《信号与线性系统》试题与答案6

如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a 的取值围

解：设加法器输出信号X(z) X(z)=F(z)+a/Z*X(z)

Y(z)=(2+1/z)X(z)= (2+1/z)/(1-a/z)F(z) H(z)= (2+1/z)/(1-a/z)=(2z+1)/(z-a)

为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园， 故|a|<1

周期信号 f (t ) =

试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f (t ) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f (t )的表达式，即

显然1是该信号的直流分量。 的周期T1 = 8 的周期T2 = 6

所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为

P=

是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；

是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 画出f (t )的单边振幅频谱图、相位频谱图如图

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--63sin 41324cos 211ππππt t ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=263cos 41324cos 211)(πππ

πππt t t f ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+34cos 2

1ππt ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-323cos 4

1ππ 32

37

41212121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+34

cos 21ππt ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-323cos 41ππ (a)

(b)

12

6

4

3

ω

o

二、计算题（共15分）已知信号)()(t t t f ε=

1、分别画出

01)(t t t f -=、)()()(02t t t t f ε-=、)()(03t t t t f -=ε和

)()()(004t t t t t f --=ε的波形,其中 00>t 。（5分）

2、指出)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 和)(4t f 这4个信号中，哪个是信号)(t f 的延时0t 后的波形。

并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。（4分）

3、求)(2t f 和)(4t f 分别对应的拉普拉斯变换)(2s F 和)(4s F 。（6分）

1、（4分）

2、)(4t f 信号)(t f 的延时0t 后的波形。（2分）

3、s

t s s F s F 0

2121)()(-=

=（2分） 0

2

41)(st e s

s F -=。（2分）

三、计算题（共10分）如下图所示的周期为π2秒、幅值为1伏的方波)(t u s 作用于RL

电路，已知Ω=1R ，H L 1=。 1、 写出以回路电路)(t i 为输出

的电路的微分方程。 2、 求出电流)(t i 的前3次谐波。

解“

1、⎪⎩

⎪⎨⎧

<<-<<-<<=π

π

ππππ

t t t t u s 2,2,022,1)(。（2分）

2、∑=+=5

1

0)cos(21

)(n n s nt a a t u

)5cos(52)3cos(32)cos(221)cos()2sin(22151t t t nt n n n π

ππππ+-+=+=∑= （3分）

3、)()()(t u t i t i s =+'（2分）

4、)3sin(51)3cos(151)sin(1)cos(121)(t t t t t i π

πππ--++=

（3分） 四、计算题（共10分）已知有一个信号处理系统，输入信号)(t f 的最高频率为

m m f ωπ2=，抽样信号)(t s 为幅值为1，脉宽为τ，周期为S T （τ>S T ）的矩形脉冲序

列，经过抽样后的信号为)(t f S ，抽样信号经过一个理想低通滤波器后的输出信号为)(t y 。)(t f 和)(t s 的波形分别如图所示。

1、试画出采样信号)(t f S 的波形；（4分）

2、若要使系统的输出)(t y 不失真地还原输入信号)(t f ，问该理想滤波器的截止频率c ω和抽样信号)(t s 的频率s f ，分

别应该满足什么条件？（6分）

解：

1、（4分）

2、理想滤波器的截止频率m c ωω=,抽样信号)(t s 的频率m s f f 2≥。（6分）

五、计算题（共15分）某LTI 系统的微分方程为：)(6)(2)(6)(5)(t f t f t y t y t y +'=+'+''。

已知)()(t t f ε=，2)0(=-y ，1)0(='-y 。

求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应)(t y zi 、)(t y zs 和)(t y 。

解：

1、s

e s dt e dt e t s F st st st

1|1)()(0

00=-===∞-∞

-∞

-⎰⎰ε。（2分） 2、)(6)0(2)(2)(6)0(5)(5)0()()(2s F f s sF s Y y s sY y s sy s Y s +-=+-+'-----（3分）

3、3

5

276511265)0(5)0()0()(22+-+=+++=+++'+=

---s s s s s s s y y sy s Y zi

21

112216532)(2

+-=⋅+=⋅+++=

s s s s s s s s s Y zs ）（ s

s s s s s s s Y zi 1

653265112)(22⋅+++++++=（5分）

4、)()57()(32t e e t y t t zi ε---=

)()1()(2t e t y t zs ε--=

)()561()(32t e e t y t t ε---+=（5分）

六、计算题（共10分）如下图所示的RC 低通滤波器网络。已知电容C 的初始电压为

V u C 1)0(=-。（共10分）

1、 写出该电路的s 域电路方程，并画出对应的电路图。（2分）

2、 写出以电容电压)(s U C 为输出的电路的系统函数)

())(s U s U S H S C （=的表达式。（2分）

3、 求出)(s H 的极点，判断该RC 网络的稳定性。（2分）

4、 求出该RC 网络的频率特性)(ωj H 。（2分）

5、 求出该RC 网络的幅频特性|)(|ωj H 和相频特性)(ωϕj 的表达式，并画出频率特性图。

（2分）

解：