第4章初等数论1

第2章初等数论

知识点：

1．素数

整除

设a,b是两个整数，且b≠0，若存在整数m，使得a=mb,则称b整除a或a被b整除。记为b∣a,称b为a的因数,a是b的倍数。b不整除a,记为b∤a。

设a,b是两个整数，且b≠0，则存在唯一整数q和r，使

a=qb+r且0≤r<|b|。

则上式称带余除法，记余数r=a mod b。b∣a⇔a mod b=0.

例1，15=3×4+3，15 mod 4=3；-8=-3×3+1，-8 mod 3=1；10=5×2+0，10 mod 2=0。整除的性质

(1)若b∣a且b∣c，则对任意整数，有b∣ax+cy。

(2)若b∣a且a∣c，则b∣c。

(3)若b∣a且a∣b，则a=±b。

(4)若a∣b且b≠0，则∣a∣≤∣b∣。

(5)设m≠0则a∣b⇔ma∣mb。(自行证明上述性质)

素数

定义：若整数p>1且只能被1和它自己整除，则称p为素数或质数。若整数p>1且不是素数，则称p是合数。

素数有无穷多个，素数的因子仅有1,-1,p,-p。

素数与合数的性质

（1）a>1是合数⇔a=bc。其中1

（2）设a是合数，则存在素数p，使p∣a。

（3）若d>1，p是素数且d∣p，则d=p。

（4）p是素数且p∣ab，则必有p∣a或p∣b。

推论：p是素数且p∣a

1a

2

...a

k

，则必存在i，满足1≤i≤k，使p∣a

i

。

例若p不是素数，从p∣ab，未必有p∣a或p∣b。如6∣4╳15，但6∤4，6∤15。

算术基本定理：设a>1，则

a＝P

1r1

P

2

r2

…P

t

rt

，

这里P

1,P

2

,…,P

t

是不同的素数，r

1

,r

2

,…,r

t

是正整数。该式不计顺序时表示唯一。

算术基本定理中的表达式称做整数a的素因子分解。例2，30=2×3×5

21560=23×5×72×11

1024=210

推论：设a＝P

1r1

P

2

r2

…P

t

rt

，其中P

1

,P

2

,…,P

t

是不同的素数，r

1

,r

2

,…,r

t

是正整数.则

正整数d为a的因子的充要条件是

d＝P

1s1

P

2

s2

…P

t

st

其中，0≤s

i ≤r

i

,i=1,2,…,t.

例3，(1)21560有多少个正因子

(2)10！的二进制表示中从最低位数起有多少个连续的0

解（1）21560=23×5×72×11，根据推论，0≤s

1≤3,0≤s

2

≤1,0≤s

3

≤2,0≤s

4

≤1,所以21560的正因子个数为4×2×3×2=48。

(2)考虑数s的二进制表示

(s)

2=a

n-1

×2n-1＋a

n-２

×2n-２＋...＋a

1

×21＋a

０

×2０＋a

-1

×2-1＋.．．＋a

-ｍ

×2-ｍ。

为此作素因子分解

10！=10×9×8×7×６×５×4×３×2=2８×3４×５２×7。

故10！的二进制表示中从最低位数起有８个连续的0。

2．最大公约数

若a,b,ｄ∈z，如果ｄ∣a，ｄ∣b，称ｄ是a和b的公约数或公因子。非零整数只有有限个因子，因此，两个不全为零的整数只有有限个公因子，其中最大的称最大公因子或最大公约数。

定义：正整数d称为a和b的最大公约数，如果d是a和b的公约数,且对a和b的任何一个公约数c有c∣d。a和b的最大公约数记作gcd(a,b)或(a,b)。

例4 12与18的正公约数有1，2，3和6，gcd(12,18)=6。

对于任意正整数a，gcd(0,a)=a,gcd(1,a)=1。

定义：若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。若a

1,a

2

,...,a

n

中任意两个数互素，则

称它们两两互素。

例5 4，15互素，9和12不互素，4，9，11，35两两互素。最大公约数的性质

(1)如果ｄ∣a，ｄ∣b，则ｄ∣gad(a,b)。（证明从略）

设a＝P

1r1

P

2

r2

…P

k

rk

，b＝P

1

s1

P

2

s2

…P

k

sk

其中是P

1，P

2

，…P

k

素数，是r1，r2，…r k，s1，s2，…，s k非负整数。则

gcd(a,b)=P

1

min(r1,s1)P

2

min(r2,s2)…P

k

min(rk,sk)。

(2)设a=qb+r,其中a,b，q和r都是整数，则gad(a,b)=gad(b，r)。

证明：设ｄ是a,b的公因子，即ｄ∣a且ｄ∣b。由此知ｄ∣a-qb=r,从而ｄ∣r且ｄ∣b,即ｄ是r和b的公因子。反之亦然。

辗转相除法（欧几里德算法）