中考数学专题训练：方案设计型(含答案)

中考数学专题训练：方案设计型

考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、

1．某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．

(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?

解：(1)设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件， 根据题意，得

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100，15x ＋35y ＝2 700，解得：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝40，y ＝60. 答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件． (2)设商店购进甲种商品a 件，则购进乙种商品(100－a )件， 根据题意列，得

⎩

⎪⎨⎪⎧

15a ＋35(100－a )≤3 100，

5a ＋10(100－a )≥890，解得20≤a ≤22. ∵总利润W ＝5a ＋10(100－a )＝－5a ＋1 000，W 是关于x 的一次函数，W 随x 的增大而减小， ∴当x ＝20时，W 有最大值，此时W ＝900，且100－20＝80，

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80900元．

2．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：

(1)(2)记该用户六月份的用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式；

(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围． 解：(1)应缴纳水费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x ≤10时，y ＝1.5x ；

当10m 时，y ＝15＋2(m －10)＋3(x －m )＝3x －m －5.

∴y ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1.5x (0≤x ≤10)，2x －5 (10m ).

(3)当40≤m ≤50时，y ＝2×40－5＝75(元)，满足． 当20≤m <40时，y ＝3×40－m －5＝115－m ， 则70≤115－m ≤90，∴25≤m ≤45，即25≤m ≤40.

综上得，25≤m ≤50.

3．潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A ，B 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：

(1)求A ，B 两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；

(2)某种植户准备租20亩地用来种植A ，B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案．

解：(1)设A ，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝12 500，2x ＋3y ＝16 500.解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3 000，

y ＝3 500.

答：A ，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．

(2)设用来种植A 类蔬菜的面积为a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20－a )亩．

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

3 000a ＋3 500(20－a )≥63 000，

a ＞20－a .

解得10＜a ≤14.

∵a 取整数，为：11,12,13,14. ∴租地方案为：

4.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC 的空地（如图）进行改造，将它分割成△AHG 、△BHE 、△CGF 和矩形EFGH 四部分，且矩形EFGH 作为停车场，经测量BC=120m ，高AD=80m ，

（1）若学校计划在△AHG 上种草，在△BHE 、△CGF 上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？

7. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?

(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价-进价） 解：（1）设商店购买彩电x 台，则购买洗衣机（100﹣x ）台．

由题意，得2000x+1000（100﹣x ）=160000，解得x=60，则100﹣x=40（台）， 所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台．

（2）设购买彩电和冰箱各a 台，则购买洗衣机为（100﹣2a ）台．

根据题意，得

200016001000(100-2)160000

1002a a a a a

++≤⎧⎨

-≥⎩ 解得5.3731

33≤≤a ．

因为a 是整数，所以a=34、35、36、37． 因此，共有四种进货方案．

设商店销售完毕后获得的利润为w 元，

则w=（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（2a ）=200a+10000， ∵200＞0，∴w 随a 的增大而增大， ∴当a=37时，

W 最大值

=200×37+10000=17400， 所以，商店获得的最大利润为17400元．

8.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；

（2）写出销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式；

（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

解：（1）根据题意得，y=200+（80﹣x ）×20=﹣20x+1800，

所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800； （2）W=（x ﹣60）y=（x ﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x 2

+3000x ﹣108000，

所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式y=﹣20x2+3000x ﹣108000； （3）根据题意得，﹣20x+1800≥240， x≥76， ∴76≤x≤78， w=﹣20x2+3000x ﹣108000， 对称轴为x=﹣3000

2(20)⨯-=75，a=﹣20＜0，

∴当76≤x≤78时，W 随x 的增大而减小，

∴x=76时，W 有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）． 所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．

9.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A 、B 、C 三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D 、E 两地进行处理．已知运往D 地的数量比运往E 地的数量的2倍少10立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？

（2）若A 地运往D 地a 立方米（a 为整数），B 地运往D 地30立方米，C 地运往D 地的数量小于A 地运往D 地的2倍．其余全部运往E 地，且C 地运往E 地不超过12立方米，则A 、C 两地运往D 、E 两地哪几种方案？

（3）已知从A 、B 、C 三地把垃圾运往D 、E 两地处理所需费用如下表：

在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？

解：（1）设运往E 地x 立方米，由题意得，x+2x ﹣10=140，解得：x=50，∴2x ﹣10=90， 答：共运往D 地90立方米，运往E 地50立方米； （2）由题意可得，

[]⎩⎨

⎧≤+--<+-12

)30(90502)30(90a a

A ，解得：20＜a≤22，