等腰三角形统测-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
中考数学总复习《等腰三角形与直角三角形》专题测试卷及答案
中考数学总复习《等腰三角形与直角三角形》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A组·考点过关1．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳市开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角度数为120∘，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m2．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图，已知∠ACB= 90∘，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD的长度为（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cmAB的3．如图，在△ABC中AB=AC=6，BC=4，分别以点A，B为圆心，大于12长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD 的周长为（）第3题图A．7 B．8 C．10 D．124．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为____.第4题图5．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为______________________________.①②6．将含30∘角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知α=60∘，点B，C 表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为____cm.7．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.若b−a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为__.8．如图，BD是等边△ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD=CE.B组·素养提升9．如图，在△ABC中AB=AC，∠BAC=130∘，DA⊥AC，则∠ADB=（）第9题图A．100∘B．115∘C．130∘D．145∘10．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm 的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为__cm（杯壁厚度不计）.第10题图11．如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB= DF，AC=DE，BC=EF.（1）求证：△GEC是等腰三角形；（2）连接AD，则AD与l的位置关系是____________.参考答案A组·考点过关1．B 2．B 3．C4．25．x2+22=(x+0.5)26．27．968．证明:∵BD是等边△ABC的中线∴BD⊥AC，∠ACB=60∘∴∠DBC=30∘.∵BD=DE∴∠E=∠DBC=30∘.∵∠CDE+∠E=∠ACB=60∘∴∠E=∠CDE=30∘∴CD=CE.B组·素养提升9．B10．1011．（1）证明：在△ABC和△DFE中{AB=DF,AC=DE,BC=EF,∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠ACB=∠DEF即∠GCE=∠GEC∴GE=GC∴△GEC为等腰三角形.（2）AD//l[解析]AD与l的位置关系是：AD//l，理由如下：连接AD，过A作AM⊥直线l于点M，过点D作DN⊥直线l于点N，如答图第11题答图则∠AMB=∠DNF=90∘，AM//DN.由（1）知△ABC≌△DFE∴∠ABM=∠DFN.在△ABM和△DFN中{∠AMB=∠DNF=90∘,∠ABM=∠DFN,AB=DF,∴△ABM≌△DFN(AAS)∴AM=DN∴四边形AMND为平行四边形∴AD//MN，即AD//l.。
中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（共26道）一 、单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DEAB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或22．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.53．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B ．22C ．2D ．16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E 使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号）16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．19．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图① ABC 和ADE 是等边三角形 连接DC 点F G H 分别是,DE DC 和BC 的中点 连接,FG FH ．易证：3FH FG =．若ABC 和ADE 都是等腰直角三角形 且90BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：若ABC 和ADE 都是等腰三角形 且120BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：其他条件不变 判断FH 和FG 之间的数量关系 写出你的猜想 并利用图①或图①进行证明．20．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题 是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律 再结合其他数学知识的内在联系 最终可以获得宝贵的数学经验 并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 30BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______ BDC ∠=______︒(2)类比探究：如图2 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 120BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数 并说明理由(3)拓展延伸：如图3 ABC 和AEF △均为等腰直角三角形 90BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 且点B E F 在一条直线上 过点A 作AM BF ⊥ 垂足为点M ．则BF CF AM 之间的数量关系：______(4)实践应用：正方形ABCD 中 2AB = 若平面内存在点P 满足90BPD ∠=︒ 1PD =，则ABP S =△______．21．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式 某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt ABC △中 90,C AC BC ∠=︒= D 是AB 边上一点 且1AD BD n=（n 为正整数） E 是AC 边上的动点 过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1 当1n =时 兴趣小组探究得出结论：2AE BF AB += 请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2 当2n = 且点F 在线段BC 上时 试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系 请写出结论并证明①请通过类比 归纳 猜想 探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论 不必证明） 【拓展运用】(3)如图3 连接EF 设EF 的中点为M ．若22AB = 求点E 从点A 运动到点C 的过程中 点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）．22．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==， 点E 在边BC 上 且2BE =．动点P 从点E 出发 沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动 作90PEQ ∠=︒ EQ 交边AD 或边DC 于点Q 连续PQ ．当点Q 与点C 重合时 点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)当点P 和点B 重合时 线段PQ 的长为__________ (2)当点Q 和点D 重合时 求tan PQE ∠(3)当点P 在边AD 上运动时 PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图①．请说明理由(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F 连接PF QF 当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时 直接写出t 的取值范围．23．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】（1）如图1 ABC 和BDE 都是等边三角形 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上． ①求证：AE CD =①用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型应用】（2）如图2 ABC 是直角三角形 AB AC = CD BD ⊥ 垂足为D 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型迁移】（3）在（2）的条件下 若42AD = 3BD CD = 求cos AFB ∠的值．24．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边ABC 中 AD BC ⊥于点D E 为线段AD 上一动点（不与AD 重合） 连接BE CE 将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF 连接AF ．(1)如图1 求证：CBE CAF ∠=∠(2)如图2 连接BF 交AC 于点G 连接DG EF EF 与DG 所在直线交于点H 求证：EH FH = (3)如图3 连接BF 交AC 于点G 连接DG EG 将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到APG 将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到DQG 连接PQ QF ．若4AB = 直接写出PQ QF +的最小值．25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1 在ABC 中 AB AC = 点,M N 分别为边,AB BC 的中点 连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________ MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2 若90,42BAC BC ∠=︒= 先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角） 得到BEF △ 当点,,A E F 在同一直线上时 AE 与BC 相交于点D 连接CF ．（1）求BCF ∠的度数（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒ 将BMN 绕点B 顺时针旋转α 得到BEF △ 连接AE CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒ 点,,C E F 在同一直线上时 利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图，①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF == 在Rt ABG △中 利用勾股定理即可求解.【详解】解：①矩形ABCD 中①90ABC BAC ∠=∠=︒①F 为CE 的中点 10CE = ①152BG BF CE === 在Rt ABG △中 2222543AG BG AB =--故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质 直角三角形斜边中线的性质 勾股定理 掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+ 由DF DE < 可得a b c +< 进而可判断①的正误 由EAB BCD ≌△△ 可得BE BD = CD AB a == AE BC b ==ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒ BDE △是等腰直角三角形 由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++ 由AB AE BE +> 可得22a b a b +>+ 进而可判断①的正误 由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+，则)2222c a b a b =++ 进而可判断①的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形①DF AC a b ==+①DF DE <①a b c +< ①正确 故符合要求①EAB BCD ≌△△①BE BD = CD AB a == AE BC b == ABE CDB ∠=∠①90CBD CDB ∠+∠=︒①90∠+∠=︒CBD ABE 90EBD ∠=︒①BDE △是等腰直角三角形由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++①AB AE BE +> ①22a b a b ++ ①正确 故符合要求由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+ ①)2222c a b a b ++ ①正确 故符合要求故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 全等三角形的性质 勾股定理 等腰三角形的判定 不等式的性质 三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == 23BC AE == 36BD BC ==∴8DE = ∴1927AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = 3BC = 3OE = 1CE = ①3CD = 3GE DF ==32CF = ①52EF DG == 3OG ①723OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△ ①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B 2C ．2D ．1【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质可得2BE = 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒ 再判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上 连接BD 根据圆周角定理可得90BDE ∠=︒45ADB AEB ∠=∠=︒ 然后根据相似三角形的判定可得ABD EBC 根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：BAE 是以AB 为腰的等腰直角三角形 2BE AB ∴ 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒,45AD BC C ∠=︒∥180135ADE C ∴∠=︒-∠=︒180ADE ABE ∴∠+∠=︒∴点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上如图，连接BD由圆周角定理得：90BDE ∠=︒ 45ADB AEB ∠=∠=︒45ADB C CBD ∴∠=∠=∠=︒45ABD DBE EBC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠ABD EBC ∠=∠∴在ABD △和EBC 中 ADB C ABD EBC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ABD EBC ∴2CE EB AD AB∴== 2212CE AD ∴==故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质等知识点 正确判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上是解题关键．6．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 的性质可由SAS 定理证ABF ADE △≌△ 即可判定AEF △是等腰直角三角形 进而可得12HE HF AH EF === 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12HC EF = 由此即可判断①正确 再根据ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 可判断①正确 进而证明AFK HDE 可得AF AK HD HE = 结合22AF HE == 即可得出结论①正确 由AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定 可 判断①HD CD =不一定成立．【详解】解：①正方形ABCD①AB AD = 90ADC ABC BAD BCD ∠=∠=∠=∠=︒①90ABF ADC ∠=∠=︒①BF DE =①ABF ADE △≌△SAS （）①BAF DAE ∠=∠ AF AE =①90FAE BAF BAE DAE BAE BAD ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒①AEF △是等腰直角三角形 45AEF AFE ∠=∠=︒①AH EF ⊥ ①12HE HF AH EF ===①90DCB ∠=︒ ①12CH HE EF == ①CH AH = 故①正确又①AD CD =,HD HD =,①(SSS)AHD CHD ≅, ①1452ADH CDH ADC ∠=∠=∠=︒ ①ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 即：4545EAD DHE ︒+∠=∠+︒①EAD DHE ∠=∠①FAB DHE EAD ∠=∠=∠ 故①正确又①45AFE ADH ∠=∠=︒①AFK HDE ①AF AK HD HE= 又①22AF AH HE = ①22AK HD HE ⋅= 故①正确①若HD CD =，则1804567.52DHC DCH ︒-︒∠=∠==︒ 又①CH HE =①67.5HCE HEC ∠=∠=︒而点E 是CD 上一动点 AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定而18045135HEC AED AED ∠=︒-∠-︒=︒-∠则故67.5HEC ∠=︒不一定成立 故①错误综上 正确的有①①①共3个故选：C ．【点睛】本题考查三角形综合 涉及了正方形的性质 全等三角形 相似三角形的判定与性质 等腰三角形＂三线合一＂的性质 直角三角形的性质 熟练掌握正方形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定和性质 直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．【答案】2【分析】根据正方形的性质 以及七巧板的特点 求得OE 的长 即可求解．【详解】解：如图所示依题意 222OD AD == 122OE OD ==①图中阴影部分的面积为2222OE ==故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 七巧板 熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．【答案】 3 13【分析】（1）过点E 作EH AD ⊥ 根据正方形和等腰三角形的性质 得到AH 的长 再利用勾股定理 求出EH 的长 即可得到ADE 的面积（2）延长EH 交AG 于点K 利用正方形和平行线的性质 证明()ASA ABF KEF ≌ 得到EK 的长 进而得到KH 的长 再证明AHK ADG △∽△ 得到KH AH GD AD= 进而求出GD 的长 最后利用勾股定理 即可求出AG 的长．【详解】解：（1）过点E 作EH AD ⊥正方形ABCD 的边长为33AD ∴= ADE 是等腰三角形 52EA ED ==EH AD ⊥ 1322AH DH AD ∴=== 在Rt AHE 中 222253222EH AE AH ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132322ADE S AD EH ∴=⋅=⨯⨯=, 故答案为：3（2）延长EH 交AG 于点K正方形ABCD 的边长为390BAD ADC ∴∠=∠=︒ 3AB =AB AD ∴⊥ CD AD ⊥EK AD ⊥AB EK CD ∴∥∥ABF KEF ∴∠=∠F 为BE 的中点BF EF ∴=在ABF △和KEF 中ABF KEF BF EFAFB KFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABF KEF ∴≌3EK AB ∴==由（1）可知 12AH AD =2EH = 1KH ∴=KH CD ∥ AHK ADG ∴△∽△KH AH GD AD∴= 2GD在Rt ADG 中 22223213AG AD GD =++ 13【点睛】本题考查了正方形的性质 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理等知识 作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．【答案】221【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时 分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时①四边形ABCD 矩形①90A ∠=︒，则∥MN AB 由平行线分线段成比例可得：ANBMND MD =又①M 为对角线BD 的中点①BM MD = ①1ANBMND MD ==即：1ND AN ==①2AD AN ND =+=当90NMD ∠=︒时①M 为对角线BD 的中点 90NMD ∠=︒①MN 为BD 的垂直平分线①BN ND =①四边形ABCD 矩形 1AN AB ==①90A ∠=︒，则222BN AB AN =+= ①2BN ND ==①21AD AN ND =+综上 AD 的长为221故答案为：221．【点睛】本题考查矩形的性质 平行线分线段成比例 垂直平分线的判定及性质等 画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①①①【分析】由题意易得,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒，则可证()SAS AEB FED ≌ 然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：①,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形①,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒①,DBA DBE ABE EBC ABC ABE ∠=∠-∠∠=∠-∠ ,AEB AED DEB FED AEF AED ∠=∠+∠∠=∠+∠ ①,DBA EBC AEB FED ∠=∠∠=∠ 故①正确①()SAS AEB FED ≌①,AB DF AC ABE FDE ==∠=∠ BAE DFE ∠=∠ 故①正确①90,90ABE BHE EFD EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒ 90BAE EAC ∠+∠=︒ BE AE >①BHE EGF ∠≠∠ EGF EAC ∠=∠ 故①错误①DF AC ∥①DF AC =①四边形ADFC 是平行四边形①AD CF = 故①正确故答案为①①①．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．【答案】33【分析】过点A 作AH BC ⊥于H 根据等边三角形的性质可得60BAC ∠=︒ 再由AH BC ⊥ 可得=30BAD DAH ∠+∠︒ 再根据=30BAD EAC ∠+∠︒ 可得DAH EAC ∠=∠ 从而可得1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ 利用锐角三角函数求得sin 6033AH AB =⋅︒= 再由1==333DH AH 求得3DH = 即可求得结果．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于H①ABC 是等边三角形①6AB AC BC === 60BAC ∠=︒①AH BC ⊥ ①1302BAH BAC ∠=∠=︒ ①=30BAD DAH ∠+∠︒①30DAE ∠=︒①=30BAD EAC ∠+∠︒①DAH EAC ∠=∠ ①1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ ①132BH AB == ① 3=sin 60=6=3AH AB ⋅︒①1==333DH AH ①3DH = ①==33BD BH DH - 故答案为：33【点睛】本题考查等边三角形的性质 锐角三角函数 熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC ∠=∠是解题的关键．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①①①【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP PN = 可以判断① 利用相似和勾股定理可以得出10BD =152MN = 利用MBND 12S MN BD =⨯四边形判断① 根据相似可以得到2MPE DAB S ME S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 判断① 利用将军饮马问题求出最小值判断①．【详解】解：①EM EN = MN BD ⊥①MP PN =在点P移动过程中不一定MP PN =相矛盾延长ME 交BC 于点P ,则ABPM 为矩形 ①22226810BD AB AD +=+①ME AD ⊥ MN BD ⊥①90MED MDE MEP EMN ∠+∠=∠+∠=︒，①MDE EMN ∠=∠①MPN DAB ∽ ①MP PN MN AD AB BD == 即68610PN MN == 解得：91522PN MN ==， ①1111157510222222BMN DMN MBND S SS MN BP MN DP MN BD =+=⨯+⨯=⨯=⨯⨯=四边形 故①正确①ME AB ①DME DAB ∽①23ME MD AB AD == ①4ME =①MDE EMN ∠=∠ 90MPE A ∠=∠=︒ ①MPE DAB ∽①2425MPE DAB S ME SBD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ①44196682525225MPE DAB S S ==⨯⨯⨯=152BM MN ND BM ND ++=++ 即当MB ND +最小时，BM MN ND ++的最小值 作B D 关于AD BC 、的对称点11B D 、, 把图1中的1CD 向上平移到图2位置 使得9CD 2=连接11B D 即11B D 为MB ND +的最小值，则172AC BD == 112BB =, 这时222211117251222B D BD BB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭即BM MN ND ++的最小值是20故①正确故答案为：①①①【点睛】本题考查矩形的性质 相似三角形的判定和性质 轴对称 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时 30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)【答案】①①①【分析】①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形 根据等角对等边 以及三角形的内角和定理即可得出()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 进而判断① 证明BAD EAC ≌ 根据全等三角形的性质判断① 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H 证明ACN DAG ≌ ABN EAH ≌ (AAS)EHM DGM ≌ 即可得M 是ED 的中点 故①正确 证明()Rt Rt HL MEH MDG ≌ 可得MG MH = 在Rt ABN △中 222AN AB BN =- 在Rt ANC △中 222AN AC CN =- 得出 2912a = 在Rt MGD 中 勾股定理即可求解． 【详解】解：①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形①60BAC ∠=︒①360909060120EAD ∠=︒-︒-︒-︒=︒①等腰直角ABE ACD①,BA BE BA AD ==①AE AD = ①()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 故①正确 ①①等腰直角ABE ACD①,AB AE AD AC == 90BAE DAC ∠=∠=︒①BAD EAC ∠=∠①BAD EAC ≌①EC BD = 故①正确①如图所示 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H①90BAE ∠=︒ MN BC ⊥①90ABN BAN ∠+∠=︒又90EAM BAN ∠+∠=︒①EAM ABN ∠=∠又①EA AB =①EAH ABN ≌()AAS同理得 ACN DAG ≌①GD AN = AG CN = ,EH AN AH BN == ①EMH DMG ∠=∠ 90EHM DGM ∠=∠=︒ ①(AAS)EHM DGM ≌①EM DM = 即M 是ED 的中点 故①正确 ①MG MH =设BN a =，则6CN BC BN a =-=-在Rt ABN △中 222AN AB BN =-在Rt ANC △中 222AN AC CN =-①2222AB BN AC CN -=-①()2222346a a -=-- 解得：2912a = ①294361212AG CN ==-= ①222229455312AN AB BN ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ①2976262126GH AG AH AN BN a =-=-=-=-⨯=①1772612MG =⨯= 在Rt MGD 中 222274551412122MD GD MG ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①214ED MD ==故①错误故答案为：①①①．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 等边三角形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形 可得N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN = 可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点 当,M B 重合时 符合题意 可得()8,6M - 当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB == 证明MNK NAJ ≌ 设(),26N x x -- 可得MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=-- 而8KJ AB ==，则2128x x ---= 再解方程可得答案．【详解】解：如图，①AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形①N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN =①N 是圆H 与直线26y x =--的交点当,M B 重合时①()8,6B -，则()4,3H -①4MH AH NH === 符合题意①()8,6M -当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB ==①90NAJ ANJ ∠+∠=︒①AN MN = 90ANM ∠=︒①90MNK ANJ ∠+∠=︒①MNK NAJ ∠=∠①MNK NAJ ≌ 设(),26N x x --①MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=--而8KJ AB ==①2128x x ---= 解得：203x =-，则22263x --= ①22202333CM CK MK =-=-= ①28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 综上：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是坐标与图形 一次函数的性质 等腰直角三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 圆周角定理的应用 本题属于填空题里面的压轴题 难度较大 清晰的分类讨论是解本题的关键．15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号） 71/17【分析】如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q 设,==BE x AE y 可得3,2CD x DE y == 证明26BC AB ==6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 )222632QE CQ x x ===+= 2AQ 由勾股定理可得：()()()222222263223222y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q设,==BE x AE y ①13BE CD = 2ED AE = ①3,2CD x DE y == ①90,32BAC AB AC ∠=︒== ①26BC == 6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 ①)222632222QE CQ x x ===+= ①2AQ = 由勾股定理可得：()()()2222222632232y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理得：2260x x --= 解得：17x = 经检验17x = ①17BE x == 故答案为：17【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质 勾股定理的应用 一元二次方程的解法 作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．971973【分析】过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 根据等腰三角形性质得出132===BH HC BC 根据勾股定理求出224AH AC CH =-= 证明CBD CED ∠=∠ 得出DB DE = 根据等腰三角形性质得出6CE BC == 证明CD AH ∥ 得出CD CE AH HE = 求出83CD = 根据勾股定理求出2222829763DE CE CD ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 根据CD AH ∥ 得出DE CE AD CH = 即297633AD = 求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 如图所示：则90AHC AHB ∠=∠=︒①5,6AB AC BC ===①132===BH HC BC ①224AH AC CH -=①ADB CBD CED ∠=∠+∠ 2ADB CBD ∠=∠①CBD CED ∠=∠①DB DE =①90BCD ∠=︒①DC BE ⊥①6CE BC ==①9EH CE CH =+=①DC BE ⊥ AH BC ⊥①CD AH ∥①~ECD EHA ①CD CE AH HE = 即649CD = 解得：83CD = ①2222829763DE CE CD ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭①CD AH ∥ ①DE CE AD CH= 即297633AD = 解得：97AD =． 97． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 平行线分线段成比例 相似三角形的判定与性质 平行线的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．【答案】 8 822+【分析】根据题意 可固定四边形GFCE 平移或旋转其它图形 组合成四边形 求出周长 判断最小值 最大值．【详解】如图1 4BC = 24222AC 122CI BD CE AC4DI BC①四边形BCID 周长=4422=8+22如图2 2AF AI IC FC①四边形AFCI 周长为248⨯=故答案为：最小值为8 最大值822+【点睛】本题考查图形变换及勾股定理 通过平移 旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．【答案】(1)见解析(2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE = 2MDE α∠=①C α∠=①D DEC M E C α∠-∠∠==①C DEC ∠=∠①DE DC =①DM DC = 即D 是MC 的中点（2）90AEF ∠=︒证明：如图2 延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH①DF DC =。
中考数学复习《等腰三角形》测试题(含答案)
中考数学复习《等腰三角形》测试题（含答案）一、选择题(每题6分，共30分)1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是(B) A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(A) A．40°B．45°C．60°D．70°【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝35°，图23－1∴∠CBA＝70°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(B)A．36°B．54°图23－2 C．18°D．64°【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°.4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)A．6 B．7C．8 D．9【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.∵MN＝ME＋EN，∴MN＝BM＋CN.∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7 cm，∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，图23－3图23－4∴AN ＋NC ＋BC ＝7(cm)，∵AN ＋NC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝7(cm)， 又∵AC ＝4 cm ，∴BC ＝7－4＝3(cm)． 二、填空题(每题6分，共30分)6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__20__.7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图23－6②，则此时A ，B 两点之间的距离是__18__cm.图23－6【解析】 ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝__15__°. 【解析】 ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠AED ＝90°，∴∠A ＝∠ABD ， ∵∠ADE ＝40°，图23－5图23－7∴∠A＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C ＝12(180°－∠A)＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB 与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.图23－8 图23－910．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.三、解答题(共8分)11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.图23－10证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC.又∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作图23－11为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)解：(2)选择①③⇒②，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.图23－12证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，在△AEF 与△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ， ∴AF ＝2CD .14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连结DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF ＝FD . 求证：AD ＝CE .图23－13证明：如答图所示，作DG ∥BC 交AC 于G ，则∠DGF ＝∠ECF ，在△DFG 和△EFC 中，第14题答图⎩⎪⎨⎪⎧∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC ，FD ＝EF ，∴△DFG ≌△EFC (AAS )， ∴GD ＝CE ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∴∠A ＝∠ADG ＝∠AGD ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴AD ＝GD ， ∴AD ＝CE .。
初中数学综合复习等腰三角形(含等边三角形)部分4
初中数学综合复习等腰三角形（含等边三角形）部分4一、选择题1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°．则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是A、85°B、80°C、75°D、70°【答案】A3.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是( )A．(12)n·75°B．(12)n－1·65°C．(12)n－1·75°D．(12)n·85°【答案】C4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y＝﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？()A1A2A3A4CBDEF…第11题图第10题图AB CDEA ．2B ．3C ．4D ．5分析：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ．由AB ＝BC ，△ABC ≌△DEF ，就可以得出△AKC ≌△CHA ≌△DPF ，就可以得出结论．解：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ． ∴∠DPF ＝∠AKC ＝∠CHA ＝90°． ∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠BCA ． 在△AKC 和△CHA 中。
中考数学复习专项之等腰三角形(含答案)
等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.16 B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2022浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论： ①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ． 其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ,D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为 A ． 2 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】A5. （2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD 对折，得折痕PQ ，再沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2（第1 题图）FED C 1C BAA 1第2题图A BD′ P CD M NE C′Q F第6题CA PBDC.3D.4 答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D7、 (2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ， 使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）． 答案：①②④4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____ . 1.57．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标分别为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。
初二年级奥数三角形测试题及答案
【导语】三⾓形是由同⼀平⾯内不在同⼀直线上的三条线段‘⾸尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应⽤。
常见的三⾓形按边分有普通三⾓形（三条边都不相等），等腰三⾓（腰与底不等的等腰三⾓形、腰与底相等的等腰三⾓形即等边三⾓形）；按⾓分有直⾓三⾓形、锐⾓三⾓形、钝⾓三⾓形等，其中锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形统称斜三⾓形。
下⾯是为⼤家带来的初⼆年级奥数三⾓形测试题及答案，欢迎⼤家阅读。
⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）1.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直⾓三⾓形的是（）．A. 6，8，10B. 8，15，17C. 1，√3，2D. 2，2，2√3【答案】D2. P为△ABC外部⼀点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法的是( )A. 在∠DBC的平分线上B. 在∠BCE的平分线上C. 在∠BAC的平分线上D. 在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上【答案】D3.在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂⾜分别为E，F，则下列四个结论中：①AB上任⼀点与AC上任⼀点到D的距离相等；②AD上任⼀点到AB，AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C4. 到三⾓形三个顶点距离相等的点是（ ）A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条⾼线的交点C. 三条边的中线的交点D. 三条⾓平分线的交点【答案】A5. 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）A. AB=2BDB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. ∠B=∠C【答案】A6. 等腰三⾓形⼀腰上的⾼与另⼀腰的夹⾓是50°，则这个等腰三⾓形的底⾓为（ ）A. 70°B. 20°C. 70°或20°D. 40°或140°【答案】C7.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（）A. 6B. 3C. 9D. 12【答案】C8.有A、B、C三个居民⼩区的位置成三⾓形，现决定在三个⼩区之间修建⼀个购物超市，使超市到三个⼩区的距离相等，则超市应建在( )A. 在AC、BC两边⾼线的交点处B. 在AC、BC两边中线的交点处C. 在∠A、∠B两内⾓平分线的交点处D. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处【答案】D9.OD平分，则的度数是（）A.5°B.16°C.18°D.24°【答案】A10.Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A⼆、填空题（每⼩题3分，共30分）11.等腰三⾓形的底⾓是50°，则顶⾓的度数为__________【答案】80°12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂⾜为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是_____．【答案】12cm13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M在AB上，且∠ACM＝∠BAC，则CM的长为_______．【答案】9；14.等腰三⾓形的⼀边是7，另⼀边是4，其周长等于__________.【答案】15或1815.如图，在平分，则的度数是__________．【答案】30°16. 在△ABC中，AD是它的⾓平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝_______．【答案】3:2；17.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE= ．【答案】71°．18. 等边三⾓形是⼀个轴对称图形，它有条对称轴．【答案】3等腰三⾓形⼀腰上的⾼与另⼀腰的夹⾓是28°，则顶⾓是．【答案】62°或118°20.已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三⾓形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为．【答案】32【解析】三、解答题21. （7分）点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，求∠AOD的度数．【答案】110°22. （7分）尺规作图：如图所⽰，直线、、为围绕区域的三条公路，为便于公路维护，需在区域内筹建⼀个公路养护处，要求到三条公路的距离相等，请利⽤直尺和圆规确定符合条件的点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．23.（7分）在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC平分∠ACD.试题解析：过点O作OE⊥AC，∴OE=OB ⼜∵点O为BD的中点∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD．24. （7分）在△ABC中，AB=AC，BD是⾓平分线，BD=AD，求∠A的度数．【答案】∠A=36°25. （10分）在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的⾼，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】证明略．26. （10分）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①⽤含x的代数式表⽰∠EOF;②求∠AOC的度数．【答案】（1）55°；（2）①∠FOE= x;②100°．27. （12分）已知P点是∠AOB平分线上⼀点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂⾜为C、D．（1）求证：∠PCD＝∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线.试题解析：（1）∵OP是∠AOB的⾓平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC；（2）∵OP是∠AOB的⾓平分线，∴∠COP＝∠DOP，∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∴点O在CD的垂直平分线上，∵PC＝PD，∴点P在CD的垂直平分线上，∴OP是CD的垂直平分线.。
八年级数学全等三角形考试题-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试
八年级数学全等三角形考试题-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第十三章全等三角形一、概念：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.二、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.三、三角形全等的条件：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线.求证：△ABD△△ACD例2.如图所示，直线AD、BE相交于点C，AC=DC，BC=EC.求证：AB=DE例3.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, △B=△C.求证：AD=AE例4.如图，AB△BC, AD△DC, △1=△2.求证：AB=AD练习：1. 如图（1），如果△AOC △△BOD，则对应边是__________，对应角是_____________；如图（2），△ABC△ △CDA，则对应边是_____________，对应角是_______________；2. 已知△，A与，与是对应顶点，的周长为10cm，AB =3cm，BC =4cm.则= cm，=cm，=cm.3. 已知△，A与D，B与E分别是对应顶点，，，BC=15cm，则=，FE = cm.4. 已知，如图，△AEC△ △ADB,△BEC △△CDB.你能写出它们的对应边和对应角吗？5. 如图，点E, F在BC上，BE=CF, AB=DC, △B=△C.求证: △A=△D6. 如图，△ABC△ ，和是对应角，AB= AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角.A△ABC△7. 如图，△ABC △△A′B′C′，△C =25°,BC =6cm, AC=4cm, 你能得出△A′B′C′中哪些角的大小、哪些边的长度？8. 如图，△ABD△ △EBD, △DBE △△DCE, B, E, C在一条直线上.（1）BD是△ABE的平分线吗？为什么？（2）DE△BC吗？为什么？（3）点E 平分线段BC吗？为什么？9. 将一几何图形放在平面镜前，则该图形与镜子里的图形全等，因为它们的______________相同10. 如图，AB=CD，AD=BC，O为BD上任意一点，过O点的直线分别交AD，BC于M、N点.求证：11. 如图在和中，点A，E，F，C在同一条直线上有下面四个论断：（1）AD=CB ，（2）AE =CF ，（3），（4）AD//BC .请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.12. 填空题：(1)如图1，已知:AC=DB，要使△，只需增加一个条件是_________.(2)如图2,已知:中，，AM平分，CM=20cm那么M到AB的距离是.(3)如图3,已知:在和中，如果AB=DE，BC =EF，只要找出=或=或//，就可证得△.（4）.已知:如图4，AB =EB，△1=△2，△ADE =120°，AE、BD相交于F，则△3的度数为______．（5）.如图5, 已知：△1 =△2 , △3 =△4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB △△A EC , 根据是_________再证△BDE △△______ , 根据是__ ________．（6）.已知：如图6 , ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 , 则AD =___________．感谢阅读，欢迎大家下载使用！。
全等三角形测试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载_1
全等三角形测试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－全等三角形测试卷一．填空题1、能够____的两个图形叫做全等形。
2、如图1，已知AC=BD，，那么△ABC△，其判定根据是_____。
3、如右图，已知AC=BD，，请你添一个直接条件，= ，使△AFC△△DEB（图1）（图2）二、单项选择题4、如图2，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（）（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对5、下列四组中一定是全等三角形的为（）A．三内角分别对应相等的两三角形B、斜边相等的两直角三角形C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形D、三边对应相等的两个三角形6、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带________去配.().A.①B.②C.③D.①和②三、证明题7．已知M是AB的中点，△1=△2，△C=△D，求证：△AMC△△BMD；8、已知CE=CB，△1=△2，AC=DC，求证：△ABC△△DEC；9、已知：如图。
A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC△△DEF10、已知AB△DE，BC△EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC△△DEF；11、已知：BE△CD，BE=DE，EC=EA，求证：① △BEC△△DAE②DF△BC12、已知如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F点求证：（1）AD△BC（2）AF=BF．13、已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC△BD，且AC=DB，求证：CF=DE．感谢阅读，欢迎大家下载使用！。