万有引力典型例题

万有引力典型问题

一、求未知天体的质量与密度

2

GM gR =黄金代换： 正球体体积公式：R V 334π=，密度公式：V M =ρ

例1、已知月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T ，月球到地心的距离为r ，试求出地球的质量和密度

例2、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ ）

A 、地球的质量G gR m 2=地

B 、太阳的质量22

3

224GT L m π=太 C 、月球的质量21

3124GT L m π=月 D 、可求月球、地球及太阳的密度

例题3、 如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?

二、与自由落体、抛体等运动的综合

星球表面的重力加速度一方面与星球有关(g =G ),另一方面又可以从相关运动规律(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的纽带。

例3、物体在一行星表面自由落下，第1s 内下落了9.8m ，若该行星的半径为地球半径的一半，那么它的质量是地球的 倍.

例4．设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为k （均不计阻力），且已知地球与该天体的半径之比也为k ，则地球与此天体的质量之比为 （ ）

A. 1

B. k

C. k 2

D. 1/ k

例5．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，射程为60m ，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为

A ．10m

B ．15m

C ．90m

D ．360m

例6、地球可视为球体，其自转周期为T,在它的两极处用弹簧秤测得某物体的重力为F,在赤道上用弹簧秤测得同一物体的重力为0.9F ，则地球的平均密度是多少？

三、 地球同步卫星

圆轨道在赤道平面，即在赤道的正上方；周期与地球自转周期相同，为24小时；绕行方向为自西向东。

同步卫星的特点： 定周期，定角速度，定速度，定轨道平面，定高度，定点 离地高度地R h 6.5=, 绕行速度：s km v /1.3= 周期：T=24h

例1. 我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24t ，在某一确定的轨道上运行。下列说法中正确的是（ ）

A. “亚洲一号”卫星定点在北京正上方的太空，所以我国可以利用它进行电视转播。

B. “亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合。

C. 若要发射一颗质量为2.48t 的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小。

D. 若要发射一颗质量为2.48t 的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号”卫星轨道半径一样大。

例2、在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同

C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同

例3、关于地球同步卫星下列说法正确的是（）.

①地球同步卫星和地球同步，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的

②地球同步卫星的地球的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小

③地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动

④以上均不正确

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D.②④

例4、地球半径为R，距地心高为h有一颗同步卫星，有另一个半径为3R的星球，距该星球球心高度为3h处一颗同步卫星，它的周期为72h，则该星球平均密度与地球的平均密度的比值为（）

A．1：9 B．1：3 C．9：1 D．3：1

例5. 我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年发射升空，经过4次变轨控制后，成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道，关于成功定点后，下列说法正确的是（）

A. 运行速度大于7.9km/s；

B. 离地面高度一定，相对地面静止；

C. 绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大；

D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度相等。

例6．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．

(1)求卫星B的运动周期；

(2)若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多少时间，它们再一次相距最近？

答案：(1)2π(R＋h)3

gR2(2)

2π

gR2

(R＋h)3

－ω0

四、 发射及变轨问题

宇宙速度：

① 第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km/s ．它是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具备的速度．

② 第二宇宙速度（脱离速度） V2=11.2km/s ．使物体挣脱地球束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度．

③ 第三宇宙速度（逃逸速度）V3=16.7km/s ．使物体挣脱太阳的引力束缚的最小发射速度，也称为“逃逸速度”。

1、发射速度：是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道．

① 宇宙速度均指发射速度

② 第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度。

2、运行速度：是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的速度，当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度．

例1．(2010·衡水模拟)为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月．如图所示为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R ，周期为T ，引力常量为G .根据题中信息，以下说法正确的是( )

A ．可以求出月球的质量

B ．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力

C ．“嫦娥一号”卫星在控制点处应减速

D ．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s

答案：AC

例2、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然

后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图20所示。则在卫星分别在

1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ D ） A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2

上经过Q 点时的加速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 上经过P 点时的加速度。

例3. 2004年1月国务院正式批准绕月探测工程，第一颗绕月卫星被命名为“嫦娥一号”，为月球探测后续工程积累经验。当宇宙飞船到了月球上空先以速度v 绕月球作圆周运动，为了使飞船较安全的落在月球上的B 点，在轨道A 点点燃火箭发动器作出短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为 （ ）

（A ）与v 的方向一致

P Q 1 2 3 图20 V B A

飞船