平移公式及其应用

例3、 把y = log( x − 1) − 2的图象平移向量a = (−2,1)得到F ′， 求F ′的解析式。
解：y = 2 log( x + 2 − 1) − 2 + 1, 即y = 2 log( x + 1) − 1为所求函数的解析式。
练习：(09高考)将函数y = sin x的图象按向量 a = (1,1)平移 得到的函数解析式是
x′ = x + h 2、 平移公式： y′ = y + k
3、把函数y = f ( x)的图象F平移向量a = (h, k )得到图形F ′， 则F ′的函数解析式为 y = f ( x − h) + k
应用以上知识可解决以下三种问题： 应用以上知识可解决以下三种问题： 1、求按向量平移后的函数解析式。（直接代入 y = f ( x − h) + k ） 、求按向量平移后的函数解析式。（直接代入 。（ 2、求按向量平移前的函数解析式。（转化按相反的向量平移问题） 、求按向量平移前的函数解析式。（转化按相反的向量平移问题） 。（转化按相反的向量平移问题 3、求平移向量的坐标。（待定系数法、特殊点法） 、求平移向量的坐标。（待定系数法、特殊点法） 。（待定系数法
小结： 小结：
1、把图形F平移向量 、把图形 平移向量 平移向量(h,k)的实质是先把 向左（h<0)或向右 的实质是先把F向左 的实质是先把 向左（ 或向右 向上（ 或向下（ 平移︱ （h>0)移︱h︱个单位，再把 向上（k.>0)或向下（k<0) 平移︱ 移 ︱个单位，再把F向上 或向下 k︱个单位 ︱个单位。
Q 点p0 ( x0 , y0 )在图形 F上， ∴ y∴2 =− kx = 1) 2(+ 4( x + 1) − 1 − y 2( + f x − h ) 即y = 2 x 2 + 8 x + 7为所求函数的解析式。
一般地， 把函数y = f ( x)的图象F平移向量a = (h, k )得到图形F ′， y = f ( x − h) + k 则F ′的函数解析式为
平移公式及其应用
一、按向量平移的意义
4
A
OA = a = (3,4) 平移就是把图 -4 把图形F按向量 形F向右平移3个单位，再向上平移4个单位的结果。
把图形F按向量 b = ( −4,−2) 平移就是把图形F向 左 平移 4 个单位，再向下 平移 2 个单位的结果。
o -2
3
一般地，把图形F平移向量 a = ( h, k ) 的实质是先把F向左（h<0)或向右（h>0)平 移︱h︱个单位，再把F向上（k.>0)或向下（k<0) 移动︱k︱个单位。
解： 在F任取一点p0 ( x0 , y0 ), 设F ′上对应点的坐标为p( x, y ) 则
x = xx0−+,h, = =0 y0 2,∴ ,x0 = 0x= 1, −0h= y0 − 2. − k x = 0 1 y y y + + k ∴x + x y , y = y
即y = f ( x − h) + k为所求函数的解析式。
二、平移公式
把图形F平移向量 a = ( h, k ) ，得到图形 F ′，设 p p(x,y)为F上任意一点的坐标， ′( x′, y′) 为平移后的对 应坐标，
p′( x′, y′
a
o
则 o p ′ = op + p p ′ ∴ ( x ′, y ′) = ( x , y ) + ( h , k ) = ( x + h , y + k ) x′ = x + h ∴ y′ = y + k
解： 由一次函数的知识可知将直线y = 2 x − 1 向 上平移5个单位可得到直线y = 2 x + 4， a = (0,5) ∴
-2 -1.5
4 3
0.5 1
另解： 设a = (h, k ), 则y = 2( x − h) − 1 + k = 2 x − 2h + k − 1 = 2 x + 4 ∴ k = 2h + 5 ∴ a = ( h,2h + 5), h ∈ R.
.
例4、 把y = f ( x)的图象平移向量a = (− π ,−2)得到y = 2 sin 1 x的图象， 求f ( x). 3 4
解：Q −a = ( π ,2) ∴ y = 2 sin 1 ( x − π ) + 2为所求。 3 4 3
例5、 把函数y = 3 x +1图象平移向量a得到y = 3 x −1 + 1图象， 向量a的坐标。
p ( x, y )
三、应用
例1 求把A(−3,4)平移向量a = (2,−4)后对应点B的坐标。 、
解： 设B（ x′, y′)， 则x′ = −3 + 2 = −1, y′ = 4 − 4 = 0.∴ B (−1,0)
例2、 把y = 2 x 2 + 4 x − 1的图象F平移向量a = (−1,2)得到图形F ′ 求F ′的函数解析式。
作业： ）、5、 作业：P242，2（4）、 、P248，10、18、23 ， （ ）、 ， 、 、
解： 设a = (h, k ), 则y = 3 x − h +1 + k = 3 x −1 + 1,
∴ − h + 1 = −1, k = 1, 即h = 2, k = 1∴ a = ( 2,1)
例6、 把直线y = 2 x − 1平移向量a， 得到直线y = 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + 4, 求a的坐标。
y = 2x + 4
注：当h=0时，k=5,即解法1的结果；当h = -2时，k=1
y = 2x −1
如图可知， 把直线y = 2 x − 1 向左平移2个单位实质上也就是 向上平移4个， 再向上平移1个单位后就是向上平移5个单位了。
所以直线的左、右平移可以由上、下平移代替。 所以直线的左、右平移可以由上、下平移代替。 练习：（ 高考 的图象平移向量a得到 练习：（04高考）把y=sinx的图象平移向量 得到 ：（ 高考） 的图象平移向量 y=2+sin(2x+π/6)的图象，求向量 的坐标。 的图象， 的图象 求向量a 的坐标。