2015年全国新课标卷1文科数学高考真题及答案
2015年全国高考新课标卷Ⅰ(文科)答案及考点分析
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、 选择题 （1）【答案】D【解析】由条件知，当n =2时，3n +2=8，当n =4时，3n +2=14，故A ∩B ={8,14},故选D. （2）【答案】A【解析】)1,3(=-=OA OB AB ,)4,7(--=-=∴AB AC BC . (3)【答案】C【解析】i 1i )1(+=-z ，i 2ii21-=+=∴z ，故选C. (4)【答案】C【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为101，故选C. (5)【答案】B【解析】 抛物线x y C 8:2=的焦点为)0,2(，准线方程为2-=x ，∴椭圆E 的右焦点为)0,2(， ∴椭圆E 的的焦点在x 轴上，设方程为)0(12222>>=+b a by a x ，2=c ，21==∴a c e .12,4222=-==∴c a b a ，∴椭圆方程为1121622=+y x .将2-=x 代入椭圆方程，得)3,2(),3,2(---B A ,6||=∴AB ,选B.(6)【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则8241=⨯r π，所以31616≈=πr .所以米堆的体积93205)316(31412=⨯⨯=πV .所以堆放的米约有2262.19320≈÷斛.选B. (7)【答案】B【解析】∵公差1=d ，484S S =，)34214(47821811⨯⨯+=⨯⨯+∴a a ，解得211=a ， 2199219110=+=+=∴d a a ，故选B. (8)【答案】D【解析】由“五点作图”法，可知24πϕω=+，2345πϕω=+，解得4,2πϕω==.所以)4cos()(ππ+=x x f .由πππππ+<+<k x k 242，解得432412+<<-k x k ，Z ∈k故单调减区间为Z ∈+-k k k ),432,412(，故选D. (9)【答案】C【解析】执行第1次，01.0=t ，S =1，n =0，21=m =0.5，S =S -m =0.5，2m m ==0.25，n =1，S =0.5＞01.0=t ，是，循环； 执行第2次，m S S -==0.25，2mm ==0.125，n =2，S =0.25＞01.0=t ，是，循环； 执行第3次，m S S -==0.125，2mm ==0.0625，n =3，S =0.125＞01.0=t ，是，循环； 执行第4次，m S S -==0.0625，2mm ==0.03125，n =4，S =0.0625＞01.0=t ，是，循环； 执行第5次，m S S -==0.03125，2mm ==0.015625，n =5，S =0.03125＞01.0=t ，是，循环； 执行第6次，m S S -==0.015625，2mm ==0.0078125，n =6，S=0.015625＞01.0=t ，是，循环；执行第7次，m S S -==0.0078125，2mm ==0.00390625，n =7，S=0.0078125＞01.0=t ，否，输出n =7，故选C. (10)【答案】A【解析】3)(-=a f ，∴当1≤a 时，322)(1-=-=-a a f ，即121-=-a ，此等式显然不成立，当1>a 时，3)1(log 2-=+-a ，解得7=a .2722)1()6(11-=-=-=-∴--f a f ，故选A.(11)【答案】B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体的组合体.其表面积为22222)54(242r r r r r ππππ+=+++.由ππ2016)54(2+=+r ，得2=r .故选B.(12)【答案】C【解析】设),(y x 是函数)(x f y =的图像上任意一点，它关于直线x y -=对称为（,y x --），由已知知),(x y --在函数a x y +=2的图像上，a y x +-=-∴2，解得a x y +--=)(log 2，即a x x f +--=)(log )(2，14log 2log )4()2(22=+-+-=-+∴a a f f ，解得2=a ，故选C.二、填空题 (13)【答案】6【解析】n n a a a 2,211==+ ，∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 12621)21(2=--=∴n n S ，642=∴n ，6=∴n .(14)【答案】1【解析】13)(2+='ax x f ，13)1(+='∴a f ，即切线斜率13+=a k . 又2)1(+=a f ，∴切点为)2,1(+a ， 切线过（2,7），132172+=--+∴a a ，解得1=a . (15)【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线03:0=+y x l ，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧=+-=-+,012,02y x y x 解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.(16)【答案】612【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义，知||2||1PF a PF +=.APF ∆∴的周长为||||2||||||||1AF PF a PA AF PF PA +++=++a AF PF PA 2||||||1+++.由于||2AF a +是定值，要使APF ∆周长最小，只需||||1PF PA +最小，即1,,F A P 共线. )0,3(),66,0(1-F A ,∴直线1AF 的方程为1663=+-y x ，即362-=y x ，代入1822=-y x ，并整理得096662=-+y y .解得62=y 或68-=y （舍去），所以P 点的纵坐标为62.612626216662111=⨯⨯-⨯⨯=-=∴∆∆∆PFF AFF APF S S S . 三、解答题（17）【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得ac b 22=. 又b a =，所以412cos 222=-+=ac b c a B .（Ⅱ）由（Ⅰ）知2b =2ac .因为 90=B ，由勾股定理得222b c a =+. 故ac c a 222=+，2==a c .所以△ABC 的面积为1.（18）【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . （Ⅱ）设AB =x .在菱形ABCD 中，因为120=∠ABC ，ABCDEG所以AG =GC =x 23，GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在AEC ∆Rt 中，可得x EG 23=. 因为BE ⊥平面ABCD ，所以△EBG 为直角三角形，可得BE =x 22. 由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3624621313==⋅⋅⨯⨯=-x BE GD AC V ACD E . 解得x =2.从而可得AE =EC =ED =6.所以EAC ∆的面积为3，EAD ∆的面积与ECD ∆的面积均为5. 所以，三棱锥E -ACD 的侧面积为523+.（19）【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，x d c y +=适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（Ⅱ）令x =ω，先建立y 关于w 的线性回归方程式. 由于686.18.108)())((81281==---=∑∑==i ii i iy y d ωωωω，6.1008.668563=⨯-=-=ωd y c. 所以y 关于w 的线性回归方程为ω686.100+=y,因此y 关于x 的回归方程为x y 686.100+=.（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值6.57649686.100=+=y， 年利润z 的预报值32.66492.06.576=-⨯=z.（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值12.206.13)686.100(6.2.0++-=-+⨯=x x x x z. 所以当8.626.13==x ，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. （20）【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1+=kx y ，即01=+-y kx . 因为l 与C 交于两点，所以11|132|2<++-k k .解得374374+<<-k . 所以k 的取值范围为)374,374(+-. （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N .将1+=kx y 代入方程1)3()2(22=-+-y x ，整理得07)1(4)1(22=++-+x k x k .所以2211)1(4k k x x ++=+，22117k x x +=. 所以2121y y x x ON OM +=⋅1)()1(21212++++=x x k x x k 81)1(42+++=k k k .由题设可得1281)1(42=+++k k k ，解得k =1，所以l 的方程是1+=x y .故圆心C 在l 上，所以2||=MN .（21）【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，)0(e 2)(2>-='x xa x f x . 当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f '没有零点； 当0>a 时，因为x 2e 单调递增，xa-单调递增，所以)(x f '在),0(+∞单调递增. 又01e 2)(2>-='a a f所以，当0>a 时)(x f '存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设)(x f '在),0(+∞的唯一零点为0x . 当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增， 所以0x x =时，)(x f 取得最小值，最小值为)(x f . 由于0e 2020=-x a x 所以，当0>a 时，aa a x f 2ln 2)(+≥.（22）【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，BC AE ⊥，AB AC ⊥. 在AEC ∆Rt 中，由已知得，DE =DC ，故DCE DEC ∠=∠. 连接OE ，则∠OBE =∠OEB . 又∠ACB +∠ABC =90°，所以∠DEC +∠OEB =90°. 故 90=∠OED ，DE 是⊙O 得切线.（Ⅱ）设CE =1，AE =x ，由已知得32=AB ，212x BE -=. 由射影定理可得，BE CE AE ⋅=2，所以2212x x -=，即42120x x +-=，解得3=x .所以 60=∠ACB . （23）【解析】（Ⅰ）因为θρcos =x ，θρsin =y ，所以1C 的极坐标方程为2cos -=θρ， 2C 的极坐标方程为04sin 4cos 22=+--θρθρρ.（Ⅱ）将4πθ=代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ，得04232=+-ρρ， 解得221=ρ，22=ρ.故221=-ρρ，即2||=MN . 由于2C 的半径为1，所以MN C 2∆的面积为21. AOBD C E（24）【解析】（Ⅰ）当1a =时，1)(>x f 化为01|1|2|1|>---+x x . 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得132<<x ； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<. 所以1)(>x f 的解集为}232|{<<x x . （Ⅱ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数)(x f 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)0,312(-a A ，)0,12(+a B ，)1,(+a a C ，ABC ∆的面积为2)1(32+a .由题设得6)1(322>+a ，故2a >. 所以a 的取值范围为),2(+∞.2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考点分析。
2015年江西省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅰ)
2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x=3n +2，n ∈N }，B={6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22．（5分）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=（ ） A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）3．（5分）已知复数z 满足（z ﹣1）i=1+i ，则z=（ ） A ．﹣2﹣i B ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+i4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110 D ．120 5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．（5分）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．（5分）函数f （x ）=cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．（kπ﹣14，kπ+34），k ∈zB ．（2kπ﹣14，2kπ+34），k ∈zC ．（k ﹣14，k +34），k ∈zD ．（2k −14，2k +34），k ∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．（5分）已知函数f （x ）={2x−1−2，x ≤1−log 2(x +1)，x ＞1，且f （α）=﹣3，则f （6﹣α）=（ ）A ．﹣74B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣1411．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）设函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称，且f （﹣2）+f （﹣4）=1，则a=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．4二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n= ．14．（5分）已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．（5分）若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0，则z=3x +y 的最大值为 ．16．（5分）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 28=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，6√6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=√2，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD 的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑8i=1（x i ﹣x ）2 ∑8i=1（w i ﹣w ）2∑8i=1（x i ﹣x ）（y i ﹣y ）∑8i=1（w i﹣w ）（y i ﹣y ）46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中w i =√x i ，w =18∑8i=1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y=c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2）…..（u n v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^=∑n i=1(u i −u)(v i −v)∑n i=1(u i −u)2，α^=v ﹣β^u ． 20．（12分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 21．（12分）设函数f （x ）=e 2x ﹣alnx ．（Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=√3CE，求∠ACB的大小．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：A={x |x=3n +2，n ∈N }={2，5，8，11，14，17，…}， 则A ∩B={8，14}，故集合A ∩B 中元素的个数为2个， 故选：D ． 2．【解答】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到AB →=（3，1），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=AC →−AB →=（﹣7，﹣4）； 故选：A ． 3．【解答】解：由（z ﹣1）i=1+i ，得z ﹣1=1+i i =−i(1+i)−i 2=1−i ，∴z=2﹣i ．故选：C ． 4．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110．故选：C ． 5．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点（c ，0）与抛物线C ：y 2=8x 的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b 2=12，椭圆的标准方程为：x 216+y 212=1，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由{x =−2x 216+y 212=1，解得y=±3，所以A （﹣2，3），B （﹣2，﹣3）．|AB |=6． 故选：B ． 6．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则π2r=8，解得r=16π，故米堆的体积为14×13×π×（16π）2×5≈3209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选：B ． 7．【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×72×1=4×（4a 1+4×32），解得a 1=12．则a 10=12+9×1=192．故选：B ．【解答】解：由函数f （x ）=cos （ωx +ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54﹣14）=2，∴ω=π，f （x ）=cos （πx +ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k ∈z ，即ϕ=π4，f （x ）=cos （πx +π4）．由2kπ≤πx +π4≤2kπ+π，求得 2k ﹣14≤x ≤2k +34，故f （x ）的单调递减区间为（2k −14，2k +34），k ∈z ，故选：D ． 9．【解答】解：第一次执行循环体后，S=12，m=14，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，m=18，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=18，m=116，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=116，m=132，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=132，m=164，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=164，m=1128，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=1128，m=1256，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n 值为7， 故选：C ． 10．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； α＞1时，﹣log 2（α+1）=﹣3，∴α=7， ∴f （6﹣α）=f （﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣74．故选：A ．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：12×4πr 2+12×πr 2+12×2r ×2πr +2r ×2r +12×πr 2=5πr 2+4r 2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr 2+4r 2=16+20π，解得r=2， 故选：B ．12．【解答】解：∵与y=2x +a 的图象关于y=x 对称的图象是y=2x +a 的反函数， y=log 2x ﹣a （x ＞0），即g （x ）=log 2x ﹣a ，（x ＞0）．∵函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称， ∴f （x ）=﹣g （﹣x ）=﹣log 2（﹣x ）+a ，x ＜0， ∵f （﹣2）+f （﹣4）=1， ∴﹣log 22+a ﹣log 24+a=1， 解得，a=2， 故选：C ．二、本大题共4小题，每小题5分. 13．【解答】解：∵a n +1=2a n ，∴a n+1a n =2，∵a 1=2，∴数列{a n }是a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =a 1(1−q n )1−q =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2=126，∴2n +1=128， ∴n +1=7， ∴n=6． 故答案为：6 14．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+x +1的导数为：f′（x ）=3ax 2+1，f′（1）=3a +1，而f （1）=a +2，切线方程为：y ﹣a ﹣2=（3a +1）（x ﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a ﹣2=（3a +1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1． 15．【解答】解：由约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0作出可行域如图，化目标函数z=3x +y 为y=﹣3x +z ，由图可知，当直线y=﹣3x +z 过B （1，1）时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3×1+1=4． 故答案为：4． 16．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为x−3+6√6=1与x2﹣y28=1联立可得y2+6√6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2√6，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×6√6﹣12×6×2√6=12√6．故答案为：12√6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=1k＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac=a2+14a2−a22a×12a=14．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=√2，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=√2．∴S△ABC =12ac=1．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=√32x ，GB=GD=x 2，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG=12AC=AG=√32x ，则BE=√EG 2−BG 2=√22x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V=13×12AC ⋅GD ⋅BE =√624x 3=√63，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×2×2×(−12)=12，即AC=√12=2√3，在三个直角三角形EBA ，EBG ，EBC 中，斜边AE=EC=ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2=AC 2=12， 即2AE 2=12， ∴AE 2=6， 则AE=√6，∴从而得AE=EC=ED=√6，∴△EAC 的面积S=12×EA ⋅EC =12×√6×√6=3，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE=√6，AF=12AD =12×2=1，则EF=√(√6)2−12=√5，∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S=12×2×√5=√5，故该三棱锥的侧面积为3+2√5．19．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w=√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^=108.81.6=68，c ^=y ﹣d ^w =563﹣68×6.8=100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x ，（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值y ^=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii ）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值z ^=0.2（100.6+68√x ）﹣x=﹣x +13.6√x +20.12， 当√x =13.62=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 20．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y=kx +1，即：kx ﹣y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．故由√k 2+1＜1，故当4−√73＜k ＜4+√73，过点A （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1相交于M ，N 两点．（2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7=0， ∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1•x 2=71+k 2，∴y 1•y 2=（kx 1+1）（kx 2+1）=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=71+k 2•k 2+k•4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2， 由OM →•ON →=x 1•x 2+y 1•y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得 k=1，故直线l 的方程为 y=x +1，即 x ﹣y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以|MN |=2． 21．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x ）=2e 2x ﹣a x．当a ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故f′（x ）没有零点，当a ＞0时，∵y=e 2x 为单调递增，y=﹣ax单调递增，∴f′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln a2时，且b ＜14，f′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f′（x ）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0， 当x ∈（0，x 0）时，f′（x ）＜0， 当x ∈（x 0+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增， 所欲当x=x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0），由于2e 2x 0﹣a x 0=0，所以f （x 0）=a 2x 0+2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2√3，BE=√12−x2，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=√12−x2，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=√3∴∠ACB=60°五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C 3的极坐标方程θ=π4（ρ∈R ）代入圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2√2，ρ2=√2，∴|MN |=|ρ1﹣ρ2|=√2，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ，△C 2MN 的面积为12•C 2M•C 2N=12•1•1=12．六、【选修4-5：不等式选讲】 24．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③．解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a ，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6，可得12[2a +1﹣2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2．故要求的a 的范围为（2，+∞）．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅰ)数学(文科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，8，10，12，，则集合中元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 22.已知点，，向量，则向量A. B. C. D.3.已知复数z满足，则A. B. C. D.4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A. B. C. D.5.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则A. 3B. 6C. 9D. 126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛7.已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则A. B. C. 10 D. 128.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，9.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A. 5B. 6C. 7D. 810.已知函数，且，则A. B. C. D.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为，则A. 1B. 2C. 4D. 812.设函数的图象与的图象关于对称，且，则A. B. 1 C. 2 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，为的前n项和，若，则______．14.已知函数的图象在点处的切线过点，则______．15.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．16.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）17.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ若，求；Ⅱ设，且，求的面积．18.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，平面ABCD．Ⅰ证明：平面平面BED；Ⅱ若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近8年的年宣传费和年销售量2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，Ⅰ根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；Ⅲ已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据Ⅱ的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20.已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点．求k的取值范围；若，其中O为坐标原点，求．21.设函数．Ⅰ讨论的导函数零点的个数；Ⅱ证明：当时，．22.如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于点E．Ⅰ若D为AC的中点，证明：DE是的切线；Ⅱ若，求的大小．23.在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．24.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. A3. C4. C5. B6. B7. B8. D9. C10. A11. B12. C13. 614. 115. 416.17. 解：，由正弦定理可得：，代入可得，，，，由余弦定理可得：．由可得：，，且，，解得．．18. 证明：Ⅰ四边形ABCD为菱形，，平面ABCD，，则平面BED，平面AEC，平面平面BED；解：Ⅱ设，在菱形ABCD中，由，得，，平面ABCD，，则为直角三角形，，则，三棱锥的体积，解得，即，，，即，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边，，为等腰三角形，则，，则，从而得，的面积，在等腰三角形EAD中，过E作于F，则，，则，的面积和的面积均为，故该三棱锥的侧面积为．19. 解：Ⅰ由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；Ⅱ令，先建立y关于w的线性回归方程，由于，，所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为，Ⅲ由Ⅱ知，当时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值，根据Ⅱ的结果可知，年利润z的预报值，当时，即当时，年利润的预报值最大．20. 由题意可得，直线l的斜率存在，设过点的直线方程：，即：．由已知可得圆C的圆心C的坐标，半径．故由，故当，过点的直线与圆C：相交于M，N两点．设；，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为，代入圆C的方程，可得，，，，由，解得，故直线l的方程为，即．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．21. 解：Ⅰ的定义域为，．当时，恒成立，故没有零点，当时，为单调递增，单调递增，在单调递增，又，假设存在b满足时，且，，故当时，导函数存在唯一的零点，Ⅱ由Ⅰ知，可设导函数在上的唯一零点为，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，所欲当时，取得最小值，最小值为，由于，所以．故当时，．22. 解：Ⅰ连接AE，由已知得，，在中，由已知可得，，连接OE，则，又，，，是的切线；Ⅱ设，，由已知得，，由射影定理可得，，即，解方程可得23. 解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．24. 解：Ⅰ当时，不等式，即，即，或，或解求得，解求得，解求得．综上可得，原不等式的解集为．Ⅱ函数，由此求得的图象与x轴的交点，，故的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点，由的面积大于6，可得，求得．故要求的a的范围为．【解析】1. 解：5，8，11，14，17，，则，故集合中元素的个数为2个，故选：D．根据集合的基本运算进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 解：由已知点，，得到，向量，则向量；故选：A．顺序求出有向线段，然后由求之．本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．3. 解：由，得，．故选：C．由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得，进一步求得z．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4. 解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有2，，2，，2，，3，，3，，4，，3，，3，，4，，4，共10种，其中只有4，为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．5. 解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：的焦点重合，可得，，，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：，由，解得，所以，．．故选：B．利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6. 解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为立方，，故选：B．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7. 解：是公差为1的等差数列，，，解得．则．故选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，再根据函数的图象以及五点法作图，可得，，即，由，求得，故的单调递减区间为，，故选：D．由周期求出，由五点法作图求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9. 解：第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10. 解：由题意，时，，无解；时，，，．故选：A．利用分段函数，求出a，再求．本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．11. 解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：，又该几何体的表面积为，，解得，故选：B．通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12. 解：与的图象关于对称的图象是的反函数，，即，．函数的图象与的图象关于对称，，，，，解得，，故选：C．先求出与的反函数的解析式，再由题意的图象与的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数的解析式，问题得以解决．本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题13. 解：，，，数列是为首项，以2为公比的等比数列，，，，．故答案为：6由，结合等比数列的定义可知数列是为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．14. 解：函数的导数为：，，而，切线方程为：，因为切线方程经过，所以，解得．故答案为：1．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15. 解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为．故答案为：4．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16. 解：由题意，设是左焦点，则周长P，三点共线时，取等号，直线的方程为与联立可得，的纵坐标为，周长最小时，该三角形的面积为．故答案为：．利用双曲线的定义，确定周长最小时，P的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．17. ，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出．利用及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据面面垂直的判定定理即可证明：平面平面BED；Ⅱ根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19. Ⅰ根据散点图，即可判断出，Ⅱ先建立中间量，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；Ⅲ年宣传费时，代入到回归方程，计算即可，求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20. 由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．21. Ⅰ先求导，在分类讨论，当时，当时，根据零点存在定理，即可求出；Ⅱ设导函数在上的唯一零点为，根据函数的单调性得到函数的最小值，只要最小值大于，问题得以证明．本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．22. Ⅰ连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得，可得DE是的切线；Ⅱ设，，由射影定理可得关于x的方程，解方程可得x 值，可得所求角度．本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．23. Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．24. Ⅰ当时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求Ⅱ化简函数的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得的图象与x轴围成的三角形面积；再根据的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015年全国高考文科数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B) 2(C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(2021年整理)
2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(word版可编辑修改) 2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷)文一、选择题：每小题5分，共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为 （A ） 5 （B)4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C)(1,4)- （D)(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - (D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A) 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A) 3 (B ）6 （C ）9 （D ）12 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？"其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(新课标Ⅰ卷)
7、已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
8、函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（）
（A） （B）
（C） （D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将 用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，
由于 是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+ 最小，即P、A、 共线，
∵ ， （－3,0），∴直线 的方程为 ，即 代入 整理得 ，解得 或 (舍)，所以P点的纵坐标为 ，
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是 O直径，AC是 O切线，BC交 O与点E.
（I）若D为AC中点，求证：DE是 O切线；
（II）若 ，求 的大小.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由 得，AB= ，设AE= ，由勾股定理得 ，由直角三角形射影定理可得 ，列出关于 的方程，解出 ，即可求出∠ACB的大小.
100教育：2015高考试题——文数(新课标Ⅰ卷)含答案
......(1224(1 k ) x 70 .k ) x所以 x 1x 2 4(1 k ), x 1 x 27 2.121 kkOMONc 1 x 2y 1 y 22x 1 x 2 k x 1 x 2 11 k4 k 1 k8 .1k 2由题设可得4 k 1k 8 =12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1.1 2k故圆心 C 在l 上，所以MN 2 .⋯⋯12分21、解：〔I 〕fx 的定义域为0,, fx2 xa0) .2 e( xx当 a ≤0时， fx0， fx 没有零点；当 a 0 时，因为 e2 x单调递增，a 单调递减， 所以 fx 在 0,单调递增， 又fa 0 ，x当 b 满足 0＜ b ＜a且 b ＜1时， f ( b )0 ，故当 a ＜0时 fx 存在唯一零点 .4 4⋯⋯6分〔II 〕由〔 I 〕，可设f x 在 0,的唯一零点为 x 0 ，当 x0， x 0时， fx ＜0；当 x x 0，时，fx ＞ 0.故 f x在 0 ，单调递减，在x 0，单调递增，所以xx 0时， f x 取得最小值，最小值为 fx 0.由于 2 e 2 x 0a0 ，所以 f x 0a2 ax 0a 1n22 a2x 02 x 0a1 n .aa故当 a0 时， fx2 a2 ⋯⋯12分a1 n.a22、解：（ I 〕连接 AE ，由得， AE ⊥ BC,AC ⊥ AB.在 Rt △ AEC 中，由得， DE=DC, 故∠ DEC= ∠ DCE....(1224(1 k ) x 70 .k ) x所以 x 1x 2 4(1 k ), x 1 x 27 2.121 kkOMONc 1 x 2y 1 y 22x 1 x 2 k x 1 x 2 11 k4 k 1 k8 .1k 2由题设可得4 k 1k 8 =12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1.1 2k故圆心 C 在l 上，所以MN 2 .⋯⋯12分21、解：〔I 〕fx 的定义域为0,, fx2 xa0) .2 e( xx当 a ≤0时， fx0， fx 没有零点；当 a 0 时，因为 e2 x单调递增，a 单调递减， 所以 fx 在 0,单调递增， 又fa 0 ，x当 b 满足 0＜ b ＜a且 b ＜1时， f ( b )0 ，故当 a ＜0时 fx 存在唯一零点 .4 4⋯⋯6分〔II 〕由〔 I 〕，可设f x 在 0,的唯一零点为 x 0 ，当 x0， x 0时， fx ＜0；当 x x 0，时，fx ＞ 0.故 f x在 0 ，单调递减，在x 0，单调递增，所以xx 0时， f x 取得最小值，最小值为 fx 0.由于 2 e 2 x 0a0 ，所以 f x 0a2 ax 0a 1n22 a2x 02 x 0a1 n .aa故当 a0 时， fx2 a2 ⋯⋯12分a1 n.a22、解：（ I 〕连接 AE ，由得， AE ⊥ BC,AC ⊥ AB.在 Rt △ AEC 中，由得， DE=DC, 故∠ DEC= ∠ DCE.......(1224(1 k ) x 70 .k ) x所以 x 1x 2 4(1 k ), x 1 x 27 2.121 kkOMONc 1 x 2y 1 y 22x 1 x 2 k x 1 x 2 11 k4 k 1 k8 .1k 2由题设可得4 k 1k 8 =12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1.1 2k故圆心 C 在l 上，所以MN 2 .⋯⋯12分21、解：〔I 〕fx 的定义域为0,, fx2 xa0) .2 e( xx当 a ≤0时， fx0， fx 没有零点；当 a 0 时，因为 e2 x单调递增，a 单调递减， 所以 fx 在 0,单调递增， 又fa 0 ，x当 b 满足 0＜ b ＜a且 b ＜1时， f ( b )0 ，故当 a ＜0时 fx 存在唯一零点 .4 4⋯⋯6分〔II 〕由〔 I 〕，可设f x 在 0,的唯一零点为 x 0 ，当 x0， x 0时， fx ＜0；当 x x 0，时，fx ＞ 0.故 f x在 0 ，单调递减，在x 0，单调递增，所以xx 0时， f x 取得最小值，最小值为 fx 0.由于 2 e 2 x 0a0 ，所以 f x 0a2 ax 0a 1n22 a2x 02 x 0a1 n .aa故当 a0 时， fx2 a2 ⋯⋯12分a1 n.a22、解：（ I 〕连接 AE ，由得， AE ⊥ BC,AC ⊥ AB.在 Rt △ AEC 中，由得， DE=DC, 故∠ DEC= ∠ DCE.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标卷Ⅰ文科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：D解析：由条件知，当n ＝2时，3n ＋2＝8，当n ＝4时，3n ＋2＝14.所以A ∩B ＝{8，14}.故选D ．2.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AA⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣4，﹣3)，则向量AA ⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．(﹣7，﹣4) B ．(7，4) C ．(﹣1，4) D ．(1，4)答案：A解析：∵AA ⃗⃗⃗⃗ ＝AA ⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗ ＝(3，2)﹣(0，1)＝(3，1)，AA ⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣4，﹣3)， ∴AA ⃗⃗⃗⃗ ＝AA ⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣4，﹣3)﹣(3，1)＝(﹣7，﹣4). 3.已知复数z 满足(z ﹣1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．﹣2﹣i B ．﹣2＋i C ．2﹣i D ．2＋i 答案：C解析：∵(z ﹣1)i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i＋1＝(1＋i )(﹣i )﹣i 2＋1＝1﹣i ＋1＝2﹣i .4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A ．310B ．15C ．110D ．120答案：C解析：从1，2，3，4，5中任取3个数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3，4，5，因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种，故所求概率为110.5.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案：B解析：∵抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，∴E 的右焦点的坐标为(2，0).设椭圆E 的方程为A 2A 2＋A 2A 2＝1(a>b>0)，∴c ＝2. ∵A A ＝12，∴a ＝4.∴b 2＝a 2﹣c 2＝12，于是椭圆方程为A216＋A 212＝1.∵抛物线的准线方程为x＝﹣2，将其代入椭圆方程可得A(﹣2，3)，B(﹣2，﹣3)，∴|AB|＝6.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛答案：B解析：设圆锥的底面半径为R，高为h.∵米堆底部的弧长为8尺，∴14·2πR＝8，∴R＝16π.∵h＝5，∴米堆的体积V＝14×13πR2h＝112×π×(16π)2×5.∵π≈3，∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约有3209×1.62≈22(斛).7.已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝()A．172B．192C．10D．12答案：B解析：∵公差d＝1，S8＝4S4，∴8(A1＋A8)2＝4×4(A1＋A4)2，即2a1＋7d＝4a1＋6d，解得a1＝12.∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.8.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A．(Aπ﹣14，Aπ＋34)，k∈ZB．(2Aπ﹣14，2Aπ＋34)，k∈ZC．(A﹣14，A＋34)，k∈ZD．(2A﹣14，2A＋34)，k∈Z答案：D解析：不妨设ω>0，由函数图像可知，其周期为T＝2×(54﹣14)＝2，所以2πA＝2，解得ω＝π.所以f(x)＝cos(πx＋φ).由图像可知，当x＝12(14＋54)＝34时，f(x)取得最小值，即f(34)＝cos(3π4＋A)＝﹣1，解得3π4＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋π4(k∈Z).令k＝0，得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πA＋π4).令2kπ≤πx＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得2k﹣14≤x≤2k＋34(k∈Z).所以函数f(x)＝cos(πA＋π4)的单调递减区间为[2A﹣14，2A＋34](k∈Z).结合选项知选D．9.执行下面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()A．5B．6C．7D．8答案：C解析：由于S＝1，n＝0，m＝12，t＝0.01，则S＝S﹣m＝12，m＝A2＝14，n＝n＋1＝1，S>0.01；S＝14，m＝18，n＝2，S>0.01；S ＝18，m ＝116，n ＝3，S>0.01；S ＝116，m ＝132，n ＝4，S>0.01；S ＝132，m ＝164，n ＝5，S>0.01； S ＝164，m ＝1128，n ＝6，S>0.01；S ＝1128，m ＝1256，n ＝7，S<0.01，结束循环，此时输出的n ＝7. 10.已知函数f (x )＝{2A ﹣1﹣2，A ≤1，﹣log 2(A ＋1)，A >1，且f (a )＝﹣3，则f (6﹣a )＝( )A ．﹣74 B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣14答案：A解析：∵f (a )＝﹣3，∴当a ≤1时，f (a )＝2a ﹣1﹣2＝﹣3，即2a ﹣1＝﹣1，此等式显然不成立. 当a>1时，f (a )＝﹣log 2(a ＋1)＝﹣3，即a ＋1＝23，解得a ＝7.∴f (6﹣a )＝f (﹣1)＝2﹣1﹣1﹣2＝14﹣2＝﹣74.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案：B解析：由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表＝2r×2r ＋2×12πr 2＋πr×2r ＋12×4πr 2＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2.12.设函数y ＝f (x )的图像与y ＝2x ＋a 的图像关于直线y ＝﹣x 对称，且f (﹣2)＋f (﹣4)＝1，则a ＝( ) A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．4答案：C解析：设(x ，y )是函数y ＝f (x )图像上的任意一点，它关于直线y ＝﹣x 的对称点为(﹣y ，﹣x )，由已知得点(﹣y ，﹣x )在曲线y ＝2x ＋a 上，∴﹣x ＝2﹣y ＋a ，解得y ＝﹣log 2(﹣x )＋a ，即f (x )＝﹣log 2(﹣x )＋A ．∴f (﹣2)＋f (﹣4)＝﹣log 22＋a ＋(﹣log 24)＋a ＝1， 解得a ＝2.第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝__________. 答案：6解析：∵a n ＋1＝2a n ，即A A ＋1A A＝2，∴{a n }是以2为公比的等比数列. 又a 1＝2， ∴S n ＝2(1﹣2A )1﹣2＝126.∴2n ＝64，∴n ＝6.14.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝__________.答案：1解析：∵f'(x )＝3ax 2＋1，∴f'(1)＝3a ＋1，即切线斜率k ＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴已知点为(1，a ＋2).而由过(1，a ＋2)，(2，7)两点的直线的斜率为A ＋2﹣71﹣2＝5﹣a ，∴5﹣a ＝3a ＋1，解得a ＝1.15.若x ，y 满足约束条件{A ＋A ﹣2≤0，A ﹣2A ＋1≤0，2A ﹣A ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为__________.答案：4解析：画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示)，由{A ﹣2A ＋1＝0，A ＋A ﹣2＝0解得{A ＝1，A ＝1，即点A 的坐标为(1，1).由z ＝3x ＋y ，得y ＝﹣3x ＋z.作出直线l 0：y ＝﹣3x ，并平移，当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大. 所以z max ＝3×1＋1＝4.16.已知F 是双曲线C ：x 2﹣A 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，6√6).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为__________.答案：12√6解析：设双曲线的左焦点为F 1，如图.由双曲线的定义知|PF|＝2a＋|PF1|，∴△APF的周长为|P A|＋|PF|＋|AF|＝|P A|＋(2a＋|PF1|)＋|AF|＝|P A|＋|PF1|＋(2a＋|AF|).由于2a＋|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则应使|P A|＋|PF1|最小，即P，A，F1三点共线.∵A(0，6√6)，F1(﹣3，0)，∴直线AF1的方程为A﹣3＝1，即x＝﹣3.将其代入x2﹣A28＝1得y2＋6√6y﹣96＝0，解得y＝2√6或y＝﹣8√6(舍去)，因此点P的纵坐标为2√6.∴S△APF＝A△AA1A −A△AA1A＝12·|F1F|·y A﹣12·|F1F|·y P＝12×6×6√6−12×6×2√6＝12√6.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝√2，求△ABC的面积.解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2aC．又a＝b，可得b＝2c，a＝2C．由余弦定理可得cos B＝A2＋A2﹣A22AA ＝14.6分(2)由(1)知b2＝2aC．因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝√2.所以△ABC的面积为1.12分18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为√63，求该三棱锥的侧面积.解：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED．又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．5分(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得 AG ＝GC ＝√32x ，GB ＝GD ＝A2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝√32x.由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝√22x. 由已知得，三棱锥E ﹣ACD 的体积 V E ﹣ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝√624x 3＝√63. 故x ＝2.9分从而可得AE ＝EC ＝ED ＝√6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为√5. 故三棱锥E ﹣ACD 的侧面积为3＋2√5. 12分 19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i ＝√A A ，A ＝18∑A ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y ﹣x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑A ＝1A(A A ﹣A )(A A ﹣A )∑A ＝1A(A A ﹣A )2，A ^＝A −A ^A .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d √A 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w ＝√A ，先建立y 关于w 的线性回归方程.由于A ^＝∑A ＝18(A A ﹣A )(A A ﹣A )∑A ＝18(A A ﹣A )2＝108.81.6＝68，A ^＝A −A ^A ＝563﹣68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为A ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为A ^＝100.6＋68√A .6分(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值A ^＝100.6＋68√49＝576.6，年利润z 的预报值A ^＝576.6×0.2﹣49＝66.32.9分②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值A ^＝0.2(100.6＋68√A )﹣x ＝﹣x ＋13.6√A ＋20.12.所以当√A ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，A ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分 20.(本小题满分12分)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x ﹣2)2＋(y ﹣3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若AA⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗ ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以√1＋A 2<1.解得4﹣√73<k<4＋√73.所以k 的取值范围为(4﹣√73，4＋√73). 5分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x ﹣2)2＋(y ﹣3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2﹣4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋A )1＋A，x 1x 2＝71＋A . 7分AA⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4A (1＋A )1＋A 2＋8.由题设可得4A (1＋A )1＋A ＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2.12分21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝e 2x ﹣a ln x. (1)讨论f (x )的导函数f'(x )零点的个数； (2)证明：当a>0时，f (x )≥2a ＋a ln 2A .解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f'(x )＝2e 2x ﹣AA (x>0).当a ≤0时，f'(x )>0，f'(x )没有零点，当a>0时，因为e 2x 单调递增，﹣AA 单调递增， 所以f'(x )在(0，＋∞)单调递增.又f'(a)>0，当b满足0<b<A4且b<14时，f'(b)<0，故当a>0时，f'(x)存在唯一零点.6分(2)由(1)，可设f'(x)在(0，＋∞)的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0.故f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，＋∞)单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2e2A0−AA0＝0，所以f(x0)＝A2A0＋2ax0＋a ln2A≥2a＋a ln2A.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln2A.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线；(2)若OA＝√3CE，求∠ACB的大小.解：(1)连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB．在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连结OE，则∠OBE＝∠OEB．又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是☉O的切线.5分(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2√3，BE＝√12﹣A2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝√12﹣A2，即x4＋x2﹣12＝0.可得x＝√3，所以∠ACB＝60°.10分23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ＋4＝0.5分(2)将θ＝π4代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ＋4＝0，得ρ2﹣3√2A＋4＝0，解得ρ1＝2√2，ρ2＝√2.故ρ1﹣ρ2＝√2，即|MN|＝√2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.10分24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|﹣2|x ﹣a|，a>0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|﹣2|x ﹣1|﹣1>0.当x ≤﹣1时，不等式化为x ﹣4>0，无解；当﹣1<x<1时，不等式化为3x ﹣2>0，解得23<x<1； 当x ≥1时，不等式化为﹣x ＋2>0，解得1≤x<2. 所以f (x )>1的解集为{A |23<A <2}.5分(2)由题设可得，f (x )＝{A ﹣1﹣2A ，A <﹣1，3A ＋1﹣2A ，﹣1≤A ≤A ，﹣A ＋1＋2A ，A >A .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2A ﹣13，0)，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a>2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). 10分。
2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标1汇编
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和。
2015年全国高考文科数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3。
考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1）已知集合A={x｜x=3n+2,n ∈N｝，B={6，8,12，14｝，则集合A ⋂B中元素的个数为(A）5 （B）4 （C）3 (D）2（2）已知点A（0，1）,B(3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（—7，—4) (B)（7,4）（C）(-1,4） (D)（1，4)（3）已知复数z满足(z-1）i=i+1,则z=（A）—2—I （B）—2+I (C）2—I （D)2+i(4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2,3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A)103(B）15（C）110(D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y²=8x的焦点重合,A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB｜= （A）3 （B）6 （C）9 (D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问：积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A。
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1 2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}AxxnnNB，则集合ABI中的元素个数为 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 2、已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)ACuuur，则向量BCuuur （A） (7,4) （B）(7,4) （C）(1,4) （D）(1,4) 3、已知复数z满足(1)1zii，则z（ ） （A） 2i （B）2i （C）2i （D）2i 4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A） 310 （B）15 （C）110 （D）120 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB （A） 3 （B）6 （C）9 （D）12 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 7、已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10a（ ）
（A） 172 （B）192 （C）10 （D）12 8、函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（ ） （A）13(,),44kkkZ （B）13(2,2),44kkkZ （C）13(,),44kkkZ 2
（D）13(2,2),44kkkZ 9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（ ） （A） 5 （B）6 （C）7 （D）8
10、已知函数1222,1()log(1),1xxfxxx ， 且()3fa，则(6)fa （A）74 （B）54 （C）34 （D）14 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r( ) （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 3
12、设函数()yfx的图像与2xay的图像关于直线yx对称，且 (2)(4)1ff，则a( )
（A） 1 （B）1 （C）2 （D）4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分 13、数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n . 14.已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则 a .
15. 若x,y满足约束条件20210220xyxyxy ,则z=3x+y的最大值为 ．
16.已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A ，当APF周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题 17. （本小题满分12分）已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边，2sin2sinsinBAC. （I）若ab，求cos;B （II）若90Bo，且2,a 求ABC的面积. 18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面，
（I）证明：平面AEC平面BED； （II）若120ABCo，,AEEC 三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.
19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销 4
售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费ix和年销售量1,2,,8iyiL数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（I）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为0.2zyx ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点. （I）求k的取值范围； （II）若12OMONuuuuruuur，其中O为坐标原点，求MN. 5
21. （本小题满分12分）设函数2lnxfxeax. （I）讨论fx的导函数fx的零点的个数； （II）证明：当0a时22lnfxaaa.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB是eO直径，AC是eO切线，BC交eO与点E.
（I）若D为AC中点，证明：DE是eO切线； （II）若3OACE ，求ACB的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求12,CC的极坐标方程. 6
（II）若直线3C的极坐标方程为πR4，设23,CC的交点为,MN，求2CMN 的面积. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数12,0fxxxaa . （I）当1a 时求不等式1fx 的解集； （II）若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文 答案
一、 选择题 7
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
二、 填空题 （13）6 （14）1 （15）4 （16）126
三、 解答题 17、解：
（I）由题设及正弦定理可得2b=2ac.
又a=b，可得cosB=2222acbac=14 ……6分 （II）由（I）知2b=2ac. 因为B=o90，由勾股定理得222ac=b. 故22ac=2ac，的c=a=2. 所以△ABC的面积为1. ……12分 18、解： （I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=o120 ，可得
AG=GC=32x，GB=GD=2x. 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=32x. 由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=22x. 由已知得，三棱锥E-ACD的体积EACDV=13×12AC·GD·BE=366243x. 故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 8
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25. ……12分 19、解： （I）由散点图可以判断，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程式类型. （II）令wx，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
28181()()108.8d=681.6()iiiiiwwyyww
)
,
563686.8100.6cydw))
，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w),因此y关于x的回归方程为 y100.668x)
（Ⅲ）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值 y100.66849=576.6)，
年利润z的预报值 z=576.60.24966.32) ……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 z=0.2(100.6+68)-=-13.620.12xxxx).
所以当13.6=6.82x，即x=46.24时，z)取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分 20、解： （I）由题设，可知直线l的方程为1ykx.
因为l与C交于两点，所以223111kk.
解得 474733k. 所以k的取值范围为4747(,)33. ……5分