高中数学选修2-2 北师大版第3章 §2 2.2 最大值、最小值问题作业(含答案)

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北师大版数学【选修2-3】练习：2.2 超几何分布(含答案)

第二章 §2一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球[答案] D[解析] P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710故选D. 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.C 116C 24C 320 B.C 216C 24C 320C.C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对[答案] D[解析] 至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )A.15B.35 C.310 D.110[答案] B[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.二、填空题4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．[答案] 0.7[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有C 12C 13＋C 22种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是________． [答案] 0.001 8[解析] 因为一副扑克牌中有4张A ，所以根据题意，抽到扑克牌A 的张数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝52，M ＝5，n ＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552＝4×1 1282 598 960＋1×482 598 960≈0.001 8.故至少有3张A 的概率约为0.001 8. 三、解答题6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．[分析] 显然这是一个超几何分布的例子．N ＝20，M ＝4，n ＝3.利用P (ξ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N求出概率值，则分布列可得．[解析] ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 316C 320，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320，P (ξ＝2)＝C 24C 116C 320，P (ξ＝3)＝C 34C 016C 320.∴ξ的分布列为[点评] P (ξ＝m )＝C m M C n －mN －M C n N的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.一、选择题1．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8[答案] B[解析] 设X 表示抽取的女生人数，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8. 2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[答案] B[解析] 由C 122C 14＋C 222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)[答案] C[解析] 当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X ＝1时，有P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715 B.815 C.1415 D ．1[答案] C[解析] 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的概率B ．恰有2个是好的概率C ．4个全是好的概率D ．至多有2个是坏的概率 [答案] B[解析] A 中“恰有1个是坏的概率”为P 1＝C 13C 37C 410＝105210＝12；B 中“恰有2个是好的概率”为P 2＝C 27C 23C 410＝310；C 中“4个全是好的概率”为P 3＝C 47C 410＝16；D 中“至多有2个是坏的概率”为P 4＝P 1＋P 2＋P 3＝2930，故选B.二、填空题6．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[答案] 37[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．[答案]47245[解析] 设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245. 即出现次品的概率为47245.三、解答题8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．[分析] 这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．[解析] (1)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2.所以X 的分布列为(2)P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝15＋35＝45.[点评] 本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N ，M ，n 的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列． [解析] (1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为[点评] 值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y ＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3) 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.。

高中数学选修2-2 北师大版最大值与最小值问题教案

最大值与最小值问题教学目标：知识与技能：会求函数的最大值与最小值过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数最大值与最小值的求法教学难点：函数最大值与最小值的求法教学过程：函数最值与极值的区别与联系：⑴函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念；⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值；⑶在求可导函数最值的过程中，无需对各导数为零的点讨论其是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较，这是与求可导函数的极值有所区别的；⑷函数极值点与最值点没有必然联系，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得。

根据课程标准的规定和高考的要求，有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值。

一、复习回忆极值求法单调性判定二、实际问题中导数定义：（P85-87）例2：tt f t t f 105)(',10)(==三、最值①对于)(x f y =在],[b a 上任意一个自变量x ，总存在],[0b a x ∈ 若)()(0x f x f ≤总成立，则0x 是],[b a 上最大值是若)()(0x f x f ≥总成立，则0x 是],[b a 上最小值是 ②最值与极值区别与联系1）最值是整体概念，极值是局部性概念2）函数在定义域区间上最大值，最小值最多只有一个而极值则可能不止一个，也可能没有3）极值点不一定为最值点，最值点也不一定为极值点，极值在区间内取，最值可能在端点处取得4）闭区间连续一定有最值，],[b a 不一定，有最大无最小等 ③最值的求法：连续)(x f y =在],[b a 上最值 1）求)(x f 在],[b a 上的极值2）将)(x f 的各极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个是最大值，最小一个为最小值说明：当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用求导方法求解例1：课本P88例4求：52)(23+-==x x x f y 在区间]2,2[-上最值解：x x x f 43)('2-= 令0)('=x f 01=x 342=x01=∴x 函数最大值5 342=x 极小为27103 5)0(=∴f 27103)34(=f 11)2(-=-f 5)2(=f比较4个值 ]2,2[-上最大5 最小11- （下节）例2：(P89 例5)解：①x x V ⋅-=2)248( ∴248>>-x x 240<<∴x②x x x x x x x f 22322484844)484448(0('+⨯-=⨯-+= 2248484212)('+⨯⨯-=x x x f )8)(24(12--=x x 令 0)('=x f 81=x 242=x8=∴x 为)(x V 极大值 8192)8(=f 在)24,0(上 V j 了大 8192)8(=f 例3：（产量与利润）P90该企业生产成本y （单位：万元）和生产收入z 都是产量x 函数，分别为10632423++-=x x x y x z 18=①10452423--+-=-=x x x y z W ②45483'2-+-=x x W0)('=x W 11=∴x 152=x15=x 函数极大 1340)15(=W 10)0(-=W。

高中数学第三章导数应用 2.2 最大值、最小值问题教学案北师大版选修2-2-北师大版高二选修2

2．2 最大值、最小值问题[对应学生用书P33]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[对应学生用书P34]求函数的最值[例1] (1)求函数f (x )＝x 3－2x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.[一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－62．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值和最小值．解：f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，解得x ＝－π6或x ＝π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π6－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.3．函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝12时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解：当a ＝12时，f (x )＝21－xx＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee <0，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.函数的最值求参数的值[例2] 函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？假设存在，求出a ，b 的值；假设不存在，请说明理由．[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )＋0 －f (x )－7a ＋b最大值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )－0 ＋f (x )－7a ＋b最小值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．4．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ＝3x (x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.当－1<x <0时，f ′(x )>0，那么f (x )为增函数；当0<x <1时，f ′(x )<0，那么f (x )为减函数． ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值为a ， ∴a ＝2，∴f (－1)＝－1－32＋2＝－12，f (1)＝1－32＋2＝32.∴在x ∈[－1,1]上，f (x )的最小值为－12.答案：－125．函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0.求a 的值．解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)． f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此f (x )在x ＝1－a 处取得最小值，由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 6．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增．故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.生活中的优化问题[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[精解详析] (1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期里的获利为f (x )，那么有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．令f ′(x )＝0，即－18(x －2)(x －12)＝0，得x 1＝2，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )如下表：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )－0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x ＝12时，f (x )取得最大值，即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． [一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．7．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料．解析：设水箱底面边长为x dm ，那么高为256x 2 dm ，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8，当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， ∴当x ＝8时，S 取得最小值，那么高为4 dm. 答案：48．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比例，每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值．解：(1)设日销售量为s ，那么s ＝k e x ，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝ke40，那么k ＝10e 40，所以s ＝10e 40e x ，故y ＝10e40e x (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)y ′＝10e 40×e x －x －30－m e xe x 2＝10e 40×31＋m －x ex. 令y ′＝10e 40×31＋m －x ex＝0，那么x ＝31＋m . 当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数，所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．解决优化问题的基本思路[对应课时跟踪训练十三]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，假设M ＝m ，那么f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D.以上都有可能答案：A2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，那么a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D.－1解析：f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，那么f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 答案：B3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12ef (x )的最小值为f (0)＝12.答案：A4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d 解析：设断面高为h ，那么h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，那么f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，应选C. 答案：C5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，那么曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，那么M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．(某某高考)请你设计一个包装盒．如下图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．word 11 / 11(1)假设广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由得 a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。

北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件

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3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题；（2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
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实际生活中的很多优化问题的解决都可归结为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
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E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
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1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3

高中数学：3.2.2 最大值、最小值问题(二) 教案 (北师大选修2-2)

3.2.2 最大值、最小值问题教学过程:一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图，有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大？并求这个最大值．解:由长方体的高为xcm,可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20）.所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x)x=4（40－x）（30－x）x。

2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识,同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求，长方体的高不小于10cm不大于20cm，设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析:建立V与x的函数的关系后,问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思"，思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图。

高中数学：3.2.2最大值、最小值问题(一)教案(北师大选修2-2)

最大值、最小值问题教课过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点 x0邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＜ f(x0)，就说 f(x0)是函数 f(x) 的一个极大值，记作y 极大值 =f(x0)， x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0邻近有定义，假如对 x0邻近的全部的点，都有 f(x)＞ f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值，记作y 极小值 =f(x 0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部观点由定义，极值不过某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是最大或最小其实不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是独一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值能够不只一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确立的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，以下图所示， x1是极大值点， x4是极小值点，而 f ( x4 ) > f ( x1 )y （ⅳ）函数的极值点必定出此刻区间的内部，区间的端点不可以成为极值点而使函数获得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区x 间的端点a x 1O x 2x 3 b二、解说新课：1.函数的最大值和最小值察看图中一个定义在闭区间a, b 上的函数 f (x)的图象．图中 f ( x1 ) 与f (x3)是极小值，f ( x2 ) 是极大值．函数 f ( x) 在a, b上的最大值是 f (b) ，最小值是 f (x3 ) ．一般地，在闭区间a,b 上连续的函数 f (x) 在a,b上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f ( x) 不必定有最大值与最小值．如函数 f ( x) 1 在x(0, ) 内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点邻近函数值得出的．⑶函数 f ( x) 在闭区间a,b 上连续，是f ( x)在闭区间a,b 上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤 :由上边函数 f (x) 的图象能够看出，只需把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就能够得出函数的最值了．设函数 f ( x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内可导，则求 f (x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤以下：⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值；⑵将 f (x) 的各极值与f ( a) 、 f (b) 比较得出函数f ( x) 在 a, b 上的最值三、解说典范：y求函数 y x42x 25在区间2,212 例 1 上的最大值与最小值10例 2 已知 x,y 为正实数，且知足2 4 y20 ，求 xy 的取值范围8x 2x6例3.设2a 1,函数 f ( x)x 33 ax 2b( 1 x 1) 的最大值为1,最小值为6 ,322求常数 a,b4 y=x 4-2x 2+52x 2-4 -2 O24 xax b ,例 4 已知 f ( x)log 3 x ∈ (0,+ ∞ ). 能否存在实数 a 、 b , 使 f ( x) 同时知足以下两x个条件：（ 1） f (x) ) 在（ 0， 1）上是减函数，在［ 1， +∞ ) 上是增函数；（ 2） f (x) 的最小值是 1，若存在，求出 a 、b ，若不存在，说明原因 . 四、讲堂练习：1．以下说法正确的选项是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值必定是极值D.在闭区间上的连续函数必定存在最值2.函数 y=f(x)在区间［ a,b ］上的最大值是 M ，最小值是 m,若 M=m,则 f ′(x) ()A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.以上都有可能3.函数 y= 1 x 41 x 3 1x 2 ，在［－ 1， 1］上的最小值为 ()4 3213A.0B.－ 2C.－ 1D.124.函数 y=2x x 2 的最大值为 (3B.11 3x1)。

2013年高二数学同步课程课件第3章《最大值、最小值问题》1(北师大版选修2-2)

问题2 观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b] 上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b) 上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是 f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．结论一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
研一研·问题探究、课堂更高效
例1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]．解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，
令f′(x)＝0，解得x＝－ 2或x＝ 2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
2
f′(x)
＋ 0－
f(x) －7a＋b
b
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取极大值，也就是函数在[－1,2]上的
最大值，∴f(0)＝3，即b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
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(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
研一研·问题探究、课堂更高效

北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(答案解析)

一、选择题1．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤ D ．35a <≤2．已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（）A ．1[,)8-+∞B ．258ln 2[,)16-+∞ C ．15[,]84-D ．5(,]4-∞3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞4．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<5．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，设()()x f x F x e=则不等式()21F x e <的解集为（） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞6．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（） A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e-<< D ．111a e+<< 7．已知函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab的值为（） A ．23-B ．23或2 C ．2D ．13-8．已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（）ABCD9．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f >10．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（）A ．1011B ．1012C ．2019D ．202011．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．612．如果不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,3⎡-⎢⎣⎦D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______． 14．若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.15．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 16．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.17．设()ln f x x =，若函数()()h x f x ax =-在区间()0,8上有三个零点，则实数a 的取值范围______.18．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．19．设()22,0ln ,0x mx x f x x mx x ⎧-+<=⎨->⎩，若方程()f x x =恰有三个零点，则实数m 的取值范围为______.20．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为__________.三、解答题21．设函数()()2ln 1f x x x ax =--+.（1）若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若存在正数0x ，使得()001ln f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围.22．如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上.（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积. 23．已经x ∈R ，（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；（2）n N +∈，求证：1(1)n n e +≤.24．已知函数()ln f x x ax =-，()2g x x =，a R ∈.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 25．已知函数()ln f x x x =-.（1）若函数2()2y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值. 26．已知函数()1xf x x ae =-+，()a R ∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+，即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-，所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-，因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，故选:A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.2．A解析：A【分析】先求()f x 最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果【详解】因为()(]3ln x 0,244x f x x x=-+∈，，所以22113(1)(3)()01444x x f x x x x x ---'=--==⇒=,(3舍去) 从而01,()0;12,()0;x f x x f x ''<<<<<>即1x =时()f x 取最小值12，因此[]x 1,2∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x ≥-+的最小值，因为724x x -+在[]1,2上单调递减，所以724x x -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，选A. 【点睛】本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.3．B解析：B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等4．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=，所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．5．B解析：B 【解析】 ∵()()xf x F x e =∴2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e''--'== ∵对任意实数都有()()0f x f x -'> ∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数又∵()11f e= ∴21(1)F e =∴不等式()21F x e<等价于()(1)F x F < ∴不等式()21F x e<的解集为(1,)+∞ 故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<，构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.6．C解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x'=+>在区间()1,e 上恒成立，所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数，所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，可得111a e-<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．A解析：A 【分析】求导，根据题意得到()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】()3227f x x ax bx a a =++--，则()'232f x x ax b =++，根据题意：()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩，当21a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'2341311f x x x x x =-+=--，函数在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故1x =处取得极小值，舍去；当69a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'23129313f x x x x x =-+=--，函数在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，故1x =处取得极大值，满足.故6293a b -==-. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.8．C解析：C 【分析】令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()f x h t =，利用导数可求()max 27256h t =，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项. 【详解】3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()4f x h t =，又()()()()()322131114h t t t t t t '=---=--，若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数；若1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤⎥⎝⎦为减函数；故()max 27256h t =，故2max 27()64f x =，所以max ()8f x =，min ()8f x =-，当且仅当1sin 4cos 4x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取最大值，当且仅当1sin 4cos 4x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取最小值，故M ≥M故选：C. 【点睛】本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.9．B解析：B 【分析】构造()()g x f x x =+，得到函数()g x 在R 上单调递减，由()(1)g e g <即得解. 【详解】构造()()g x f x x =+，则()()1g x f x ''=+，又()10f x '+<，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又(1)(1)1110g f =+=-+=，所以()(1)g e g <，即()0f e e +<，所以()f e e <-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++，且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+，所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=，因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 11．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+，()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]nx x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 12．A解析：A 【分析】分0x =、10x -≤<、01x <≤三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数a 在各种情况下的取值范围，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】由已知，不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立. ①当0x =时，则有10≥恒成立，此时a R ∈； ②当10x -≤<时，由3310x ax ++≥可得213a x x≤--，令()21f x x x =--，()32211220x f x x x x -'=-+=>，所以，函数()f x 在区间[)1,0-上为增函数，则()()min 10f x f =-=，则30a ≤，得0a ≤；③当01x <≤时，由3310x ax ++≥可得213a x x≥--，令()32120x f x x -'==可得2x =，列表如下：()2maxf x=-=⎝⎭3a∴≥2a≥-.综上所述，实数a的取值范围是⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D∀∈，()()minm f x m f x≤⇔≤；（2）x D∀∈，()()maxm f x m f x≥⇔≥；（3）x D∃∈，()()maxm f x m f x≤⇔≤；（4）x D∃∈，()()minm f x m f x≥⇔≥.二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【解析：34m>【分析】转化为函数()y f x x=-的图象与直线y m=恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m=--恰好有2个零点，所以函数()y f x x=-的图象与直线y m=恰有2个交点，当0x≤时，22133()1()244y f x x x x==++=++≥，当0x>时，()xy f x x e x=-=-，10xy e'=->，所以函数()xy f x x e x=-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m > 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】先求导设把问题转化为在上存在两个零点设为且再利用韦达定理求解代入整理利用二次函数求取值范围即可【详解】因为所以设因为函数在上存在两个极值点所以在上存在两个零点所以在上存在两个零点设为且所以根解析：814,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求导，设()2g x x ax b =++，把问题转化为()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，再利用韦达定理求解，代入()39b a b ++，整理利用二次函数求取值范围即可. 【详解】因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>，所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点，所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，所以根据韦达定理有：1212x x ax x b +=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b ++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠，所以()()22112281334,16x x xx ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭.故答案为：814,16⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.15．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可. 【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x e x e x f x --=+-=+=，所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-，因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->，故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数. 因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤. 故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.16．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦，所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-，由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->，由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点，所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．【分析】画出函数图像计算直线和函数相切时和过点的斜率根据图像得到答案【详解】故画出图像如图所示：当直线与函数相切时设切点为此时故解得；当直线过点时斜率为故故答案为：【点睛】本题考查了根据函数零点个数解析：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】()f x ax =，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率，根据图像得到答案. 【详解】()()0h x f x ax =-=，故()f x ax =，画出图像，如图所示：当直线与函数相切时，设切点为()00,x y ，此时()ln f x x =，()1'f x x=，故01a x =，00y ax =，00ln y x =，解得0x e =，01y =，1a e=；当直线过点()8,ln8时，斜率为3ln 28k =，故3ln 218a e<<. 故答案为：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>，函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<，函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e，对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．【分析】将问题转化为与图像交点个数有3个的问题利用导数研究函数单调性和最值数形结合即可求得结果【详解】当时等价于；当时等价于；令则方程恰有三个零点等价于与直线有三个交点当时则令解得故该函数在区间单调解析：221m <-【分析】将问题转化为()2,0,0x x xh x lnx x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩与1y m =+图像交点个数有3个的问题，利用导数研究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果. 【详解】当0x <时，22y x mx x =-+=，等价于21x m x+=+；当0x >时，y lnx mx x =-=，等价于1lnxm x=+；令()2,0,0x x xh x lnx x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则方程()f x x =恰有三个零点，等价于()y h x =与直线1y m =+有三个交点. 当lnx y x =时，则21lnxy x-='，令0y '=，解得x e =，故该函数在区间()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减. 且x e =时，1y e=；又x e >时，0y >；而当2y x x=+时，由对勾函数性质，容易知：当2x =-时，函数取得最大值22y =-. 故()h x 的图像如下所示：数形结合可知，要满足题意，只需122m +<-，解得221m <-. 故答案为：221m <-. 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综合中档题.20．【分析】把代入即恒成立构造利用导数研究最值即得解【详解】则恒成立等价于令因此在单调递增在单调递减故故答案为：【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用考查了学生转化与划归数学运算的能力属于中解析：[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解.【详解】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=>因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减，故max ()(1)00g x g m ==∴≥ 故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）(],1-∞-；（2）[)0,+∞ 【分析】（1）由函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，则()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2ln 10f x x a x=--'+≥在[)1,+∞上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为2ln 1a x x ≤+-在[)1,+∞上恒成立，设函数()2ln 1g x x x≤+-，于是只需满足()min a g x ≤即可，问题转化为求函数()g x 的最小值；（2）存在正数0x ，使得()001ln f x x ≤-，即()0001ln x x ax -<，分离参数可得()001ln x x a x -≥，构造函数()()()1ln ,0,x x g x x x-=∈+∞，利用导数求出()()1ln x x g x x-=的最小值即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2ln 1f x x a x=+--'，要使()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，只需()0f x '≥，即2ln 1x a x+-≥在[)1,+∞上恒成立即可，由对数函数、反比例函数的性质可得2ln 1y x x=+-在[)1,+∞上单调递增，所以只需min a y ≤即可，当1x =时，y 取最小值，min 2ln1111y =+-=-， ∴实数a 的取值范围是(],1-∞-.（2）存在正数0x ，使得()001ln f x x ≤-成立，即()0001ln x x ax ≤-，即存在()00x ∈+∞,使得()001ln x x a x -≥，令()()()1ln ,0,x x g x x x-=∈+∞，则()2ln 1x x g x x+-'=，令()()ln 1,0,h x x x x =+-∈+∞，则()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增，则()()min 10g x g ==，故0a ≥，即实数a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】思路点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法.22．（1）取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm ；（2）取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003π.【分析】（1）设BC x =，矩形ABCD 的面积为S ，()22229002900S x x x x =-=-，利用基本不等式求解最值；（2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由229002AB x r π=-=，得2900x r π-=，()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<，利用导函数求解最值.【详解】（1）连结OC .设BC x =，矩形ABCD 的面积为S .则AB =030x <<.所以()222900900S x x ==+-=.当且仅当22900x x =-，即x =时，S 取最大值为2900cm .所以，取BC 为时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm . （2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由2AB r π==，得r π=，所以()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<.由()2190030V x π='-=，得x =因此()31900V x x π=-在(上是增函数，在()上是减函数.所以当x =V .取BC 为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为3cm π.【点睛】此题考查函数模型的应用：（1）合理设未知数，建立函数关系，需要注意考虑定义域；（2）利用基本不等式求最值，要注意最值取得的条件；（3）利用导函数讨论函数单调性求解最值，注意自变量的取值范围. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；（2）由（1）得1n e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得11ln(1)n n ≥+，即1(1)nn e +≤. 【详解】解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：从而：min 则：10x e x --≥则：1x e x ≥+在R 上恒成立.（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立，则n ∈+N 时，1n e n ≥+，两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：11ln(1)n n≥+ 则：11ln(1)n n ≥+，从而：1(1)n e n ≥+ 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题. 24．（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞. 【分析】（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值；（2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0xh x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，()10f x a x'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点；当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()y f x =有极大值点是1a，无极小值点；（2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->，则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. 所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-. 因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 25．（1）5ln 224m +≤<；（2）152ln 28- 【分析】（1）利用导数研究三次函数的单调性和极值，根据单调性和极值列不等式组即可解得结果；（2）根据已知条件将12()()g x g x -化为关于1x 的函数，再利用导数求出其最小值，则可得到实数k 的最大值. 【详解】（1）因为()ln f x x x =-，∴函数()()2223ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>，令()()23ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x--'=-+=，令()0h x '=得112x =，21x =，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又ln 224h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22ln 2h m =-+.∵函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，∴102(1)0(2)0h h h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩即5ln 204202ln 20m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩，解得5ln 224m +≤<. （2）()()21ln 12g x x x b x =+-+， ∴()()()21111x b x g x x b x x-++'=+-+=，令()0g x '=得()2110x b x -++=，∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴211x x =，∵32b ≥，∴121215210x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<=⎪⎩解得：1102x <≤，.∴()()()()()22112121221ln12x g x g x x x b x x x -=+--+-， ()2221121112111112ln 2ln ,0222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()221112ln ,022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x F x x x xx --'=--=<，∴()F x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；∴当12x =时，()min 1152ln 228F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()()12g x g x k -≥恒成立，可得152ln 28k ≤-， ∴k 的最大值为152ln 28-. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题.26．（1）()11y e x =+-；（2）当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式可得切线方程；（2）求出导函数后，按照0a ≥和0a <分类讨论，由()'f x 0>和()0f x '<分别可得函数的增区间和减区间. 【详解】()()()1x f x ae a R x R '=+∈∈，（1）由题得：1a =，则()1x f x e '=+，()1xf x x e =-+()11k f e '==+，()1f e =∴()()11y e e x -=+-，即()11y e x =+-所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y e x =+-. （2）()1xf x ae '=+，当0a ≥时，由()0f x '>，此时()f x 在(),-∞+∞上单调递增，当0a <时，由()0f x '>，得10x ae +>，解得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，由()0f x '<，得10xae +<，解得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. 综上所述：当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步配套课时跟踪训练：(十三) 最大值、最小值问题 Word版含解析

课时跟踪训练(十三) 最大值、最小值问题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－13．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d 3B.d 2C.33d D.22d5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x )的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________． 6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．答案1．选A2．选B f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1.3．选A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数． ∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2， f (x )的最小值为f (0)＝12. 4．选C 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C.5．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1.答案：y ＝16．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。

北师大版高中数学选修2-2《最大值、最小值问题》学案-新版

最大值、最小值问题一、学习目标：1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤.二、学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．三、学习难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．四、知识链接：函数极值与导数五、学法指导：在学习函数极值与导数关系基础上，正确理解函数最值的意义，掌握函数最值与函数极值之间的联系和区别，并进一步学会利用导数求函数的最值。

六、学习内容：1、复习回忆：（1）在含0x 的一个区间),(b a 内，若)(x f y =在任意一点的函数值都不大于0x 点的函数值，即，则称为极大值点，)(0x f 为函数的 .（2）在含0x 的一个区间),(b a 内，若)(x f y =在任意一点的函数值都不小于0x 点的函数值，即，则称为极小值点，)(0x f 为函数的 .（3）求可导函数)(x f y =极值点步骤： ① ；② ； ③ 1）)('0x f 在0x 的两侧，则0x 为极大值点；2）)('0x f 在0x 的两侧，则0x 为极小值点.2.新课学习：学习课本P66例4前内容，然后填空.(1)对于)(x f y =在],[b a 上任意一个自变量x ，总存在],[0b a x ∈ 若)()(0x f x f ≤总成立，则0x 是],[b a 上 , 若)()(0x f x f ≥总成立，则0x 是],[b a 上(2)函数最值与极值的区别与联系： ⑴函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对而言，是在范围内讨论问题，是一个整体性的概念；⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值各有一个，而函数的极值则不止一个，也可能没有极值；⑶在求可导函数最大值时，应先求出函数的，然后将函数的与的函数值进行比较，其中即为函数的最大值，在实际问题中，一般可以通过和确定最大值。

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第三章 §2 2.2
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；
②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；
③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；
④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：因为函数的最值可以在区间[a，b]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在
端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，
故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a，b)内的单调函数，它在(a，b)内必定无
最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真，故选A.
答案： A
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积
相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的
正方形的边长为( )
A．5 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得V＝x(48
－2x)2(0＜x＜24)，
V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．
答案： B

3．函数f(x)＝2sin x－x在0，π2上的最大值点及最大值是( )
A.π3，3－π3 B．0,0
C.π2，2－π2 D．0,2
解析： f′(x)＝2cos x－1，x∈0，π3时，f′(x)≥0
x∈π3，π2时f′(x)≤0，∴π3为最大值点，fπ3＝3－π3为函数的最大值．
答案： A
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上f(x)≤3恒成立，那么在[－2,2]上，
f(x)min( )
A．≤－37 B．≤－5
C．≥－37 D．≥－5
解析： f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)
当x∈[－2,0]时f′(x)≥0
当x∈[0,2]时f′(x)≤0
∴f(x)max＝f(0)＝m，∴m≤3
又∵f(－2)＝－40＋m，f(2)＝－8＋m
∴f(x)min＝f(－2)＝－40＋m≤－37.
答案： A
二、填空题
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，
销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－
P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________________元．
解析：设毛利润为L(P)，由题意知
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8 300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.
令L′(P)＝0，
解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
答案： 23 000
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是__________________．
解析： f′(x)＝3x2－3a，f(x)在(0,1)内有最小值，
则f(x)在(0,1)内有极小值点．
方程f′(x)＝3x2－3a＝0应有实根，
∴a＞0，x＝±a.
显然x＝a应是(0,1)间的极小值点，
∴0＜a＜1,0＜a＜1.
答案： (0,1)
三、解答题
7．设函数f(x)＝ln(2x－1)－x2.
(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求f(x)在区间34，54上的最大值和最小值．

解析： f(x)的定义域为12，＋∞.
(1)f′(x)＝22x－1－2x＝2－2x2x－12x－1＝－2x－12x＋12x－1.
当120；当x>1时，f′(x)<0.
则f(x)在区间12，1上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间34，54上的最大值为f(1)＝ln(2×1－1)－12＝－1.
又f34－f54＝ln2×34－1－342－ln2×54－1－542＝1－ln 3<0.
所以f(x)在区间34，54上的最小值为
f34＝ln2×34－1－342＝－ln 2－916.
故f(x)在区间34，54上的最大值和最小值分别为－1和－ln 2－916.
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比．已知在速度为每小时10公里时
的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航
行时，能使行驶每公里的费用总和最少？
解析：设船的速度为x(x＞0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，

由6＝k×103可得k＝3500，∴Q＝3500x3，

∴总费用y＝3500x3＋96·1x＝3500x2＋96x，
y′＝6500x－96x2，令y′＝0得x＝20，
当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，
∴当x＝20时，y取得最小值，