粒子滤波原理及应用matlab仿真

粒子滤波原理及应用matlab仿真
一、引言
粒子滤波（Particle Filter）是贝叶斯滤波（Bayesian Filter）的一种
扩展，用于解决非线性和非高斯问题。

它是一种基于蒙特卡罗方法的
状态估计算法，可以用于目标跟踪、机器人定位、信号处理等领域。

本文将详细介绍粒子滤波的原理及其在matlab中的应用。

二、贝叶斯滤波
贝叶斯滤波是一种基于贝叶斯定理的概率推断方法，用于估计状态变
量在给定观测值下的后验概率分布。

其核心思想是将先验概率分布和
观测数据结合起来，得到后验概率分布。

具体地，在时间步k时刻，假设状态变量为x(k)，观测变量为y(k)，
则根据贝叶斯定理：
P(x(k)|y(1:k)) = P(y(k)|x(k)) * P(x(k)|y(1:k-1)) / P(y(k)|y(1:k-1))
其中，P(x(k)|y(1:k))表示在已知前k个观测值下x(k)的后验概率分布；P(y(k)|x(k))表示在已知x(k)时y(k)的条件概率分布，也称为似然函数；P(x(k)|y(1:k-1))表示在已知前k-1个观测值下x(k)的先验概率分布；
P(y(k)|y(1:k-1))表示前k-1个观测值的边缘概率分布。

三、粒子滤波基本原理
粒子滤波是一种基于贝叶斯滤波的蒙特卡罗方法，它通过在状态空间
中随机采样一组粒子来近似表示后验概率分布。

每个粒子都代表一个
可能的状态变量，其权重反映了该状态变量与观测值之间的匹配程度。

具体地，在时间步k时刻，假设有N个粒子{ x(1), x(2), ..., x(N) }，则每个粒子都有一个对应的权重w(i)，且满足：
∑ w(i) = 1
根据贝叶斯定理可得：
P(x(k)|y(1:k)) = P(y(k)|x(k)) * P(x(k)|y(1:k-1)) / P(y(k)|y(1:k-1))
其中，P(y(k)|x(k))和P(x(k)|y(1:k-1))可以通过系统模型和观测模型计
算得到。

因此，我们只需要考虑如何从先验概率分布P(x(k)|y(1:k-1))
中采样出一组粒子，并计算它们的权重。

具体地，粒子滤波的算法流程如下：
1. 初始化：根据先验概率分布P(x(0))，随机采样N个粒子{ x(0,1),
x(0,2), ..., x(0,N) }；
2. 预测：根据系统模型x(k) = f(x(k-1),u(k))+v(k)，对每个粒子进行状
态预测，并添加一定程度的高斯噪声v(k)，得到新的状态变量{ x'(k,1), x'(k,2), ..., x'(k,N) }；
3. 权重更新：根据观测模型y(k) = h(x(k))+w(k)，计算每个粒子与观测值之间的匹配程度，并更新其权重w(i)，即：
w(i) = P(y(k)|x'(k,i))
4. 重采样：根据每个粒子的权重，进行有放回抽样，得到新的一组粒子{ x(k,1), x(k,2), ..., x(k,N) }。

其中，较大权重的粒子被选中的概率较大，而较小权重的粒子被选中的概率较小。

5. 输出估计值：根据最终的一组粒子，可以得到后验概率分布的近似值，即：
P(x(k)|y(1:k)) ≈ ∑ w(i) * δ(x(k)-x(k,i))
其中，δ表示Dirac函数，即在x=k时为1，在其他时刻为0。

四、粒子滤波实例
下面以一个简单的例子来说明粒子滤波的应用。

假设有一个机器人在二维平面上运动，其状态变量为位置坐标（x,y）和方向θ。

观测变量为机器人与目标之间的距离和角度差。

我们需要利用观测值来估计机器人的位置和方向。

首先，我们需要构建系统模型和观测模型。

假设机器人的运动模型为：
x(k) = f(x(k-1),u(k))+v(k)
其中，u(k)表示控制输入（如速度、转向角度等），v(k)表示高斯噪声。

由于机器人可以沿着任意方向移动，因此其运动模型可以表示为：
x(k) = [ x(k-1)+v*cos(θ(k-1)+u(1)); y(k-1)+v*sin(θ(k-1)+u(1));
θ(k-1)+u(2)+w ]
其中，w表示高斯噪声。

接下来，我们需要构建观测模型。

假设机器人到目标点的距离为r，角度差为φ，则观测模型可以表示为：
y(k) = h(x(k))+w
其中，
h(x(k)) = [ sqrt((x(k)-p(1))^2+(y(k)-p(2))^2); atan2(y(k)-p(2),x(k)-
p(1))-θ(k) ]
其中，p表示目标点的位置。

接下来，我们可以使用matlab来实现粒子滤波算法。

具体实现步骤如下：
1. 初始化：根据先验概率分布P(x(0))，随机采样N个粒子{ x(0,1),
x(0,2), ..., x(0,N) }；
2. 预测：根据系统模型x(k) = f(x(k-1),u(k))+v(k)，对每个粒子进行状态预测，并添加一定程度的高斯噪声v(k)，得到新的状态变量{ x'(k,1), x'(k,2), ..., x'(k,N) }；
function [X_new] = predict(X,u,v)
X_new(:,1) = X(:,1)+v.*cos(X(:,3)+u(1));
X_new(:,2) = X(:,2)+v.*sin(X(:,3)+u(1));
X_new(:,3) = X(:,3)+u(2)+w;
end
其中，X表示当前时刻的所有粒子，u表示控制输入（速度和转向角度），v和w分别表示运动模型和观测模型中的高斯噪声。

3. 权重更新：根据观测模型y(k) = h(x(k))+w，计算每个粒子与观测值之间的匹配程度，并更新其权重w(i)，即：
function [W] = update_weight(X,y,p)
r = sqrt((X(:,1)-p(1)).^2+(X(:,2)-p(2)).^2);
phi = atan2(X(:,2)-p(2),X(:,1)-p(1))-X(:,3);
W = exp(-(r-y(1)).^2/(2*sigma_r^2)-(phi-
y(2)).^2/(2*sigma_phi^2));
end
其中，X表示当前时刻的所有粒子，y表示当前时刻的观测值，p表示目标点的位置，sigma_r和sigma_phi分别表示距离和角度差的高斯噪声方差。

4. 重采样：根据每个粒子的权重，进行有放回抽样，得到新的一组粒子{ x(k,1), x(k,2), ..., x(k,N) }。

其中，较大权重的粒子被选中的概率较大，而较小权重的粒子被选中的概率较小。

function [X_new] = resample(X,W)
N = size(X,1);
W_cumsum = cumsum(W);
X_new_idx = zeros(N,1);
for i=1:N
X_new_idx(i) = find(rand<=W_cumsum,1,'first');
end
X_new = X(X_new_idx,:);
end
其中，X表示当前时刻的所有粒子，W表示每个粒子的权重。

5. 输出估计值：根据最终的一组粒子，可以得到后验概率分布的近似值。

function [x_est] = estimate(X,W)
x_est = mean(X.*W,1)./sum(W);
end
其中，X表示当前时刻的所有粒子，W表示每个粒子的权重。

五、总结
本文介绍了粒子滤波的基本原理及其在matlab中的应用。

通过一个简单的机器人定位问题，我们可以看到粒子滤波算法在非线性和非高斯问题上具有很好的效果。

当然，在实际应用中，还需要考虑如何优化算法效率、如何处理异常情况等问题。