2014西城区高三一模试题-数学理科及答案

北京市西城区2014年高三一模试卷

数 学（理科） 2014.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,2]-∞

（B ）(,1]-∞

（C ）(2,)+∞

（D ）[2,)+∞

2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2

（B ）

1

2

（C ）

114

（D ）114

-

3．在极坐标系中，过点π(2,)2

且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=

（B ）2

θπ=

（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ

4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 16

5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）2

2

()cos sin =-f x x x

6． “8m <”是“方程22

1108

x y m m -=--表示双曲线”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *

∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）3 （B ）4

（C ）5

（D ）6

8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）

（A ） 4个 （B ）6个

（C ）10个

（D ）14个

B

A

D

C

. P

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数

1i

i 2i

x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2

:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．

11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.

12．若不等式组1,0,26,a

x y x y x y ⎧⎪⎪

⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是

_______.

13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）

14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，

(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD = ，PB PC y ⋅=

，对于函数()y f x =，

给出以下三个结论：

○

1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○

2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；

○

3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.

A D C

P

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知2

2

2

b c a bc +=+.

（Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积.

16．（本小题满分13分）

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；

（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*

∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．

所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.

（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；

（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π

3

，求线段1D E 的长度.

18．（本小题满分13分）

已知函数2ln ,

,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩

≤ 其中0a ≥．

（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆22

12

x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、

D 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；

（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

1