2018届中考数学总复习 二次函数与几何图形综合题 探究全等三角形的存在性问题试题
2018中考复习——二次函数和相似三角形
2018数学中考复习——二次函数与相似三角形二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种：1．如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；(2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ， 试问以A 、B 、F ，为顶点的三角形与△ABC 相似吗请说明理由．2、如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7，52）. 若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称.（1）求抛物线的解析式； （2）求证：∠CFE=∠AFE ；（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由.O ABEDFCxNM3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为 顶点的三角形与△BCE 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说 明理由．4. 如图，已知抛物线与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三x yP O C B A点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连结AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝13，A (3，0)，D (－1，0)，E (0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； (2)求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．7．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，图甲 AED C By x O 图乙(备用图) A ED C By x O锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2． （1）求C 1和C 2的解析式；（2）如图②，过点B 作直线BE ：y=x ﹣1交C 1于点E （﹣2，﹣），连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大若存在，求出Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点．（1）求AD 的长及抛物线的解析式；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似 （3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知菱形ABCD 的边长为，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（- ，3），抛物线y=ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点． （1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE ⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ＜ 3 ）①是否存在这样的t ，使△ADF 与△DEF 相似若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t 的取值范围．（写出答案即可）10.已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)
中考数学专题复习——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。
一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3. （2011日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX 错误!未找到引用源。
【中考数学压轴题专题突破12】二次函数中的直角三角形存在性问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的直角三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．（3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）直线y＝x+1与抛物线交于A 点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1），可得出点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），用待定系数法求出二次函数解析即可求解；（2）求出CQ和AE的长，可得出CQ＝AE，由两直线的解析式k相等可得出CQ 与AE平行；（3）联立直线y＝x+1与抛物线的表达式，并解得x＝﹣1或2．故点D（2，3），过点P作y轴的平行线交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1），根据面积关系可求出m的值；（4）分∠QOH＝90°、∠PQH＝90°、∠QHP＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE ＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD 于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴＝＝＝．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2，∴点P（2，3）或（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m1＝0，m2＝3（舍去），故点P为（0，3）．③当∠PHQ＝90°时，同理可得n＝2，解得（舍去），．故点P 为．综上可得，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），三角形面积，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，正确进行分类是解题的关键．2．【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x ＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．【解答】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，得，解得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝﹣1+3＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）如图，设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标；（2）利用待定系数法确定直线BC解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得EF长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标迎刃而解了；（3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案．【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x 轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴．解得．∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M （1，4）；（2）如图，作EF∥y轴交BC于点F∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3．设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）．∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∴S ＝EF•OB ＝（﹣m2+3m）×3＝﹣（m ﹣）2+．当m ＝时，S最大＝．此时，点E 的坐标是（，）；（3）设P（1，n），A（﹣1，0）、C（0，3），∴AC2＝10，AP2＝4+n2，CP2＝1+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10．①当AC⊥AP时，AC2+AP2＝CP2，即10+4+n2＝n2﹣6n+10．解得n ＝﹣．②当AC⊥CP时，AC2+CP2＝AP2，即10+n2﹣6n+10＝4+n2．解得n ＝．③当AP⊥CP时，AP2+CP2＝AC2，即4+n2+n2﹣6n+10＝10．解得n＝1或2．综上所述，存在，符合条件的点P的坐标是（1，﹣）或（1，）或（1，1）或（1，2），【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C坐标代入y＝a（x+3）（x﹣1）即可；（2）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM＝BN＝t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；（4）求出直线BC的解析式，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF＝90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．【解答】（1）∵在抛物线y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x ﹣1），将C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得，﹣3a ＝，解得，a ＝﹣，∴此抛物线的解析式为y ＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x +；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC ＝，∴AB＝OA+OB＝4，AC ＝＝2，BC ＝＝2，∵AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC 边运动，∴BM＝BN＝t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM＝PM＝BN＝PN＝t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴＝＝，即＝＝，解得，t ＝，CH ＝，∴OH＝OC﹣CH ＝﹣＝，∴y P ＝，设直线AC的解析式为y＝kx +，将点A（﹣3，0）代入y＝kx +，得，k ＝，∴直线AC的解析式为y ＝x +，将y P ＝代入y ＝x +，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）；（4）设直线BC的解析式为y＝kx +，将点B（1，0）代入y＝kx +，得，k ＝﹣，∴直线BC的解析式为y ＝﹣x +，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB ＝90°，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，在y ＝﹣x +中，当x＝﹣1时，y＝2，∴F1（﹣1，2）；当∠CAF＝90°时，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y＝﹣x+n，将点A（﹣3，0）代入y ＝﹣x+n，得，n＝﹣3，∴直线AF的解析式为y ＝﹣x﹣3，在y ＝﹣x﹣3中，当x＝﹣1时，y ＝﹣2，∴F2（﹣1，﹣2）；∴点F的坐标为F1（﹣1，2），F2（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．。
2018年长沙中考数学专题复习类型二-二次函数与几何结合(函数与几何综合题)
题型五函数与几何综合题类型二二次函数与几何结合针对演练1. (2017南雅中学一模)如图，抛物线y＝ax2＋2x－3与x轴交于A、B两点，且A(－3，0)．(1)求抛物线的解析式和点B的坐标；(2)如图①，点P是直线y＝x上的动点，当直线y＝x平分∠APB时，求点P的坐标；(3)如图②，已知直线y＝45x－925分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．第1题图2.(2017怀化)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D 的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找第2题图点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．3. (2017长沙中考模拟卷四)如图①，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴相交于点A(－3，0)、B(1，0)，与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H(3，0)，AD∥GC交y轴于点D.(1)求二次函数的解析式；(2)求证：四边形ACHD是正方形；(3)如图②，点M(t，p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y＝kx交二次函数的图象于另一点N.①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于214，请求出此时①中S的值．第3题图4. (2017长沙中考模拟卷三)如图所示，直线l1交直线l2于y轴上一点A(0，6)，交x轴于点C(8，0)．l2交x轴于点B(－2，0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A、B、C，点P是线段OC上由O向C移动的动点，线段OP＝t(1<t<8)．(1)求直线l1和二次函数的解析式；(2)设抛物线的对称轴与直线l1相交于点M，请在x轴上求一点N，使△AMN的周长最小；(3)设点Q是AC上自点C向点A移动的一动点，且CQ＝OP＝t.若△PQC的面积为S，求S与t的函数关系式；当△PQC为等腰三角形时，请直接写出t的值．第4题图5. (2017南雅中学第七次阶段检测)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与直线AC：y＝－x－6交于y轴上一点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为－2.(1)求出抛物线的解析式；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由；(3)直线AD 交y 轴于点F ，在线段AD 上是否存在一点P ，使∠ADC ＝∠PCF .若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．第5题图6. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，它的顶点为M ，且正比例函数y ＝kx 的图象与二次函数的图象相交于D 、E 两点．(1)求该二次函数的解析式和顶点M 的坐标；(2)若点E 的坐标是(2，－3)，且二次函数的值小于正比例函数的值，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；(3)试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△P AC 为等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第6题图7. (2017郴州)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋85x ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A(2，0)、C(0，－4)．直线l ：y ＝－12x －4与x 轴交于点D.点P 是抛物线y ＝ax 2＋85x ＋c 上的一动点，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，交直线l 于点F .(1)试求该抛物线表达式；(2)如图①，若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标； (3)如图②，过点P 作PH ⊥y 轴，垂足为点H ，连接AC. ①求证：△ACD 是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？第7题图8. (2017长沙中考模拟卷二)如图，抛物线y＝12x2＋mx＋n与直线y＝－12x＋3交于点A、B，与x轴相交于点D、C，连接AC、BC，已知点A(0，3)、C(3，0)．(1)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；(2)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q.问：是否存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)设点E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？第8题图答案1. 解：(1)把A(－3，0)代入y＝ax2＋2x－3，可得9a－6－3＝0，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3，令y＝0，可得x2＋2x－3＝0，解得x ＝1或x ＝－3， ∴B 点坐标为(1，0)；(2)若y ＝x 平分∠APB ，则∠APO ＝∠BPO ， 分两种情况讨论，(i)如解图①，若P 点在x 轴上方，P A 与y 轴交于点B′，第1题解图由于点P 在直线y ＝x 上，可知∠POB ＝∠POB′＝45°， 在△BPO 和△B′PO 中，⎩⎨⎧∠POB ＝∠POB′OP ＝OP∠B′PO ＝∠BPO， ∴△BPO ≌△B′PO(ASA)， ∴B′O ＝BO ＝1， ∴B′(0，1)，设直线AP 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、B′两点坐标代入可得 ⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13b ＝1， ∴直线AP 解析式为y ＝13x ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝13x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32，∴P 点坐标为(32，32)；(ii)若P 点在x 轴下方时，同理可得△BOP ≌△B′OP ， ∴∠BPO ＝∠B′PO ，又∠B′PO 在∠APO 的内部， ∴∠APO≠∠BPO ，即此时没有满足条件的P 点，综上所述，P 点坐标为(32，32)； (3)存在．理由如下：如解图②， 作QH ⊥CF 交CF 延长线于点H ，∵直线CF 的解析式为y ＝45x －925， ∴可求得C(920，0)，F(0，－925)， ∴tan ∠OFC ＝OCOF ＝54， ∵DQ ∥y 轴，∴∠QDH ＝∠MFD ＝∠OFC,∴tan ∠QDH ＝tan ∠OFC ＝54，不妨设DQ ＝t ，则DH ＝441 t ，HQ ＝541t ，∵△QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形，∴若DQ ＝DE ，则S △DEQ ＝12DE·HQ ＝12·t·541t ＝54182 t 2， 若DQ ＝QE ，则S △DEQ ＝12DE·HQ ＝12×2DH·HQ ＝12·2×441 t·541t ＝2041 t 2， ∵54182t 2＜2041t 2，∴当DQ ＝QE 时，△DEQ 的面积存在最大值， 设Q 点坐标为(x ，x 2＋2x －3)，则D(x ，45x －925)， ∵Q 点在直线CF 的下方，∴DQ ＝t ＝45x －925－(x 2＋2x －3)＝－(x ＋35)2＋3，当x ＝－35时，t 取得最大值，t max ＝3，∴S △DEQ 的最大值为2041t 2＝18041，即以DQ 为腰的等腰三角形的面积最大值为18041.2. 解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)，代入得，⎩⎨⎧a －b －5＝025a ＋5b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－4， ∴抛物线的解析式为：在y ＝x 2－4x －5， (2)如解图①，y 轴上取一点D ，连接BD ， 由(1)知抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －5， ∴C(0，－5)，∴OB ＝OC ＝5，BC ＝52， ∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°，∴在△ABC 中有一个固定的角，∠ABC ＝45°，以B ，C ，D 三点为顶点的三角形要与△ABC 相似，必须要有一个角等于45°， 当点D 在点C 的下方时，∠BCD ＝180°－45°＝135°， ∴不会出现45°角， ∴此种情况不存在；当点D 在点C 的上方时，∠BCD ＝45°，存在两种情况： ①当△BCD ∽△ABC 时，BCAB ＝CDBC ， 又∵BC ＝52，AB ＝6， 526＝CD 52，∴CD ＝253， ∵253＞5，∴OD ＝CD －OC ＝253－5＝103， ∴D(0，103)；②当△DCB ∽△ABC 时，DC AB ＝CB BC ＝1，即CD6＝1， ∴CD ＝6， 又∵6＞5，∴OD ＝CD －OC ＝6－5＝1， ∴D(0，1)，∴点D 的坐标为(0，1)或(0，103)时，以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似；(3)令y ＝－5得x 2－4x －5＝－5， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∴E(4，－5)， ∴CE ＝4，设H(a ，a 2－4a －5)，如解图②，点H 是在直线CE 下方抛物线上的动点， ∴0＜a ＜4，设直线y BC ＝kx ＋b ，把点B(5，0)、C(0，－5)代入得： ∴⎩⎨⎧5k ＋b ＝0b ＝－5， 解得⎩⎨⎧k ＝1b ＝－5，∴直线BC 的表达式为y BC ＝x －5， 则点F(a ，a －5)，∴FH ＝a －5－(a 2－4a －5)＝－a 2＋5a ， ∵CE ⊥FH ，∴四边形CHEF 的面积等于12CE×FH ＝12×4×(－a 2＋5a)＝－2a 2＋10a ＝－2(a －52)2＋252， ∵0＜a ＜4，∴当a ＝52时，四边形CHEF 面积有最大值，最大值是252，此时H(52，－354)； (4)∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，点K 为抛物线的顶点， ∴K(2，－9)，∵M(4，m)在抛物线上，即m ＝42－4×4－5＝－5，解得m ＝－5， ∴M(4，－5)，要满足四边形PQKM 周长最小，如解图③，作点M 关于x 轴的对称点M′(4，5)，点K 关于y 轴的对称点K′(－2，－9)，连接M′K′，与x 轴、y 轴的交点即为所求的点P 、Q.设直线M′K′的表达式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎨⎧4k ＋b ＝5－2k ＋b ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝73b ＝－133，∴直线M ′K′的表达式为y ＝73x －133，令y ＝0，x ＝137，令x ＝0，y ＝－133，∴P(137，0)、Q(0，－133)．3. (1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴相交于点A(－3，0)、B(1，0)，∴⎩⎨⎧9a －3b ＋3＝0a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－2， ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3； (2)证明：如解图①，∵二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3，∴点C的坐标为(0，3)，∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴点G的坐标是(－1，4)，设CG所在的直线的解析式是y＝mx＋3，则－m＋3＝4，即m＝－1，∴CG所在的直线的解析式是y＝－x＋3，∴点H的坐标是(3，0)，又∵AD∥CH，设点D的坐标是(0，p)，则p－00－（－3）＝3－00－3＝－1，∴p＝－3，D(0，－3)，∴AO＝CO＝DO＝HO＝3，又∵AH⊥CD，∴四边形ACHD是正方形；(3)解：①如解图②，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，∵四边形ADCM的面积为S，∴S ＝S 四边形AOCM ＋S △AOD ，∵AO ＝OD ＝3，∴S △AOD ＝12AO ·OD ＝12×3×3＝92，∵点M(t ，p)是y ＝kx 与y ＝－x 2－2x ＋3在第二象限内的交点，∴点M 的坐标是(t ，－t 2－2t ＋3)，∵ME ＝－t 2－2t ＋3，MF ＝－t ，又∵S 四边形AOCM ＝S △AMO ＋S △OCM ，∴S 四边形AOCM ＝12×3×(－t 2－2t ＋3)＋12×3×(－t)＝－32t 2－92t ＋92，∴S ＝－32t 2－92t ＋92＋92＝－32t 2－92t ＋9，∵M 在抛物线上且位于第二象限，OA ＝3，∴－3＜t ＜0；②如解图③，作NI ⊥y 轴于点I ，设点N 的坐标是(t 1，p 1)，则NI ＝|t 1|，∴S △CMN ＝S △COM ＋S △CON ＝32(|t|＋|t 1|)，∵t ＜0，t 1＞0，S △CMN ＝214，∴S △CMN ＝32(|t|＋|t 1|)＝32(t 1－t)＝214，∴t 1－t ＝72， 联立⎩⎨⎧y ＝kx y ＝－x 2－2x ＋3， 可得x 2＋(k ＋2)x －3＝0，∵t 1、t 是方程的两个根，t 1＋t ＝－(k ＋2)，t 1t ＝－3，∴(t 1－t)2＝(t 1＋t)2－4t 1t ＝(k ＋2)2－4×(－3)＝494，解得k 1＝－32，k 2＝－52，当k ＝－32时，由x 2＋(2－32)x －3＝0，解得x 1＝－2或x 2＝32(舍去)，当k ＝－52时，由x 2＋(2－52)x －3＝0，解得x 3＝－32或x 4＝2(舍去)，∴t ＝－2或t ＝－32，当t ＝－2时，S ＝－32t 2－92t ＋9＝－32×4－92×(－2)＋9＝12，当t ＝－32时，S ＝－32×94－92×(－32)＋9＝998，∴S 的值为12或998.4. 解：(1)由点A(0，6)、C(8，0)得直线l 1为：y ＝－34x ＋6，将点A(0，6)、B(－2，0)、C(8，0)代入得：y ＝－38x 2＋94x ＋6；(2)由(1)知：抛物线的对称轴为x ＝94－2×（－38）＝3.∵抛物线的对称轴与直线l 1相交于点M ，将x ＝3代入l 1：y ＝－34x ＋6中得y ＝－34×3＋6＝154，∴点M(3，154)，∵在△AMN 中，AM 的长为定值，若△AMN 的周长最小，那么 AN ＋MN 的值最小，如解图①，取点M 关于x 轴的对称点M′，连接AM′交x 轴于N ，则点M′(3，－154)，设直线AM′的解析式为：y ＝kx ＋6，则3k ＋6＝－154，解得k ＝－134，∴直线AM ′为：y ＝－134x ＋6，当y ＝0时，x ＝2413，即 N(2413，0)；(3)如解图②，过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则△AOC ∽△QEC ，∴QE AO ＝QC AC ＝CE CO ，在Rt △AOC 中，AO ＝6，OC ＝8，由勾股定理可得，AC ＝AO 2＋OC 2＝10， ∴QE ＝35QC ＝35t ，CE ＝45QC ＝45t ，OE ＝OC －CE ＝8－45t ， ∴Q(8－45t, 35t)，∵PC ＝OC －OP ＝8－t ，∴S ＝12PC·QE ＝12×(8－t)×35t ＝－310t 2＋125t(1＜t ＜8)；当△PQC 为等腰三角形时，t 1＝6413，t 2＝4013，t 3＝4；【解法提示】PQ 2＝(8－45t －t)2＋(35t)2＝185t 2－1445t ＋64，PC 2＝(8－t)2＝t 2－16t ＋64，CQ 2＝t 2；当PQ ＝PC 时，185t 2－1445t ＋64＝t 2－16t ＋64，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6413；当PQ ＝CQ 时，185t 2－1445t ＋64＝t 2，解得t 1＝8(舍去)，t 2＝4013；当PC ＝CQ 时，t 2－16t ＋64＝t 2，解得t ＝4，∴当△PQC 为等腰三角形时，t 1＝6413，t 2＝4013，t 3＝4.5. 解：(1)直线AC ：y ＝－x －6，当x ＝0时，y ＝－6，即C(0，－6)，当y ＝0时，x ＝－6，即A(－6，0)，∵抛物线顶点D 的横坐标为－2，∴抛物线对称轴为x ＝－2，∴B(2，0)，把A 、B 、C 三点坐标代入函数解析式，得 ⎩⎨⎧36a －6b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝0c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝2c ＝－6，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2＋2x －6＝12(x ＋2)2－8；(2)△ACD 是直角三角形，理由如下：由(1)知，抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2－8，∴D(－2，－8)，∵A(－6，0)，C(0，－6)，∴由两点间距离公式得AC 2＝62＋62＝72，CD 2＝22＋(－8＋6)2＝8， AD 2＝(－2＋6)2＋82＝80，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形；(3)存在．理由如下：设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n.∵A(－6，0)，D(－2，－8)代入解析式，得⎩⎨⎧－6m ＋n ＝0－2m ＋n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝－12， ∴直线AD 的解析式为y ＝－2x －12，当x ＝0时，y ＝－12，即F(0，－12)，设点P 的坐标为(x ，－2x －12)，∵P 在线段AD 上，∴－6＜x ＜－2，∵∠ADC ＝∠DCF ＋∠DFC ，∠PCF ＝∠DCF ＋∠PCD ，∠ADC ＝∠PCF ， ∴∠DFC ＝∠PCD ，在△CPD 和△FPC 中，⎩⎨⎧∠PCD ＝∠PFC ∠CPD ＝∠FPC， ∴△CPD ∽△FPC ，∴CP FP ＝CD FC ，∴CP 2FP 2＝CD 2FC 2，根据两点间距离公式得x 2＋（－2x －12＋6）2x 2＋（2x ）2＝862＝29，化简得35x 2＋216x ＋324＝0， 解得x 1＝－187，x 2＝－185(舍去)．当x ＝－187时，－2x －12＝－2×(－187)－12＝－487，∴点P 的坐标(－187，－487)．6. 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，把(0，－3)代入得： a ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3，配方得：y ＝(x －1)2－4，∴顶点M 的坐标是(1，－4)，综上，该二次函数的解析式是y ＝x 2－2x －3，顶点M 的坐标是(1，－4)；(2)把E(2，－3)代入y ＝kx 得：k ＝－32，∴正比例函数的解析式为y ＝－32x ，把正比例函数与二次函数的解析式联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－32x y ＝x 2－2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32y 1＝94，⎩⎨⎧x 2＝2y 2＝－3， ∴D(－32，94)，E(2，－3)，由图可知：当－32＜x ＜2时，二次函数的值小于正比例函数的值，∴根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围是－32＜x ＜2；(3)存在．理由如下：如解图，连接AC ，存在四个这样的点P ，即以A 为圆心，AC 为半径画弧，交直线x ＝1于P 1(1，6)、P 2(1，－6)两点；以C 为圆心，AC 为半径画弧，交直线x ＝1于点P 3(1，0)、P 4(1，－6)，∵A 、C 、P 4在同一直线上，∴P 4舍去；作线段AC 的垂直平分线，交直线x ＝1于点P 5(1，－1)， ∴点P 的坐标是(1，6)或(1，－6)或(1，0)或(1，－1)．7. (1)解：把A(2，0)、C(0，－4)代入y ＝ax 2＋85x ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋165＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15c ＝－4， ∴该抛物线表达式为：y ＝15x 2＋85x －4；(2)解：设P(x, 15x 2＋85x －4)，则F(x, －12x －4)， ∴PF ＝－12x －4－(15x 2＋85x －4)＝－15x 2－2110x ，∵P 在第三象限，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜015x 2＋85x －4＜0， ∴－10＜x ＜0，∵在平行四边形PCOF 中，PF ＝OC ＝4，∴－15x 2－2110x ＝4，解得x 1＝－8，x 2＝－52，当x ＝－8时，y ＝15x 2＋85x －4＝－4；当x ＝－52时，y ＝15x 2＋85x －4＝－274.∴P 点的坐标为(－8，－4)或(－52，－274)；(3)①证明：把y ＝0代入y ＝－12x －4得x ＝－8,∴D(－8，0)，又∵A(2，0)，C(0，－4)，∴AC 2＝20，CD 2＝80，AD 2＝100，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形；②解：设P(m, 15m 2＋85m －4)，H(0，15m 2＋85m －4),∵C(0，－4)，∴CH ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4－（15m 2＋85m －4）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪15m 2＋85m ，PH ＝||m ， ∵P 、C 、H 三点不共线，∴m≠0，(i)当△PCH ∽△ADC 时，有PH AC ＝CH DC ， 即||m 25＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪15m 2＋85m 45，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝2，m 3＝－18；(ii)当△PCH ∽△DAC 时，有PH DC ＝CH AC ，即||m 45＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪15m 2＋85m 25，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝－212，m 3＝－112.综上所述，当P 点的横坐标为2，－18，－112，－212时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．8. 解：(1)把点A(0，3)、C(3，0)代入y ＝12x 2＋mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝312×9＋3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－52n ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－52x ＋3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋3y ＝12x 2－52x ＋3，解得⎩⎨⎧x 1＝0y 1＝3或⎩⎨⎧x 2＝4y 2＝1， ∴点B 的坐标为(4，1)，如解图①，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，∵点C(3，0)，点B(4，1)，BH ⊥x 轴，∴BH ＝CH ＝1，∴∠BCH ＝45°，BC ＝2，同理，∠ACO ＝45°，AC ＝32，∴∠ACB ＝180°－45°－45°＝90°，∴tan ∠BAC ＝BC AC ＝232＝13； (2)存在点P ，使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，理由如下： 在y 轴右侧抛物线上任取一点为点P ，连接P A ，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，则∠PGA ＝90°，设点P 的横坐标为x ，由点P 在y 轴右侧可得x ＞0，则PG ＝x ， ∵PQ ⊥P A ，∠ACB ＝90°，∴∠APQ ＝∠ACB ＝90°，若点G 在点A 的下方，∵y ＝12x 2－52x ＋3＜3，x ＞0，∴0＜x ＜5，(i)如解图②，当∠P AQ ＝∠CAB 时，则△P AQ ∽△CAB ，∵∠PGA ＝90°，∠BCA ＝90°，∠P AQ ＝∠CAB ，∴△PGA ∽△BCA ，∴PG AG ＝BC AC ＝13，∴AG ＝3PG ＝3x ，则P(x ，3－3x)，把P(x ，3－3x)代入y ＝12x 2－52x ＋3，得12x 2－52x ＋3＝3－3x ，整理得x 2＋x ＝0，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝－1(舍去)；(ii)如解图③，当∠P AQ ＝∠CBA 时，则△P AQ ∽△CBA ，同理可得，AG ＝13PG ＝13x ，则P(x ，3－13x)，将P(x ，3－13x)代入y ＝12x 2－52x ＋3，得12x 2－52x ＋3＝3－13x ，整理得x 2－133x ＝0，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝133，∴P(133，149)；若点G 在点A 的上方，x ＞0，y ＝12x 2－52x ＋3＞3，∴x ＞5，(i)当∠P AQ ＝∠CAB 时，则△P AQ ∽△CAB ，同理可得，点P 的坐标为(11，36)；(ii)当∠P AQ ＝∠CBA 时，则△P AQ ∽△CBA ，同理可得，点P 的坐标为(173，449)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(11，36)、(133，149)、(173，449)；(3)如解图④，在AC 上任取一点为点E ，过点E 作EN ⊥y 轴于点N.在Rt △ANE 中，EN ＝AE·sin45°＝22AE ，NE ＝AN ，即AE ＝2EN ，∴点M 在整个运动中所用的时间为：DE 1＋EA2＝DE ＋EN ，作点D 关于AC 的对称点D′，连接D′E ，D′C ，则有D′E ＝DE ，D′C ＝DC ，∠D′CA ＝∠DCA ＝45°，∴∠D′CD ＝90°，DE ＋EN ＝D′E ＋EN ，根据两点之间线段最短可得：当D′、E 、N 三点共线时，DE ＋EN ＝D′E ＋EN 最小，∵∠D′CD ＝∠D′NO ＝∠NOC ＝90°，∴四边形OCD′N 是矩形，∴ND′＝OC ＝3，ON ＝D′C ＝DC ，对于y＝12x2－52x＋3，当y＝0时，有12x2－52x＋3＝0，解得：x1＝2，x2＝3，∴D(2，0)，OD＝2，∴ON＝DC＝OC－OD＝3－2＝1，∴NE＝AN＝AO－ON＝3－1＝2，∴点E的坐标为(2，1)，综上所述，当点E的坐标为(2，1)时，点M在整个运动中用时最少．。
2018中考专题复习(二次函数三角形与四边形)
1． 如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （3,0），C （-1,0）两点，与y 轴交于点B （0,3），点P 为抛物线对称轴上一动点.（1）求抛物线的解析式；（2）若△PBA 的面积与△ABC 的面积相等，求点P 的坐标；（3）是否存在点P 使△PBA 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；。
2018年云南中考数学二轮复习课件-重难点突破3 二次函数与几何图形的综合题
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2018年中考数学复习课件
1 (1)填空：b＝ __ __，c＝__4__； 3 (2)在点 P， Q 运动的过程中， △ APQ 可能是直角三 角形吗？请说明理由； (3)在 x 轴下方， 该二次函数的图象上是否存在点 M， 使△PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存 在， 请求出运动时间 t；若不存在 ，请说明理由．
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2018年中考数学复习课件
1． (2017² 乌鲁木齐 ) 如图 ， 抛物线 y ＝ ax ＋ bx＋ c(a≠ 0)与直线 y ＝x＋1 相交于 A(－1，0)，B(4，m)两点， 且抛物线经过点 C(5， 0)． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线上的一个动点(不与点 A，点 B 重合 )， 过点 P 作直 线 PD⊥x 轴于点 D， 交直线 AB 于点 E. ①当 PE＝2ED， 求 P 点坐标； ②是否存在点 P 使△BEC 为等腰三角形 ， 若存在 ， 请直接写出点 P 的坐标；若不存在 ，请说明理由．
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2018年中考数学复习课件
AO AC 3 5 0≤t≤4， 故在点 P， Q 运动的过程中 ，△ APQ 不可能是直角三
角形；
解：(2)△ APQ 不可能是直角三角形．理由如下： 由题意可知 AP＝ t， AQ＝ 3＋ t. 若△APQ 为直角三角形，则只可能 ∠APQ＝90° . ∴必有 △APQ∽△AOC， AP AQ t 3＋t ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 t＝ 4.5.由题意可知 ，
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2018年中考数学复习课件
【满分突破】 1.对于直角三角形的探究问题 ， 解题时一般 需做好以下几点： (1)利用坐标系中两点距离公式，得到所求三 角形三边平方的代数式； (2)确定三角形中的直角顶点，若无法确定则 分情况讨论； (3)根据勾股定理得到方程，然后解方程 ，若 方程有解， 则此点存在；否则不存在． 注：有时也可以考虑运用所求三角形与已知 的直角三角形相似 ， 利用比例关系求出对应的参 数．
2018年中考数学：存在性问题复习
2017年初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD 的面积为43，∴23EAM S =△，∴1232AM AE =·， 又2AM =，∴2 3.AE =因此，点E 的坐标为()1123E -，或()2123.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM 中，23tan 32EA EMA AM ∠===，∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=°过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴13MF DF ==，因此，切点D 的坐标为()23，．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将()()12323E D -，、，的坐标代入得 3223k b k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩解之，得33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD 的函数关系式为353.33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.33y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，16x =±； 当2y =-时，由223y x x =--得，12x =±.故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()123162162122P P P +-+-，、，、，、 ()4122.P --，说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -xy MCBDAO 图2xyCB _ D_ AOxyN MO P 2P 1BDAP 3C 图3O A GBD CE H xy F(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1， 易求22,2AM BM ==122222ABM S =⨯⨯= ；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=⨯ ，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：22x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：123(22,4),(22,4),(0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标；(3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H ．请问过A 、B 、C 三点的抛物线上是否存在点P ，使得S △P AG ＝3 4S △PEH．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (2017甘肃）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . …………………………8分 ∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10重庆潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++122c c b解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2）∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OCDEAO AD = ∴122DEm =- ∴DE =22m -∴△CDE 的面积=21×22m-×m=242mm +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1)过点P 作PH ⊥y 轴于HABCEDxy o题图26∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
2018中考复习——二次函数和相似三角形
2018数学中考复习——二次函数与相似三角形二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种：1．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗请说明理由．2、如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，52）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∠CFE=∠AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.OABEDFCxNM3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为 顶点的三角形与△BCE 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说 明理由．4. 如图，已知抛物线与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.x yP O C B A5．如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连结AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝13，A (3，0)，D (－1，0)，E (0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； (2)求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．图甲A ED C By x O图乙(备用图)A ED C By xO7．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2． （1）求C 1和C 2的解析式；（2）如图②，过点B 作直线BE ：y=x ﹣1交C 1于点E （﹣2，﹣），连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大若存在，求出Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点．（1）求AD 的长及抛物线的解析式；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（33），抛物线y=ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点． （1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ＜ 3 ）①是否存在这样的t ，使△ADF 与△DEF 相似若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）10.已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
中考数学二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问(Wen)题 及参考答案一、二次函数中相似三(San)角形的存在性问题 1.如图，把抛(Pao)物线向左(Zuo)平移(Yi)1个(Ge)单位，再向下平移(Yi)4个单位，得(De)到抛物线2y x =.所得抛物线与2y x =轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与2y x =轴交于点C ，顶点为D.（1）写出2y x =的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM 2y x =x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存(Cun)在性问题3.如图，抛物(Wu)线2y x =与(Yu)双曲线2y x =相(Xiang)交于点(Dian)A ，B ．已(Yi)知点(Dian)B 的坐标(Biao)为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥2y x =轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点(Dian)M 为(Wei)y 轴上(Shang)任意一点，当点M 到(Dao)A 、B 两点的距离之和为最小时(Shi)，求此时点M 的(De)坐标；（2分(Fen)）（3）在(Zai)第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。
【中考数学】2018题型专项(十一) 函数与几何图形综合题
题型专项(十一) 函数与几何图形综合题年份 云南昆明曲靖考查规律总结2017函数与几何图形的综合题是云南学业水平考试压轴题的考查重点，常结合三角形、四边形、圆等考查二次函数或一次函数的解析式、点的坐标，综合探究图形的面积问题、存在三角形为直角三角形或等腰三角形、存在三角形相似，存在平行四边形、存在线段长度的最值问题等．这类压轴题的综合性强，难度较大，复习时应加强训练，突破高分瓶颈．2016(1)求抛物线的解析式； (2)探究图形的面积问题； (3)探究等腰三角形和直角三角形的存在性问题． (1)求抛物线的解析式； (2)探究线段的最值问题； (3)探究正方形的顶点的位置问题.2015(1)求直线和抛物线的解析式；(2)探究直角三角形的存在性问题． (1)求抛物线的解析式； (2)探究线段的数量关系； (3)探究三角形相似的存在性问题．探究与圆的位置关系有关的问题. 2014(1)求直线的解析式； (2)探究三角形相似的存在性问题；(3)探究图形的面积问题．(1)求抛物线的解析式； (2)探究图形的面积最值问题；(3)探究图形的面积比问题． (1)求抛物线的解析式； (2)计算点到直线的距离； (3)探究平行四边形的存在性问题.2013(1)求抛物线的解析式； (2)求点的坐标；(3)探究平行四边形的存在性问题．(1)求抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)探究三角形相似的存在性问题.2012(1)求抛物线的解析式；(2)求点的坐标； (3)探究直角三角形的存在性问题．(2016·昆明T23·12分)如图，对称轴为直线x ＝12的抛物线经过B (2，0)，C (0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A .(1)求抛物线的解析式；【思路点拨】 已知对称轴，可设顶点式y ＝a (x －12)2＋k ，然后将点B ，C 的坐标代入，解方程组即可得到抛物线的解析式．(一题多解)∵抛物线的对称轴为直线x ＝12.∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －12)2＋k (a ≠0). 1分∵抛物线经过点B (2，0)，C (0，4)，∴⎩⎨⎧94a ＋k ＝0，14a ＋k ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，k ＝92. 2分∴抛物线的解析式为y ＝－2(x －12)2＋92，即y ＝－2x 2＋2x ＋4. 3分∵抛物线的对称轴为直线x ＝12，A ，B 两点关于直线x ＝12对称且B (2，0)，∴A (－1，0)．∴设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)(a ≠0). 1分∵抛物线经过点C (0，4)，∴－2a ＝4，解得a ＝－2. 2分 ∴抛物线的解析式为y ＝－2(x ＋1)(x －2)，即y ＝－2x 2＋2x ＋4. 3分设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝12且经过点B (2，0)，C (0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝12，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝4，1分 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，c ＝4.2分∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4. 3分, 方法指导二次函数的解析式的确定：1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a ，b ，c(a ，h ，k 或a ，x 1，x 2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)；(3)已知抛物线与x 轴的两个交点(或横坐标x 1，x 2)时，选用交点式，即y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)； 2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；(3)解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．,(2)若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；【思路点拨】 先设点的坐标，再利用割补法将四边形COBP 的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差，然后根据二次函数的性质求最值．(一题多解)如图1，连接BC ，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E. 设直线BC 的解析式为y ＝dx ＋t(d ≠0)． ∵直线BC 经过点B(2，0)，C(0，4)，∴⎩⎨⎧2d ＋t ＝0，t ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，t ＝4.∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4. 4分∵P 为第一象限内抛物线上一点，图1设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)(0<n<2)， 则E 点坐标为(n ，－2n ＋4)． ∴PE ＝PF －EF＝|－2n 2＋2n ＋4|－|－2n ＋4| ＝－2n 2＋2n ＋4＋2n －4 ＝－2n 2＋4n.∵S △BPC ＝S △BPE ＋S △CPE ＝12PE·BF ＋12PE·OF ＝12PE·(BF ＋OF) ＝12PE·OB ＝－2n 2＋4n.∴S ＝S 四边形COBP ＝S △OCB ＋S △BPC＝－2n 2＋4n ＋4 6分 ＝－2(n －1)2＋6.∴当n ＝1时，S 最大＝6. 7分如图2，过点P 作PE ⊥y 轴于点E.图2∵P 为第一象限内抛物线上一点， 设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)， 则E 点坐标为(0，－2n 2＋2n ＋4)，∴PE ＝n ，CE ＝4＋2n 2－2n －4＝2n 2－2n.∵S △PEC ＝12n(2n 2－2n)＝n 3－n 2， 4分S 四边形OBPE ＝12(n ＋2)(－2n 2＋2n ＋4)＝－n 3－n 2＋4n ＋4，∴S ＝S 四边形COBP ＝S △PEC ＋S 四边形OBPE ＝n 3－n 2－n 3－n 2＋4n ＋4＝－2n 2＋4n ＋4 6分 ＝－2(n －1)2＋6.∴当n ＝1时，S 最大＝6. 7分(3)若M 是线段BC 上一动点，在x 轴上是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 在探究同时存在两个结论时，通常先假设一个结论成立，然后探究另一个结论是否也成立，方法一般也不唯一，详见答题示范中的一题多解．方法指导1．探究面积最值的存在性：第2问是与抛物线有关的三角形或是四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同样，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值．解决这类问题的基本步骤：(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t 或动点的坐标(t ，at 2＋bt ＋c)；(2)①求三角形面积最值时要用含t 的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t 的代数式表示的底和高；②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t 的代数式表示的线段；(3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积； (4)用二次函数的知识来求最大值或最小值． 2．探究面积等量关系的存在性问题： 对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤： (1)弄清其取值范围，画出符合条件的图形；(2)确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；(3)过动点作有关三角形的高或平行于y 轴、x 轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性．3．探究线段最值问题：无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还有两条线段差的最大值等，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的基本图形就是“将军饮马问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决．,存在点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形．理由如下：分以下两种情况：(ⅰ)如图3所示：当∠BQM＝90°时，图3∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ.由(2)的得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4.设M点坐标为(m，－2m＋4)(0<m<2)，则MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m.在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝22＋42＝2 5.∵MQ∥OC，∴△BMQ∽△BCO.∴BMBC＝BQBO，即BM25＝2－m2.∴BM＝5(2－m)＝25－5m.∴CM＝BC－BM＝25－(25－5m)＝5m. 9分∵CM＝MQ，∴－2m＋4＝5m，m＝45＋2＝45－8.∴Q(45－8，0). 10分如图3所示：当BQM＝90°时，∵CMQ＝90°，∴只能CM＝MQ.由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4.设M(m，－2m＋4)(0<m<2)，则MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m.在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝2 5.在Rt△MBQ中，BM＝MQ2＋BQ2＝（－2m＋4）2＋（2－m）2＝5|m－2|＝5(2－m)＝25－5m .∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m )＝5m . 9分∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m ，m ＝45＋2＝45－8.∴Q (45－8，0). 10分如图4所示：当∠BQM ＝90°时，图4∵∠CMQ >90°，∴只能CM ＝MQ .由(2)的解法一得：直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4.设M 点坐标为(m ，－2m ＋4)(0<m <2)，过点M 作MD ⊥y 轴于点D ， 则DM ＝m ，CD ＝4－(－2m ＋4)＝2m . 在Rt △CDM 中，CM ＝CD 2＋DM 2＝5m .∴CM ＝MQ ＝5m 9分． ∵tan ∠CBO ＝OCOB＝2，∴tan ∠MBQ ＝MQ BQ ＝2，即5m2－m＝2.解得m ＝45－8.∴Q (45－8，0). 10分 方法指导1．在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：(1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；(2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；(3)计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边(表示线段时，还要注意代数式的符号)，再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标．2．除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的方法类似：(1)假设结论成立；(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为符合条件的点；②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在；(以上方法即可找出所有符合条件的点)(3)计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．(ⅱ)如图5所示：当∠QMB ＝90°时．图5∵∠CMQ ＝90°，∴只能CM ＝MQ.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，设M(m ，－2m ＋4)(0<m<2)， 则ON ＝m ，MN ＝－2m ＋4，NB ＝2－m. 由(ⅰ)得：BM ＝25－5m ，CM ＝5m.∵∠QBM ＝∠OBC ，∠QMB ＝∠COB ＝90°， ∴Rt △BOC ∽Rt △BMQ.∴BO BM ＝OCMQ ，即225－5m ＝4MQ.∴MQ ＝2(25－5m)＝45－25m. ∵CM ＝MQ ，CM ＝5m ， ∴5m ＝45－25m.∴m ＝43. 11分∴M(43，43)．∵MN ⊥x 轴于点N ，MQ ⊥BC ， ∠QMN ＋∠NMB ＝90°， ∠NMB ＋∠NBM ＝90°. ∴∠QMN ＝∠MBN.又∵∠BNM ＝∠MNQ ＝90°， ∴Rt △BNM ∽Rt △MNQ. ∴BN MN ＝NMNQ ，即2－4343＝43NQ. ∴NQ ＝83.∴OQ ＝NQ －ON ＝83－43＝43.∴Q(－43，0). 12分如图6所示：当∠QMB ＝90°时，图6∵∠CMQ ＝90°，∴只能CM ＝MQ.设M 点坐标为(m ，－2m ＋4)(0<m<2)． 在Rt △COB 和Rt △QMB 中，∵tan ∠CBO ＝tan ∠MBQ ＝OC OB ＝42＝2，又∵tan ∠MBQ ＝MQBM，由(ⅰ)知BM ＝25－5m ，MQ ＝CM ＝5m. ∴tan ∠MBQ ＝MQ BM ＝5m25－5m＝2.∴5m ＝45－25m. ∴m ＝43. 11分∴M(43，43)．此时，BM ＝25－5m ＝235，MQ ＝43 5. ∴BQ ＝BM 2＋MQ 2＝1009＝103. ∴OQ ＝BQ －OB ＝103－2＝43.∴Q(－43，0). 12分综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(45－8，0)或(－43，0)．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D(3，－4)．(1)求直线BD 和抛物线的解析式；【思路点拨】 由直线方程y ＝2x ＋2可求出B 点的坐标，把B ，D 两点代入y ＝－x 2＋bx ＋c 中即可求出抛物线解析式，由B ，D 两点可求出直线BD 的解析式．【自主解答】∵y ＝2x ＋2， ∴当y ＝0时，x ＝－1； 当x ＝0时，y ＝2，∴A(－1，0)，B(0，2)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点B(0，2)， D(3，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋m ，由题意，得⎩⎨⎧m ＝2，3k ＋m ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2. ∴直线BD 的解析式为y ＝－2x ＋2.(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】 与△BOC 相似的△MON ，只有两个直角顶点可以确定对应，所以要分两种情况讨论，再利用△MON 的两条直角边恰好是点M 的坐标，与△BOC 的两直角边对应成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合条件．【自主解答】所求的解存在．由(1)可知C(1，0)． 设M(a ，－a 2＋a ＋2)．∵MN ⊥x 轴，∴∠BOC ＝∠MNO ＝90°，即点O 与点N 对应，可分两种情况讨论：①如图1，当△BOC ∽△MNO 时，BO MN ＝OC NO. ∴2－a 2＋a ＋2＝1a，解得a 1＝1，a 2＝－2(舍)．∴M(1，2)；②如图2，当△BOC ∽△ONM 时，BO ON ＝OC NM， ∴2a ＝1－a 2＋a ＋2，解得a ＝1＋334或1－334(舍)． ∴M(1＋334，1＋338)．∴符合条件的点M 的坐标为(1，2)或(1＋334，1＋338)．方法指导探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想以及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：(1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；(3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．(3)在直线BD 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PH 垂直于x 轴，交直线BD 于点H ，是否存在点P 使四边形BOHP 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 点P 在抛物线上，可设出点P 的坐标，从而可表示出点H 的坐标，因为作PH ⊥x 轴，所以可得PH ∥OB.要证四边形BOHP 是平行四边形，只需证PH ＝OB ，再利用PH 的长可列方程求出P 点的坐标．【自主解答】 存在．设P(t ，－t 2＋t ＋2)，H(t ，－2t ＋2)．如图3， ∵四边形BOHP 是平行四边形，∴BO ＝PH ＝2.∵PH ＝－t 2＋t ＋2＋2t －2＝－t 2＋3t ， ∴2＝－t 2＋3t ，解得t 1＝1，t 2＝2. 当t ＝1时，P(1，2)； 当t ＝2时，P(2，0)．∴存在点P(1，2)或(2，0)使四边形BOHP 为平行四边形．, 方法指导在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；(3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解．类型1 探究图形的面积问题1．(2017·普洱市思茅三中一模)如图，直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(－1，0)．(1)求该二次函数的关系式；(2)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．解：(1)令直线y ＝－12x ＋2中y ＝0，得x ＝4.∴B(4，0)．令x ＝0，得y ＝2. ∴C(0，2)．设二次函数的关系式为y ＝a(x ＋1)(x －4)，将点C 的坐标代入，得 －4a ＝2，解得a ＝－12.∴二次函数的关系为y ＝－12x 2＋32x ＋2.图1(2)如图1所示．抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝32，∴OD ＝32.又∵OC ＝2， ∴CD ＝22＋（32）2＝52.当PD ＝CD 时，P(32，52)；当P′D ＝CD 时，P ′(32，－52)；过点C 作CE ⊥对称轴，垂足为E. 当CP″＝CD 时DE ＝EP″.∵DE ＝CO ＝2，∴DP ″＝4.∴P″(32，4)．∴点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．图2(3)如图2所示．∵△CBD 的面积为定值，∴△CBF 的面积最大时，四边形CDBF 的面积最大． 设点F(m ，－12m 2＋32m ＋2)，则E(m ，－12m ＋2)，∴FE ＝－12m 2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m 2＋2m.∴S △CBF ＝12FE·OB ＝－m 2＋4m ＝－(m －2)2＋4.∴当m ＝2时，S △CBF 最大，即E(2，1)，△CBF 的最大面积为4. ∴四边形CDBF 的最大面积为S △CBD ＋S △BCF ＝12BD·OC ＋4＝12×(4－32×2＋4)＝6.5.2．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求K 点坐标．解：(1)将A (－2，0)，B (4，0)两点坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)，得⎩⎨⎧4a －2b －3＝0，16a ＋4b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝38，b ＝－34.∴抛物线的解析式为y ＝38x 2－34x －3.(2)设运动时间为t 秒．过点Q 作QD ⊥AB ，垂足为点D ， 易证△OCB ∽△DQB ，∴OC DQ ＝BCBQ.∵OC ＝3，OB ＝4，∴BC ＝5.又∵AP ＝3t ，PB ＝6－3t ，BQ ＝t ，由题意知0＜t ＜2， ∴3DQ ＝5t .∴DQ ＝35t . ∴S △PBQ ＝12PB ·DQ ＝12(6－3t )·35t＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910.∴当t ＝1时，S △PBQ 最大，最大值为910，即当运动1秒时，△PBQ 的面积最大，最大面积为910.(3)设K (m ，38m 2－34m －3)．连接CK ，BK ，作KL ∥y 轴交BC 于点L . 由(2)知S △PBQ ＝910.∵S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2 ，∴S △CBK ＝94.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋n . ∵B (4，0)，C (0，－3)， ∴⎩⎨⎧4k ＋n ＝0，n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，n ＝－3. ∴直线BC 的解析式为y ＝34x －3.∴L (m ，34m －3)．∴KL ＝32m －38m 2.∴S △CBK ＝S △KLC ＋S △KLB ＝12·(32m －38m 2)·m ＋12·(32m －38m 2)·(4－m )＝3m －34m 2.∴3m －34m 2＝94，解得m ＝1或m ＝3.∴K 点坐标为(1，－278)或(3，－158)．3．(2017·楚雄州双柏县二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA ＝1，OB ＝3，OC ＝4.(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在抛物线上是否存在一点P ，使△ACP 的面积等于△ACB 的面积？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点Q ，使得以点A ，B ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. ∵OA ＝1，OB ＝3，OC ＝4.∴A(1，0)，B(0，3)，C(－4，0)． 将A ，B ，C 坐标代入函数解析式，得∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－94，c ＝3.∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为 y ＝－34x 2－94x ＋3.∵y ＝－34x 2－94x ＋3＝－34(x ＋32)2＋7516，∴抛物线的顶点坐标是(－32，7516)．(2)存在点P ，使△ACP 的面积等于△ACB 的面积，理由： 设点P 的坐标为P(m ，n)．∵S △ACB ＝12·5×3＝152，S △ACP ＝12·5·|n|，∴12·5·|n|＝152，n ＝±3. ∴当n ＝3时，－34m 2－94m ＋3＝3，解得m 1＝0(舍)，m 2＝－3，即P(－3，3)； 当n ＝－3时，－34m 2－94m ＋3＝－3，解得m 1＝－3＋412，m 2＝－3－412，即P 2(－3＋412，－3)，P 3(－3－412，－3)．综上所述：P 的坐标为(－3，3)或(－3＋412，－3)或(－3－412，－3)．(3)存在点Q ，使得以点A ，B ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC ＝AC ＝5.①当BQ 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BQ＝AC＝BC＝5.∵BQ∥AC，∴点Q的坐标为(5，3)．②当点Q在第二、三象限时，以点A，B，C，Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形．综上，当点Q的坐标为(5，3)时，以点A，B，C，Q为顶点的四边形为菱形．类型2 探究直角三角形的存在性问题1．(2017·昆明市官渡区交际合作学校模拟)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是x 轴下方的抛物线上的一个动点，过点M 作MN ⊥x 轴，交直线BC 于点N ，求四边形MBNA 的最大面积，并求出点M 的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点P ，使△BCP 为直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．备用图解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)，把C(0，3)代入，得 a ·(－1)·(－3)＝3，解得a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3.(2)如图1，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C(0，3)，B(3，0)代入，得⎩⎨⎧b ＝3，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3. ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.设M(x ，x 2－4x ＋3)(1＜x ＜3)，则N(x ，－x ＋3)， ∴MN ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x. ∴S 四边形MBNA ＝S △ABM ＋S △ABN ＝12·AB·MN＝12·2·(－x 2＋3x)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94. 当x ＝32，即PM(32，－34)时，四边形MBNA 的面积最大，最大值为94.(3)存在．理由：∵OB ＝OC ，∴△OBC 为等腰直角三角形．∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.如图①过点B 作PB ⊥BC 交抛物线于点P ，交y 轴于点Q ，则∠CBQ ＝90°.图1∵∠OBQ ＝45°，∴△OBQ 为等腰直角三角形． ∴OQ ＝OB ＝3.∴Q(0，－3)． 易得直线BQ 的解析式为y ＝x －3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ＋3，y ＝x －3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.(舍去) ∴此时P 点坐标为(2，－1)；如图2，过点C 作PC ⊥BC 交抛物线于点P ，延长PC 交x 轴于点Q ，则∠PCB ＝90°. 易得直线CQ 的解析式为y ＝x ＋3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ＋3，y ＝x ＋3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8.(舍去) ∴此时P 点坐标为(5，8)；当∠BPC ＝90°时，如图3，作PH ⊥y 轴于H ，BF ⊥PH 于F.设P(t ，t 2－4t ＋3)． 易证得△CPH ∽△PBF.∴PH BF ＝CH PF ，即t－（t 2－4t ＋3）＝3－（t 2－4t ＋3）3－t ，解得t 1＝5－52，t 2＝5＋52. 此时P 点坐标为(5－52，1－52)或P′(5＋52，1＋52)．综上所述，满足条件的P 点坐标为(2，－1)，(5，8)，(5－52，1－52)，(5＋52，1＋52)．图2图32．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝kx ＋n(k ≠0)经过B ，C 两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC ＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以B ，C ，P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵C(0，3)，∴OC ＝3.在Rt △BOC 中，OC ＝3，BC ＝5，∠BOC ＝90°， 由勾股定理，得OB ＝BC 2－OC 2 ＝52－32＝4. ∴点B(4，0)．∵直线y ＝kx ＋n 经过点B(4，0)和C(0，3)， ∴⎩⎨⎧4k ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，n ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－34x ＋3.∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(4，0)和C(0，3)， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝－154，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝34x 2－154x ＋3.(2)存在点P ，使得△BCP 为直角三角形． 理由：∵y ＝34x 2－154x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝52.设抛物线的对称轴与直线BC 相交于点D ，将x ＝52代入y ＝－34x ＋3，得y ＝98.∴点D 的坐标为(52，98)．设点P(52，m)，抛物线的对称轴为直线l ，直线l 与x 轴相交于点E.①当以点C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥BC 交l 于点P 1，作CM ⊥l 于点M. ∵∠P 1CM ＝∠CDM ，∠CMP 1＝∠DMC ， ∴△P 1CM ∽△CDM. ∴P 1M CM ＝CMDM，即CM 2＝P 1M ·DM. ∴(52)2＝(m －3)(3－98)，解得m ＝193. ∴P 1(52，193)；②当以点B 为直角顶点时，过点B 作BP 2⊥BC ，交l 于点P 2. ∵∠BDE ＝∠P 2BE ，∠DEB ＝∠BEP 2， ∴△BDE ∽△P 2BE. ∴BE P 2E ＝DEBE，即BE 2＝DE·P 2E. ∴(4－52)2＝98·(－m)，解得m ＝－2.∴P 2(52，－2)；③当以点P 为直角顶点时，∵∠CPM ＝∠PBE ，∠CMP ＝∠PEB ， ∴△CMP ∽△PEB.∴PM BE ＝CMPE ，即m －34－52＝52m ，解得m 1＝3＋262，m 2＝3－262. ∴P 3(52，3＋262)，P 4(52，3－262)．综上，使得△BCP 为直角三角形的点P 的坐标为P 1(52，193)，P 2(52，－2)，P 3(52，3＋262)，P 4(52，3－262)．类型3 探究等腰三角形的存在性问题1．(2017·曲靖市罗平县三模)如图，已知抛物线y ＝14x 2－12x －2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右边)，与y轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点D 是此抛物线上的点，点E 是其对称轴上的点，求以A ，B ，D ，E 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝4.∴A(4，0)，B(－2，0)． 令x ＝0，得y ＝－2. ∴C(0，－2)．(2)由题意得：抛物线的对称轴为直线x ＝1.如图，①当AB 为对角线时，D 1为抛物线的顶点，设抛物线顶点坐标为(1，k)，则k ＝94，此时四边形AD 1BE 1为菱形．∴AB ＝6，D 1E 1＝|2k|＝92，故S ▱ADBE ＝12×6×92＝272；②当AB 为边时，DE ∥AB ，且DE ＝AB ，DE 只能在x 轴上方，有两种情况：D 2(－5，274)或D 3(7，274)，此时两者面积相等，S ▱ABDE ＝6×274＝812.∴以点A ，B ，D ，E 为顶点的平行四边形的面积为272或812.(3)存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形．设P(1，a)． ∴AP 2＝a 2＋9，CP 2＝(a ＋2)2＋1＝a 2＋4a ＋5， AC 2＝20.①当AP ＝CP 时，即a 2＋9＝a 2＋4a ＋5， 解得a ＝1.∴P 1(1，1)；②当AC ＝CP 时，即a 2＋4a ＋5＝20，解得a ＝－2±19.∴P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)； ③当AC ＝AP 时，即a 2＋9＝20，解得a ＝±11.∴P 4(1，11)，P 5(1，－11)．∴满足条件的点P 的坐标为P 1(1，1)．P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)，P 4(1，11)，P 5(1，－11)．2．(2017·曲靖一模)如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A(1，0)，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在x 轴下方图形上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值； (3)在(2)的条件下，当MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是以BN 为腰的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．备用图解：(1)由题意可知B(3，0)，C(0，3)，将点A ，B ，C ，坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)设点M 的坐标为(m ，m 2－4m ＋3)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋3， 把B(3，0)代入y ＝kx ＋3中，得 0＝3k ＋3，解得k ＝－1，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.∵MN ∥y 轴，∴点N 的坐标为(m ，－m ＋3)． ∵A(1，0)，B(3，0)，∴1＜m ＜3∵MN ＝－m ＋3－(m 2－4m ＋3)＝－m 2＋3m ＝－(m －32)2＋94，∴当m ＝32时，线段MN 取最大值，最大值为94.(3)存在．理由：由题意可知抛物线对称轴为直线x ＝2.设点P 的坐标为(2，n)． 由(2)可知，点N 的坐标为(32，32)．∴PB ＝（2－3）2＋（n －0）2＝1＋n 2， PN ＝（2－32）2＋（n －32）2＝n 2－3n ＋52，BN ＝（3－32）2＋（0－32）2＝322.△PBN 为等腰三角形(BN 为腰)分两种情况：①当PB ＝BN 时，即1＋n 2＝322， 解得n ＝±142. 此时点P 的坐标为(2，－142)或(2，142)； ②当PN ＝BN 时，即n 2－3n ＋52＝322，解得n ＝3±172.此时点P 的坐标为(2，3－172)或(2，3＋172)．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形，点P 的坐标为(2，－142)或(2，142)或(2，3－172)或(2，3＋172)．3．(2015•官渡区二模)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)交x 轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为抛物线的顶点，连接BC ，CM ，BM ，求△BCM 的面积；(3)连接AC ，在x 轴上是否存在点P 使△ACP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将A(－1，0)，B(5，0)，C(0，2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，25a ＋5b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－25，b ＝85，c ＝2.∴y ＝－25x 2＋85x ＋2.(2)∵y ＝－25x 2＋85x ＋2＝－25(x －2)2＋185，∴顶点M 的坐标是M(2，185)．过点M 作MN 垂直y 轴于点N.∴S △BCM ＝S 四边形OBMN －S △OBC －S △MNC ＝12·(2＋5)×185－12×5×2－12×(185－2)×2＝6.(3)存在．①当以AC 为腰，A 为顶点时，在x 轴上有两个点分别为P 1，P 2，易求AC ＝5， 则OP 1＝1＋5，OP 2＝5－1.∴P 1(－1－5，0)，P 2(5－1，0)；②当以AC 为底时，作AC 的垂直平分线交x 轴于点P 3，交y 轴于点F ，垂足为E ，则CE ＝AC2，易证△CEF ∽△COA ，∴CF CA ＝CE CO .∴CF 5＝522，即CF ＝54. ∴OF ＝OC －CF ＝2－54＝34，EF ＝CF 2－CE 2＝（54）2－（52）2＝54. 又∵△CEF ∽△P 3OF ， ∴CE OP 3＝EF OF ，即OP 3＝32. 则P 3的坐标为P 3(32，0)；③当以AC 为腰，C 为顶点时， AC ＝PC ，则P 4(1，0)．∴存在P 1，P 2，P 3，P 4四个点使△ACP 为等腰△，它们的坐标分别是P 1(－1－5，0)，P 2(5－1，0)，P 3(32，0)，P 4(1，0)．类型4 探究相似三角形的存在性问题1．(2017·红河州蒙自市一模)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于C 点，抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PA ＋PC 的值最小时，求PA ＋PC 的长；(3)在直线l 上是否存在点Q ，使以M ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把x ＝0代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3中，得y ＝3， ∴C(0，3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)．将点C 的坐标代入，得 3＝－3a.解得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵点A 与点B 关于直线l 对称，点P 在直线l 上， ∴PA ＝PB.∴PA ＋PC ＝PB ＋PC. ∵两点之间线段最短，∴当点P 在线段BC 上时，AP ＋PC 有最小值， PA ＋PC 的最小值即为BC.∵OC ＝3，OB ＝3，∴BC ＝3 2. ∴PA ＋PC 的最小值为3 2.(3)抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＝1.设点Q 的坐标为(1，m)，则QM ＝|m|.∵以M ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似， ∴∠OQM ＝∠CAO 或∠OQM ＝∠ACO. 当∠OQM ＝∠CAO 时，OM QM ＝COAO ，即1|m|＝31，解得m ＝±13. ∴点Q 的坐标为(1，13)或(1，－13)．当∠OQM ＝∠ACO 时，OM QM ＝AOCO ，即1|m|＝13，解得m ＝±3， ∴点Q 的坐标为(1，3)或(1，－3)．综上所述，点Q 的坐标为(1，13)或(1，－13)或(1，3)或(1，－3)．2．(2014·云南)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，矩形ABCO 的顶点分别为A(3，0)，B(3，4)，C(0，4)，点D 在y 轴上，且点D 的坐标为(0，－5)，点P 是直线AC 上的一个动点．(1)当点P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式；(2)当点P 沿直线AC 移动时，过点D ，P 的直线与x 轴交于点M.问：在x 轴的正半轴上，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、R(R ＞0)为半径长画圆，得到的圆称为动圆P.若设动圆P 的半径长为12AC ，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E ，F.请探究在动圆P 中，是否存在面积最小的四边形DEPF ？若存在，请求出最小面积S 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵A(3，0), C(0，4)，P 是AC 的中点， ∴P(1.5，2)．设直线DP 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧1.5k ＋b ＝2，b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝143，b ＝－5. ∴直线DP 的解析式为y ＝143x －5. (2)存在．∵∠ABC ＝∠DOM ＝90°， ∴如图1，当AB DO ＝BCOM 时，△DOM ∽△ABC ，此时OM ＝154，即M(154，0)；如图2，当AB MO ＝BCOD 时，△DOM ∽△CBA ，此时OM ＝203，即M(203，0)．综上所述，当M(154，0)或M(203，0)时，△DOM 与△ABC 相似．(3)存在．理由如下：如图3，连接DP.∵DE ＝DF, PE ＝PF ，DP ＝DP ，∴△PED ≌△PFD(SSS )．∴四边形DEPF 的面积等于△PED 的面积的2倍， 要使四边形DEPF 的面积最小，则△PED 的面积最小．PE 是圆P 的半径，是定值，DE 长最小时，△PED 的面积最小，即DP 最小，当DP 与AC 垂直时，DP 最小．。
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类型4 探究全等三角形的存在性问题
1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D ，与y 轴交于点C ，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋2 3. (1)求b ，c 的值； (2)过C 作CE∥x 轴交抛物线于点E ，直线DE 交x 轴于点F ，且F(4，0)，求抛物线的解析式；
(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M ，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵直线CD 的解析式为y ＝3x ＋23，
∴C(0，23)．
∴c ＝2 3.
设直线CD 交x 轴于点A ，
∴A(－2，0)．
∴OA OC ＝223＝33
. ∴∠OCA ＝30°.
过点D 作DM⊥y 轴于点M ，
∴∠DCM ＝30°.
∴MC ＝3DM.
设抛物线的顶点横坐标为h ，则CM ＝3h.
∴D(h ，23＋3h)．
∴y ＝a(x －h)2＋23＋3h.
代入C(0，23)，
∴23＝ah 2＋23＋3h.
∴h 1＝0(舍)，h 2＝－3a
. ∴y ＝a(x ＋
3a )2＋23＋(－3a
)＝ax 2＋23x ＋2 3. ∴b ＝2 3.
(2)作抛物线的对称轴交x 轴于点B(如图)，
∵∠ACO ＝30°，
∴∠CDB ＝30°.
由抛物线的对称性，可得△DCE 为等边三角形．
∵CE ∥x 轴，∴△DAF 为等边三角形．
∴B 为AF 中点，。