因式分解专题讲座
初中数学微专题讲义 专题1.6 例谈因式分解的方法与技巧
【专题综述】因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。
【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1：因式分解32422+++-b a b a 解：原式＝22423a b a b -+++224241a b a b =-+++-22(44)(21)a ab b =++--+22(2)(1)a b =+--(1)(3)a b a b =++-+【解读】根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。
【举一反三】因式分解：611623+++x x x 【答案】(1)(2)(3)x x x +++二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2：因式分解444yx +解：444x y +422422(44)4x x y y x y =++-2222(2)(2)x y xy =+-=2222(22)(22)x xy y x xy y ++-+学&科网【解读】根据多项式的特点,在444x y +中添上22224,4x y x y -两项，，即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。
【举一反三】因式分解4323+-x x 【答案】2(1)(2)x x +-三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
因式分解专题复习讲义
因式分解专题复习讲义教学内容【内容回顾】1.计算(1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982（5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值3.指出下列各多项式的公因式：（1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn（3）－6abc＋3ab2－9a2b4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.【知识精讲】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
（一）提公因式法1、公因式多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。
一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。
2、提公因式法由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（二）公式法1.平方差公式a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积2.完全平方公式a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2两数的平方和加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.（三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b xab2x a b x ab x a x b2。
因式分解专题复习及讲解很详细
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具．因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：（ 1） (a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b 2=(a+b)(a-b) ；(2)(a ±b) 2=a2± 2ab+b2——— a2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)(a+b)(a2-ab+b 2)=a 3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2) ；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a 3-b 3------a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2) ．下边再增补两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2b2c2ab bc ca，则 ABC 的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2b2c2ab bc ca2a22b22c22ab 2bc 2ca三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：am an bm bn剖析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考虑两组之间的联系。
因式分解专题复习及讲解很详细
实用标准文档因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；2222（±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；222222 (2) (a；22333322 (3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)．22333322 (4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)下面再补充两个常用的公式：；2222 (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；333222 (6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)222ba，c，ca?ba??c?ab?bc ABC?已知.，的三边，且例是ABC?的形状是（则）等边三角形 D等腰直角三角形A.直角三角形 B等腰三角形 C222222cac?22bc?ab?22?caabba??c??bc??2a2b?解：222?0?a?b?c)c?ab)?(b?)(?c?a(?三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式am?an?bm?bn 1、分解因式：例分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用a，后两项都含有公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解ppt课件
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
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寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
第四讲_数学培优竞赛讲座整式的乘除----因式分解李诗艺
第四讲 因式分解 一、因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。
二、因式分解的方法：1、 提公因式法：ab ＋ac ＝a (b ＋c)2、 公式法 ：()()()))((.3)(2.2))((.1223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ立方和差公式：完全平方公式：平方差公式：：3、 十字相乘法：(1)对于二次项系数为1（2） 对于二次项系数不是1的二次三项式4、分组分解法：把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解.这种分解因式的方法叫分组分解法.（1）运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：①分组后能提取公因式； ②分组后能运用公式；③重新分组三、因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．四、典例解析：例 、判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解（11）2222)(y xy x y x ++=+ （2）3)1(4222+-=+-x y x（3） )1)(13(1232-+=--x x x x （4）mc mb ma c b a m ++=++)((5) )11(1+=+xx x (6) (x+3)(x-2)=x 2+x-6 第一部分：基本方法:例1：运用提取公因式法进行因式分解： （1）)1)(32()23()1(52a a a a --+-- （2）()()22122n n x x +-+- （n 是正整数）（3）3222)2(12)2(24)2(18x y x x y xy y x x ----- （4）32)(8)(2x y y x ---（4）))((3))((y x z x y z y x y x ---+-++例2 ：利用平方差公式进行因式分解：（1）221164a b -（2）()()2223362a b a b +--（3）4348x - （4）22m n m n -++ （5）117218-+-n n x x例3 ：利用完全平方公式进行因式分解：（1）229644a ab b ++ （2）225101x x -+- （3）222212123m n m n m -+（4）()()22221a b a b -+-+ （5）()222x y x xy y -+-+ （6）2225545991981-++例4：利用十字相乘法进行因式分解：（1）892++x x ； （2）8652-+x x ； （3）3x 2－11xy －14y 2 ；（4）4p 2q 2+15pq+9； （5）6(x+y)2 －7(x+y)－3． （6）10x 4－23x 2y 2－5y 4例5：运用分组分解法分解因式：（1）2222c b ab a -++ （2）25x 2-4a 2+12ab-9ab 2 （3）4+5b-16a 2-20a 2b（4）bc ac b ab a ++++222 (5)6522--+-b a b a（6）x 2-y 2-z 2-2yz+1-2x （7）x 2-6xy+9y 2-10x+30y+25 （8）a 2-a 2b+ab 2-a+b-b2变式训练：用适当的方法分解因式（1）x 3+x 2y-xy 2-y 3（2）yz z y x 449222+-- （3）2322-++-y x y x(4)634++x x 552++x x (5)67222-+--+y x y xy x(6)121553222-+---y x y xy x (7)222222y x by ax b a -+-+-第二部分：其他方法：培优竞赛例题例6：待定系数法：已知2x nx m +-有因式()()12x x --和，求m= ，n 。
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1
因式分解专题
一、基础公式准备：
乘法运算律：)(cbaacab ab-ac=a（b-c）
平方差公式：))((22bababa
完全平方公式：222)(2bababa
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）²
立方和公式：))((2233babababa
证明：
立方差公式：))((2233babababa
证明：
二、因式分解常用方法
因式分解有几种比较常用的方法，如提公因式法、公式法、十字相乘法、
配方法、分组分解法、添拆项法等，其中做标记的是必须学会切熟练运用的。
1、公因式法
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，从而将多项式化成
两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫提公因式法。
注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变
为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）因式分解最后每一个因式都要化到最简，能合并同类项的一定要合并同类项。
如：在多项式ma+mb中,一个因式是m，另一个因式是a+b，即ma+mb=m（a+b）。这种因式分解的
方法就叫提公因式法。
2、
公式法
（常用的公式是平方差公式和完全平方公式）
1、用平方差公式因式分解：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积．如
))((22bababa
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2
2、用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整式）的积的2
倍，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：222)(2bababa，其中
2222
22babababa和
叫做完全平方式。
注意：①用公式法分解因式与整式乘法中完全平方公式正好相反．
②用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公
式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，
而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
③理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。我们把这
个多项式看成一个整体来进行因式分解。
3、十字相乘法
1、概念：在二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a＝
a1a2（两数相乘），常数项c可以分解成两个因数之积，即c＝c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2＋a2c1，若它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c的一次项系
数b，即a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x＋c1与a2x＋c2之积，即ax2＋bx
＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)。
注意：一般情况下把a化成正数。如果二次项系数为±1的话，a1 a
2
的值为1，可以直接写成如下
形式：
pqxqpx)(
2
的因式分解
利用公式：
))(()(2qxpxpqxqpx
4、
分组分解法
1、概念：我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法
进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
2、例题：
yxxyx332212）（ baba44)2(22
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3
解：)32)(()(3)(2332212xyxyxyxxyxxyx）（ )4)(()(4))((44)2(22bababababababa
5、配方法
1、概念：对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公
式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、添项法的一种特殊情况。
注意：必须在与原多项式相等的原则下进行因式分解。
2、例题：
82
2
xx
解：)4)(2(919-1282222xxxxxxx）（
6、添拆项法
1、概念：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、
公式法或分组分解法进行分解。
注意：必须在与原多项式相等的原则下进行因式分解。
2、例题：把 444yx 分解因式．
解
：
)22)(22(22)2(22422422222222222422444xyyxxyyxyxyxyxyyxxyx
三、经典练习
1、分解下列因式：
（1）323111248ababab （2）yxyxyxx32223313231
（3）23)(2)(mnanm （4）
32
)(4)(2yzyzyx
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4
（5）22)2()2(yxyx （6）
24
)xy(y)-4(x
2、计算
（1）)469)(23(22yxyxyx
（2）)964)(32(2xyxx
（3）)916141)(3121(2mmm
（4）))()()((2222babababababa
3、利用立方和、立方差公式进行因式分解
（1）3327nm
（2）338127nm
（3）1253x
（4）66nm
（5） 31a
4、十字相乘法（因式分解）
(1) 276xx (2) 21336xx (3) 2524xx (4) 2215xx
(5) 226xxyy (6) 222()8()12xxxx (7) 21252xx (8) 22568xxyy
5、分组分解法
（1）xyxyx332 （2）222456xxyyxy （3）424139xx；
（4）22222bcabacbc （5）2235294xxyyxy