§3.4基本不等式 (第1课时)教学设计 公开课 (2)
3.4+基本不等式(1)教学设计
3.4 基本不等式（1）【教学目标】2a b ab +，了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程理解算术平均数、几何平均数的概念；会用不等式求一些简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.【教学重点】利用基本不等式求最值【教学难点】2a b ab +的推导及应用 一、知识引入如图所示，这是在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。
你知道这其中含有哪些数学因素吗？设小直角三角形的两条直角边为、a b ，则正方形的边长为 ，正方形的面积为 .四个直角三角形的面积和为 .问题1.比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？ 4正方形三角形S S ⨯<⇒ < .问题2.上式能否取到等号？什么时候取等号？当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 ,此时4正方形三角形S S ⨯=⇒ = .问题3.上式中,a b 的范围能扩大吗？问题4.你能给出证明吗？问题5.,a b 去替换上式结论中的,a b ，则,a b 需要满足什么条件？ 问题6.替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？二、基本不等式 问题7.你能给出证明吗？2a b ab +≤能不能直接利用不等式的性质来推导呢? (,0)2a b ab a b +≤>当且仅当a b =时等号成立思考：你能利用右边图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？ 若两个数a,b ,且00a ,b >>,2a b +叫做a,b 的算术平均数；ab 叫做a,b 的几何平均数.判断下列推理是否正确：（1）若a R ∈，则由1122a a a a +≥⋅=得1a a+的最小值是2. （2）若01,x <<则由(1)1(1)22x x x x +--≤=得(1)x x -的最大值是12. （3）若0x π<<，则44sin 2sin 4sin sin x x x x +≥⋅=得4sin sin x x+的最小值是4. （4）若,0a b >且18a b +=，则由2218()()8122a b a b +⋅≤==得a b ⋅的最大值是81. 问题8、由上题你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题？问题9、在求最值的过程中需要满足什么条件？三、典例剖析例1.陶渊明打算用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菊花园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短，最短篱笆是多少？例2. 陶渊明打算用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菊花园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大，最大面积是多少？四、归纳小结这节课学习了什么，有哪些方面的运用，运用的时候有什么限制条件？一个不等式的推导两种最值的研究三个条件的满足例2.（1）求4=+,(>0)y x x x 最值；（2）求4=+,(<0)y x x x 最值；（3）求4=+,(4)y x x x ≥最值；（4）求4=+,(>1)-1y x x x 最值；（5）求4=+(>1)2-1y x x x 最值；（6）求14145y x x =-+-（54x <）的最值.例3. （1）求函数=(1-),(0<<1)y x x x 的最值；（2）求函数=(1-),(12)y x x x ≤≤的最值；(3)求函数1=(1-2),(0<<)2y x x x 的最值;（4）y =的最大值.五、巩固练习一、选择题：1．若0x <，则函数11y x x =+-的最大值为（） (A) 2- (B) 3- (C) 4- (D) 5-2．设0x >，则函数133y x x =--的最大值为（）(A) 3 (B) 3-3-1-3．若实数,a b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）(A) 18 (B) 6 (C) 4．若0,0a b >>，且8a b +=，则22log log a b +的最大值为（ ）(A) 2 (B) 4 (C)5．下列函数中，最小值为2的是（ ） (A) 1(0)y x x x =+≠ (B) 1sin ,(0,)sin 2y x x x π=+∈(C)y =0)y x => 6．已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列各式中正确的是（ ） (A)114a b +≥ (B) 114a b+≤(C) 11a b +≥11a b+≤7．已知,a b ∈+R ，且2a b +=，则13a b +的最小值为（ ）(A) 4+2+8．已知0,0a b >>，则11a b++ ）(A) 2 (B) 4 (D) 5二、填空题：9．若矩形的周长为8cm ，则它的面积的最大值为 2cm ．10．函数1542()454y x x x =-+<-的最大值为 ，此时x = ． 11．已知正数,x y 满足811x y+=，则2x y +的最小值为 ，此时x = ，y = ．12．若31x y +=，则28x y+的最小值为 ，此时x = ，y = ． 13．若0,0x y >>，则2()x y xy+的最小值为 ． 三、解答题：14．若(0,)2x π∈，求函数224sin cos ()sin cos x x f x x x +=的最小值，并求()f x 取得最小值时tan x 的值．15．已知,x y ∈+R ，且410x y +=，求lg lg u x y =+的最大值，并求u 取得最大值时,x y的值．一、知识链接1．若01,01,且,a b a b <<<<≠则下列不等式中最大的是 （ ）A ．22a b +B ．a b +C ．2abD ．2．函数1()(,0)f x x x R x x=+∈≠的值域是（ ） A. [)2,+∞ B. (2,)+∞ C. R D. (,2][2,)-∞-+∞例3.已知的最小值求且y x y x y x +=+>>,191,0,0.。
基本不等式精品教案
问题1.如何利用弦图证明勾股定理？
勾股定理： ？
用面积关系证明相等，得 ， .即 .
问题2.如何利用面积关系猜想不等关系？
教师设置问题串引导学生思考。学生参与活动，积极完成老师布置的任务，回答老师的提问，自主完成思考。
从教材中数学文化背景赵爽“弦图”让学生从至真至善之美的角度直观感知数学图形对称美、和谐美。
2．在基本不等式的探究过程中体会数与形、放缩、类比、代换等思想方法；
3．构建基本不等式，解决简单函数的最值问题，体会用基本不等式求最值必须满足的三个条件（“一正”，“二定”，“三相等”）。
三、情感态度与价值观
培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯。感受数学的对称美、推理的严谨美、运算的简洁美，感悟与赏析数学文化。
【学情分析】
1.心理特征：上课班级为高级中学理科实验班学生。根据高级中学已有学生的数学学习素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，引导学生感受数学几何直观的美，欣赏数学对称美，领会数学运算的简洁美。本阶段学生处于青春期其心理特征对于新事物好奇心很强，喜欢不寻常的方法和事物。而博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。
2.知识层面：学生已经具备解一元二次不等式的能力,熟知比较大小的方法，并能灵活应用。通过赵爽“弦图”中面积关系中的相等关系，转化为不等关系提升学生的直观想象能力。几何画板的动态演示中学生可以直观感知猜想出不等关系。通过基本不等式的证明中让学生深深感受数形统一的辩证性。对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考，交流让思维的碰撞中产生知识应用的升华。
3.4基本不等式教学设计
《基本不等式》教学设计一、教材分析本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。
本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础， 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。
三、教学目标 1、知识与技能（1）掌握基本不等式，了解推导过程；（2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法(1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式；(2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观(1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。
四、教学重难点重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。
五、教法与学法教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。
同时利用PPT 辅助教学。
学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。
六、教学过程【环节一：巧设疑云，导入新课】【师生活动一】回顾：求函数f （x ）=x +1x 在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD 的面积S 和里面的四个小三角形面积之和S ’的大小，有怎样的不等关系？我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，正方形的面积为222b a S +=。
基本不等式公开课2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
基本不等式 （均值不等式）
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数（均值不 等式） 从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
3.几何证明:
ab 证明:当 a 0, b 0 时, ab . 2
基本不等式 （均值不等式）
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数（均值不 等式） 从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项 3.几何证明:3.几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
2.代数证明:
二、新课讲解
如果用 a , b去替换 a b 2ab中的 a, b, 能得到什么结论? a , b 必须要满足什么条件?
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
一、引入
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案 中找出一些相等关系或不 等关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
a b
2
2
b
G F E C H
a b 面积S=＿＿＿＿＿
2
2
２、四个直角三角形的
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
三、应用
发现运算结构，应用不等式
2
ab ab （a 0, b 0） 2
ab ab （a 0, b 0） 2
练2、已知 0 x 1 ,求函数 y x(1 x ) 的最大值.
四、小结
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
2、数学思想：数学建模、数形结合、类比推理、融汇贯通 灵活应用
基本不等式教学设计
就本节地位与作用而言，“基本不等式”是在学生学习了“不等式性质”的基础上对不等式的进一步研究与拓展，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、和归纳，是培养学生数学核心素养的良好载体。
就本节教材编写而言,教材一开始以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，意图让学生从中抽象出基本不等式，并在此基础上分别从代数和几何的角度引导学生认识基本不等式，并设计了两个实际问题，让学生感受基本不等式的应用价值。
本节课是基本不等式的第一课时，主要应为基本不等式的形成与证明，并为下课时的应用奠定基础。
问题一：你还记得利用“赵爽弦图”证明勾股定理的过程吗？问题二：你能在弦图中找出面积间的不等关系吗？
归纳：对于两直角边a、
探究四：抽象归纳、几何证明
D 篱笆最短，最短的篱笆是多少？
总结：和定积最大，积定和最小
探究六：反思总结、形成方法
问题：我们本节课学习了哪些知识与方法？预设结论：
1、重要不等式
基本不等式。
3.4《基本不等式》优质课教案
3.4《基本不等式》教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
２、教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
３、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。
通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。
让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
（展示风车）正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ ＢＣ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab+≥222a b ab+≥设计意图（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。
3.4.1基本不等式(1)教案
3.4.1 基本不等式2a b +≤(1)教案 本节课是通过让学生观察第24届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.教师通过一系列问题引导学生得出基本不等式：2b a ab +≤，然后让学生从两个不同的角度分别运用自主探索和交流讨论的方法对基本不等式展开证明.整个教学过程中教师要发挥好引导的作用，使学生主动参与课堂，乐于探究知识，在与同学的交流合作中学习知识整个教学过程始终要注重培养培养学生数形结合、逻辑分析、独立思考、交流合作、口头表达能力和归纳总结能力整个教学过程都要鼓励学生对数学知识和方法积极探索，激发学生的学习兴趣.教学重点 1.创设几何情景，运用数形结合的思想从感性上认识基本不等式；2.从不同角度探究基本不等式的证明.教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的代数证明方法探索和数形结合思想方法的运用.教具准备 多媒体及课件投影仪教学目标1、知识与技能目标：创设几何背景，培养学生从实际问题中观察抽象出数学图形的能力；尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程，培养学生独立思考、类比、归纳、逻辑分析、合作交流、探究能力.2、过程与方法目标：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
不等式的证明要注重严密性，教师要引导学生学会自主探究、交流合作和逻辑分析，培养学生养成严谨的数学学习习惯和良好的数学思维习惯.3、情感态度与价值观目标：通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。
引导学生对问题进行独立探究和交流合作，培养学生主动钻研和团结协作的学习品质，从而提高学习质量。
通过对数学难题的解决，让学生充分体会数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程1、新课引入探究1：（师生合作探究）下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
教案：3.4基本不等式(1)
必修5 3.4 基本不等式（学案） （第 1 课时）【教学目标】1．了解基本不等式的证明过程； 2. 掌握基本不等式成立的条件； 3. 会应用基本不等式求最值． 【重点】1. 掌握基本不等式成立的条件；2. 会应用基本不等式求最值． 【难点】1.抓住定值进行变形应用基本不等式求最值．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 97 页～第 99 页）1．在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD 的面积为22a b +，四个直角三角形的面积为2ab ；由这两个面积的大小关系 可得基本不等式222.a b ab +≥其中等号成立的条件为.a b =2.如果0,0a b >>,a b ，222a b ab +≥可得基本不等式a b +≥.3．分析法证明a b +≥a b +≥a b +-0≥，即证20,≥当且仅当a b =时，等号成立．4．a b +≥可化为ab ≤ 2()2a b + （0,0a b >>）；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（1）0,0a b >>；（2）积或和为定值；（3）当且仅当a b =时，等号成立，即记为“一正，二定，三相等” ．5.正数,a b 的算术平均数是2a b+；正数,a b ；正数,a b 的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【基础练习】1．下列不等式成立的是().D()A2a b +≥()B 2a b +≤()C 12x x+≥()D 2212x x +≥． 2．0,x >当x 为 1 时，1x x+的值最小，且最小值为 2 ．3.已知函数2213y x x =+，当x= 时，2213y x x =+有最小值为 4．已知且，则的最小值为 2 ．【典型例题】例1 已知,x y 都是正数，求证：如果积xy 是定值，那么当x y =时，和x y +有最小值【审题要津】从基本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到．证明:0,0,2x yx y +>>∴≥当且仅当x y =时，等号成立．因此当x y =时，和x y +有最小值【方法总结】当两正数的积为定值时，和有最小值；应用该结论时注意前提条件：正数、定值、等号成立；其中定值是解题的关键，注意变形及应用． 【变式练习】 （1）求函数4(0)y x x x=+>的最小值___4____． （2）求函数的最大值___-2____．（3）已知，求函数的最小值_4___．（4）已知，不等式恒成立，则实数的范围4a ≤.例2 已知,x y 都是正数，求证：如果和x y +是定值，那么当x y =时，积xy 有最大值21.4s 【审题要津】从基本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到．证明：0,0,2x y x y +>>∴≥2.2x y xy +⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭当且仅当x y =时，等号成立． 因此当x y =时，积xy 有最大值21.4s【方法总结】当两正数的和为定值时，积有最大值；应用该结论时注意前提条件：正数、定值、等号成立；其中定值是解题的关键，注意变形及应用．【变式练习】1.已知0,0x y >>且2x y +=，则xy 的最大值为 1 .2. 已知02,x <<则(2)y x x =-的最大值 1 .3. 已知20,3x <<求(23)y x x =-的最大值.解：1(23)3(23)3y x x x x =-=⨯-，23133(23)2x x x x +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，111.3412y ∴≤⨯=故(23)y x x =-的最大值13.例3 （1） 已知,,a b c 都是实数，求证：()22221;3a b c a b c ab bc ac ++≥++≥++ （2）设,,a b c 都是正数，求证：.bc ca ab a b c a b c++≥++ 【审题要津】从要证明的不等式入手，分析是将和转化为积，还是将积转化为和；从而利用基本不等式中去思考、变形、化简得到．证明：（1）2222222,2,2,a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥2222()222a b c ab bc ac ∴++≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅①即222a b c ab bc ac ++≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅②在①式两边同时加上222a b c ++得()22223().a b c a b c ++≥++即()22221.3a b c a b c ++≥++ 在②式两边同时加上222ab bc ac ++得()()23.a b c ab bc ac ++≥++即()()21.3a b c ab bc ac ++≥++ ()22221.3a b c a b c ab bc ac ∴++≥++≥++（2）,,a b c 都是正数，,,bc ac aba b c∴都是正数． 2,2,2.bc ac ab bc ab ac c b a a b c a c b∴+≥+≥+≥ 相加得2()2().bc ca aba b c a b c ++≥++ 故.bc ca ab a b c a b c++≥++ 【方法总结】证明不等式时，要学会分析、探索条件与结论的关系，正确利用基本不等式进行积与和的转化．1．下列推理过程正确的是().D()A 若,,a b R ∈则2b aa b+≥=()B 若0,x >则1cos 2cos x x+≥=()C 若0,x <则44x x +≤=()D 若,,0,a b R ab ∈<则2b a a b abb a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2. 下列函数中最小值为4的是().C()A 4y x x =+4()sin (0)sin B y x x xπ=+<< ()C 343x x y -=+⨯()D lg 4log 10.x y x =+3. 已知01,x <<求(33)y x x =-的最大值时x 的值().B()A 13 ()B 12 ()C 34()D 23.4. 已知,,3,a b R a b ∈+=则22ab+的最小值是().B()A6 ()B ()C ()D 5. 设1,x >-，函数2221x x y x ++=+的图象最低点的坐标为().D()A (1,2) ()B (1,2)- ()C (1,1)()D (0,2).6. (1)若，的最__小__值为__12___,此时=__2__.(2)若，的最__大__值为__-12___,此时=__-2____.7. (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取 6 时，它们的和最小． (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取 9 时，它们的积最大． 8.. 若1,1x y >>，则log log x y y x +的取值范围 [)+∞,2.9. 设1,x >-求函数()()521x x y x ++=+的最小值.解：1,10.x x >-∴+>()()()252710415111x x x x y x x x x ++++∴===++++++.59.y ∴≥=故函数()()521x x y x ++=+的最小值为9.10. 求43lg lg y x x=++的值域. 解：当1x >时，lg 0,x>37.y ∴≥+= 当01x <<时，lg 0,x<3 1.y ∴≤-=- 故43lg lg y x x=++的值域为{}7,1.y y y ≥≤- 11. 已知,a b 都是正数，求证： 22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.2a b +≤得2()2a b ab +≤. ()22222220,2244a b a b a b a b ab -+++-⎛⎫-==≥ ⎪⎝⎭222.22a b a b ++⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭222.22a b a bab ++⎛⎫∴≤≤⎪⎝⎭12. 已知,aba b c++证明：,222a b c bc aab +++≤≤≤ .222a b b c a ca b c +++++≤++由（1）知222222222,,,222222a b a b c b c b a c a c++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222a b c b a c +++∴≤≤≤222a b c b a c a b c +++∴++=≤a b c ++1. （2007年山东）函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A,若点A 在直线10mx ny +-=上，则11m n+的最小值是 4 .2. （2007年北京）如果正数满足，那么().A()A ab c d ≤+，且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一()B ab c d ≥+，且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一()C ab c d ≤+，且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一()D ab c d ≥+，且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.4基本不等式
2a b
ab +≤
(第1课时)
【教学目标】
1．知识与技能：学会掌握基本不等式，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会应用不等式
2a b
ab +≤
求某些函数的最值
2．过程与方法：通过例题的研究，会应用不等式
2a b
ab +≤
求某些函数的最值
3．情态与价值：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
【教学重点】
掌握基本不等式2
a b
ab +≤，会用此不等式求某些函数的最值
【教学难点】
利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教具准备】 多媒体及课件 【教学过程】
回顾旧知识，回忆不等式所学内容。
开始引入课题，今天要学两个不等式。
一．引导探究
由
0)(2
≥-b a ，可得0222≥-+ab b a 得到了一个不等式：22
2a b ab +≥。
得到结论：一般的，如果
)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
特别的，如果a>0,b>0,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b
ab +≤
二．归纳总结 1．重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：
如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 三.适当引导，探索拓展 在基本不等式基础上，引导学生是定值，求
最大值；
是定值，
求
最小值。
（由学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，
还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a
＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4
2
M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 四.例题示范，学会应用 例1:已知
且
，求
的最小值。
分析：在运用定理：ab
b
a ≥+2时，注意条件a 、
b 均为正数。
解：∵x ，y 都是正数 ∴由基本不等式得x ＋y ≥22=xy ， 当且仅当x=y=1时，取号""=。
∴的最小值为2.
变式（1）：求函数
的最小值。
解：∵x 是正数 ∴x 1＞0由基本不等式得x ＋x 1
≥221=•x x ，
当且仅当x=x 1，即x=1时取号""=。
∴x ＋x 1
的最小值为2.
变式（2）：求函数
224
sin sin y αα=+
的最小值。
解：令t=2
sin α，t ∈(0，1 ],原函数可化为
4
y t t =+
,t ∈(0，1 ]由对勾函数图
像可得
函数在t ∈(0，1 ]单调递减，故函数的最小值为f(1)=5.
点评：此题容易错解，2
sin α>0,
22
22
44sin 2sin =4sin sin y αααα=+
≥•，故最小值
为4.错误原因在于，当且仅当224
sin =
sin αα，即2
sin α=2，故sin α=2±（矛盾）
例2:
∵
∴xy ≤2
(
)12x y += 当且仅当x=y=1时，取号""=
∴xy 的最大值为1
∵2＞x ＞0 ∴2－x ＞0
∴x （2－x ）≤2
2(
)12x x +-=
当且仅当x=2－x ，即x=1时取号""= ∴函数y= x （2－x ）的最大值为1 变式2：已知
且2x+3y=4, 求xy 的最大值。
∵x ＞0 ,y ＞0∴2x ＞0 ,3y ＞0
∴S ＝61·2x ·3y ≤6
12232()23x y +=
当且仅当2x=3y=2，即
2
1,3
x y ==
时，取号""=
∴函数xy 的最大值为2
3
总结 让学生初步学会运用基本不等式并注意基本不等式适用范围及等号成立的条件。
四．巩固练习 (1)若
，
的最____值为_____,此时=______.
（2）已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋
2
81
x 的值最小?最小值是多少? （3）已知，求函数的最小值。
（4）
五.归纳小结，反思提高
提问：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？
②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？在学生回答的基础上，再由教师进行补充规范。
（先由学生小结，再在不当之处由教师点评，有利于学生构建自己的知识体系，形成知识的正向迁移） 本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。
通过这节先解决一些函数的最值问题。
下节课我们将继续探讨均值不等式在实际应用问题上的使用。
六.布置作业。
书面作业：P100 习题3.4：A组1，2，3
七．板书设计。