2021届福建省厦门双十中学高三上学期中考试数学试题及答案

福建省厦门双十中学2021届高三上学期半期考试试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{

}

2

230A x x x =--=，{}

10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是

A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

，

B ．{}1,0-

C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭

，

2．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 A ．

11b b a a +>+B ．11a b a b +>+C ．11a b b a +>+D ．11b a b a

->- 3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是 A ．9

B ．10

C ．12

D ．13

4．已知函数()2428=

--+f x ax x a 1x ，[)21x ∈+∞,，都有不等式

()()1212

0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是

A ．(]0,2

B ．[]2,4

C ．[)2,+∞

D ．[

)4,+∞ 5．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点

在圆锥底面上），圆锥底面直径为10 2 cm 2．打印所用原料密度为3

1 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π 3.14=，精确到0.1） A ．609.4g B ．447.3g C ．398.3g

D ．357.3g

6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2

127m n a a a =，则

116m n

+的最小值为 A ．5

B ．

215

C ．

516

D ．

654

7．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为 A ．

127

B ．

83

C ．4

D ．6

8．已知()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移

3

π

个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到()g x 的图象，若()g x 在[]

,a a -上单调递增，则a 的最大值为 A ．

12

π B ．

6

π C ．

4

π D ．

512

π 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，

90,B F ∠=∠=︒60,45,A D BC DE ∠=︒∠=︒=，现将

两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是

A ．直线BC ⊥面OFM

B ．A

C 与面OFM 所成的角为定值 C ．设面ABF

面MOF l =，则有l ∥AB D ．三棱锥F COM -体积为定值.

10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)

2

1111n n a a -=+-，则关于数列{}n a 说法正

确的是 A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

11．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（） A ．623z y x >>

B ．

121x y z

+= C ．(322x y z +>+

D ．2

8xy z >

12．在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111

tan tan sin A B C

+=，则（） A ．a 、b 、c 成等比数列 B ．sin :sin :sin 22A B C =C ．若4a =，则7ABC S =△D ．A 、B 、C 成等差数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于 ▲ . 14．若π1sin 33α-=⎛⎫

⎪⎝⎭，则πcos 23α+=⎛⎫

⎪⎝⎭

▲ ． 15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，3BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ▲ .

16．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1x

x y y x a

--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为 ▲ .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在①1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++；②112(11)n n n n a a a a ++-=++；③184n n a a n --=-（2n ≥）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解． 问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，证明：11

32n

T ≤<． 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 3cos sin b A a B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若3BD =a c +的取值范围. 19

．

如

图

,

矩

形

ADFE

和梯形

ABCD

所在平面互相垂

直,//AB CD ,90ABC ADB ︒∠=∠=,1,2CD BC ==. （1）求证://BE 平面DCF ;

（2）当AE 的长为何值时,直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°? 20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本

2

1()150600

p x x x =

++万元．