(√)弦切角定理的证明

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＊第一篇：弦切角定理证明

弦切角定理证明弦切角定理

本段弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

如右图所示，直线pt切圆于点，b、a为圆的弦，∠tb，∠ta，∠pa，∠pb都为弦切角。

本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：

证明一：设圆心为，连接，b,。

∵∠tb=90-∠b

∵∠b=180-2∠b

∴,∠b=2∠tb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠b=2∠ab(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠tb=∠ab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：a是⊙的弦，ab是⊙的切线，a为切点，弧是弦切角∠ba所夹的弧.

求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心在∠ba的一边a上

∵a为直径，ab切⊙于a，

∴弧a=弧a

∵为半圆,

∴∠ab=90=弦a所对的圆周角(2)圆心在∠ba的内部.

过a作直径ad交⊙于d,

若在优弧所对的劣弧上有一点e

那么，连接e、ed、ea

则有：∠ed=∠ad、∠dea=∠dab

∴∠ea=∠ab

∴(弦切角定理)

(3)圆心在∠ba的外部,

过a作直径ad交⊙于d

那么∠da+∠ad=∠ab+∠ad=90

∴∠da=∠ab

∴(弦切角定理)

本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在t△ab中，∠=90，以ab为弦的⊙与a 相切于点a，∠ba=60°,ab=a求b长.

解：连结a，b.

∵在t△ab中,∠=90

∴∠ba=30°

∴b=1/2a(t△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，ad是δab中∠ba的平分线，经过点a的⊙与b切于点d，与ab，a分别相交于e，f.

求证：ef∥b.

证明：连df.

ad是∠ba的平分线∠bad=∠da

∠efd=∠bad

∠efd=∠da

⊙切b于d∠fd=∠da

∠efd=∠fd

ef∥b

例3：如图，δab内接于⊙，ab是⊙直径，d⊥ab于d，n切⊙于，

求证：a平分∠d，b平分∠nd.

证明：∵ab是⊙直径

∴∠ab=90

∵d⊥ab

∴∠ad=∠b，

∵n切⊙于

∴∠a=∠b，

∴∠a=∠ad，

即a平分∠d，

同理：b平分∠nd.

＊第二篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦

切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为，连接，b，a。过点a作tp的平行线交b于d，

则∠tb=∠da

∵∠tb=90-∠d

∵∠b=180-2∠d

∴,∠b=2∠tb

证明：分三种情况：

(1)圆心在∠ba的一边a上

∵a为直径，ab切⊙于a，

∴弧a=弧a

∵为半圆,

(2)圆心在∠ba的内部.

过a作直径ad交⊙于d,

那么

.

(3)圆心在∠ba的外部,

过a作直径ad交⊙于d

那么

2

连接并延长t交圆于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直t，所以角bt+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角bt=角bdt=角a

3

本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆于点，b、a为圆的弦，∠tb，∠ta，∠pa，∠pb都为弦切角。本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为，连接，b,。∵∠tb=90-∠b∵∠b=180-2∠b∴,∠b=2∠tb（定理：弦切角的度数等于

它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠b=2∠ab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tb=∠ab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：a是⊙的弦，ab是⊙的切线，a为切点，弧是弦切角∠ba所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心在∠ba的一边a上∵a为直径，ab切⊙于a，∴弧a=弧a∵为半圆,∴∠ab=90=弦a 所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心在∠ba的内部.过a 作直径ad交⊙于d,若在优弧所对的劣弧上有一点e那么，连接e、ed、ea则有：∠ed=∠ad、∠dea=∠dab∴∠ea=∠ab∴(弦切角定理)(3)圆心在∠ba的外部,过a作直径ad交⊙于d那么∠da+∠ad=∠ab+∠ad=90∴∠da=∠ab∴(弦切角定理)本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在t△ab中，∠=90，以ab为弦的⊙与a相切于点a，∠ba=60°,ab=a求b长.解：连结a，b.∵在t△ab中,∠=90∴∠ba=30°∴

b=1/2a(t△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δab中∠ba的平分线，经过点a的⊙与b切于点d，与ab，a分别相交于e，f.求证：ef∥b.证明：连df.ad是∠ba的平分线∠bad=∠da∠efd=∠bad∠efd=∠da⊙切b于d∠fd=∠da∠efd=∠fdef∥b例3：如图，δab内接于⊙，ab是⊙直径，d⊥ab于d，n切⊙于，求证：a平分∠d，b 平分∠nd.证明：∵ab是⊙直径∴∠ab=90∵d⊥ab∴∠ad=