【公开课课件】高三解三角形复习课

【解】 在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得
cos
∠
ADC
＝
AD2＋DC2－AC2 2AD·DC
＝
1020＋×1360－×1696＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD 中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得 sin
∠ABADB＝sAinDB，
∴AB＝AD·sisnin∠B ADB＝1s0isnin456°0°＝10×2
3 2 ＝5
6.
2
类型一：利用正、余弦定理解三角形
点评：一般情况下， 1.正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： （1）已知两角和任意一边； （2）已知两边和其中一边的对角。 2.余弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知三边； （2）已知两边及夹角。
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C
(sin A a ) 2R
(sin B b ) 2R
(siຫໍສະໝຸດ Baidu C c ) 2R
角化为边
余弦定理及其推论：
a2 b2 c2 2bc cos A 推论 b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
例３、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b ＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 故 cosA＝－12，又 A∈(0，π)，故 A＝120°. (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC. 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝12. 因为 0°<B<90°，0°<C<90°，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形
例３ 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C 的对边，且2asin A＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 【思路点拨】:灵活运用转化思想：利用正弦定理或 余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关 系．
余弦定理解决的题型：
1、已知三边求三角.
cos 2的 其A、夹 他已两角b知角，2两.求边2c第b和2c三他边a们和2 cos B a2 c2 b2
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
角化为边
SABC

1 2
aha

1 2 bhb

1 2 chc
1
1
1
c
SABC 2 absin C 2 bc sin A 2 ac sin B
例 (本题满分 14 分)(2010 年高考浙江卷)在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
已知 cos2C＝－14. (1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sin A＝sin C 时，求 b 及 c 的长． 【解】 (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－14，所以 sinC
１.角之间关系 ２.边之间关系 ３.边角关系
C
b
正弦定理及其变形：
2R a
A
c
a

b

c
2R
B’
B
(R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
边化为角
变 形
a : b : c sin A: sin B : sinC
正弦定理解决的题型：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
类型三：与面积有关的问题
例4 在 ABC中,若cos A + B = 1－ cosC,
2 (1) 求角 C .
(2)若 1 +
tan A tan B
=
2c b
,且
c
=
4
,求 SABC
.
【点评】：
1．对于面积公式 S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA， 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． 2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦 定理，进行边角转化．
本章知识框架图
正弦定理
解三角形
应用举例
余弦定理
感悟 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本章节课的重点，利用
它们和三角形内角和、边、角之间的关系和三角函数的变形公 式去求解三角形、判断三角形的形状、以及利用它们解决一些 实际问题（如面积问题）．
2.解三角形由正、余弦定理、三角面积公式进行边角互化， 主要体现转化思想、方程思想、数形结合思想等灵活运用。
C
思考１：何谓解三角形？
a
b
B
c
A
一般地，把三角形的三个角A，B，C，及其 对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。
思考２：如何判断两个三角形全等？
ＡＡＳ，ＡＳＡ，ＳＡＳ，ＳＳＳ，ＨＬ ＳＳＡ？
思考３：三角形中角之间关系如何？边之间关 系如何？边角之间关系如何？
B
A
b
ha
aC
类型一：利用正、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中, 若a 1, c 3，C 600，求边b.
例２ 如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是 BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求 AB的长． 【思路点拨】 已知三角形ACD三边的长，可用 余弦定理求∠ADC，在△ABD中再用正弦定理求 解．
类型二：利用边角转化思想判定三角形形状
【点评】：正、余弦定理具有将三角形的“边”与 “角”互化的功效，判断三角形形状时，一般地，
将边角关系“转化”为边之间关系或角之间关系， 再判断．
三角形形状主要是：正三角形、等腰三角形、 直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注 意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别．
＝± 410，3 分
又 0<C<π，所以 sinC＝
10 4 .5
分
(2)当
a＝2,2sinA＝sinC
时，由正弦定理 a ＝ c sinA sin
， C
得 c＝4.8 分
由 cos2C＝2cos2C－1＝－14，且 0<C<π 得
cosC＝±
6 4 .10
分
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得