垂径定理
垂径定理5个推论
垂径定理5个推论
1.垂径定理的第一个推论是：如果一个三角形的垂足恰好在其内部，那么这个三角形的内角和一定是小于180度的。
2. 垂径定理的第二个推论是：如果一个三角形的垂足恰好在其外部，那么这个三角形的内角和一定是大于180度的。
3. 垂径定理的第三个推论是：如果一个三角形的垂心和重心重合，那么这个三角形一定是等腰三角形。
4. 垂径定理的第四个推论是：如果一个三角形的垂心和外心重合，那么这个三角形一定是直角三角形。
5. 垂径定理的第五个推论是：如果一个三角形的垂心和内心重合，那么这个三角形一定是等边三角形。
- 1 -。
(2)垂径定理
垂 径 定 理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造R t △OAE ）。
概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧1．过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM 的长为（ ）A 、cmB 、cmC 、2cmD 、3cm2．已知：如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8cm,OC=5cm, 则DC 的长为：A 、3cmB 、2.5cmC 、2cmD 、1cm3．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米．3、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.4．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(a) (b) (c) 图3(1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 第一问答案（AB 与CD 交于 （AB 与CD 交于 （AB 与CD 平行）⊙O 外一点） ⊙O 内一点） 图2－11. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A. 5OM 3≤≤B. 5OM 4≤≤C. 5OM 3<<D. 5OM 4<< 4、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm. 5、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.6、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BACBDC OA B E FD 3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C =900，AC =5cm ，BC =12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－21. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.图6－14. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.9、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.10、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.11、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.12、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
初中数学 什么是垂径定理
初中数学什么是垂径定理
垂径定理是指在一个圆中，如果一条直径与另一条线相交，且相交点在圆上，那么这两条线段所夹的角一定是直角。
垂径定理也被称为圆的垂直性质。
下面我将详细介绍垂径定理的性质和证明过程：
性质：
1. 如果一条直径AB与另一条线段CD相交，且相交点E在圆上，那么角CED是一个直角。
证明过程：
我们将证明CED是一个直角。
首先，连接AE和BE，我们可以得到三角形AEC和BEC。
由于AE是半径，所以AE = BE，所以三角形AEC和BEC是等腰三角形。
由于等腰三角形的底角相等，所以∠CAE = ∠CBE。
另一方面，由于AB是直径，所以∠CAE和∠CBE是半圆对应的角，它们之和等于180°，即∠CAE + ∠CBE = 180°。
将上述两个等式结合起来，我们有∠CAE = ∠CBE = 90°/2 = 90°。
因此，我们得出结论，角CED是一个直角。
这就证明了垂径定理。
垂径定理的应用：
垂径定理在几何问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用情况：
1. 判断一个线段是否与圆相切垂直：如果一条线段与圆相交于圆上的点，且与圆的直径垂直相交，那么可以利用垂径定理判断这条线段与圆的关系。
2. 求解圆的切线问题：当我们需要求解一个圆上某点的切线时，可以利用垂径定理来确定切线与半径的关系，从而求解切线的斜率和方程。
3. 判断三角形的特性：当三角形的一个顶点位于圆上，且三角形的另外两个顶点与圆的直径相连，根据垂径定理，我们可以判断这个三角形是否为直角三角形。
希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
垂径定理
垂径定理知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
求： （1）BC 的长； （2）AB 边上高的长。
跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中正确的是（ ）A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D 、弦的垂线平分弦所对的弧。
∙例 1 图HE F GODCBA ∙例 2 图E O DCBA∙例 3 图OD CBA∙第1题图EDCBA 2、如图，⊙O 中，直径CD ＝15cm ，弦AB ⊥CD 于点M ，OM ∶MD ＝3∶2，则AB 的长是（ ）3、已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm ， 则AB 和CD 的距离是（ ） A 、2cm B 、14cm C 、2cm 或14cm D 、2cm 或12cm4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ） A 、1 B 、23 C 、2 D 、25二、填空题：1、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。
垂径定理计算公式
垂径定理计算公式
「垂径定理」是几何中的基础定理，它表明了从垂足A到点P的垂径和从垂足A到点Q的垂径的乘积，等于对应的点P和Q的连线的平方。
下面我就来讲述一下垂径定理的计算公式。
首先，我们必须了解垂径定理的基本概念，即AB为一直线，A
为垂足，P为直线上点，Q为垂线上点，以及AP和BQ两条垂线。
垂径定理的计算公式为：AP*BQ=PB^2
其中，AP为从垂足A投影到点P的垂线，BQ为从垂足B投影到
点Q的垂线，而PB为从点P到点Q的直线，^2表示平方运算。
计算垂径定理的公式时，首先应计算相应的垂线的长度，例如
AP的长度为a，BQ的长度为b。
然后，可以用公式a*b=PB^2计算出PB的长度，即从点P到点Q的距离。
在一般的教学和习题中，可以有以下几种应用方法。
首先，可以利用垂径定理来计算平行四边形中任意两条边的长度，其中一边知道，另一边未知。
例如，若已知直线AB，以及M为其中
一点，则可以求出MN的长度。
另一种应用，是利用垂径定理求解三角形的内角。
有时候，我们需要求解的三角形的内角未知，仅知道三条边的长度时，则可以利用垂径定理来计算。
最后，垂径定理也可以用于求解椭圆的参数和椭圆上的点。
由于椭圆是以双曲线形式出现的，双曲线一端的点都是到椭圆中心的距离相等，则可以用垂径定理来计算双曲线上点的坐标，从而得到椭圆参
数。
以上就是关于垂径定理计算公式的全部内容，希望能够对读者有所帮助。
垂径定理在几何中有许多有趣的应用，如本文所提到的，通过深入的学习，可以更好地理解垂径定理。
垂径定理及其10个推论
垂径定理是指，在一个曲线上，任意一点到曲线的切线的距离都是一样的。
它的10个推论是：1）曲线的切线方程是垂径定理的特例；2）曲线的切线方程可以由垂径定理推导出来；3）曲线的切线方程的斜率是曲线的切线的斜率；4）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；5）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；6）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；7）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；8）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；9）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；10）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根。
垂径定理
（1） 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2） 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧. （3） 圆中最长弦和最短弦问题（4）弧、弦、弦心距、圆心角关系定理:在等圆或同圆中,相等圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.（5） 弧、弦、弦心角、圆心角关系定理推论: 在等圆或同圆中 ,如果两个圆心角,两条弧,两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（6） 圆周角定理: 在等圆或同圆中 ,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.（7） 切线的判定定理:经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （8） 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. （9） 在等圆或同圆中 ,同弦所对的圆周角相等或者互补.（10） 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.∙习题练习∙1. 过o 内一点M 的最长的弦为10cm,最短的弦长为8cm,求OM 的长?2. 若两圆的半径分别为３cm 和 4 cm ，则这两个圆相切时圆心距为3. 如图，已知A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若∠ACB=44°，则∠AOB 的度数为4.如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm 。
5. 如图，矩形ABCD 中，BC= 2 , DC = 4．以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则阴影部分的面积为 (结果保留л）6. 林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知∠BAC ＝６０°,ＡＢ＝０.5米，则这棵大树的直径为 _________米．7.在o 中,90的圆心角所对的弧长是2πcm,则o 的半径是________cm.确定圆的条件不共线的三点确定一个圆三角形的外接圆 圆与圆有关的位置关系圆的定义,弧、弦等概念点和圆的位置关系点在圆上d r ⇔=点在圆外d r ⇔>点在圆内d r ⇔<判定性质 切线长定理三角形的内切圆相交d r ⇔<相切d r ⇔= 相离d r ⇔>直线与圆的位置关系基本性质垂径定理及其推论圆的对称性弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论 圆周角定理及其推论相交R r d R r ⇔-<<+ 相切的两圆的连心线过切点 相交的两圆的连心线垂直平分相交弦外离d R r ⇔>+ 内含d R r ⇔<+ 外切d R r ⇔=+ 内切d R r ⇔=-相交 相切相离圆与圆的位置关系圆内接正多边形正多边形与圆正多边形的有关计算圆内接正多边形作法----等份圆扇形的弧长、面积正多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的正三、六、十二边形 正四、八边形180n Rl π=213602n R S lR π==扇形 正多边形和圆。
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垂径定理
垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如右图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC。
1定义
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
2证明
如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
垂径定理证明图
证明：连OA、OB分别交于点A、点B.
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC
∴弧AC=弧BC
3推论
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦(不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心
4有关性质
知识点
圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质
大纲要求
1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。
一个
圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半
径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的
圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；
6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”
③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径
定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
5常见题型
1．判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解。
如：下列语句中，正确的有（）
(A)相等的圆心角所对的弧相等(B)平分弦的直径垂直于弦
(C)长度相等的两条弧是等弧(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
答案为D，
解析：
其中A和C都少了同圆的限定条件。
如果是两个半径不同的圆内，即使是弧对应圆心角相等或弧的长度相等也不能得到弧相等。
B错在弦可以是特殊弦：直径。
如果是直径平分直径，结论是直径并不都相互垂直。
2．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。
此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。