专题讲解—二次函数的性质4
二次函数知识点归纳
知识点归纳：一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+ 的性质： 上加下减。
`3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a > 向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()h k ，X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h<时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴2y ax bx c =++沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++-）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c=++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x aa 骣-琪=++琪桫，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a 骣-琪-琪桫，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a 骣-琪-琪桫，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -?时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴2bx a=-在y 轴左边则0ab >，在y 轴的右侧则0ab <，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac D=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=?的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0D=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0D<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++?本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0D> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根0D= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0D< 抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用一、引言二次函数是高中数学中经常出现的一种函数形式，它具有许多独特的性质和广泛的应用。
本节课我们将学习二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
二、二次函数的定义与基本性质1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如 y = ax² + bx + c （其中a ≠ 0）的函数。
其中a、b、c 是实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
2. 二次函数图像的性质（1）抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
（2）抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是 x = -b/2a。
（3）抛物线的顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
三、二次函数的性质推导与证明1. 零点的性质（1）二次函数的零点是函数与 x 轴的交点，即使 f(x) = 0。
（2）根据二次函数定义，我们可以列出二次方程 ax² + bx + c = 0，其中a ≠ 0，然后利用求根公式和配方法进行求解。
2. 极值点的性质（1）二次函数的最值点是函数的极值点。
（2）当 a > 0 时，函数有最小值；当 a < 0 时，函数有最大值。
3. 单调性分析（1）当 a > 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递增，在无穷大的正值处单调递减；当 a < 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递减，在无穷大的正值处单调递增。
（2）证明单调性时，可通过求导或按照定义进行推导。
四、二次函数的应用实例1. 弹射运动二次函数可以用来描述抛体的弹射运动。
我们可以通过列出二次函数来分析弹射运动的高度、时间、最远水平距离等。
2. 变速运动二次函数也常常用于描述物体的运动情况，如物体的位移随时间的变化。
利用二次函数的特性，我们可以分析物体的运动过程。
3. 优化问题二次函数可应用于求解最值问题，如在给定条件下，求函数取得极值时的自变量取值。
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
二次函数图像与性质
二次函数图像与性质函数定义是数学的基础，其中二次函数的定义和性质是比较重要的知识点，甚至广泛应用于其他领域如物理学和经济学。
下面将介绍二次函数的定义、图像特点及性质，以及它在实际应用中的意义。
一、二次函数的定义二次函数是指其函数表达式中的次幂最高为二的多项式函数。
它一般用y = ax^2 + bx + c（a≠0）的标准型表示，其中a，b，c为常数。
二、二次函数图像二次函数的图像一般为抛物线，其形状受a参数的影响。
当a>0时，抛物线顶点在x轴的坐标是-b/2a，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线顶点在x轴的坐标是-b/2a，抛物线开口向下。
另外，二次函数外部接近x轴一段距离为4|a|/(4a)。
三、二次函数性质1.值二次函数一般有且只有一个极值点，它的横坐标为-b/2a，而纵坐标则是f(-b/2a)。
2.程解对于 y = ax^2+bx+c（a≠0），它的根可以通过公式求解，即X1，X2＝-b±√(b^2-4ac)／2a。
3.称性若一个函数的自变量a与因变量f(x)的变化，能满足y=f(x)=f(2a-x)的对称性，则该函数称为关于y轴对称函数，它的图象关于y轴对称，即为一个对称的抛物线。
四、二次函数的应用二次函数是数学中比较重要的函数，其实际应用也比较广泛，以下将简单介绍它在物理学和经济学中的应用。
1.理学在力学方面，二次函数可用来描述两个物体之间的相互作用力，例如，一个球如果以固定的速度投掷，受到的空气阻力的变化情况可用二次函数来描述。
2.济学二次函数在经济学中也有重要的应用，例如，关于产品的需求变化可用二次函数来描述，由此可以更有效地进行价格调整。
总之，二次函数是数学中比较实用的函数，它的定义、图像特点及性质以及实际应用都比较重要。
未来，它在科学、物理学和经济学等领域的应用也会更加广泛，期待它在这些领域取得更多成就。
二次函数的基本性质
一、全面理解二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。
②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。
③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。
④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c ≠0），x取任意实数。
（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。
（3）二次函数解析式的三种形式二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0）的图像和性质 ③y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-a b 2。
当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=a b ac 442-；性质：当a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小.一、填空题1．已知a≠0，(1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______．(2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______．(3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=mmxmy是二次函数，则m＝______．3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到．6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=xy，可将抛物线231xy=( )A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A．y＝2x2与y＝3x2 B．2212+=xy与2122+=xyC．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231xy-=的图象相同的抛物线是( )A．2)5(31-=xyB．5312--=xyC．2)5(31+-=xyD．2)5(31+=xy三、会结合图像确定y= 2ax+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a＞0；开口向下a＜0;b的符号：有对称轴的位置和的a符号确定：对称轴是y轴，b=0；对称轴在原点的左侧：0 2ab-，对称轴在原点的右侧，0 2ab-；c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：交点在原点，c=0；交点在原点以上，c＞o；交点在原点以下，c＜0。
二次函数及其性质
二次函数及其性质一、什么是二次函数二次函数是指数学中的一种特殊函数形式，它的表达式为f(x) = ax²+ bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。
它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数的性质1. 函数图像：二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零时的横坐标，也就是使得f(x) = 0的x的值。
二次函数的零点可以有0个、1个或2个。
根据判别式Δ=b²-4ac的值可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ>0时，有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，有两个相等的实根；- 当Δ<0时，没有实根，但有两个共轭复根。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是指函数图像关于某直线对称。
对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴与抛物线的顶点重合。
4. 顶点：二次函数的顶点是指抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为函数值。
5. 零点与系数关系：二次函数的零点与系数之间存在着一定的关系。
对于f(x) = ax² + bx + c：- 若x₁、x₂是二次函数的两个零点，则有x₁ + x₂ = -b/a，x₁ *x₂ = c/a。
6. 函数增减性：二次函数的增减性由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数在对称轴的左侧是递减的，在对称轴的右侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧是递增的，在对称轴的右侧是递减的。
7. 最值：二次函数的最值即是抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值）。
当a>0时，最值为最低点；当a<0时，最值为最高点。
最值的纵坐标为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用由于二次函数在数学中具有重要的地位，它在各个领域有广泛的应用。
以下是二次函数的一些常见应用：1. 物体运动的模型：二次函数可以用来模拟抛物线轨迹的物体运动，比如抛体运动、自由落体运动等。
二次函数二次函数的图象与性质课件ppt
对称轴
直线$x = - \frac{b}{2a}$。
判别式
$\Delta = b^{2} - 4ac$，决定图象 与$x$轴的交点个数。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与a的关系
当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下。
对称轴两侧的函数单调性
在对称轴的两侧，函数单调性相反。
二次函数二次函数的图象与 性质课件ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 特殊形式的二次函数 • 二次函数的应用 • 结论与总结
01
引言
课程背景
二次函数是数学学科中的重要内容 提高学生数学素养
为后续数学学习和应用打下基础
课程目的
掌握二次函数的图 象和性质
二次函数的图象绘制
绘制方法
通过描点法，将自变量与函数值的对应关系标在坐标系中，连成曲线。
绘制步骤
• 确定自变量取值范围，- 分别代入函数解析式求出函数值，- 描点，- 连线 。
二次函数图象的性态
开口方向
由$a$的正负决定，$a > 0$时，开 口向上；$a < 0$时，开口向下。
顶点坐标
$( - \frac{b}{2a},\frac{4ac b^{2}}{4a})$。
图象特征
二次函数的图象是一条抛物线， 有最高点(顶点)和最低点(顶点)， 图象的形状取决于$a$的值。
性质
二次函数在自变量$x$的特定范 围内具有单调性，且单调性取决 于$a$的值。
二次函数的研究展望
更深入的研究
可以进一步研究二次函数的性质、图象和在实际问题中的应用。
二次函数概念与性质
二次函数概念与性质二次函数是高中数学学科中的一个重要内容，是解决实际问题和数学建模的常用工具之一。
在本文中，我们将探讨二次函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该函数。
一、二次函数的定义二次函数是指函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$（其中 $a\neq 0$），其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$、$c$ 是常数。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由 $a$ 的正负决定。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点就是方程$ax^2+bx+c=0$ 的解。
利用求根公式可以求得零点的坐标。
如果零点存在，那么抛物线与 $x$ 轴相交于该点。
2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过将 $x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到。
对称轴将图像划分为两个对称的部分。
3. 顶点：对称轴与抛物线的交点称为顶点。
顶点的坐标可以通过将$x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到，再带入函数表达式求得 $y$ 的值。
4. 最值：当二次函数的开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。
5. 单调性：当 $a>0$ 时，二次函数递增；当 $a<0$ 时，二次函数递减。
6. 函数图像：通过确定顶点、零点和对称轴等关键点，可以绘制出二次函数的图像。
借助图像可以更直观地理解函数的性质。
三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如：1. 物体自由落体：当一个物体自由落体时，其下落过程可以用一个二次函数来描述。
通过分析二次函数的图像，我们可以得到物体的运动规律，计算出物体的高度、速度等相关信息。
2. 抛体运动：抛体运动也可以使用二次函数来描述。
二次函数可以帮助我们预测抛体的轨迹、最高点、最远距离等。
二次函数知识归纳
二次函数知识归纳 二次函数知识点： 1. 二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc(abc，，是常数，0a)的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： (1) 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． (2)abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2yax的性质：
oo 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小． 总结： 2. 2yaxc的性质： 结论：上加下减． 总结：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00， y
轴
0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．
0a 向下 00， y轴
0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴
0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．
0a 向下 0c， y轴
0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c． 3. 2yaxh的性质： 结论：左加右减． 总结：
4. 2yaxhk的性质： 总结：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．
0a 向下 0h， X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： (1) 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，； (2)保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：
二次函数的概念与性质
二次函数的概念与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的概念和性质，并探讨其在数学中的应用。
一、二次函数的概念二次函数是指二次多项式构成的函数。
一般地，二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是常数，a ≠ 0。
在二次函数的图像中，我们可以观察到以下几个特点：1. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中，x表示顶点的横坐标，y表示顶点的纵坐标。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线。
对称轴的方程可以表示为：x = -b / (2a)二、二次函数的性质二次函数具有一些特殊的性质，包括：1. 定义域和值域：二次函数的定义域是实数集R，值域取决于二次函数的开口方向。
当a>0时，值域为[y0, +∞)，其中y0为顶点坐标的纵坐标；当a<0时，值域为(-∞, y0]。
2. 最值点：二次函数在特定范围内的最大值或最小值，称为最值点。
最值点的纵坐标可以通过以下公式计算：y = f(x) = -Δ / (4a)其中，Δ表示二次函数的判别式，Δ=b^2-4ac。
当a>0时，二次函数的最小值点对应的y值为y，当x=-b/2a；当a<0时，二次函数的最大值点对应的y值为y，当x=-b/2a。
3. 零点：二次函数图像与x轴交点的横坐标称为零点，可以通过以下公式计算：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为二次函数的系数，可以使用一元二次方程求根公式计算。
当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个实根；当Δ=b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当Δ=b^2-4ac<0时，方程无实根。
三、二次函数的应用二次函数广泛应用于数学和实际问题中，例如：1. 平面几何中的抛物线：二次函数的图像是一个抛物线，抛物线在几何学中具有重要的作用，用于研究物体的抛射运动、反射等问题。
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二次函数的图像和性质知识点一：二次函数平移问题：1. （2012•鄂州）把抛物线y=x 2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x 2﹣2x+3，则b 的值为（ ） A ． 2B ． 4C ． 6D ． 82. （2011•攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x 2+3；③y=﹣2x 2﹣1；④2112y x =-的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到的函数是 ．（把你认为正确的序号都填写在横线上）3. （2010•徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=（x ﹣2009）（x ﹣2010）+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ） A ． 向上平移4个单位B ． 向下平移4个单位C ． 向左平移4个单位D ． 向右平移4个单位4. （2011•桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A 、y=-（x+1）2+2 B 、y=-（x-1）2+4 C 、y=-（x-1）2+2 D 、y=-（x+1）2+45. 把抛物线y=x 2-2x-3绕点A （3，0）旋转180°后所得的抛物线解析式是6. 抛物线y=-（x-L ）(x-3-k)+L 与抛物线y=(x-3)2+4关于原点对称，L+k= .知识点二：多个函数图像在同一坐标系共存问题： 1. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，反比例函数y =ax与正比例函数y =(b +c )x 在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）2. 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 xc b y ++=a 在同一坐标系内的图像大致为（ ）知识点三：二次函数通过图像与系数a ，b ，c 的关系抛物线开口抛物线对称轴抛物线与坐标轴交点a >0，开口向上 a <0，开口向下│a │越大，开口越小 直线x=-b/2a当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧；与y 轴交点坐标（0，c ），当c =0时，抛物线过原点。
与x 轴交点坐标由b 2-4ac 决定xxxxx1. （2013•菏泽）已知b ＜0时，二次函数y=ax 2+bx+a 2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a 的值等于2. （2011•孝感）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（1,12），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b 2=4a ；④a+b+c＜0．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 43. （2010•天津）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0，其中，正确结论的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 44. （2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32a b =．其中正确信息的个数有（ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个5. （2013•德州）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4知识点四：二次函数增减性的探索：关键点：一看开口，再判断对称轴，亦可画图比较函数值大小。
1. （2011•大连一模）如图，抛物线y=x 2﹣2x+k （k ＜0）与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，其中x 1＜0＜x 2，当x=x 1+2时，y 0（填“＞”“=”或“＜”号）．2. 已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x… 0 1 2 3 … y…5212…点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．1y ≥2y B ．12y y > C ．12y y < D ．1y ≤2y3. （2013•高港区二模）对于任意实数m 、n ，定义m ﹡n=m ﹣3n ，则函数y=x 2﹡x +（﹣1）﹡1，当0＜x ＜3时，y 的范围为（ ）A ． ﹣1＜y ＜4B ． ﹣164＜y ＜4 C ． ﹣1≤y≤4 D ． ﹣164≤y＜﹣4 4. 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象开口向上，并经过点（﹣1，2），（1，0）．则下列结论：①．当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大，②．当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而减小，③．存在一个负数x 0，使得当x ＜x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞x 0时，函数值y 随x 的增大而增大，④．存在一个正数x 0，使得当x ＜x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞x 0时，函数值y 随x 的增大而增大，其中正确的是 ．知识点五：二次函数的对称性常用公式总结：122x x +=2ba- 1. 已知点()()2004,,2004,21x Q x P 是二次函数C:52++=bx ax y 上两点，则当21x x x +=时，y=____________。
2. 已知34922++=x x y ，当x 取不同的值21,x x 时的函数值相等，则当21x x x +=的值（ ）A 、与x=1的函数值相等B 、与x=0时的函数值相等C 、与41=x 时的函数值相等 D 、与49-=x 时的函数值相等 3.已知抛物线2142y x b x =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F2(1,1)k k ---+．求抛物线的解析式_______________．4. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格： x… 2- 1-12… y…162-4- 122- 2- 122- …根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y = ．5. 若二次函数224y bx bx c =++在x 轴的两交点之间的距离为6，求抛物线与x 轴交点坐标。
6. 在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a （x ﹣3）2+k 与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_________．知识点六：二次函数的截距及韦达定理 抛物线与坐标轴的交点 （1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点由对应的一元二次方程的根的判别式判定。
（3）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故1212,b cx x x x a a +=-⋅=；12AB x x a∆=-=1. 在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．求b 、c 的值.2. 已知二次函数2y=axbx c ++同时满足下列条件：○1对称轴是x=1；○2最值是15；○3二次函数的图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a.则b 的值是（ ） A.4或-30 B.-30 C.4 D.6或-20 3. 对于每个非零自然数n ，抛物线()()111122++++-=n n x n n n x y 与x 轴交于n n B A ,两点，以n n B A 表示这两点间的距离，则112220132013...A B A B A B +++的值是_____________。
4. 2234y x kx k =+- （k 为常数，且k ＞0）。
（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ON OM -= ,求k 的值。
5. 已知二次函数y=mx 2+4（m-3）x-16（1）证明：该二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当m 为何值时，二次函数的图象与x 轴的两个交点间的距离为最小？求出这个最小值，并求此时二次函数图象的开口方向与顶点坐标知识点七：二次函数与不等式相结合1）学会画图；2）善于从图像中寻找特殊点3）运用数形结合的思想 1. 试说明二次函数2y=ax bx c ++（a≠0）函数值恒大于0的条件？2. 运用图象法解答：如图，已知函数3y x=-与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则结论：①两函数图象的交点 ；②则关于x 的方程ax 2+bx 3x+＞0的解为 ．3. （2012•贵港）若直线y=m （m为常数）与函数()()2242x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪⎩＞的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是_________ ．4. （2013•杭州）给出下列命题及函数y=x ，y=x2和y=1x的图象： ①如果 1a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1； ②如果a 2＞a ＞1a ，那么a ＞1；③如果1a＞a 2＞a ，那么﹣1＜a ＜0；④如果 a 2＞1a＞a 时，那么a ＜﹣1．则（ ）A ．正确的命题是①④B ． 错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ． 错误的命题只有③5. （2013•扬州）方程x 2+3x ﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程x 3+2x ﹣1=0的实根x 0所在的范围是（ ）A ． 0104x << B ． 01143x << C ． 01132x << D ． 0112x <<知识点八：二次函数最值问题一般方法：法一：利用配方法将解析式化作顶点式；法二：利用二次函数顶点公式来求最值； 易错点：当x 有取值范围时，要根据x 特定的值来判断函数的最值 1. 关于函数2565y x x =--+-的最值中说法正确的是（ ）A. 该函数只有最大值5B. 该函数只有最小值3C. 该函数有最大值5、最小值3D. 该函数有最大值5、最小值12. （2012•呼和浩特）已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x （ ）A ． 有最大值，最大值为92-B ． 有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92- 3. 已知函数2-221y x x t x t =+≤≤+在范围内的最小值为S ，写出函数S 是关于t 的的函数的解析式，并写出S 的取值范围？4. (2012•聊城）某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y （万件）与销售单价x （元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本) (1)写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间函数解析式；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？。