2015年江苏高考南通密卷五(南通市数学学科基地命题)
高考教学南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．设会合 A = {1 ， x } ， B = {2 ，3， 4} ，若 A∩B ={4} ，则x 的值为▲．2．若复数 z1＝ 2+i ， z1·z2() z2＝ 5，则 z2＝▲．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频次散布直方图，依据产品标准，单件产品长度在区间[25， 30）的为一等品，在区间[20 ，25）和 [30 ，35）的为二等品，其他均为三等品，则样本中三等品的件数为▲．（第 3题）（第4题）4．履行以下图的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为▲．5．为活跃氛围，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长远久”随机分派红包，总金额为元，随机分派成 5 份，金额分别为元，元，元，元，元，则身处国外的两名同学抢得的金额之和不低于 5 元的概率为▲ ．6．函数y log 2 (3 2x x2 ) 的值域为▲ ．7．已知P ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠ APO ＝∠ BPO＝∠ CPO ＝ 30°，则三棱锥的体积为▲ ．8．已知双曲线x2y21的左、右极点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、 B 为极点，4且离心率为3，过 A 作斜率为k的直线l交双曲线于另一点 M，交椭圆于另一点N，2uuur uuuur若AN NM，则 k 的值为▲ ．9．已知函数 f(x)＝ cosx(sin x＋ cosx)1)2，则 cos(2) 的值为，若 f (▲．26410．已知a n是首项为1，公比为 2 的等比数列，数列b n知足 b1a1，且 b n a1a2La n 1a n a n 1L a2 a1（ n ≥ 2, n N），若 a m (b m28)2018 ，则 m 的值为▲．11．定义在1,1 上的函数 f ( x) sin x ax b( a 1) 的值恒非负，则a b 的最大值为▲．35uuur 2115，则 cosC 的值为▲ ．12．在△ABC中，若uuur uuur uuur uuur uuurCA AB AB BC BC CA13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O： x2y21，直线l : x ay30 ，过直线l上一uuur uuur2，则正实数 a 的取值范围是点 Q 作圆O的切线，切点为 P, N ，且 QP QN▲．314．已知偶函数y f ( x) 知足 f ( x2) f (2x) ，且在x2,0时， f ( x)x21，若存在 x1， x2，L， x n知足 0≤ x1x2L x n，且 f x1f x2 f x2f x3L f x n 1 f x n2017，则x n最小值为▲．二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．15．（本小题满分 14分）已知函数 f ( x)Asin x A 0,0的最小值是－ 2，其图象经过点 M (,1) ．3（ 1）求f (x)的分析式；（ 2）已知,(0, ) ，且 f (8)24) 的值．)， f (，求 f (251316．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，BAD90 ，AD ∥ BC ，AD2BC ，AB PA ．P（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB．ED AC B（第 16 题）17．（本小题满分14 分）有一块以点O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离O 点2百米的 D 点有一用于浇灌的水笼头，现准备过点 D 修一条笔挺小道交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民漫步，同时修筑小道OA，OB ，此中小道的宽度忽视不计．（1）若要使修筑的小道的花费最省，试求小道的最短长度；（2）若要在△ABO地区内 ( 含界限 )规划出一块圆形的场所用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保存根号和)D BAO（第 17 题）18．（本小题满分16 分）如图，点a n 12a n8 ， { b n }， S n分别为椭圆b n2b n214S n +25的左、右极点和右焦点，过点n N的直线{ a n }（异于{ b n }轴）交椭圆 C 于点{ b n } ， c n a n b n．（ 1）若AF 3 ，点 4r，s，t 与椭圆 C 左准线的距离为 5 ，求椭圆 C 的方程；（ 2）已知直线(r s t ) 的斜率是直线r，s，t斜率的 f (m x) f (x) 倍．①求椭圆 C 的离心率；②若椭圆 C 的焦距为 f (m x) f ( x) ，求△AMN面积的最大值．yMA O FB xN（第 18 题）19．（本小题满分16 分）已知函数 f ( x)x ln x ax2．（ 1）若曲线y f ( x) 在x 1处的切线过点A(2， 2) ．①务实数 a 的值；②设函数 g( x)f (x)，当 s 0 时，试比较g (s)与 g(1) 的大小；x s1（ 2）若函数f (x)有两个极值点x1，x2（x1x2），求证：f (x1)．220．（本小题满分16 分）设数列 { a n } 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为 S n，我们称知足条件“对随意的m ， n N *，均有 (n m) S n m( n m)( S n S m) ”的数列 { a n } 为“好”数列．（ 1）试分别判断数列{ a n} ，{b n} 能否为“好”数列，此中 a n2n 1，b n2n 1，n N *，并给出证明；（ 2）已知数列 { c n } 为 “好 ”数列．① 若 c 2017 2018 ，求数列 { c n } 的通项公式；② 若 c 1p ，且对随意给定正整数p ，s （ s 1 ），有 c 1 ， c s ， c t 成等比数列，求证： t ≥ s 2．2018 年高考模拟试卷（ 9）数学Ⅱ (附带题 )21．【选做题】此题包含 A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题地区内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ] （本小题满分 10 分）如图， AB 为⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的切线，连结 AD 交⊙ O 于 E ，若 BD ∥ CE ，AB 交 CE 于 M ，求证： AB2AE ADACEM BD（第 21-A ）B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ] （本小题满分 10 分）x x x 2 y90 ，已知点 A 在变换 T :y作用后，再绕原点逆时针旋转yy获得点 B ．若点 B 的坐标为 ( 3 ，4) ，求点 A 的坐标．C ．[选修4－ 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）在极坐标系中，圆C 的方程为2a cos ( a0) ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴x 3t 1, 正半轴成立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为4t(t 为参数），若直线 ly 3与圆 C 恒有公共点，务实数a 的取值范围．D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ] （本小题满分 10 分）已知正数 a,b, c 知足 2a3b 6c 2 ，求321的最小值．a b c【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分．请在答卷纸指定地区内 作答．．．．．．．．． 22．已知直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， ABC 为等边三角形， 延伸 BB 1 至 M ，使 BB 1B 1M ，连结 A 1M , AC 1 ,CM ，若 MA 1C 90 ．M（ 1）求直线 C 1M 与平面 CA 1M 所成角的正弦值；A 1B 1（ 2）求平面 CA 1 M 与平面 AAC 1 1C 所成的锐二面角．C 1ABC（第 22 题）23．（本小题满分 10 分）（ 1）求证： kC n k k(n k )C n k k 1 1 ；1008 (n11)n．（ 2）求证： n 0 2017nC2017n20172018 年高考模拟试卷（ 9）参照答案数学Ⅰ一、填空题：1 ．【答案】 4【分析】因为A∩B ={4}，因此 4∈ A，故 x＝ 4．2 ．【答案】 2+i【分析由－－5z1 22＝＝ 2－i，因此 z1·z＝ 5，得 z2+i＝ 2+i．3 ．【答案】 50【分析】三等品总数n [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 ．4 ．【答案】 30【分析】 A3， N 1，输出3； A6，N 2，输出6；A30， N3，输出30；则这列数中的第 3 个数是 30．5 ．【答案】15【分析】两名同学抢红包的事件以下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），共 10种可能，此中金额不低于 5 元的事件有（，）（，），共 2种可能，因此不低于 5 元的概率P2 1 ．1056 ．【答案】,2【分析】因为3220,4 ，因此 log 2 (3 2 x2,2 ，即值域为2 x x( x 1)4x ),2．7．【答案】93 4【分析】设球的半径为R，△ ABC 的外接圆圆心为O′，则由球的表面积为16π，可知4πR2＝16π，因此R＝2.设△ABC 的边长为 2a，因为∠ APO＝∠ BPO＝∠ CPO＝30°， OB＝ OP＝ 2，因此 BO′＝3R＝3， OO ′＝OB2－ BO′2＝ 1，2PO′＝ OO ′＋ OP＝ 3.在△ ABC 中， O′ B＝2×3× 2a＝3，32因此 a ＝3，因此三棱锥 PABC 的体积为 V ＝ 1×1× 32× sin60 °× 3＝93 .2 3 2 48 ．【答案】2 33【分析】关于椭圆，明显bc 3 ，因此椭圆方程为 x 2 y 21 ，设 N ( x 0 , y 0 ) ，则由1,2 4auuur uuuur 得AN NMM (2 x 0 1,2 y 0 ) ．因为点 M 在双曲线上， 点 N 在椭圆上，因此x 02y 021 ，(2 x 01)2 4 y 02 1 ，44解得， x1, y3 ，故直线 l的斜率k2 3 ．239 ．【答案】13分析一： f(x)＝ cosx(sin x ＋ cosx)－1＝ sin xcosx ＋ cos 2x － 1＝1 sin 2x ＋ 1＋ cos 2x －1＝ 1 s in 2x ＋ 1 2 2 2 2 2 222π21cos 2x ＝ 2 sin 2x ＋4 ，因为 f ( ) 6 ，因此 sin(24 ) 3 ，因此cos(2 ) cos(2 ) sin(2 ) 1 。
江苏省南通市基地学校2023届高三第五次大联考数学试题(解析版)
2023届高三基地学校第五次大联考数学2023.04本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{x |x ＝k π，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 2π，k ∈Z }，则A ．M ∩N ＝ B ．M ∩N ＝N C ．M ∪N ＝Z D ．M ∪N ＝N2．已知z ＝a ＋i ，且z 2＋2z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝－1，b ＝03．双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学、经济和金融领域．若双曲正切函数为tanh x ＝e x －e －x e x ＋e －x，则tanh xA．是偶函数，且在R上单调递减B．是偶函数，且在R上单调递增C．是奇函数，且在R上单调递减D．是奇函数，且在R上单调递增4．设a，b是两个单位向量，若a＋b在b上的投影向量为23b，则cos<a，b>＝A．－13B．13C．－223D．2235．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有A．36B．72C．144D．2886．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩W＝16xy2．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为A ．12B ．22C ．1D ．27．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为T ，f ′(x )是f (x )的导函数，设g(x )＝f (x )＋f ′(x )，若g (x )是奇函数，且g (x )的最大值为5，则f (T 8)＝A ．－1010B ．1010C ．－55D ．55＝22(sin φ＋cos φ)＝22×(－55)＝－10108．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为23，左顶点是A ，左、右焦点分别是F 1，F 2，M 是C 在第一象限上的一点，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若MF 2∥AN ，且△ANF 2的周长为72a，则直线MN的斜率为A．53B．157C．237D．56二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市高三数学学科基地密卷(1)苏教版
2014年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 设a ，b 是实数，若21a bi i=+-（i 是虚数单位），则a b +的值是 ． 2. 若全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|32}A B x x =-≤≤，则U B A =ð ． 3. 平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ABE ∆内部的概率为 ．4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．（第5题图）5. 运行如图语句，则输出的结果T = ．6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若424=S S ，则84S S = ． 7. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m = ．8. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB BC ==，，则棱锥O ABCD -的体积为 ．9. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．10. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线C 离心率的取值范围是 ．11. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数 ()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅= ．12. 当对数函数=log (>0a y x a 且1)a ≠的图像至少经过区域0=(,)+8030x y M x y x y y ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围为 ．13. 设等差数列{}n a 满足22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是 ．（第4题图）14. 从x 轴上一点A 分别向函数3()f x x =-与函数332()||g x x x =+引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为1S ， OAC ∆的面积为2S ，则12S S +的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin αβα+=．（1）求证：tan()6tan αββ+=；（2）若tan 3tan αβ=，求α的值．16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 且AF ACλ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个（第16题图） EAB C D F单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y m f x =，其中()2log (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．. （1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E ()222210x y a b a b=>>+的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．（1）求a ，b 的值；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,N M ．①当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos AMB ∠=，求ABM △的面积．19.（本小题满分16分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+，其中e 是自然对数的底数． （1）若[2,],21x a a ∈--<<，求函数()y f x =的单调区间； （2）设2a >-，求证：213()f a e >；（3）对于定义域为D 的函数()y g x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，使得[,]x m n ∈时，()y g x =的值域是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数()y g x =的“保值区间”．设()()(2),(1,)x h x f x x e x =+-∈+∞，问函数()y h x =是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，数列{}n b ，{}n c 满足2n n na b a +=，21n n n c a a +=．（1）若数列{}n a 为等比数列，求证：数列{}n c 为等比数列；（2）若数列{}n c 为等比数列，且1n n b b +≥，求证：数列{}n a 为等比数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知12AC AB =，CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 边于点N ，求证：2BN AM =．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量113e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C'的方程为1xy =，求曲线C 的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上在第一象限的点，(,0)A a 和(0,)B b 是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB 的面积的 最大值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,,,a b c d R ∈，求证：ad bc =时成立.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X 元，求X 的概率分布（用p 表示）； （3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.23．（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小；（2）是否存在常数N a ∈，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立？若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014年高考模拟试卷(1)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. 2；2. (1,2]；3.12； 4. 40； 5. 625； 6. 10； 7. 12；8. 9.； 10．； 11. 32；12.； 13.43(,)32ππ； 14. 8.二、解答题15．（1）证明：7sin(2)sin 5αβα+=，7s i n [()]s i n [()]αββαββ∴++=+-，7s i n()c o s c o s ()s i n[s i n ()c o s c o s ()5αββαββαββαββ∴+++=+-+， s i n()c o s 6c o s (αββαββ∴+=+，①,(0,),(0,)2αβαβπ∈∴+∈π， 若cos()0αβ+=，则由①sin()0αβ+=与(0,)αβ+∈π矛盾，c o s ()αβ+≠，∴①两边同除以cos()cos αββ+得：tan()6tan αββ+=； （2）解：由（1）得tan()6tan αββ+=，tan tan 6tan 1tan tan αββαβ+=-，t a n 3t a n αβ=，1tan tan 3βα∴=，24tan 32tan 11tan 3ααα∴=-(0,)2απ∈，tan 1α∴=，从而4πα=．16． 解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面ABD AB =，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点，由AF AC λ=得12λ=；（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =，AE DE ⊂、平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为4=m ，（第16题图）EABC DF自来水达到有效．．净化．．4()6f x ⇔≥3()2f x ⇔≥2043log (4)2x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或46322x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 04x ⇔<≤或46x <≤，即06x <≤，亦即，如果投放的药剂质量为4=m ，自来水达到有效．．净化．．一共可持续6天；（2）由题设，(0,7],6()18x mf x ∀∈≤≤，0m >，()2l o g (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩， 2(0,4],6l o g (4)18x m x ∴∀∈≤+≤，且6(4,7],6182mx x ∀∈≤≤-， 26318m m ≥⎧∴⎨≤⎩且665318m m ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， 3656m m ≤≤⎧∴⎨≤≤⎩，56m ∴≤≤， 亦即，投放的药剂质量m 的取值范围为[5,6]. 18．解：（1）由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=， 所以，4a =，b =（2）①由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++，即222172172(1)[()]9()24x y t t t t -=+++++，因为2272()t t ≥+，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．②由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+． 由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++，222424(,)3434kMA k k--∴=++，2223224(,)3434k k MB k k -=++，cos 24MA MB AMB MA MB ⋅∴∠===， 化简，得42164090k k --=，解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =，此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．19．解：（1）2()()(1),[2,],2x x f x x x e x x e x a a '=-=-∈->-，由表知道：①20a -<≤时，(2,)x a ∈-时，()0f x '>，∴函数()y f x =的单调增区间为(2,)a -；②01a <<时，(2,0)x ∈-时，()0f x '>，(0,)x a ∈时，()0f x '<， ∴函数()y f x =的单调增区间为(2,0)-，单调减区间为(0,)a ； （2）证明：2()(33),2a f a a a e a =-+>-2()()(1),2a a f a a a e a a e a '=-=->- [(f a 极小值332225()1313132(1)(2)0e f f e e e e----=-=>> (1)(2)f f ∴>- 由表知：[0,)a ∈+∞时，()(1)(2)f a f f ≥>-，(2,0)a ∈-时，()(2)f a f >-， 2a ∴>-时，()(2)f a f >-，即213()f a e >； （3）2()()(2)(21),(1,)x x h x f x x e x x e x =+-=-+∈+∞， 2()(1),(1,)x h x x e x '=-∈+∞， (1,)x ∴∈+∞时，()0h x '>， ()y h x ∴=在(1,)+∞上是增函数，函数()y h x =存在“保值区间”1[,]()()n m m n h m m h n n >>⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩⇔关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞有两个不相等的实数根，令2()()(21),(1,)x H x h x x x x e x x =-=-+-∈+∞， 则2()(1)1,(1,)x H x x e x '=--∈+∞，2[()](21),(1,)x H x x x e x ''=+-∈+∞ (1,)x ∈+∞时，2[()](21)0x H x x x e ''=+->，()H x '∴在(1,)+∞上是增函数，2(1)10,(2)310H H e ''=-<=->，且()y H x '=在[1,2]图象不间断， 0(1,2),x ∴∃∈使得0()0H x '=，0(1,)x x ∴∈时，()0H x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>， ∴函数()y H x =在0(1,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数，(1)10H =-<，0(1,],()0x x H x ∴∈<， ∴函数()y H x =在(1,)+∞至多有一个零点， 即关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞至多有一个实数根， ∴函数()y h x =是不存在“保值区间”． 20．解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，所以1n na q a +=（q 为常数）， 所以2311221n n n n n n c a a q c a a ++++==为常数，所以数列{}n c 为等比数列； （2）因为数列{}n c 是等比数列，所以1n nc q c +=（q 为常数）， 所以221122211n n n n n n n n n c a a a q c a a a a ++++++===．则2242231n n n n n n a a a a a a +++++=． 所以2423221n n n n n n a a aa a a +++++=，即221n n nb b b ++=．因为1n n b b +≥，所以21n n b b ++≥，则22211n n n n b b b b +++≥≥．所以21n n b b ++=；1n n b b +=． 所以321n n n n a a a a +++=，即231n n n naa a a +++=⋅． 因为数列{}n c 是等比数列，所以121n n n n c c c c +++=，即2223112n n n n n n a a a a a a +++++=， 把231n n n na a a a +++=⋅代入化简得212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列． 第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21. A. 证明：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线，所以AC AMBC BM =． 又12AC AB =，所以2AB AMBC BM=①因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM BA BN BC ⋅=⋅，即AB BNBC BM=② 由①、②可知2AM BNBM BM=， 所以 2BN AM =．B ．解：（1）依题意,得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点),(y x P 在矩阵M 的作用下得到曲线1xy =上一点),(y x P '''，则2130x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即⎩⎨⎧='+='x y y x x 32， 1x y ''=，(2)(3)1x y x ∴+=，整理得曲线C 的方程为2631x xy +=．C. 解：已知椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩.由题设,可令(cos ,sin )M a b ϕϕ，其中02πϕ<<.所以，1122MOA MOB M M MAOB S S S OA y OB x ∆∆=+=⋅+⋅四边形1(sin cos )sin()24ab πϕϕϕ=+=+.所以，当4πϕ=时，四边形MAOB .D. 证明：由柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+ac bd +．将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上2222a b c d +++，有222222()()()()a b c d a c b d +++≥+++ ，即22≥，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad bc =时成立．22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A ，则顾客中奖的概率101023()10.51024P A =-=； （2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X 元，则X 可以取5,0,45,145--，X 的分布列为：（3）由（2）X 的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E X p p =⨯+⨯--+-⨯+-⨯1.6145p =-，∴福彩中心能够筹得资金⇔() 1.61450E X p =->，即80725p <<， 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. 23. 解：（1）设()ln(1)f x x x =-+，则1'()111xf x x x =-=++， 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故函数()f x 有最小值(0)0f =，则ln(1)x x +≤恒成立； （2）取1,2,3,4m =进行验算：11(1)21+=， 219(1) 2.2524+==， 3164(1) 2.37327+=≈， 41625(1) 2.444256+=≈， 猜测：①12(1)3m m<+<，2,3,4,5,m =，②存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明一：对m N ∈，且1m >，有012211111(1)()()()()m k k m mm m m m m C C C C C m mm m m+=+++++++()()()()211112111111()()()2!!!k mm m m m m k m m m k m m m---+-⋅=+++++++11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122!3!!!k m <++++++()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133m=-<．又因()1()02,3,4,,k km C k m m >=，故12(1)3m m<+<，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明二：由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<， 设1x k=，1,2,3,4,k =，则11ln(1)k k +<，所以1ln(1)1k k +<，1ln(1)1k k +<，1(1)3k e k+<<， 当2k ≥时，再由二项式定理得：01221111(1)()()()k k k k k k k C C C C k k k k +=++++011()2k k C C k>+=，即12(1)3k k <+<对任意大于1的自然数k 恒成立，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．。
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ． 2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x=+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ．BA（第16题）B 1A 1C 1MCF DD 117．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线P A 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x ＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+--≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2 ＝n a n －n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n }成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B c A B C ab C ab Cλ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分 16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ= 由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)(①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bp n ＝q n ．令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ，又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC，所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线P A 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2014南通数学学科基地密卷(5)参考答案
第 1页，共 7页2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；2. 3. 2；4. 120 ；5. 12； 6. 1.45； 7.1； 8.6π； 9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()3793131C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=- ； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=；13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而2 ====由得，a c ac 45⋅=则 a c ； 14. 3-.1112334222323424n n n n n n n n n a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦，因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．二、解答题第 2页，共 7页15. 解：（1）由222b a c --cos sin C A =得，222cos a c b B +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6)12cos cos cos22B B B B =++2cos cos cos2B B B B =++1cos22cos22B B B +=++)11sin 222B B =+()1232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()1sin 232B π<+<，所以0()f B <<()f B的值域为(0．16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ， 又AC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ， 又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ， 所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =，1 AC C C ⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE M E =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE M E =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ， 所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ，M F ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得BC =(0 30)x ∈，， 所以矩形ABCD 的面积为()2S x == 22900x x +-≤ 900=（2cm ）（第16题图）1A AB C 1C 1BEMD。
2014南通数学学科基地密卷(5)参考答案
2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；2. 3. 2；4. 120 ；5. 12； 6. 1.45； 7.1； 8.6π； 9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()3793131C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=- ； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=；13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而2 ====由得，a c ac 45⋅=则 a c ； 14. 3-.1112334222323424n n n n n n n n n a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦，因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．二、解答题15. 解：（1）由222b a c --cos sin C A =得，222cos a c b B +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6)12cos cos cos22B B B B =++2cos cos cos2B B B B =++1cos22cos22B B B +=++)11sin 222B B =+()1232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()1sin 232B π<+<，所以0()f B <<()f B的值域为(0．16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ， 又AC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ， 又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ， 所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =，1 AC C C ⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE M E =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE M E =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ， 所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ，M F ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得BC =(0 30)x ∈，， 所以矩形ABCD 的面积为()2S x == 22900x x +-≤ 900=（2cm ）（第16题图）1A AB C 1C 1BEMD（当且仅当22900x x =-，x =cm ）时等号成立）此时BC =cm ； 法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，；则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r =π得，r =， 所以()231900V r x x x =π=-π，其中(0 30)x ∈，， 由()2190030V x '=-=π得x =，此时，()31900V x x =-π在(0，上单调递增，在()上单调递减，故当x =cm3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 解：（1）易得223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，，②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，020200208822828PBy y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． 19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根，而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<，故()0f x '=在区间(0 )a ，和( )a b ，内各有一个实根， 所以0s a t b <<<<；②由①得，2()3a b s t ++=，3ab st =，因为()()3322342()()()()()()273f s f t s t a b s t ab s t a b ab a b +=+-++++=-+++，()()321()()23273s t a b f f a b ab a b ++==-+++，所以()()f s f t +=()22s t f +，即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上； （2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下：设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为： 20000 32()()y y x a b x ab x x ⎡⎤-=-++-⎣⎦，因为切线过原点，所以2000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦，又0000()()y x x a x b =--，所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，解得00x =，或02a b x +=，当00x =时，切线的斜率为ab ；当02a b x +=时，切线的斜率为2()a b ab +-；因为0a b <<，且a b +< 所以两条切线斜率之积为：ab ⋅22222()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直． 20.证明：（1）①因为11n a +=所以221114n na a +-=，故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列；②由①得211(1)4nn a =+-，又易得0n a >，故n a =，因为n a =>=，所以n S ⋅⋅⋅+；（2）由212211683n n n n T Tn n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+，即114143n n T Tn n +-=+-， 所以数列43n T n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，从而1143n Tb n n =+--，令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+， 若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+， 所以()111245413b b b +=++，解得11b =， 此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B 1101411002⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1-=B 11201⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC ， 在△POC 中，由余弦定理得()212cos 4ρθπ+--=4， 整理得()27cos 04ρθπ--+=4，故所求圆的极坐标方程为()27cos 04ρθπ--+=4．B （第21题A ） （第21—C 题）D. 证明：依题意h a ≤，222b h a b +≤， 由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b+≤，因为222a b ab +≥，所以22221ab h a b+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证．22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2）， 所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3）， 故21(1)168P ξ===；所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 答：ξ的数学期望为14-．23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnrrr nn r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x xx x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．。
江苏省南通基地2019届高考密卷(五)数学
江苏省南通基地2019届高考密卷（五）数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合{0e },{101}x A B ==-，，，，若A B B =，则x = ▲ ．2．若复数(1i)(1i)z a =+-(i 为虚数单位，a ∈R )满足||2z =，则a = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西 向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ．4．函数()sin f x x x =，[]0πx ∈，的单调减区间为 ▲ ． 5．下面求2582018++++的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ．I ←2S ←0While I ＜m S ←S ＋I I ←I ＋3 End While Print S第5题7 98 5 7 7 7 7 9 1 3第6题6．如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s = ▲ ． 7．已知0x >，0y >，且121x y +≤，则x y +的最小值为 ▲ ．8．已知平面α ，β，直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ． 10．设a 为实数，已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，且f (2a －3)＝f (a )，则满足条件的a 构成的集合为 ▲ ．11．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为 ▲ ． 12．已知向量，，a b c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切值为12-，b 与c 的夹角 的正切值为13-，1=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．已知函数22e ()ln 0x x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<<⎩，≥，，．若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，求实数a 的取值集合为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223ac b =，且tan tan tan A C A C +． （1）求角B 的大小；（2）若△ABCa c <，求AC AB ⋅的值Ａ ＢＥＣＤＰＯ 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边 的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ，并求此时四面体PDEF 的体积．17．（本小题满分14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休 闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直 平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数 1(0)y x x x =+>模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO =43百米．（1）若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度；（2）若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短．（第17题）如图，已知椭圆22221(0)y x C a b a b+=>>：，并且椭圆经过点P (1，直线l 的方程为4x =． （1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点(10)E ，，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点， 交直线l 于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123k k k ，，．问：是否存在常数λ， 使得123k k k λ+=？若存在，求出λ19．（本小题满分16分）设n S 数列{}n a 的前n 项和，对任意n *∈N ，都有1()()n n S an b a a c =+++（a b c ，，为 常数）．（1）当3022a b c ===-，，时，求n S ； （2）当1002a b c ===，，时， （ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（ⅱ）若对任意,m n *∈N ，必存在p *∈N 使得p m n a a a =+，已知211a a -=，且1111129nii S =∈∑[，），求数列{}n a 的通项公式．已知函数2()ln f x x x ax =+-，a ∈R ． （1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）设()()(3)g x f x a x =+-，试讨论函数()g x 的单调性；（3）当2a =-时，若存在正实数12,x x 满足1212()()30f x f x x x ++=，求证：1212x x +>．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ， 过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）设点()x y ，在矩阵M 对应变换作用下得到点(23)x y ，． （1）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（2）若曲线C 在矩阵1-M 对应变换作用下得到曲线221C x y '+=：，求曲线C 的方程．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是π4cos()3ρθ=+．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A B ，两点．（1）求AB 的长；（2）求点(3P ，到A B ，两点的距离之积．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知0x y >，，且1x y +=．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．（1）若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；第21（A ）题（2）若N 是1CC 的中点，直线1A B 与平面PMN，求线段BP 的长度．23．（本小题满分10分）已知抛物线C ：24y x =，过直线l ：2x =-上任一点A 向抛物线C 引两条切线AS AT ， （切点为S T ，，且点S 在x 轴上方）．（1）求证：直线ST 过定点，并求出该定点； （2）抛物线C 上是否存在点B ，使得BS BT ⊥．A 1C 1B 1PABCM（第22题）N参考答案 数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】0．【解析】因为B B A = ，所以B A ⊆，又e 0x >，所以e 1x =，所以0=x ． 2．【答案】1±．【解析】因为(1)(1)i z a a =++-，所以2)1()1(||22=-++=a a z ，所以1±=a ． 3．【答案】512【解析】遇到红灯的概率为4545360=++512．4．【答案】π[π]，．【解析】π()2sin()3f x x =+，由ππ3π2π2π232k x k +++≤≤，k ∈Z 及[0π]x ∈，得 函数的单调减区间为π[π]，．5．【答案】2021．【解析】满足条件的正整数m 的取值为2019，2020，2021，所以正整数m 的最大值为2021．6．【解析】学生8次考试成绩的平均值为87，则标准差为15)6428(812222=+++．7．【答案】3+【解析】由0>x ，0>y ，得122()()33yx x y x y x y++=+++≥x y 2=时等号成立，又121x y+≤，则3x y ++≥y x +的最小值为223+．8．【答案】③④【解析】对于①②，平行的传递性仅限于相同的元素(点、线、面)，因此均不对． 9．【答案】19．【解析】因为数列}{n a 是等差数列，设公差为d ，则n d n d d n n n S n )21(22)1(2-+=-+=，所以n d n d S n )21(22-+=，又也为等差数列，所以2=d ，所以1910=a ．10．【答案】{}1,3【解析】由2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪>⎩≤≤由(23)()f a f a -=，得23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -⎧⎨--⎩≤≤≤≤解得1a =或3a =．11．． 【解析】如图所示AF 的斜率为3，所以60BAF ∠=︒且AF ＝AB ，所以ABF ∆是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以14BF BF c ==，，所以c AF 721=，由双曲线的定义可知c c a 4722-=， 所以双曲线的离心率为27+．12．【答案】15．【解析】令AB BC CA ===，，c a b ，则11tan tan 32A C ==，， 所以tan tan(π)tan()1B A C A C =--=-+=-，所以3π4B =，由正弦定理可得|||==c a ，所以15⋅=a c ．13．【解析】由2PB PA ≥得224PB PA ≥，所以2244(1)PC PO --≥，所以224PC PO ≥，设()P x y ，，所以22816033x y x ++-≤， 即22464()39x y ++≤，点P 在圆964)34(22=++y x 上及圆内，所以EF 为直线截圆所得的弦，所以EF =3392．14．【答案】．【解析】令2()ln 2ex h x x =-，1()e x h x x '=-，所以函数)(x h在(0上递增，在)+∞上递减，又0h =，所以2ln x x ≤，当且仅当xy xO ABF 第11题意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，且过原点的直线与ln y x =切于点(e 1)，，所以函数)(x f 的图象是不间断的，故a =二、解答题：15．解：（1）由tan tan tan A C A C +，得tan tan 1tan tan A C A C +=-tan()A C +=所以tan()B π-=tan()B π-=所以tan B =． 因为0B <<π，所以πB =．（2）因为△ABC b =所以π33b ==，所以2263ac b ==．由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，即29()3a c ac =+-，所以2()27a c +=，即a c +=因为a c <所以a c ==所以△ABC 为直角三角形，且3A π∠=所以36AC AB π⋅=⨯=。
江苏省南通市2015届高三第二次调研测试数学学科(含评分建议)
南通市2015届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03．设集合{}11 0 3 A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】0.026．若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为▲ ．【答案】π27．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3． 【答案】19．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．AA 1B不CB 1不C 1不D 1不D（第8题）I ← 1While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S（第4题）【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．解1：()3a b a +=，()()3a b a b +-=，（1）×2-（2解2：AC BD ⋅-0AC AD ⋅=，得()0AC BD AD ⋅-=，即0AC BA ⋅=，射影得AC AD ⋅=2AC =3，AC =．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则由2PA AB =得10232x x x -=，10232y y y -=． 将A ，B 坐标代入圆1C 的方程，得222112220011(1)(6)5,21210()()().333x y x y x y ⎧++-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩此方程组有解等价于两方程对应的两圆有公共点，于是10105533-≤≤+，整理得525≤≤有解．令d=525d ≤≤有解．BDC（第12题）A当点1C 在圆2C 外时，min 30d r =-，max 30d r =+； 当点1C 在圆2C 内时，min 30d r =-，max 30d r =+． 于是305r +≥，|30|25r -≤，解得555r ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ． ……2分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． ……6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ．又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． ……8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． ……11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． ……14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ①写出所有等可能的基本事件；A BCDMNQ（第15题）②求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. ……2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． ……4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． ……6分（2）①有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． ……9分②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1θ+b ，其中0πθ<<．（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值．解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=，x ，=y (44-，)， ……2分则⋅=x y (1(4)244⨯-+-⨯=- ……6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， ……2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+-⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯=． ……6分 （2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-， ……9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22c o s c o s 1θθ=-- ()()2cos 1cos 1θθ=+-. ……11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=．列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k 取最大值 ……14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，．00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥．（1）若3a =，b 0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切． 解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =． 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+． ……3分 又22001x y +=，所以204990x x +-=， 解得034x =或03x =-(舍去)． ……5分（2）当00x =时，220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， ……8分 所以210e e +-=，解得e ． ……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=．① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-，即2200()y x c a x ca =-+-+． ② 由①②得，22000()()()0x a b x a a x c ⎡⎤+---=⎣⎦，解得()2202a a ac c x c --=-（0x a =-舍去）. ……13分所以PF ==0c a x a =-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切． ……16分（注：第（3）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径（第18题）公式扣1分）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． ……4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤；……6分 当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数． 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以此时a 不存在； 当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a ==----，，≥， 解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． ……10分（3）设[]()()F x f f x a =+．令()t f x a x x a =+=-，则()y f t ==t t a a --，4a >．第一步，()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t =2t =；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <． ①若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；②若2x x a t -=，其中2204a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a -->， ……14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根．所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． ……16分 （注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．解：（1）依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+-()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， ……3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． ……5分（2）①法1：因数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34，故{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 由（1）得，{}1n n c c d +--是等比数列，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， ……7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， ……7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分 ②假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<， 且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列，则2m p l c c c =+， 因为0l c >，所以2m p c c >， （*） 若1p m >+，则2p m +≥，结合（*）得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥， 化简得，8203m m -<-<， （**）因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与（**）矛盾， 所以只能1p m =+． 同理，1r p =+．所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+， 由132n n b -=⋅得45=，矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． ……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点．求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，所以PCA CBP ∠=∠， ……3分 又CPA CPB ∠=∠，故△CAP ∽△BC P ， ……7分 所以AC AP =，即AP BC AC CP ⋅=⋅． ……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=， ……4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，P（第21 - A 题）所以AB 中点的横坐标为12524x x +=……8分 化为极坐标为()5π 23，． ……10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，……2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， ……6分 所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． ……10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：2228a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， ……6分 因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， ……8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． ……10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， ……2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． ……4分 （2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+，（第22题）联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， ……6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， ……8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． ……10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且AB =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a 的表达式．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅．若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种．所以a 3=01C 11+ C 2=； ……2分当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅．若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种．所以a 4=02C 22+ C 2=． ……4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅．若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种；若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共22C nn --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种．所以a n =02Cn -+12Cn -+…+222C n n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-． ……8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=． 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 ……10分。
江苏省南通市高三数学学科基地密卷(1)苏教版
2014年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 设a ，b 是实数，若21a bi i=+-（i 是虚数单位），则a b +的值是 ． 2. 若全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|32}A B x x =-≤≤U ，则U B A =I ð ． 3. 平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ABE ∆内部的概率为 ．4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．（第5题图）5. 运行如图语句，则输出的结果T = ．6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若424=S S ，则84S S = ． 7. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m = ．8. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且623AB BC ==，，则棱锥O ABCD -的体积为 ．9. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．10. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线C 离心率的取值范围是 ． 11. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅=u u u r u u u r u u u r．12. 当对数函数=log (>0a y x a 且1)a ≠的图像至少经过区域0=(,)+8030x y M x y x y y ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围为 ．13. 设等差数列{}n a 满足22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是 ．（第4题图） T ←1 I ←3 While I<50 T ←T +II ←I +2 End While Print T14. 从x 轴上一点A 分别向函数3()f x x =-与函数332()||g x x x =+引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，则12S S +的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=．（1）求证：tan()6tan αββ+=；（2）若tan 3tan αβ=，求α的值．16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 且AF ACλ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个（第16题图） E AB C D F单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y m f x =，其中()2log (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．. （1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E ()222210x y a b a b=>>+的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．（1）求a ，b 的值；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,N M ．①当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos AMB ∠=ABM △的面积．19.（本小题满分16分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+，其中e 是自然对数的底数． （1）若[2,],21x a a ∈--<<，求函数()y f x =的单调区间； （2）设2a >-，求证：213()f a e >；（3）对于定义域为D 的函数()y g x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，使得[,]x m n ∈时，()y g x =的值域是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数()y g x =的“保值区间”．设()()(2),(1,)x h x f x x e x =+-∈+∞，问函数()y h x =是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，数列{}n b ，{}n c 满足2n n na b a +=，21n n n c a a +=．（1）若数列{}n a 为等比数列，求证：数列{}n c 为等比数列；（2）若数列{}n c 为等比数列，且1n n b b +≥，求证：数列{}n a 为等比数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知12AC AB =，CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 边于点N ，求证：2BN AM =．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量113e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u r ．（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C'的方程为1xy =，求曲线C 的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上在第一象限的点，(,0)A a 和(0,)B b 是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB 的面积的 最大值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,,,a b c d R ∈，求证：ad bc =时成立.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率； （2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X 元，求X 的概率分布（用p 表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.23．（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小；（2）是否存在常数N a ∈，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立？若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014年高考模拟试卷(1)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. 2；2. (1,2]；3.12； 4. 40； 5. 625； 6. 10； 7. 12；8. 9.； 10．； 11. 32；12.； 13.43(,)32ππ； 14.8.二、解答题15．（1）证明：7sin(2)sin 5αβα+=Q ，7sin[()]sin[()]5αββαββ∴++=+-，7sin()cos cos()sin [sin()cos cos()sin ]5αββαββαββαββ∴+++=+-+，sin()cos 6cos()sin αββαββ∴+=+，① ,(0,),(0,)2αβαβπ∈∴+∈πQ ，若cos()0αβ+=，则由①sin()0αβ+=与(0,)αβ+∈π矛盾，cos()0αβ+≠，∴①两边同除以cos()cos αββ+得：tan()6tan αββ+=；（2）解：由（1）得tan()6tan αββ+=，tan tan 6tan 1tan tan αββαβ+=-，tan 3tan αβ=Q ，1tan tan 3βα∴=，24tan 32tan 11tan 3ααα∴=-(0,)2απ∈Q ，tan 1α∴=，从而4πα=．16． 解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面ABD AB =，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点，由AF AC λ=得12λ=；（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =I ，AE DE ⊂、平面AED ，（第16题图）EABC DF所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为4=m ， 自来水达到有效．．净化．．4()6f x ⇔≥3()2f x ⇔≥2043log (4)2x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或46322x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 04x ⇔<≤或46x <≤，即06x <≤，亦即，如果投放的药剂质量为4=m ，自来水达到有效．．净化．．一共可持续6天；（2）由题设，(0,7],6()18x mf x ∀∈≤≤，0m >，()2log (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩Q ， 2(0,4],6log (4)18x m x ∴∀∈≤+≤，且6(4,7],6182mx x ∀∈≤≤-， 26318m m ≥⎧∴⎨≤⎩且665318m m ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， 3656m m ≤≤⎧∴⎨≤≤⎩，56m ∴≤≤， 亦即，投放的药剂质量m 的取值范围为[5,6]. 18．解：（1）由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=， 所以，4a =，b =（2）①由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++，即222172172(1)[()]9()24x y t t t t -=+++++，因为2272()t t ≥+，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．②由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++， 222424(,)3434kMA k k --∴=++u u u r ，2223224(,)3434k k MB k k -=++u u u r ，cos MA MB AMB MA MB ⋅∴∠===u u u r u u u ru u u r u u u r 化简，得42164090k k --=，解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =，此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．19．解：（1）2()()(1),[2,],2x x f x x x e x x e x a a '=-=-∈->-，由表知道：①20a -<≤时，(2,)x a ∈-时，()0f x '>，∴函数()y f x =的单调增区间为(2,)a -；②01a <<时，(2,0)x ∈-时，()0f x '>，(0,)x a ∈时，()0f x '<， ∴函数()y f x =的单调增区间为(2,0)-，单调减区间为(0,)a ； （2）证明：2()(33),2a f a a a e a =-+>-2()()(1),2a a f a a a e a a e a '=-=->-，[()]f a 极小值 332225()1313132(1)(2)0e f f e e e e----=-=>>Q (1)(2)f f ∴>-由表知：[0,)a ∈+∞时，()(1)(2)f a f f ≥>-， (2,0)a ∈-时，()(2)f a f >-，2a ∴>-时，()(2)f a f >-，即213()f a e >； （3）2()()(2)(21),(1,)x x h x f x x e x x e x =+-=-+∈+∞，2()(1),(1,)x h x x e x '=-∈+∞， (1,)x ∴∈+∞时，()0h x '>，()y h x ∴=在(1,)+∞上是增函数，函数()y h x =存在“保值区间”1[,]()()n m m n h m m h n n >>⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩⇔关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞有两个不相等的实数根， 令2()()(21),(1,)x H x h x x x x e x x =-=-+-∈+∞， 则2()(1)1,(1,)x H x x e x '=--∈+∞， 2[()](21),(1,)x H x x x e x ''=+-∈+∞(1,)x ∈+∞Q 时，2[()](21)0x H x x x e ''=+->， ()H x '∴在(1,)+∞上是增函数，2(1)10,(2)310H H e ''=-<=->Q ，且()y H x '=在[1,2]图象不间断， 0(1,2),x ∴∃∈使得0()0H x '=， 0(1,)x x ∴∈时，()0H x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>，∴函数()y H x =在0(1,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数， (1)10H =-<Q ，0(1,],()0x x H x ∴∈<，∴函数()y H x =在(1,)+∞至多有一个零点， 即关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞至多有一个实数根， ∴函数()y h x =是不存在“保值区间”． 20．解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，所以1n na q a +=（q 为常数）， 所以2311221n n n n n n c a a q c a a ++++==为常数，所以数列{}n c 为等比数列； （2）因为数列{}n c 是等比数列，所以1n nc q c +=（q 为常数）， 所以221122211n n n n n n n n n c a a a q c a a a a ++++++===．则2242231n n n n n n a a a a a a +++++=． 所以2423221n n n n n n a a aa a a +++++=，即221n n nb b b ++=．因为1n n b b +≥，所以21n n b b ++≥，则22211n n n n b b b b +++≥≥．所以21n n b b ++=；1n n b b +=． 所以321n n n n a a a a +++=，即231n n n naa a a +++=⋅． 因为数列{}n c 是等比数列，所以121n n n n c c c c +++=，即2223112n n n n n n a a a a a a +++++=， 把231n n n na a a a +++=⋅代入化简得212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列． 第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21. A. 证明：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线，所以AC AMBC BM =． 又12AC AB =，所以2AB AMBC BM=① 因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM BA BN BC ⋅=⋅，即AB BNBC BM=② 由①、②可知2AM BNBM BM=， 所以 2BN AM =．B ．解：（1）依题意,得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线C 上一点),(y x P 在矩阵M 的作用下得到曲线1xy =上一点),(y x P '''，则2130x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即⎩⎨⎧='+='xy y x x 32， 1x y ''=Q ，(2)(3)1x y x ∴+=，整理得曲线C 的方程为2631x xy +=．C. 解：已知椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩.由题设,可令(cos ,sin )M a b ϕϕ，其中02πϕ<<.所以，1122MOA MOB M M MAOB S S S OA y OB x ∆∆=+=⋅+⋅四边形1(sin cos )sin()224ab πϕϕϕ=+=+.所以，当4πϕ=时，四边形MAOB .D. 证明：由柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+ac bd +．将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上2222a b c d +++，有222222()()()()a b c d a c b d +++≥+++ ，即22≥，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad bc =时成立．22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A ，则顾客中奖的概率101023()10.51024P A =-=； （2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X 元，则X 可以取5,0,45,145--，X 的分布列为：（3）由（2）X 的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E X p p =⨯+⨯--+-⨯+-⨯1.6145p =-，∴福彩中心能够筹得资金⇔() 1.61450E X p =->，即80725p <<， 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. 23. 解：（1）设()ln(1)f x x x =-+，则1'()111xf x x x =-=++， 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故函数()f x 有最小值(0)0f =，则ln(1)x x +≤恒成立； （2）取1,2,3,4m =进行验算：11(1)21+=， 219(1) 2.2524+==， 3164(1) 2.37327+=≈， 41625(1) 2.444256+=≈，猜测：①12(1)3m m<+<，2,3,4,5,m =L ，②存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明一：对m N ∈，且1m >，有012211111(1)()()()()m k k mm m m m m m C C C C C m mm m m+=+++++++L L()()()()211112111111()()()2!!!k mm m m m m k m m m k m m m---+-⋅=+++++++L L L L 11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L 111122!3!!!k m <++++++L L ()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--L L11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L133m=-<．又因()1()02,3,4,,k km C k m m >=L ，故12(1)3m m<+<，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明二：由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<， 设1x k=，1,2,3,4,k =L ，则11ln(1)k k +<，所以1ln(1)1k k +<，1ln(1)1k k +<，1(1)3k e k+<<， 当2k ≥时，再由二项式定理得：01221111(1)()()()k k k k k k k C C C C k k k k +=++++L 011()2k k C C k>+=，即12(1)3k k <+<对任意大于1的自然数k 恒成立，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．。