =45°﹣15°=30°， ∴OE =OC •t an 60°=3，设EC 为y=k 2x ﹣3，将（3，0）代入y=k 2x ﹣3，可得k 2=，由23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得1103x y =⎧⎨=-⎩（舍）222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以M 2（，﹣2），综上所述M 的坐标为（3，6）或（，﹣2）．【知识点】待定系数法；一次函数；二次函数；解直角三角形3.（2018四川眉山，26，11分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，3)，B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A、B及对称轴直线x＝2代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可求得a、b、c的值，从而得到函数解析式；（2）过P作PM∥y轴，交直线OE与点M，由题意得P（m，m2－4m＋3），设四边形AOPE的面积为S，建立m与S的二次函数关系，利用二次函数性质求最大值．（3）本题考查等腰直角三角形存在性问题，当△POF就是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，过点P 作x轴平行线，容易发现有一线三等角型全等，由此得到点P到x轴的距离等于其到对称轴距离，从而列出关于m的方程，求解即可求得点P的坐标．【解答过程】（1）将A（0，3）、B（1，0）和对称轴直线x＝2代入y＝ax2＋bx＋c得：34ca b cb a=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：143abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以函数解析式为y＝x2－4x＋3M（3）假设存在点P使得△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形．过点P作GH∥x轴，交y轴于点G，交对称轴于点H，容易证明△OPG≌△PFH，∴OG＝PH，又∵OG＝|m2－4m＋3|，PH＝|m－2|，∴|m2－4m＋3|＝|m－2|，当m2－4m＋3＝m－2时，解得m1m2∴P1)，P2当m2－4m＋3＝－(m－2)时，解得：m3m2，∴P3，P4）．综上所述，P点的坐标为P1)，P2，P3，P 4）． 4 （2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t . （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.【解析】解：（1）∵2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式为：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为12bx a=-=，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1，0），∵点P 的横坐标为t ，且点P 在抛物线223y x x =-++上，∴P 点的坐标为（t ，223t t -++），设M 点的坐标为（1，a ），分两种情况讨论：②M 点在x 轴的下方，当四边形CDMP 是平行四边形，且C 、M 和D 、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ′，根据平行四边形对角线互相平分，则N ′点的坐标可表示为（12，32a +）或（12t +，2232t t -++），∴12=12t +，32a +=2232t t -++，解得：t =0，a =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时M 点和D 点重合，且P 点不在第一象限，C 、D 、M 、P 四点不能形成平行四边形，故不存在； 综上，点M 的坐标为（1，6）；（3）①∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，设P 点的坐标为（t ，223t t -++），过点P 分别作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，∴PE=223t t -++，PF=t ，连结OP ，则：POC POB BOC S S S S ∆∆∆=+-()2111332333222t t t =⨯⋅+⨯⋅-++-⨯⨯ ()2132332t t t =⨯⋅-++- ()223393222t t t t =-+=-+ ∴S 关于t 的函数表达式为S=23922t t -+；②∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=P 点到直线BC 的距离为h ，则△PBC 的面积S=12?，∵S=23922t t -+=23922t t -+，)23h t t =--229933442t t t =--+-=--，∴当t=32时，hP点的坐标为（32，154）.【知识点】二次函数，平行四边形的判定，三角形面积，二次函数的最值。
中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析含详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x 2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=，解得：1 {2 ab=-=∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；(2) 如图1，∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴∴P点的坐标为(t，－t+3)，Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |∴223(03) {3(3)d t t td t t t=-+<<=->；∵d，e是y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 1，x 2=1综上：t 值为1，M 点坐标为，2)和(1，2).3．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线2x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，∴232a -=⨯-12a =， ∴抛物线的解析式为2122y x x =-，∵21222b x a =-=-=⨯∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--. ∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅= 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)22m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(2111133322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-- ⎪ ⎪⎭⎝213222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简整理得2180m -=，解得1m =2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-，∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．5．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣ =； （4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=x+b ，∵P 的坐标为（2，4），∴4=×2+b ，解得b=3，∴直线PM 的解析式为y=x+3． 由，解得，， ∴点M 的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题6．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =++-；（2）存在，点(12)P ，；（3）存在，点M 坐标为(14)， 【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，），故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x ＝代入即求得点P 纵坐标．（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标．【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）∴可设交点式13y a x x +＝（）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝1a ∴＝﹣21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣∴抛物线解析式为223y x x ++＝-（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小．如图1，连接PB 、BC∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴＝PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小103003A B C （﹣，）、（，）、（，）AC BC ∴===PAC C AC CB ∆∴+＝设直线BC 解析式为3y kx +＝把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣∴直线BC ：3y x +＝﹣132P y ∴+＝﹣＝∴点12P （，）使PAC ∆的周长最小，最小值为1032+． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝．∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC∴当以PA 为底时，两三角形等高∴点C 和点M 到直线PA 距离相等∵M 在x 轴上方//CM PA ∴1012A P （﹣，），（，），设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩∴直线1AP y x +：＝∴直线CM 解析式为：3y x +＝2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为14（，）【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ．【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得 93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3），∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3），∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ．∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点，∴D 点坐标为（﹣1，4），又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC＝310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝2AE CE =， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2，∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y x y x =-⎧⎨=+⎩， 解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ，∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33 y xy x=-⎧⎨=+⎩，解得3494 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M点为（34-，94），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（32-，32）或（34-，94）．【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．如图，二次函数245y x x=-++图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数215y x=+的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是 ______；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P，Q，使得DPQ∆与DAB∆相似．①当275n=时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ∆与DAB∆相似，请直接写出n的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP=②92155n<<.【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DAC DPN ∆∆，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述95DP =； ②当PQ AB ∥，DB DP =时，35DB =，DP DN DA DC ∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．9．复习课中，教师给出关于x 的函数（k 是实数）. 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条： ①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断. 试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点. ∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k 是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为， 当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大. ∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4． 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=， ∴点C 的坐标为()0,3．点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD == 22220BC BD CD +==，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x t y x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132322x t y ⎧+=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，2232322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点M 的坐标为，点N 的坐标为，32)2t ++． 点A 的坐标为()1,0，(22223321057122t AM t t t ⎛⎫⎛⎫+-∴=-+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(22223321057122t AN t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2223332321882222t t MN t ⎛⎛-+++=-+-=+ ⎝⎭⎝⎭．AMN ∆为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=． 0t >，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．。
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专题六二次函数中存在性问题二次函数中存在性问题，主要与几何图形结合起来考查，且都以解答题形式出现.中考对二次函数存在性问题仍会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面积最值、特殊四边形等存在性问题．相似三角形存在性问题【经典导例】【例1】(2016贵阳模拟)如图，已知抛物线经过A(－2，0)，B(－3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由于抛物线经过A(－2，0)，B(－3，3)及原点O，用待定系数法即可求出抛物线的表达式；(2)根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；(3)分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②△PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标.【学生解答】解：(1)y＝x2＋2x；(2)当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE＝AO，由A(－2，0)知：DE＝AO＝2,若D在对称轴直线x＝－1左侧，则D横坐标为－3，代入抛物线表达式得D1(－3，3),若D在对称轴直线x＝－1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线表达式得D2(1，3).综上可得点D的坐标为(－3，3)或(1，3)；(3)存在．理由如下：∵B(－3，3)，C(－1，－1),根据勾股定理得：BO2＝18，CO2＝2，BC2＝20,∵BO2＋CO2＝BC2,∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P(x，y)，由题意知x＞0，y＞0，2，故x＋2＝3(x2＋2x)，得：x1＝13，且y＝x2＋2x,①若△AMP∽△BOC，则AM BO＝PM CO，即x＋218＝x2＋2xx2＝－2(舍去).当x＝13时，y＝79，即P(13，79)；②若△PMA∽△BOC，则AM CO＝PM BO，即x＋22＝x2＋2x18，故x2＋2x＝3(x＋2),得：x1＝3，x2＝－2(舍去)，当x＝3时，y＝15，即P(3，15).故符合条件的点P 有两个，分别是(13，79)或(3，15)．1．(2017预测)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点D的坐标为(1，278)，与y轴的交点C的坐标为(0，3)，与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1)求抛物线的表达式；(2)若过点A的直线l平分△ABC的面积，求直线l的表达式；(3)点P从点A出发，沿点A向点B运动，运动速度为每秒2个单位，同时点Q从B出发沿BC向点C运动，运动速度为每秒1个单位，连接PQ，运动时间为t.当其中一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．求当△PBQ与△ABC相似时t的值．解：(1)－38x2＋34x＋3；(2)令y＝－38x2＋34x＋3＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴点A(－2，0)，点B(4，0)．设BC的中点为E，则点E的坐标为(2，32)．∵直线l过点A，且平分△ABC的面积，∴直线l过点A和点E，设直线l的表达式为y＝kx＋b，将点A(－2，0)，点E(2，32)代入得3，解得3，∴直线l的表达式为y＝38x＋34；(3)∵A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴AB＝6，BC＝5.∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，∴BP＝6－2t，BQ＝t.∵∠PBQ＝∠ABC，∴若BP BA＝BQ BC时，△PBQ∽△ABC或BP BC＝BQ BA时，△QBP∽△ABC，①当BP BA＝BQ BC时，则6－2t6＝t5，解得t＝158；②当BP BC＝BQ BA时，则6－2t5＝t6，解得t＝3617.综上所述，△PBQ与△ABC相似时，t的值为158或3617.2．(2015西宁中考)如图，抛物线y＝－14x2＋32x－2交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF.(1)求点B，C所在直线的函数表达式；(2)求△BCF的面积；(3)在线段BC上是否存在点P，使得以P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线BC的表达式为y＝12x－2；(2)△BCF的面积为10；(3)存在．分两种情况讨论：①如图，过A作AP1∥y轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC.∵点A的坐标为(2，0)，∴点P1的横坐标是2；∵点P1在点BC所在的直线上，∴y＝12x－2＝12×2－2＝－1，∴点P1的坐标为(2，－1)；②如图，过点A作AP2⊥BC于点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q.∴△BAP2∽△BCO，∴AP2CO＝ABCB＝BP2OB，∴AP22＝25＝BP24，解得AP2＝55，BP2＝45；∴S△AP2B＝12AB·QP2＝12AP2·BP2，∴2QP2＝55×55，解得QP2＝45，∴点P2的纵坐标是－45；∵点P2在BC所在直线上，∴x＝125，∴点P2的坐标为(125，－45)，∴满足条件的P点坐标为(2，－1)或(125，－45)．等腰三角形存在性问题【经典导例】【例2】如图，已知直线y＝3x－3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)．(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．【解析】(1)根据直线表达式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线表达式，可得出b，c的值，求出抛物线表达式；(2)由(1)求得的抛物线表达式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；(3)根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(－1，m)，分三种情况讨论，①MA＝BA；②MB＝BA；③MB＝MA，求出m的值后即可得出答案．【学生解答】解：(1)抛物线表达式为y＝x2＋2x－3；(2)S△ABC ＝12AC·OB＝12×4×3＝6；(3)存在，理由如下：抛物线的对称轴为直线x＝－1，假设存在M(－1，m)满足题意，讨论：①当MA＝AB时，∵OA＝1，OB＝3，∴AB＝，∴＝，解得m＝±，∴M1(－1，)，M2(－1，－)；②当MB＝BA时，＝，解得m1＝0，m2＝－6，∴M3(－1，0)，M4(－1，－6)(不符合题意舍去)；③当MA＝MB时，＝，解得m＝－1，∴M5(－1，－1)，故共存在4个点M1(－1，)，M2(－1，－)，M3(－1，0)，M5(－1，－1)使△ABM为等腰三角形．3．(2015贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于B，试判断△ABC的形状．(钝角三角形、直角三角形或锐角三角形)解：(1)抛物线的表达式为y＝x2－5x－6；(2)△ABC为锐角三角形．直角三角形存在性问题【经典导例】【例3】(2016贵阳中考说明)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的表达式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，连接CD，BD，把△BCD沿BC折叠，①求点D的对应点D′的坐标；②在抛物线上是否存在点P，使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把A(－1，0)，C(0，4)两点的坐标代入y＝ax2＋bx－4a，根据待定系数法可得这个抛物线的表达式；(2)①将点D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得到D点坐标，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根据折叠的性质进一步得到点D的对应点D′的坐标；②存在满足条件的点P.过点D′作D′E∥BC交x轴于点E，交抛物线于点P1，根据待定系数法可得直线D′E的表达式，联立方程组可得点P1的坐标；过点D作DF∥BC交y轴于点F，交抛物线于点P2，根据待定系数法可得直线DF的表达式，联立方程组可得点P2的坐标．【学生解答】解：(1)y＝－x2＋3x＋4；(2)①如图①，将点D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得：－m2＋3m＋4＝m＋1，化简得：m2－2m－3＝0，解得m1＝－1(舍去)，m2＝3；∴D(3，4)，∴CD∥x轴，∴∠DCO＝90°，由B(4，0)，C(0，4)可得：OB＝OC＝4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB＝∠DCB＝45°；把△BCD沿BC折叠，点D的对称点D′落在y轴上，且CD＝CD′＝3，OD′＝OC－CD′＝1，则点D′的坐标为(0，1)；②存在满足条件的点P.如图②，过D′作D′E∥BC交x 轴于点E，交抛物线于点P1.∵DD′⊥BC，∴∠DD′P1＝90°，△OD′E为等腰直角三角形，则E(1，0)，设直线D′E的表达式为y＝k1x＋b1，依题意得k1＋b1＝0，b1＝1，∴直线D′E的表达式为b1＝1，解得k1＝－1，y＝－x＋1.由y＝－x＋1，y＝－x2＋3x＋4，得7，，7，，过D作DF∥BC交y轴于点F，交抛物线于点P2.∵DD′⊥BC，∴DD′⊥DF，∠D′DP2＝90°，△CDF为等腰直角三角形，则F(0，7)，设直线DF的表达式为y＝k2x＋b2，依题意得3k2＋b2＝4，b2＝7，解得k2＝－1，b2＝7，∴直线DF的表达式为y＝－x＋7.由y＝－x＋7，y3＝6，x4＝3，y4＝4(不符合题意舍去)．故在抛物线上存在点P，使得△DD′P是以y＝－x2＋3x＋4，得x3＝1，DD′为一直角边的直角三角形，点P的坐标为(2－，－1＋)或(2＋，－1－)或(1，6)．4．(2016原创)如图，抛物线y＝－12x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A(－1，0)，C(0，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△ACD的形状，并说明理由；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)抛物线的表达式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)△ACD是等腰三角形，理由如下：∵抛物线y ＝－12x2＋32x＋2的对称轴为直线x＝32，∴点D(32，0)．∵A(－1，0)，C(0，2)，∴AC＝，AD＝1＋32＝52，CD＝3）2＝52，∴AD＝CD≠AC，∴△ACD是等腰三角形；(3)存在．令抛物线y＝－12x2＋32x ＋2＝0，得x1＝－1，x2＝4，∴点B的坐标为(4，0)，则BC＝＝2，如图，取BC的中点为S，则点S的坐标为(2，1)．设对称轴上存在点P(32，t)，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，则PS＝12BC＝，即(2－32)2＋(t－1)2＝5，解得t1＝1＋192，t2＝1－192，∴存在这样的点P满足条件，其坐标为(32，1＋192)或(32，1－192)．面积最值存在性问题【经典导例】【例4】(2015安顺中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋52与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，52)．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．【解析】(1)将抛物线上两点A，B的坐标分别代入抛物线表达式列方程组求解即可；(2)先根据直线过A，B两点列方程组并求出直线表达式，再用m表示出C，D两点的纵坐标得线段CD的长，由图可知，S＝S△ACD ＋S△BCD，根据三角形面积公式可得S关于m的二次函数，利用配方法求出S最大时m的值即可计算此时C点的坐标．【学生解答】解：(1)抛物线的表达式为y＝－12x2＋2x＋52；(2)设直线AB为y＝kx＋d，则有5，解得1，∴y＝12x＋12.则D(m，－12m2＋2m＋52)，C(m，12m＋12)，CD＝(－12m2＋2m＋52)－(12m＋12)＝－12m2＋32m＋2.∴S＝12(m＋1)·CD＋12(4－m)·CD＝12×5×CD＝12×5×(－12m2＋32m＋2)＝－54m2＋154m＋5.∵－54<0，∴抛物线开口向下．故当m＝32时，S有最大值．当m＝32时，12m＋12＝12×32＋12＝54，∴点C(32，54)．当S取最大值时的点C的坐标为(32，54)．5．(2016白银中考)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(3，0)，B(0，3)两点．(1)求此抛物线的表达式和直线AB的表达式；(2)如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/s的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/s的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t s，当t为何值时，△AEF为直角三角形？(3)如图②，取一根橡皮筋两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．解：(1)直线AB的表达式为y＝－x＋3，抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90°，∴∠EAF＝45°，设运动时间t s，则AF＝t，AE＝3－t；(Ⅰ)当∠EFA＝90°时，在Rt△EAF中，cos45°＝AF AE＝22，即2t3－t＝22.解得t＝1.(Ⅱ)当∠FEA＝90°时，在Rt△AEF中，cos45°＝AE AF＝22，即3－t t＝22.解得t＝32.综上所述，当t＝1或t＝32时，△AEF是直角三角形；(3)存在．过点P 作PN∥y轴，交直线AB于点N，交x轴于点D，过点B作BC⊥PN于点C.设点P(x，－x2＋2x＋3)，则点N(x，－x＋3)，∴PN＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△ABP＝S△BPN＋S△APN＝12PN·BC＋12PN·AD＝12(－x2＋3x)·x＋12(－x2＋3x)(3－x)＝－32(x－32)2＋278，当x＝32时，△ABP的面积最大，最大面积为278，此时点P(32，154)．特殊四边形存在性问题【经典导例】【例5】如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，矩形OABC的边长OA，OC分别为12cm，6cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且18a＋c＝0.(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC 边以2cm/s的速度向终点C移动；①移动开始后第t s时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)由OA的长从而求出点A的坐标，代入表达式得c＝－12，再与18a＋c＝0联立从而求出a的值，再利用对称轴为直线x＝－b2a＝3求得b的值，继而求得二次函数的表达式；(2)①由题意得AP＝t1PB＝6－t，QB＝2t，所以S＝12PB·BQ＝12×(6－t)×2t＝－t2＋6t(0<t<6)；②由S 与t的函数关系式可得到S的最大值，当以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形时，要分三种情况加以讨论．【学生解答】解：(1)由题意知点A的坐标为(0，－12)，∴c＝－12，又∵18a＋c＝0，∴a＝23，∵AB∥OC且AB＝OC＝6，∴抛物线的对称轴是直线x＝3，∴x＝－b2a＝3，∴b＝－4，∴抛物线的表达式为y＝23x2－4x－12；(2)①由题意得AP＝t，PB＝6－t，QB＝2t，∴S＝12PB·BQ＝12×(6－t)×2t＝－t2＋6t，t的取值范围：0<t<6；②∵S＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，∴当t＝3时，S取最大值为9，这时点P的坐标为(3，－12)，点Q的坐标为(6，－6)，若以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，有以下三种情况：(Ⅰ)当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标为(3，－18)，将(3，－18)代入抛物线的表达式中，满足表达式，所以存在，点R的坐标就是(3，－18)；(Ⅱ)当点R在BQ 的左边，且在PB上方时，点R的坐标为(3，－6)，将(3，－6)代入抛物线的表达式中，不满足表达式，所以点R不满足条件；(Ⅲ)当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标为(9，－6)，将(9，－6)代入抛物线的表达式中，不满足表达式，所以点R不满足条件．综上所述，点R坐标为(3，－18)．6．(2016安顺中考)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的表达式为：y＝12x2－2x－52；(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求．设直线BC的表达式为y＝kx＋b1，由题意，得5，解得5，∴直线BC的表达式为y＝12x－52.∵抛物线y＝12x2－2x－52的对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时，y＝12x－52＝－32，∴点P的坐标是(2，－32)；(3)存在．(Ⅰ)当存在的点N1在x轴的下方时，如图所示．∵四边形ACN1M1是平行四边形，∴CN1∥x轴，∴点C与点N1关于对称轴直线x＝2对称，∵C点的坐标为(0，－52)，∴点N1的坐标为(4，－52)；(Ⅱ)当存在的点N2在x轴上方时，如图所示，作N2H⊥x轴于点H，∵四边形ACM2N2是平行四边形，∴AC＝M2N2，∠N2M2H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N2M2H，∴N2H＝OC，∵点C的坐标为(0，－52)，∴N2H＝52，即N点的纵坐标为52，∴12x2－2x－52＝52，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴点N的坐标为N2(2－，52)或N3(2＋，52)，综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为N1(4，－52)，N2(2－，52)，N3(2＋，52)．7．(2016龙岩中考)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A(－4，0),B(1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(－4，0)，B(1，0)分别代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得1＋b＋c＝0，解得，c＝2，∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)由(1)知抛物线的表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2，令x ＝0，y ＝2∴C(0，2)，∴OC ＝2.∵A(－4，0)，B(1，0)，∴OA ＝4，OB ＝1，AB ＝5，分两种情况：①当∠PCB ＝90°时，解法一：在Rt △AOC 和Rt △COB 中，AC 2＝AO 2＋OC 2＝42＋22＝20，BC 2＝OC 2＋OB 2＝22＋12＝5.又∵AB 2＝52＝25，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∴∠ACB ＝90°，∴当点P 1与点A 重合时，即P 1(－4，0)时，△P 1CB 是直角三角形；②当∠PBC ＝90°时，过点B 作BP 2∥AC 交抛物线于点P 2.∵A(－4，0)，C(0，2)易得直线AC 的表达式y AC ＝12x ＋2.∵BP 2∥AC ，设直线BP 2的表达式为y ＝12x ＋b ，把B(1，0)代入得b ＝－12，∴yBP 2＝12x －12，∴3x＋2，解得x1＝1，y1＝0(舍去)或x2＝－5，y2＝－3，∴P 2(－5，－3)．综上所述，点P 1(－4，0)，P 2(－5，－3)；(3)存在点E ，E 1(－7，0)，E 2(－1，0)，E 3(412，0)，E 4(412，0)．。