吉林大学网络教育2014-2015学年第一学期期末概率论与数理统计大作业

1．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. 解: 设A 表示事件“仪器发生故障”，

B i 表示事件“有i 个元件出现故障”，i=1，2，3.

（1）3

1()()()i i i P A P B P A B ==∑，

384.08.02.03)(21=⨯⨯=B P ，2

2()30.20.80.096P B =⨯⨯=，008.02.0)(33==B P .

所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P . （2）22()0.0960.6

()0.3573()0.1612

P AB P B A P A ⨯===.

2．设连续型随机变量X 的分布函数为

0,

,()arcsin ,,(0)1,

,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪

=+-<<>⎨⎪

≥⎪⎩

求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

内的概率．（3）X 的概率密度函数．

解：（1）(0)0,(0)12

2F a A B F a A B π

π

+=-

=-=+

=，得11

,.2A B π

== （2）1()(0).2

2223a

a a a P X F F ⎧⎫-<<=---=⎨⎬⎩⎭

（3）X

的概率密度函数,()()0,x a f x F x <'==⎩

其 它.

3．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,

(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩

其它.

（1）求系数k ；（2）判断X 和Y 是否相互独立；（3）计算概率{}21P X Y <<；（4）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z .

解：

（1）由(,)d d 1,f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

得2k =.

（2）相互独立。X 和Y 的边缘概率密度分别为22e ,0,()0,0,x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩e ,0,

()0,0.

y Y y f x y -⎧>=⎨

≤⎩ 从而X 和Y 是相互独立的. （3）{}4211e P X Y -<<=-.

（4）min{,}Z X Y =的分布函数为31e ,0,()0,0.z Z z F z z -⎧->=⎨≤⎩所以33e ,0,

()0,0.z Z z f z z -⎧>=⎨≤⎩

4．设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为

（1）写出关于X 、Y 及XY 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数XY ρ. 解：

（1）

（2）4()3E X =

,()1E Y =,4

()3

E XY =，Cov(,)0X Y =，0XY ρ=.

5．假设0.50，1.25,0.80,2.00是来自总体X 的简单随机样本值。已知ln Y X =服从正态分布N(μ,1).

(1)求X 的数学期望()E X ；

(2)求μ的置信度为0.95的置信区间. 解：

(1)Y 的概率密度为 ,,e

2π

1)(2

)(2

+∞<<∞-=--

y y f y μ

于是(令t ＝y －

)

⎰

∞

+∞

---

=

=y E X E y y Y d e

e 2π

1)e ()(2

)(2

μ

.e d e π

21e

d e e

2π

121

)1(212

1

2

122

+--∞

+∞

-+

-+∞

+∞

-===

⎰

⎰

μμμt t t t t (2)当置信度1－

＝0.95时，＝0.05．标准正态分布的水平为＝0.05的分位数等

于1.96．故由)4/1,(~μN Y ，可得

,95.0)4

196.14196.1(=⨯+<<⨯

-Y Y P μ 其中

.01ln 4

1)2ln 8.0ln 25.1ln 5.0(ln 4

1==

+++=

Y

于是

P (－0.98＜

＜0.98)＝0.95，

从而[－0.98，0.98]就是

的置信度为0.95的置信区间．

6．设总体X 的概率密度为

0<1,(1),()0,x x f x θθ<⎧+=⎨⎩

其他,

其中1θ>-是未知参数,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,试求参数θ的矩估计量和最大似然

估计量.

解：

由矩估计法知，令

得参数的矩估计量。

似然函数为

对=1,2,…n，对取对数，则有令

，

所以参数的最大似然估计量为