中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题

例1：（北京市石景山区2010年数学期中练习）在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；

(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？

(3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？

点评：此题关键是明确点P 、Q 在△ABC 边上的位置，有三种情况。 （1）当0﹤t ≦6时，P 、Q 分别在AB 、BC 边上；

（2）当6﹤t ≦8时，P 、Q 分别在AB 延长线上和BC 边上； （3）当t >8时, P 、Q 分别在AB 、BC 边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解.

例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数

y ，

（1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝

1

3

时，x 的值等于多少？ 点评:这个问题的关键是明确点P 在四边形ABCD 边上的位置,根据题意点P 的位置分三种情况:分别在AB 上、BC 边上、EC 边上.

例3：(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ） A ．32

B ．18

C ．16

D ．10

例4：（09齐齐哈尔）直线3

64

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同

时从O 点出发，同时到达

A 点，运动停止．点Q 沿线段OA

运动，速度为每秒1个单位长

度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48

5

S

=

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 点评：本题关键是区分点P 的位置：点P 在OB 上，点P 在BA 上。

例5：（2009宁夏）已知：等边三角形

ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以

1

厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂

线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形

A

C

B

x

A O

Q

P B

y C Q

MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

解：（1）过点C 作CD AB ⊥

，垂足为D ．则2AD =，

当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，即3

2

AM =

时， 四边形MNQP 是矩形，3

2

t ∴=

秒时，四边形MNQP 是矩形．

tan 60PM AM =°=

MNQP S ∴=四边形

（2）1°当01t

<<时，1()2

MNQP S PM QN MN =

+四边形

·=

2°当12t ≤≤时，1()2MNQP

S PM QN MN =+四边形

·= 3°当23t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =

+四边形

·=+ 点评：此题关键也是对P 、Q 两点的不同位置进行分类。

例6：（2009四川乐山）．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC

的坡度34i

=∶，

动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿

AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以

3厘米/秒的速度沿

B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．

（1）求边BC 的长；

（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；

（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，

探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6. 解：（1）作CE

AB ⊥于点E ，如图（3）所示，则四边形AECD 为矩形．

46AE CD CE DA ∴====，．

又3

344

CE i EB ∴=∴=∶，．812EB AB ∴==，． 2分

在Rt CEB △

中，由勾股定理得：10BC

=．

（2）假设PC 与BQ 相互平分．由DC AB ∥，则PBCQ 是平行四边形（此时Q 在CD 上）． ·············

即310122CQ BP t t =∴-=-，．解得225t =

，即22

5

t =秒时，PC 与BQ 相互平分． （3）①当Q 在BC 上，即10

03

t ≤≤

时，作QF AB ⊥于F ，则CE QF ∥． 图（3）

B

C P

Q

B

A

M

N C

P

Q

A

M

N