高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计
高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 “正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。 本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 二、学生学习情况分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。 三、设计思想 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。 四、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。 2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。 3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。 五、教学重点与难点 重点：正弦定理的发现和推导 难点：正弦定理的推导 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。 六、教学过程设计
（一）设置情境 教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：思考提出测量角A，C。 教师：若已知测得，，如何计算A、B两地距离？ 师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。 教师引导：是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？ 学生：（思考交流）得出过点A作AD BC于D（如图2），把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过点A作AD BC于D 在中，
在中， 教师继续引导：在上述问题中，若AC=b，AB=c，能否用B、b、C表示c呢？ 学生：发现，
,
教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？ 学生：发现即然有，那么也有，。 教师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？ 设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。 （二）数学实验，验证猜想
教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。 （1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：
c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等） （2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：
c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们相等） （3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：
c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。（学生回答它们相等）（图3） 教师：对于呢？ 学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又, 则 从而在直角三角形ABC中， 教师：那么任意三角形是否有呢？ 借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。
结论：对于任意三角形都成立。 设计意图：通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。 （三）证明猜想，得出定理 师生活动： 教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数
学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述） 学生：思考得出
(1)在中，成立，如前面检验。 (2)在锐角三角形中，如图5设BC=a，CA=b，AB=c
作：，垂足为D 在中，
在中，
同理，在中， (3)在钝角三角形中，如图6设为钝角,BC=a，CA=b，AB=c，作交BC的延长线于D
在中， 在中，
同锐角三角形证明可知： 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 教师：还有其它证明方法吗？ 学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：， 而由图中可以看出：，， = = 等式中均除以后可得， 即。 教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。 在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，
三角形的面积：，能否得到新面积公式 学生： 得到三角形面积公式 设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。 （四）利用定理，解决引例 师生活动： 教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生：马上得出
在中，
（五）了解解三角形概念 设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性。 教师：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。 设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。 （六）运用定理，解决例题 师生活动： 教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型： （1）如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如
； （2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。 师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。 分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。 例2：在中，已知，，，解三角形。 例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。 学生：反馈练习（教科书第5页的练习） 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。 设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。 （七）尝试小结： 教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生：思考交流，归纳总结。 师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。 （2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。 （3）分类讨论的数学思想。 设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 （八）作业设计 作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
高中数学《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5(2)
课题：1.1.1正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
【学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用。
【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
课题：1.1.1正弦定理
课题：1.1.1正弦定理。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》44
正弦定理一、教材分析本节课时?必修五?第一课内容，学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。
师生一起从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜测-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
课本按照从简原那么和最近开展区原那么，采用“作高法〞证明了正弦定理。
教学过程中，为了开展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。
正弦定理是把三角形中边角关系的研究由特殊〔直角三角形〕进一步推广到了一般三角形，扩大了知识的使用范围。
用正弦定理解三角形，表达了数形结合的思想，而且正弦定理的使用不依托直角坐标系，在以后的极坐标中也能应用。
因此，正弦定理的地位表达在它的根底性，作用表达在它的工具性。
二、学生学情分析正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识根底上进行的。
本人所任教的学校学生整体水平中等偏上，他们有一定的观察、分析。
解决问题的能力，但是再往深处思考的能力有所匮乏，这时就需要教师的指引，利用学生已有的知识根底，设置最近开展区，从而激发学生的兴趣和求知欲，在正弦定理这一知识方面走得更远。
三、教学目标1掌握正弦定理及其证明，能够利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探究能力；3提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣，在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与交流能力。
教学重点与难点本节课重点是正弦定理及其证明过程，难点是正弦定理的推导和证明。
教学过程一、问题情境探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在RtABC中，设C=90°,间有哪些关系？探索2 在RtABC中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？二、学生活动一组验证结论对锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立？三、建构数学探索3 我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量运算的角度来证明这个结论呢？探索4 观察正弦定理的结论，看它有什么特点？你能用语言把它表达出来吗？定理中的正弦假设改成余弦，结论还成立吗？探索 5 这个式子中包含了哪几个等式？每个等式中有几个量？它可以解决斜三角形中的哪些类型问题？四、数学运用例1、中，a=2021=30°，C=45°解三角形。
高中数学《1.1.1正弦定理和余弦定理 正弦定理》教学案新人教A版必修5
§1.1.1 正弦定理学习目标1、掌握正弦定理的内容；2、掌握正弦定理的证明方法；3、会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
一、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在Rt ∆ABC 中，sin sin sin a b c A B C==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=． 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导。
新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C=．试试：1、在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =2、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 。
[理解定理]1、正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；2、sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B=，sin a A =sin c C ． 3、正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B =；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin aA B b =；sin C = ．4、一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1、在ABC ∆中，已知45A =，︒=30C ，10=c ，解三角形。
高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理
必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形 【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A 为锐角（2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（3） 当A 为锐角（4） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数． 解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A 为锐角（6） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。
高中数学必修五教案-1.1.1 正弦定理(11)-人教A版
学科数学年级/册高一年级必修5教材版本人教版课题名称利用正弦定理解决实际问题难点名称根据实际问题建立数学模型难点分析从知识角度分析为什么难将实际的问题转化为数学模型需要理解专业术语，如仰角，俯角，和对方向角的认识，并且对题干的条件需要很强的概括能力从学生角度分析为什么难学生在根据题干中给出的条件建立模型时，难以准确给出其之间的正确关系，对于各个三角形之间交叉使用条件，有一定的难度。
难点教学方法1.在题的设计时，由浅入深，有一个循序渐进的的过程，逐渐引导学生寻找解题的思路。
2.通过小组合作交流，巩固本节的教学难点，增强学生战胜困难的信心教学环节教学过程导入知识回顾:正弦定理：)(2sinsinsin是外接圆的半径RRCcBbAa===正弦定理可以解决三角形中的问题：（1）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角（2）已知两角和一边，求其他角和边知识讲解（难点突破）题型一：测量距离例1：如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求AB之间的距离。
解：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°，∴AB＝AC sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．（利用正弦定理解决已知两角和一边，求其他角和边的问题）题型二：测量高度课堂练习（难点巩固）小试牛刀：一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________km.（本环节让学生独立思考，培养好的自主学习习惯，敢于挑战的品质）解：由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得BCsin 30°＝ACsin 45°，∴BC＝302(km)．小结实际问题推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明。
【高中数学必修5】1.1.1正弦定理 教学设计1
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一、[设计问题，创设情境]
1.独立思Байду номын сангаас以下问题
问题1：在Rt△ABC中，角C为直角，我们可以得到这三个角的正 弦值的式子, 我们知道这三个式子中都含有哪个边长？
sin A a sin B b
c
c
sinC 1 c c
问题2：那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？ C= a b c sinA sinB sinC
那此关系式能不能推广到任意三角形？
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二、[信息交流，揭示规律 ]
同学们猜想： 在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦
的比相等, 即：
a b c sinA sinB sinC
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• 通过实验后，猜想成立，即有下面的结论： 在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦 的比相等, 即：
a b c sinA sinB sinC
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六、[布置作业，及时巩固]
• 课本第4页练习：2.（1） • 自助作业：
课后同学们讨论如何去证明正弦定理 有什么好的方法
• 问题3：:正弦定理如何表述？ • 问题4：观察我们的正弦定理我们可以解决
什么问题
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三、[运用规律，解决问题]
• 例题解析
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四、[变练演编，深化提高]
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五、[反思小结，观点提炼]
• 通过这节课的研讨，请大家谈谈自己的体 会.
• (1)在这节课中，学习了哪些知识？
• (2)包含了哪些数学思想和数学方法？
人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计
人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计1. 教学内容和目标1.1 教学内容正弦定理是三角函数的重要概念之一，本次教学内容主要包括：1.正弦定理的概念及其推导过程2.正弦定理的应用实例：求三角形边长和角度3.正弦定理与勾股定理的综合应用1.2 教学目标通过本次课程的学习，学生应该能够：1.掌握正弦定理的概念及其推导过程2.能够运用正弦定理解决实际问题，如求三角形边长和角度3.能够理解正弦定理与勾股定理的联系，运用两者综合解决问题2. 教学过程及安排2.1 教学过程1.引入（5分钟）：通过简单的实例或图片来引导学生回忆三角形的基本概念、角度和边长的定义及勾股定理。
2.学习正弦定理（30分钟）：介绍正弦定理的概念，讲解其推导过程，并通过实例演示如何运用正弦定理求解三角形的边长和角度。
3.练习（20分钟）：提供一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，观察学生练习情况，在学生练习完后进行讲解并指导学生，激发学生的学习兴趣和创造力。
4.综合应用（20分钟）：介绍正弦定理与勾股定理的联系，演示如何综合运用两者解决问题，通过实例让学生掌握综合应用的方法和技巧。
5.总结（5分钟）：对本节课所学的知识点进行总结归纳，提醒学生掌握基本概念、加强练习和思考，在人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理学习中取得更好的成绩。
2.2 安排1.教材：人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理。
2.时间：1课时（45分钟）。
3.教学方式：多媒体课件+讲解+练习+讨论。
3. 教学评估和反思3.1 教学评估1.学生练习题目解答情况，是否理解正弦定理的概念和应用方法。
2.课后作业的完成情况，能否熟练运用正弦定理解决问题。
3.学生的课堂参与度和表现情况。
3.2 教学反思1.本节课内容清晰，思路明确，符合学生的认知规律，但在举例操作过程中有一些练习较为复杂，需要老师提前做好示范。
2.在整个课堂过程中，讲师讲解清晰、运用多媒体较好，但应让学生更好地理解定理背后的设计思想，注重锻炼学生所获取的知识的应用能力。
1.1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)
正弦定理教课方案教课目的：1．让学生从已有的几何知识出发,经过对随意三角形边角关系的研究，共同研究在随意三角形中，边与其对角的关系，指引学生经过察看，实验，猜想，考证，证明，由特别到一般概括出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．经过对实质问题的研究，培育学生察看问题、提出问题、剖析问题、解决问题的能力，加强学生的协作能力和沟通能力，发展学生的创新意识，培育创建性思想的能力。
3．经过学生自主研究、合作沟通，亲自体验数学规律的发现，培育学生勇于研究、擅长发现、不畏艰辛的创新质量，加强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培育学生通情达理研究数学规律的数学思想方法，经过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数目积等知识间的联系来表现事物之间的广泛联系与辩证一致。
五、教课要点与难点教课要点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教课难点：正弦定理的猜想提出过程。
教课准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教课过程：（一）联合实例，激发动机师生活动：师：每日我们都在科技楼里学习，对科技楼熟习吗？生：自然熟习。
师：那大家知道科技楼有多高吗？学生不知道。
激起学生兴趣！师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思虑片晌，教师指引。
生 1：在楼的旁边取一个观察点 C，再用一个标杆，利用三角形相像。
师：方法可行吗？生 2： B 点地点在楼内不确立，故 BC长度没法丈量，一次丈量不可以。
师：你有什么想法？生 2：能够再取一个观察点 D.师：多次丈量获得数据，为了能与上一次数据联系，我们应把 D 点取在什么位置？生 2：向前或向后师：好，模型如图（ 2）：我们设ACB 60，ADB 45 ,CD=10m,那么我们能计算出 AB吗？生 3：由AB tan 45AB tan3010 求出AB。
师：很好，我们可否换个角度，在 Rt ABD 中，能求出 AD,也就求出了 AB 。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》0
2.1正弦定理三维目标知识与能力通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题。
过程与方法通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律情感态度与价值观通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美。
教学重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及根本运用教学难点：正弦定理的探索及证明教法与学法：类比法、探究法教学过程引例1：如图，设A、B两点在河的两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工具，没法跨河测量，利用现有工具，你能利用所学的解三角形知识设计一个测量A、B两点距离的方案吗？引例2：如果测量人员任意选取C点，测出的距离是54m，,.问根据这些数据能解决测量者的问题吗？引例2数学模型：在中，，,.求边长.问题：再看这个数学问题，三角形的局部边长和内角，求其他边长和内角。
这个问题其实是解斜三角形的边角关系问题。
但是没有学过，我们知道在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，那么我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？探究一：直角三角形边角数量关系〔引导学生利用正弦函数定义，关键是引导学生把两个正弦等式糅合在一起。
〕探究二：斜三角形边角数量关系实验1：如图，在等边中，,对应边的边长，验证是否成立？实验2：如图，在等腰中，,，对应边的边长，验证是否成立？猜测：通过这样的一些实验，我们可以猜测对于任意的斜三角型也存在这样的边角数量关系：；问题：但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？证明方法1——作高法和面积法引导学生利用熟悉的解直角三角形知识对锐角三角形边角数量关系进行证明，学生展示证明过程，并用不同的方法进行说明。
概念生成：正弦定理的定义：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理〔law of sines〕，即在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即。
高中数学 1.1.1 正弦定理教案 新人教B版必修5
1.1.1 正弦定理整体设计教学分析本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．三维目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC 中的边角关系，若∠C 为直角，则有a ＝csinA ，b ＝csinB ，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到a sinA ＝b sinB，进一步提问，等式能否与边c 和∠C 建立联系？从而展开正弦定理的探究．思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A 和B ，某日两个观测点的林场人员分别测到C 处有火情发生．在A 处测到火情在北偏西40°方向，而在B 处测到火情在北偏西60°方向，已知B 在A 的正东方向10千米处．现在要确定火场C 距A 、B 多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC 中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB ＝10千米，求AC 与BC 的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．推进新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？ 4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？ 5什么叫做解三角形？ 6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a c ＝sinA ，b c ＝sinB ，又sinC ＝1＝c c ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝c.从而在Rt△ABC 中，a sinA ＝b sinB ＝c sinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析． 如下图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角的三角函数的定义，有CD ＝asinB ＝bsinA ，则a sinA ＝b sinB .同理，可得c sinC ＝b sinB .从而a sinA ＝b sinB ＝c sinC.(当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝b sinB ＝c sinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a ＜b.当∠A、∠B 都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA ＜sinB.当∠A 是锐角，∠B 是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB ＞sin(π－A)＝sinA ，所以仍有sinA ＜sinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．讨论结果：(1)～(4)略．(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．应用示例例1在△ABC 中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解此三角形．活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b ，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b ，若求边c ，则先求∠C，再利用正弦定理即可．解：根据三角形内角和定理，得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)； c ＝asinC sinA ＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)． 点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．变式训练在△ABC 中(结果保留两个有效数字)，(1)已知c ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a.解：(1)∵C＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，b sinB ＝c sinC， ∴b＝csinB sinC ＝3sin60°sin75°≈1.6.(2)∵a sinA ＝b sinB， ∴a＝bsinA sinB ＝12sin30°sin120°≈6.9.例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a ＝10；(2)a ＝3，b ＝4，∠A＝30°；(3)b ＝36，c ＝6，∠B＝120°.活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c ＝asinC sinA ＝10si n75°sin60°≈11.2(如图1所示)．图1(2)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4sin30°3＝23， 因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．图2当∠B≈41.8°时，∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c ＝asinC sinA ＝3sin108.2°sin30°≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，c ＝asinC sinA ＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如图2所示)． (3)由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝6sin120°36＝6×3236＝22， 因此∠C＝45°或∠C＝135°. 因为∠B＝120°，所以∠C ＜60°.因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.再由正弦定理，得a ＝bsinA sinB ＝36sin15°32≈2.2(如图3所示)．图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会．变式训练在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)解：∵b＜a ，∴B＜A ，因此B 也是锐角．∵sinB＝bsinA a ＝50sin38°60≈0.513 1， ∴B≈31°.∴C＝180°－(A ＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.∴c＝asinC sinA ＝60sin111°sin38°≈91.例3如图，在△ABC 中，∠A 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD DC ＝AB AC. 活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．证明：如图，在△ABD 和△CAD 中，由正弦定理，得BD sinβ＝AB sinα，① DC sinβ＝AC sin 180°－α＝AC sinα，② ①÷②，得BD DC ＝AB AC. 点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．例4在△ABC 中，A ＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B 、C ，外接圆半径R 及面积S.活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A ＋B ＋C ＝180°，由此可求解出B 、C ，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．解：由A ＋B ＋C ＝180°及B∶C＝4∶5，可设B ＝4k ，C ＝5k ，则9k ＝135°，故k ＝15°，那么B ＝60°，C ＝75°.由正弦定理，得R ＝102sin75°＝5(6－2)， 由面积公式S ＝12bc·sinA＝12c·2RsinB·sinA＝75－25 3. 点评：求面积时，b 未知但可转化为b ＝2RsinB ，从而解决问题．1.在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sinC ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB 以及结论sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B)·sin(A－B)，由(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sinC ，∴(sin 2A ＋sin 2B)sin(A －B)＝(sin 2A －sin 2B)sinC.∴(sin 2A ＋sin 2B)sin(A －B)＝sin(A ＋B)·sin(A－B)·sinC.若sin(A －B)＝0，则A ＝B.若sin(A －B)≠0，则sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2 D．2∶3∶1答案：C 知能训练1．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S 的值是( )A. 2B.3＋1C.12(3＋1) D ．2 2 2．在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边长为__________．3．在△ABC 中，若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA ＝__________.答案：1．B 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，得c ＝asinC sinA＝22，B ＝180°－A －C ＝105°， ∴△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×2×22sin105°＝3＋1. 2.532＋66 解析：∵B＝105°，C ＝15°，∴A＝60°.∴b 为△ABC 的最长边． 由正弦定理，得 b ＝asinB sinA ＝5sin105°sin60°＝532＋66.3.33解析：由正弦定理，知 a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC(R 为△ABC 的外接圆半径)． ∴(3sinB －sinC)cosA ＝sinA·cosC， 化简，得3sinB·cosA＝sin(A ＋C)＝sinB. ∵0＜sinB≤1， ∴cosA＝33. 课堂小结1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．3．通过例3引入了三角形外接圆半径R 与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R 的引入能给我们解题带来极大的方便．作业习题1—1A 组1、2、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．备课资料一、知识扩展1．判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．设已知a 、b 、A ，则利用正弦定理 sinB ＝bsinA a，如果sinB ＞1，则问题无解； 如果sinB ＝1，则问题有一解；如果求出的sinB ＜1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2．利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC 或sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用． 3．正弦定理的其他几种证明方法 (1)三角形面积法如图，已知△ABC，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，作AD⊥BC，垂足为D.则Rt△ADB 中，sinB ＝ADAB ，∴AD＝AB·sinB＝csinB. ∴S △ABC ＝12a·AD＝12acsinB.同理，可得S △ABC ＝12absinC ＝12bcsinA.∴acsinB＝absinC ＝bcsinA. ∴sinB b ＝sinC c ＝sinA a ，即a sinA ＝b sinB ＝csinC. (2)平面几何法如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连结BO 并延长交圆于C′点，设BC′＝2R ，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，∴sinC＝sinC′＝c 2R .∴c sinC ＝2R.同理，可得a sinA ＝2R ，bsinB ＝2R.∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a sinA ＝bsinB ＝c sinC. 这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R ，得到a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R 这一等式，其变式为a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．(3)向量法①如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →，由分配律可得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →.∴|j ||AC →|cos90°＋|j ||CB →|cos(90°－C)＝|j ||AB →|cos(90°－A)． ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC .同理，可得c sinC ＝bsinB .∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ②如图，△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →， 即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)， ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC.同理，可得b sinB ＝c sinC .∴a sinA ＝b sinB ＝csinC .③当△ABC 为直角三角形时，a sinA ＝b sinB ＝c sinC显然成立． 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立． 二、备用习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( )A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinB ＝12，sinC ＝32，则a∶b∶c 等于 … ( )A ．1∶3∶2 B．1∶1∶ 3C ．1∶2∶ 3D ．2∶1∶3或1∶1∶ 33．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 … ( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 24．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且B ＝2A ，则ba 的取值范围是 …( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1，3)D ．(2，3) 5．在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，已知a ＝334，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝________.7．在△ABC 中，cosA ＝－513，cosB ＝35，(1)求sinC 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积． 参考答案：1．D 解析：由正弦定理，知b sinB ＝a sinA ，即b sin60°＝10sin45°，解得b ＝5 6. 2．D 解析：由题意，知C ＝60°或120°，B ＝30°，因此A ＝90°或30°.故选D. 3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC ，得sinC ＝12，于是有C ＝30°或C ＝150°(不符合题意，舍去)．从而A ＝30°.于是△ABC 是等腰三角形，a ＝c ＝ 2.4．D 解析：由正弦定理知b a ＝sinBsinA ，又∵B＝2A ，∴b a ＝sin2A sinA ＝2cosA. ∵△ABC 为锐角三角形，∴0°＜B ＜90°.∴0°＜2A ＜90°. ∴0°＜A ＜45°.又∵0°＜C ＜90°， ∴A＋B ＞90°.∴3A＞90°. ∴A＞30°.∴30°＜A ＜45°. ∴2＜2cosA ＜3， 即2＜ba ＜ 3.故选D.5.1534 解析：由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，即5sinC ＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314. 因此sinB ＝3314，所以S △ABC ＝12×5×7×3314＝1534.6.839 解析：由正弦定理，得4sinB ＝334sin30°，解得sinB ＝839. 7．解：(1)由cosA ＝－513，得sinA ＝1213.由cosB ＝35，得sinB ＝45，∴sinC＝sin(A ＋B)＝sinA·cosB＋cosA·sinB＝1665.(2)由正弦定理，得 AC ＝BC×sinBsinA ＝5×451213＝133，∴△ABC 的面积S ＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.。