垂径定理—知识讲解(基础)
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理
垂径定理基础知识：1、熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的优弧与劣弧。
①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧2、学会其推论：知其二便知其三。
②④⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦且平分弦所对的优弧与劣弧。
3、常用的辅助线：作直径、弦心距。
4垂径定理一、填空题。
1、直径为10cm的⊙O中一条弦长8cm，圆心O到弦AB的距离为。
2、已知⊙O的半径是10cm，点P满足PO=6cm，则过P点的最长弦长为，最短的弦长为。
3、一条弦分直径成2cm和6cm两部分，若此弦与该直径成45°角，则该弦长为。
4、在半径为6cm的⊙O中，弦AB＝6cm，则S△AOB= 。
5、圆的半径为2cm，圆的一条弦长为cm32，则此弦中点到所对劣弧的中点的距离为。
6、如图，⊙O的半径为7cm，弦AB的长为cm64，则由弧ACB和弦AB组成的弓形的高CD等于。
7、如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，则。
（只需写出一个正确结论）8、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D。
已知AB=2CD，AB 到圆心的距离CDOM21，则大圆与小圆半径之比为。
二、选择题。
1、如图，⊙O的直径AB于弦CD交于点M，AE⊥CD，BF⊥CD，若CM=4，MD=3，B F：AE=1：3，则⊙O的半径是（）A、4B、5C、6D、82、有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的弧；④圆的对称轴有无数条。
其中正确的判断有（）A、0B、1C、2D、3D﹒OBCA第６题图第7题图ED﹒OBCAF第8题图MC﹒OBA D3、如图，设⊙O 的半径为r ，弦AB 的长为a ，弦与圆心的距离OD 为d ，且 OC ⊥AB 垂足为D ，弓形高CD 为h ，下面的说法或等式：①h d r +=②22244a d r +=③已知r 、a 、h 、d 中的任何两个可求其他两个，其中正确的结论的序号有（ ）A 、仅①B 、②③C 、①②③D 、①②4、已知：如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，⊙O 的半径8cm ，则四边形 OACB 的面积为（ ）A 、2364cmB 、2332cmC 、2318cmD 、2316cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P ，35=CD ，25=OP ，则AC 的长为（ ）A 、56B 、36C 、35D 、55三、解答题。
垂径定理教案设计(2024)
课堂练习（10分钟）
布置相关练习题，让学生运用所 学知识解决问题，巩固学习效果 。
课程导入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
总结本节课的知识点和学习成果 ，鼓励学生在日常生活中运用所 学知识。
2024/1/29
6
2024/1/29
02
基础知识回顾
7
圆的性质及定义
2024/1/29
定义与性质讲解
详细解释垂径定理的定义 、性质及其在数学领域的 重要性。
图形演示
通过图形演示，直观地展 示垂径定理的原理和应用 。
4
教学目标与要求
知Hale Waihona Puke 与技能目标使学生掌握垂径定理的基本概念、性 质和应用方法，能够运用垂径定理解 决相关问题。
情感态度与价值观目标
激发学生学习数学的兴趣和热情，培 养学生的数学素养和创新精神。
2024/1/29
尝试将垂径定理与其他几何知 识点结合起来，探索新的解题 方法和技巧。
阅读相关数学文献和资料，了 解垂径定理的历史背景、发展 过程和在现代数学中的应用。
28
感谢您的观看
THANKS
2024/1/29
29
实际应用
垂径定理在实际生活中也有广泛 应用，如建筑设计、机械制造等
领域。
解题技巧
在解题过程中，要善于发现并利 用题目中隐含的垂径定理条件，
从而简化解题过程。
2024/1/29
14
04
典型例题解析与讨论
2024/1/29
15
简单应用题型举例
2024/1/29
01
已知圆的方程和直径，求垂直于 直径的弦的中点轨迹。
人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)
第11讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。
本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。
希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
课堂精讲精练【例题1】下列判断中，正确的是（）。
A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；任意两条直径互相平分，故B错误；同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。
讲解用时：3分钟解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。
垂径定理学案01
24.1.2 垂直于弦的直径一、基础知识1、圆既是 图形，又是 图形，圆的对称轴是 ，对称中心是 。
2、垂径定理： ；如图，转化为几何语言为： ∵CD 是直径， ；∴ 、 、 。
3、垂径定理推论： ；如图，转化为几何语言为： ∵CD 是直径， ；∴ 、 、 。
4、看下列图形，是否能使用垂径定理？5、如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ， 则⊙O 的半径为：；（2）弦AB 的长为6 cm ，⊙O 的半径为5 cm ，则圆心 O 到AB 的距离为：；（3）⊙O 的半径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为6 cm ， 则弦AB 的长为： ；（4）弦AB 的长为8 cm ，DE=2 cm ，则⊙O 的半径长 为： ；二、推广应用6、如图：若AB 、CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，那么 AC BD吗？请说明理由。
7、（1）以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB 交小圆C,D 两点，问：AC 与BD 的数量关系是： ；（2）如图：若将直径向下移动，变为非直径的弦AB ，交小圆于C,D 两点，（1）中的结论是否成立？为什么？（3）如图，将大圆去掉，已知：AC=BD ，求证：∠A=∠B ；8、如图, A 、B 、C 为⊙O 上三点, D 、E 分别为AB 、 AC 的中点, 连结DE 分别交AB 、 AC 于F 、G. 求证：AF ＝AG.9、半径为5cm 的圆中，两条平行的弦分别长为6cm 、8cm ，则这两条平行的弦间的距离为： 。
10、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是11、毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9这个小孔的直径AB 的长度是。
12、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，⊙O 的半径为5，BE=6， AE=2，求DM-CM 的长。
BBA B。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章圆的一部分，它是圆的性质中的重要定理之一。
本节课的主要内容是引导学生探究并证明圆中垂径定理，即圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
这个定理在解决圆的相关问题时具有重要作用，为学生进一步学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和证明有一定的理解。
他们对圆的概念和性质有一定的了解，但可能对垂径定理的理解还不够深入。
在学习本节课时，学生需要通过观察、思考、探究、证明等过程，理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究、证明等过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对垂径定理的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养坚持不懈、严谨治学的态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够通过证明过程，理解并掌握垂径定理的证明方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、探究、证明。
2.教学手段：利用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课引入：介绍垂径定理的概念，引导学生观察和思考垂径定理的性质。
3.探究与证明：学生分组进行探究，通过观察、实验、推理等方法，引导学生自己发现并证明垂径定理。
4.讲解与解释：教师对学生的探究结果进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
5.练习与巩固：学生进行一些相关的练习题，巩固对垂径定理的理解和运用。
6.总结与拓展：学生总结垂径定理的内容和证明方法，并进行一些拓展问题的讨论。
3.3 垂径定理
美术课件：/kejian/me ishu/
物理课件：/kejian/wul i/
生物课件：/kejian/she ngwu/
历史课件：/kejian/lishi/
A.16
B.20
C.8 3
D.8 5
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
3.(泸州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是
( B )
PPT模板：/moban/
PPT背景：/beijing/
(2)问经过几秒后,△APC是等腰三角形.
解:(1)过点O作OD⊥AC于点D,
易知OD平分AC,AO=5 cm,OD=4 cm,
从而AD=3 cm,AC=6 cm.
14
(2)经过 5 s 后,AC=PC,△APC是等腰三角形;
经过4 s后,AP=AC,△APC是等腰三角形;
经过5 s后,AP=CP,△APC是等腰三角形.
手抄报：/shouchaobao/
语文课件：/kejian/yuw en/
英语课件：/kejian/ying yu/
科学课件：/kejian/kexue/
化学课件：/kejian/huaxue/
为( D )
PPT模板：/moban/
PPT背景：/beijing/
PPT下载：/xiazai/
资料下载：/ziliao/
试卷下载：/shiti/
手抄报：/shouchaobao/
C.3 cm
D. 41 cm
8.(广州中考)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,
垂径定理的应用
试一试
2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (
√
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (
√
)(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O E C A P D
A O M
6、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为 AB上的一个动点，那么OP长的取值范 围 3cm≤OP≤5cm .
O A P B
二、分类讨论
1、已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A O B
D
A B
D
C
O
C
2、已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8 厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中 点的距离。
E
O
D
A B
O A
E
D
B
变式、如图a、b,一弓形弦长为 4 6
2cm或12cm ＿＿＿ ____＿.
cm，弓
形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为
C D
C
A
B
O A D 图b B
作业
1、如图，Rt△ABC中，∠C＝ 900，AC＝3，BC＝4，以点C为 圆心，CA为半径的圆与AB、BC 分别交于点D、E，求AB、AD的 长。 2、如图，⊙O中CD是弦，AB是
C
E A D B
第 1 题图
A O
直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
求证：CE＝DF.
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垂径定理—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
【思路点拨】
欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.
【答案】D ；
【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．
所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：
【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．
2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）
A ．MP 与RN 的大小关系不定
B ．MP ＝RN
C ．MP ＜RN
D ．MP ＞RN
【答案】B ；
【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，
而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，
如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，
∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．
【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.
举一反三：
【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】
【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒
∠=，
AD=13. 求弦BC 的长.
【答案】6.
类型二、垂径定理的综合应用
3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）
A．5m B．8m C．7m D．53m
【思路点拨】
解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．
【答案】B；
【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，
CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、D、O三点共线，且OC平分AB．
在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．
∴ OD＝5，
∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．
【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
【答案与解析】
如图，连接OC，
设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，
∵OE⊥CD，
∴CF=1
2
CD=
1
2
×600=300(m)，
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，
∴这段弯路的半径为545m．
【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．
举一反三：
【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，
R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，
解得R=34(m).
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，
342=162+(34-x)2，
x2-68x+256=0，
解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，
∴DE=4m＞3m，
∴不需采取紧急措施．。