2019年江苏理科数学高考试题(含解析).doc

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2019年高考数学江苏卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏省）数学答案解析一、填空题 1．【答案】{1,6}【解析】由交集定义可得{1,6}A B =I 【考点】集合的交运算 2．【答案】2【解析】(a+2 i)(1+i)=a-2+(a+2) i ，Q 实部是0，-20, 2a a ∴==. 【考点】复数的运算、实部的概念 3．【答案】5【解析】执行算法流程图，11,2x S ==，不满足条件；32,2x S ==，不满足条件；3, 3x S ==，不满足条件；4, 5x S ==，满足条件，结束循环，故输出的S 的值是5. 【考点】算法流程图 4．【答案】[1,7]-【解析】要使函数有意义，则2760x x +-≥，解得17x -剟，则函数的定义域是[-1,7]. 【考点】函数的定义域 5．【答案】53【解析】数据6，7，8.8，9，10的平均数是678891086+++++=，则方差是410014563+++++=.【考点】平均数、方差 6．【答案】710【解析】记3名男同学为,,A B C ，2名女同学为,a b ，则从中任选2名同学的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,)A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(,),(,),(,),()(C, a),(C, ,b),(a, b)A a A b B a B b ，，共7种，故所求概率为710. 【考点】古典概型7．【答案】y =【解析】因为双曲线2221(0)y x b b -=>经过点(3,4)，所以21691b-=，得b =程是y bx =±=. 【考点】双曲线的几何性质 8．【答案】16 【解析】通解设等差数列{}n a 的公差为d .则()(22258111111914)74570,93627a a a a d a d a d a d a d a d S a d +=++++=++++==+=，解得152a d =-=，，则81828405616S a d =+=-+=.优解设等差数列{}n a 的公差为d .()199559927,32a a S a a +====，又2580a a a +=，则3(33)330d d -++=，得2d =，则()(1884584)4(13)162a a S a a +==+=+=.【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式 9．【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，所以1120ABCD CC S ⋅=四边形，又E 是1CC 的中点，所以三棱锥E BCD -的体积11111112010332212E BCD BCD ABCD V EC S CC S -∆=⋅=⨯⨯=⨯=四边形. 【考点】空间几何体的体积 10．【答案】4 【解析】通解设4,,0P x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则点P 到直线0x y +=的距离424x d +==≥=，当且仅当42x x=，即x =时取等号，故点P 到直线0x y +=的距离的最小值是4. 优解由4(0)y x x x =+>得241y x'=-，令2411x -=-，得x =，则当P点的坐标为时，点P 到直线0x y +=4=.【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用 11．【答案】(e, 1)【解析】设()00,ln A x x ，又1y x'=，则曲线ln y x =在点A 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，将(,1)e --代入得，()00011ln x e x x --=--，化简得00ln ex x =，解得0e x =，则点A 的坐标是(,1)e . 【考点】导数的几何意义的理解和应用 12．【解析】解法一以点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨设(,0),(,0),(,),00B a C a A b c a c ->>，，由2BE EA =得22,33b a c E -⎛⎫⎪⎝⎭，则直线:c OA y x b =，直线:(2)()CE b a y c x a -=-，联立可得,22b c O ⎛⎫⎪⎝⎭，则222224222(,)(),,,22333b c a b c b c ab AB AC a b c a b c b c a AO EC -+-⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=+-⋅=--⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，由6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r得()2222222b c a b c ab+-=+-，化简得2224ab b c a =++，则AB AC ===. 解法二由,,A O D 三点共线，可设AO AD =λu u u r u u u r，则()2AO AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，由,,E O C 三点共线可设EO EC =μu u u r r r ，则()AO AE AC AE -=μ-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1(1)(1)3AO AE AC AB AC =-μ+μ=-μ+μu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由平面向量基本定理可得1(1)322λ⎧-μ=⎪⎪⎨λ⎪μ=⎪⎩解得11,42μ=λ=，则11(),43AO AB AC EC AC AE AC AB=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则221132166())43233AO EC AB AC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⋅=⨯+⋅-=⋅+-=⋅ ⎪ ⎝⎭⎝u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简得223AC AB =u u u u r u u u u r ，则ABAC=【考点】向量的线性运算、数量积 13．【答案】10【解析】通解tan tan (1tan )2tan 1tan 131tan αα-α==-α+α+-α得tan 2α=或1tan 3α=-，当tan 2α=时，2222222222sin cos 2tan 4cos sin 1tan 3sin 2,cos2sin cos tan 15sin cos tan 15αααα-α-αα===α===-α+αα+α+αα+此时1sin 2cos25α+α=，同理当1tan 3α=-时，34sin 2,cos255α=-α=，此时1sin 2cos25α+α=，所sin(2)2cos2)4210πα+=α+α=. 优解，sin cos tan 243tan cos sin 44π⎛⎫αα+ ⎪α⎝⎭==-ππ⎛⎫⎛⎫α+αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2sin cos cos sin 434ππ⎛⎫⎛⎫αα+=-αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5sin sin cos cos sin sin cos 244434⎡⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=α+-α=α+α-α+α=α+α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则sin cos 4π⎛⎫α+α=⎪⎝⎭，则11sin 2sin sin cos cos sin sin cos 4444343⎡⎤πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫α+=α++α=α+α+α+α=α+α== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【考点】同角三角画款的基本关系、三角也等变换14．【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】当(0,2]x ∈时，令y =则22(1)1,0x y y -+=…，即()f x 的图象是以(1,0)为圈心、1为半径的半圆，利用()f x 是奇函数，且周期为4，画出函数()f x 在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数()((0,9])g x x ∈的图象，如图，关于x 的方程()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知()((0,1])g x x ∈与()((0,1])f x x ∈的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线(2)y k x =+经过点(1,1)时，13k =，当直线(2)y k x =+与半圆22(1)1(0)x y y -+=…相切时，1=，k =k =，所以k的取值范围是134⎡⎢⎣⎭。

(完整版)2019年江苏卷数学高考试题精校版(含答案)(1),推荐文档

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ . 2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ .3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 ▲ .开始x ←1，S ←0x ←x+1S ←S+结束输出Sx ≥4YN2x13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．数学Ⅰ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求,A B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|21|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L 令n n n n M A B C =U U .从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n ≥，求概率()P x n ≤（用n 表示）2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6} 2.23.54.[1,7]-5.536.710 7.2y x =± 8.169.10 10.411.(e, 1)12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =.因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ∥平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ∥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1∥平面ABC . 又因为BE ∥平面ABC ，所以CC 1∥BE .因为C 1C ∥平面A 1ACC 1，AC ∥平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ∥平面A 1ACC 1.因为C 1E ∥平面A 1ACC 1，所以BE ∥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2∥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2∥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∥BF 1E =∥B .因为F 2A =F 2B ，所以∥A =∥B ，所以∥A =∥BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2∥x 轴，所以EF 1∥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令，得或．列表如下：(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．所以的极大值1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当3x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max ()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：+–因为ln 2ln82663=<=，所以max ()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k„，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅰ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅰ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4nnnn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB ≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n>当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当Xn >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

江苏省2019年高考数学试题及答案

是
.
10．在平面直角坐标系距离的最小值是
xOy 中， P 是曲线 y
.
4 x ( x 0) 上的一个动点，则点
x
P 到直线 x+y=0 的
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（ - e， - 1)(e
为自然对数的底数），则点 A 的坐标是
,( n,0)} ，
Bn (0,1),(n,1)},Cn {(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .
令 M n An Bn Cn .从集合 M n中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离 .
（ 1）当 n=1 时，求 X的概率分布；（ 2）对给定的正整数 n（n≥３），求概率 P（ X≤n）（用 n表示） .
能力 .满分 14分 .
解：（1）因为 a 3c,b
2 2,cos B ，
3
由余弦定理 cos B
a2 c2 b2
2
，得
(3c)2 c 2 ( 2) 2 ，即 c2
1
.
2ac
3
2 3c c
3
所以 c
3
.
3
（ 2）因为 sin A a
由正弦定理 a sin A
cos B
，
2b
b
cos B
，得
sin B
5
已知 DF 1= ．
2
3
（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）求点 E 的坐标．
18．（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为
O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路
l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O

2019年全国高考试题数学江苏卷附答案详解

2019年全国高考试题数学江苏卷I 卷一、填空题1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x R =>∈，则A B = .答案：{1,6}2.已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 . 答案：23.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 . 答案：54.函数y =的定义域是 . 答案：{1,7}-5.已知一组数据6，7，8，9，10，则该组数据的方差是 . 答案：536.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 答案：7107.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 .答案：y = 解析：由题知0,11692>=-b b，所以2=b，所以渐近线方程为y = 8.已知*{|()}n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和，若2340a a a +=，427S =，则n S 的值是 . 答案：169.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 . 答案：10解析：因为121212131313111=⨯⨯===∆∆-C C EC S S C C S ECS VV ABCD BCD ABCD BCD BCDE10120121121=⨯==-V V BCD E10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 .答案：4解析：由题设)4,(xx x P +，0>x 所以424222422|4|=⋅≥+=++=x x x x x x x d11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 答案：(,1)e12.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ，若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .13.已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 .答案：10解析：法一32tan 1)tan 1(tan )4tan(tan -=+-=+αααπαα，解得2tan =α或31-ααααααααπα2222cos sin sin cos cos sin 22)2cos 2(sin 22)42sin(+-+=+=+102tan 1tan 1tan 2222=+-+=ααα 法二令y x =+=4,παα，则y tan 2tan 3-=α，22)sin(=-x y 则,cos sin 2cos sin 3x y y x -=22sin cos cos sin =-x y x y解得1023sin cos ,52cos sin =-=y x y x 则102sin cos cos sin )42sin(=+=+y x y x πα 14.设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(0,2]x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >，若在区间(0,9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8不同的实数根，则k 的取值范围是 .答案：1[3解析：当]2,0(∈x 时,2)1(1)(--==x x f y 等价于)0(1)1(22≥=+-y y x又)(x f 是周期为4的奇函数,可作出)(x f 在(0.9]上的图象因为当]2,1(∈x 时,21)(-=x g 且)(x g 的周期为2由图可知:当]8,7(]6,5(]4,3(]2,1(⋃⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有2个交点由已知, )(x f 与)(x g 的图象在区间(0,9]上有8个交点所以当]9,8(]7,6(]5,4(]3,2(]1,0(⋃⋃⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有6个交点又当]1,0(∈x 时,)2()(+==x k x g y 表示的直线恒过定点)0,2(-A ,且斜率0>k又)(x g 的周期为2及)(x f 的图象可知:当]7,6(]3,2((⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象无交点所以当]9,8(]5,4(]1,0(⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有6个交点由)(x f 与)(x g 的周期性可知]1,0(∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有2个交点如图,当线段)10)(2(≤<+=x x k y 与圆弧)10,0(1)1(22≤<≥=+-x y y x 相切时8111|3|22=⇒=+=k k k d 又0>k .所以42=k (此时恰有1个交点) 当线段)10)(2(≤<+=x x k y 过点B(1、1)时,31==AB k k (此时恰有2个交点) 结合图形分析可知:k 的取值范围是)42,31[ 二、解答题15.在ABC D 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若3a c =，b =2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B p+的值. 解答：（1）22222222cos 292363b ac ac B c c c c c c=+-?+-创??（2）sin cos cos sin 22A B BB a b ===，sin()cos 2B B p +==16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =.求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ^. 解答：（1）证明：“直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ABB A 是平行四边形，∴11//A B AB又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，//DE AB ，∴11//A B DE ，又DE Ì平面1DEC ，111A B DEC Ë， ∴11//A B 平面DEC .（2）证明：∵直三棱柱111ABC A B C -，.∴1AA ^平面ABC ，又∵BE Ì平面ABC ，∴1AA BE ^，又∵AB BC =，E 是AC 的中点，∴AC BE ^，∵1AC AA A =I ，AC Ì平面11ACC A ，1AA Ì平面11ACC A ， ∴BE ^平面11ACC A ，又1EC Ì平面11ACC A ，∴1BE C E ^.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为(1,0)F -，2(1,0)F .过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AG ，并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结DF .已知152DF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标.解：(1)设椭圆C 的焦距为2c因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1.又因为DF 1=25,AF 2⊥x 轴,所以23221212=-=F F DF DF 因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2;由b 2=a 2-c 2,得b 2=3因此,椭圆C 的标准方程为13422=+y x (2)解法一由(1)知,椭圆13422=+y x ,a=2 因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4);又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y=2x+2由⎩⎨⎧=+-+=16)1(2222y x x y 得5x 2+6x-11=0,解得x=1或511-=x 将511-=x 代入22+=x y ,得 512-=y ,因此)512,511(--B 又F 2(1,0),所以直线BF 2:)1(43--=x y由()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13414322y x x y ，得013672=--x x ，解得1-=x 或713=x ，又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以1-=x ,将1-=x 代入)1(43-=x y ，得23-=y ，因此，⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1E解法二由（1）知，椭圆13422=+y x ，如图，连接1EF 因为a BF 22=,a EF EF 221=+ ,所以EB EF =1,从而.1B E BF ∠=∠因为B F A F 22=,所以B A ∠=∠,所以E BF A 1∠=∠,从而A F EF 21// , 因为x AF ⊥2轴,所以x EF ⊥1轴;因为()0,11-F ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x x ，得23±=y ，又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以.23-=y 因此得又因为E 是线段BF2与椭圆的交点,所以3因此E(-1,-),由⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1E 18.如图、一个湖的边界是圆心为O 的绩、湖的一侧有一条直线型公路l 、湖上有桥AB （AB 是湖O 的直径）、规划在公路l 上选两个点P 、Q 、并修建两段直线的道路PB 、QA 、规划要求：线段PB 、QA 上的所有点O 的距离不小于圆O 的半径，已知点A ，8到直线l 的距离分为AC 和BD （C ，D 为垂足）（单位：百米）（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明雅由：（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点简的距离. 解答：解法一 (1)过A 作AE⊥B D,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8 因为PB⊥AB,所以os∠PBD=sin∠ABE=54108==,所以15cos =∠=PBDBD PB 因此道路PB 的长为15(百米)(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B.E)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求若Q 在D 处,连结AD,由(1)知1022=+=ED AE AD ,从而0257AB 2AD cos 222>=⋅-+=∠ BD AB AD BAD所以∠BAD 为锐角所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,因此Q 选在D 处也不满足规划要求综上,P 和Q 均不能选在D 处 (3)先讨论点P 的位置当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB 上任意一点F,OF≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求设1P 为l 上一点,且P 1B⊥AB由(1)知.P 1B=15.此时PD=P 1 B sin P 1BD=P 1Bcos∠EBA=95315=⨯ 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中.PB>P 1B=15 可知,d≥15再讨论点Q 的位置由(2)知,要使得15≥QA ,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求当QA=15时,21322=-=AC QA CQ ,此时,线段QA 上所有点到O 的距离均不小于圆O 的半径综上,当PB⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且213=CQ 时,d 最小, 此时PQ 两点间的距离21317+=++=CQ CD PD PQ 因此, d 最小时,PQ 两点间的距离为21317+ (百米) 解法二 (1)如图,过O 作OH⊥l ,垂足为H以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l 的方程为9=y ,点A.B 的纵坐标分别为3，-3 因为AB 为圆O 的直径,AB=10.所以圆O 的方程为25y x 22=+ 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB 的斜率为43 因为PB⊥AB,所以直线PB 的斜率为34-直线PB 的方程为32534--=x y所以P(-13,9),153)(94)(-1322=+++=PB因此道路PB 的长为15(百米)(2)①若P 在D 处,取线段BD 点一点)0,4(-E ,则EO=4<5,故P 选在D 处不满足规划要求 ②若Q 在D 处,连结AD,由(1)知D(-4,9) A(4,3),所以线段AD:)44(643≤≤-+-=x x y 在线段AD 上取点)415,3(M ，因为543)415(32322=+<+=OM所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,因此Q 选在D 处也不满足规划要求综上,P 和Q 均不能选在D 处 (3)先讨论点P 的位置当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB 上任意一点F 、OF≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求设1P 为l 上一点,且P 1B⊥AB ,由(1)知.P 1B=15.此时PD=P 1 B sin P 1BD=P 1Bcos∠EBA=95315=⨯ 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中.PB>P 1B=15 可知,d≥15再讨论点Q 的位置由(2)知,要使得15≥QA ,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求当QA=15时,21322=-=AC QA CQ ,此时,线段QA 上所有点到O 的距离均不小于圆O 的半径综上,当PB⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且213=CQ 时,d 最小, 此时PQ 两点间的距离21317+=++=CQ CD PD PQ 因此, d 最小时,PQ 两点间的距离为21317+ (百米) 19.设函数))()(()(c x b x a x x f ---=，)('x f 为()f x 的导函数. （1）若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；（2）若a b ¹，b c =，且()f x 和()f x ¢的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <?，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M <. 解答：（1）易知3()()f x x a =-，由8)4(=f 解得4=a . （2）易知2()()()f x x a x b =--， )32)((3)('ba xb x x f +--= 令0)('=x f 得32,ba xb x +== 由}3,1,3{32,,-∈+b a b a 易知213a b+=，则3a =，3b =-，则2()(3)(3)f x x x =-+，=)('x f 3(3)(1)f x x x ¢=+-，0)('=x f 得1,3-=x所以()f x 的极小值为(1)32f =-（3）可知()(1)()f x x x x b =--，b x b x x f ++-=)1(23)('2因为10≤<b ，所以03)12(2>+-=∆b所以)('x f 有两个不同的零点，设为)(,,2121x x x x <311,3112221+-++=+--+=b b b x b b b x所以)(x f 的极大值)(1x f M = 法一：121311)1()(bx x b x x f M ++-==9)1(9)1(2)913)()1(23(121121+++-+-++-=-b b x b b b x b x b x322)1(2729)1(27)1)(1(2++++++-=--b b b b b b b322)1(27227)1()1(227)1(+++-++=-b b b b b b27427227)1(≤++≤b b 法二：因为10≤<b ，所以)1,0(1∈x当)1,0(1∈x 时，2)1()1)(()(-≤--=x x x b x x x f 令2)1()(-=x x x g ，)1,0(1∈x ，)1)(31(3)('--=x x x g 由0)('=x g 得31=x所以31=x 时，)(x g 的极大值即最大值274)31()(max ==g x g所以)1,0(∈x 时，274)()(≤≤x g x f ，因此274≤M 法三：①当1b =时，2()(1)f x x x =-， =)('(31)(1)f x x x ¢=--，此时易知14()327M f ==，成立； ②当01b <<时；32()(1)f x x b x bx =-++，=)('x f 2()32(1)f x x b x b ¢=-++，由于(0)0f b ->，031)31('<-=b f ，01)1('>-=b f (1)10f b ¢=->，则存在121013x x <<<<，0)(')('21==x f x f ，且易知1()M f x =，由=)('x f 221111132()32(1)021x x f x x b x b x -¢=-++=?-，则223232111121111111113232()(1)(1)2121x x x x M f x x b x bx x x x x x --==-++=-++--22111(1)12x x x -=-，令1112(,1)3t x =-?，则22422111(1)12111(2)121616x x t t t t x t t--+==-+-.令211()(2)16g t t t t =-+，1(,1)3t Î，)('t g 2221(31)(1)()(0)16t t g t t --¢=<，则14()()327g t f <=，则427M <；综上可知427M <成立，证毕. 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列*{}()n a n N Î满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M 一数列”；（2）已知数列*{}()n b a N Î满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式：②设m 为正整数，若存在“M －数列”*{}()n c n N Î、对任意正整数k 、当k m £时，都有1k kk c b c +＃成立，求m 的最大值.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-． 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

2019年江苏高考数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =，,()2a =-1，,若()()98ma nb mn R +=-∈，,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+111)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第4题图）15.(本小题满分14分)在ABC 中,已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.解:(1)由余弦定理得,7BC =(2)由正弦定理得,43sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C .17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ，,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ，所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值；(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=(2)由勾股定理得,62410()3,[5,20]4tf t t t =+∈ 由基本不等式可知,当102t =时,min ()153f t =Ml 1y CPl18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a依次成等比数列(2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a da n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a 构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D ．[选修4-5：不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除，令()f n表示集合n S 所含元素个数.A第21——AP A BC DQ 第22题（1）写出(6)f 的值； (6)13f =（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 略。

2019年高考真题——数学(江苏卷)

2019年高考真题——数学（江苏卷）已知集合A={－1,0,1,6}，，则A∩B=_____.【答案解析】{1,6}【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知，.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.已知复数的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_____.【答案解析】2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是_____.【答案解析】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次，不成立，继续循环，；执行第二次，不成立，继续循环，；执行第三次，不成立，继续循环，；执行第四次，成立，输出【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．函数的定义域是_____.【答案解析】[－1,7]【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案解析】【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若，则的值是_____.【答案解析】16【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是_____.【答案解析】10【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案解析】4【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.【答案解析】(e,1)【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若，则的值是_____.【答案解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.已知，则的值是_____.【答案解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案解析】【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数与的图象，要使在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当时，函数与的图象有2个交点；当时，的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数与的图象有6个交点.当与图象相切时，圆心（1，0）到直线的距离为1，即，得，函数与的图象有3个交点；当过点（1,1）时，函数与的图象有6个交点，此时，得.综上可知，满足在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案解析】（1）；（2）.【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1△平面DEC1；（2）BE△C1E．【答案解析】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED△AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB△A1B1，所以A1B1△ED.又因为ED△平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1△平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE△AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1△平面ABC.因为C1C△平面A1ACC1，AC△平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE△平面A1ACC1.因为C1E△平面A1ACC1，所以BE△C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案解析】（1）；（2）.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2△x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2△x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而△BF1E=△B.因为F2A=F2B，所以△A=△B，所以△A=△BF1E，从而EF1△F2A.因为AF2△x轴，所以EF1△x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案解析】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q 两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q 两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB△AB，所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）△若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.△若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以△BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当△OBP90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当△OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且，由（1）知，，此时；当△OBP90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB△AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH△l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.因为PB△AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（−13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）△若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=45，所以P选在D 处不满足规划要求.△若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当△OBP90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当△OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且，由（1）知，，此时；当△OBP90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求. 当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合{－3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【答案解析】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+–△极大值△所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【详解】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得x=b或．因为，都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：(－∞,－3)－3(－3,1)1(1,+∞)+–+极大值△极小值△所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下：+–+△极大值△极小值△所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+–△极大值△所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．△求数列{bn}的通项公式；△设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}(n△N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．【答案解析】（1）见解析；（2）△bn=n；△5.【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）△由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式；△由△确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此数列为“M—数列”.（2）△因为，所以．由得，则.由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.△由△知，bk=k，.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；设f（x）=，则．令，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+∞)+–f（x）△极大值△因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．已知矩阵（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.（2）.【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.【详解】（1）因为，所以==．（2）矩阵A的特征多项式为.令，解得A的特征值.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.【答案解析】（1）；（2）2.【分析】(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.【详解】（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．又，所以点B到直线l的距离为.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．设，解不等式.【答案解析】.【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【详解】当x0时，原不等式可化为，解得x–：当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x2，即x–1，无解；当x时，原不等式可化为x+2x–12，解得x1.综上，原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案解析】（1）；（2）-32.【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.【答案解析】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论△.，△.，△.，△.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定的值.【详解】（1）当时，X的所有可能取值是．X的概率分布为，．（2）设和是从中取出的两个点．因为，所以仅需考虑的情况．△若，则，不存在的取法；△若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；△若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；△若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．综上，当时，X的所有可能取值是和，且．因此，．【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．。

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5 分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6} ，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是3．（5 分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．5．（5 分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从 3 名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有 1 名女同学的概率是．27．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2﹣＝1（b>0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5 分）已知数列{ a n} （n∈N*）是等差数列，S n是其前n 项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8 的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．xOy 中， P 是曲线 y ＝ x+ （ x > 0）上的一个动点，则点 P 到直线x+y ＝0 的距离的最小值是11．（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y ＝lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（﹣ e ，﹣ 1）（e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上， BE ＝ 2EA ，AD 与 CE 交于其中 k > 0．若在区间（ 0， 9］上，关于 x 的方程 f （x ）＝ g （x ）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ．（1）若 a ＝3c ，b ＝， cosB ＝，求 c 的值；（ 2）若＝，求 sin （ B+ ）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中， D ，E 分别为 BC ，AC 的中点， AB ＝ BC ．求证：（ 1） A 1B 1∥平面 DEC 1；12．（ 5 分）如图，在△ ABC 中，点 O ．若 ? ＝ 6 ? ，则的值是13．（5 分）＝﹣ ，则 sin （2α+ ）的值是＝﹣ ，则 sin （2α+ ）的值是14．（ 5 分） f （x ）， g （ x ）是定义在 R 上的两个周期函数， f （ x ）的周期为 4， g （ x ）的周期为 2，且 f （ x ）是奇函数．当 x ∈（0， 2］时， f （ x ）＝，g （ x ）＝已知22F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线 l ，在x 轴的上方， 1与圆 F 2：（x ﹣1）2+y2＝4a 2交于点A ，与椭圆 C 交于点 D ．连结AF 1并延长交圆 F 2于点B ，连结BF 2交椭圆 C 于点 E ，连结 DF 1．已知 DF 1＝．11（ 1）求椭圆 C 的标准方程；18．（ 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （ AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ， QA ，规划要求：线段 PB ，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆O 的半径．已知点A ，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （ C ，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC ＝ 6，BD ＝12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下， P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米），求当 d 最小时， P 、Q 两点间的距离．17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆＝ 1（ a >b > 0）的焦点为2）求点 E 的坐标．19．（ 16 分）设函数 f （x ）＝（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ）（ x ﹣ c ）， a ， b ， c ∈R ， f ′（ x ）为 f （x ）的导函数．（1）若 a ＝b ＝c ，f （4）＝ 8，求 a 的值；（2）若 a ≠ b ， b ＝ c ，且 f （x ）和 f ′（ x ）的零点均在集合 { ﹣3，1，3}中，求 f （x ）的极小值；（ 3）若 a ＝ 0， 0<b ≤1，c ＝1，且 f （x ）的极大值为 M ，求证： M ≤ ．20．（16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“ M ﹣数列”．（ 1）已知等比数列 {a n }（n ∈N *）满足： a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0，求证：数列 {a n } 为 “M ﹣数列”；*（2）已知数列 {b n }（n ∈N *）满足： b 1＝ 1，＝项和．① 求数列 { b n } 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“ M ﹣数列” {c n } （ n ∈N * ），对任意正整数 k ，当k ≤m 时，都有 c k ≤ b k ≤ c k+1 成立，求 m 的最大值．选做题】本题包括 A 、 B 、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分 10 分） 21．（ 10 分）已知矩阵 A ＝（ 1）求 A 2；2）求矩阵 A 的特征值．B.［选修 4-4 ：坐标系与参数方程］（本小题满分1）求 A ，B 两点间的距离；2）求点 B 到直线 l 的距离．，其中 S n 为数列 {b n }的前 n10 分）22．（ 10 分）在极坐标系中，已知两点 A （ 3，），B （，），直线 1 的方程为ρsinθ+）＝ 3．C.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分0 分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|>2．【必做题】第24题、第25题，每题10 分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10 分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n 的值；（2）设（1+ ）n＝a+b ，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n＝｛（0，0），（1，0），（2，0），⋯，（n，0）｝，B n＝｛（0，1），（n，1）｝，?n＝｛（0，2），（1，2），（2，2），⋯⋯，（n，2）｝，n∈N* ．令M n ＝A n∪ B n∪?n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．（1）当n＝ 1 时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）．2019 年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵ A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R} ，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x>0，x∈R} ＝{1，6}．故答案为：{1，6} ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的 a 值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i 的实部为0，∴ a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x ≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S 的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0 求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是［﹣1，7］．故答案为：［﹣1，7］．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10 的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10 ）＝8，∴该组数据的方差为：2 2 2 2 2 2 2S ＝［（6﹣8）+（7﹣8）+（8﹣8）+（8﹣8）+（9﹣8）+（10﹣8）］＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数m＝+ ＝7，由此能求出选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10 ，选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数：m＝+ ＝7，∴选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b>0）经过点（3，4），∴ ，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{ a n} 的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8 的值．解答】解：设等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，解得∴＝6×（﹣5）+15× 2＝16．故答案为：16．点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD 1＝120，三棱锥E﹣BCD 的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC× DD 1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD ﹣A1B1C1D 1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB× BC×DD 1＝120，1∴三棱锥E﹣BCD 的体积：V E﹣BCD＝＝＝× AB×BC×DD 11＝10．点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．第8 页（共22页）10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0 的直线与曲线y＝x+ （x>0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线x+y＝0 的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+ （x> 0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣ 1 的直线与曲线y＝x+ （x> 0）切于（x0，），由，解得（x0> 0）．∴曲线y＝x+ （x> 0）上，点P（）到直线x+y＝0 的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在 A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0 即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴ ，则该曲线在点 A 处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A 点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合? ＝ 6 ? 得＝，进一步可得结果．【解解：设＝λ ＝（），答】＝+ ＝+μ ＝+ μ（）＝（ 1﹣μ） +μ ＝ +μ∴ ＝＝＝＝﹣+ ，6 ? ＝ 6 × （）×（﹣ + ）＝（ + + ）＝ + + ， ∵ ? ＝ + + ，＝，∴ ＝ 3 ，＝．故答案为：点评】 13．【分析】弦求sin解答】），本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．由已知求得 tan α，分类利用万能公式求得 sin2α，cos2α的值，展开两角和的正 2α+ ）的值．解：由，得，解得 tan α＝ 2 或tan当 tan α＝ 2 时，sin2，cos2α＝∴ sin （ 2 α+）＝＝；当 tanα＝时，sin2 α＝， cos2α＝，， cos2α＝，∴ sin （ 2α+ ）＝综上， sin （ 2α+ ）的值是．故答案为：．点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．要使关于 x 的方程 f （x ）＝ g （ x ）有 8 个不同的实数根，则 f （x ）＝，x ∈（0，2]与 g （x ）＝ k （ x+2）， x ∈（ 0，1]的图象有 2 个不同交点，由（ 1， 0）到直线 kx ﹣y+2k ＝0 的距离为 1，得，解得 k ＝（k >0），∵两点（﹣ 2， 0），（ 1， 1）连线的斜率 k ＝， ∴ ≤ k <．即 k 的取值范围为 [ ，）．故答案为： [ ，）．点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想解答】解：作出函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象如图，5<x ≤6，7< x ≤ 8）仅有 2个实数根；方法，是中档题．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝＝＝，由此能求出 c 的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sinB＝，cosB＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+ ）的值．【解答】解：（1）∵在△ ABC 中，角A，B， C 的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cosB＝，∴由余弦定理得：解得c＝．sin2B+cos2B＝1，∴ sinB ＝，cosB＝，∴ sin（B+ ）＝cosB ＝．点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC 1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥ AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC 的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE ∥A1B1，∵DE? 平面DEC1，A1B1?平面DEC1，∴ A1B1∥平面DEC 1．∴由正弦定理得：，，∵＝∴ 2sinB＝cosB，解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴ BE⊥平面ACC1A1，∵C1E? 平面ACC 1A1，∴ BE⊥ C1E．点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥ BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出 D 的坐标，得到可求得点 E 的坐标．【解答】解：（1）如图，∵ F2A＝F2B，∴∠ F 2AB＝∠ F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴ AD＝F1D，则∠ DAF 1＝∠ DF1A，∴∠ DF 1A＝∠ F2BA，则F1D∥BF2，∵ c＝1，∴ b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF 1＝，∴ ，解得a＝2（a> 0）．∴椭圆 C 的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，）， F 1（﹣1，0），∴ ＝，则BF2：y＝，2联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．＝，写出BF2 的方程，与椭圆方程联立即解得x1＝﹣1或（舍）．即点 E 的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF 1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥ AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P 的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q 的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得 b 的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD 与圆O 交于M，连接AM ，AB 为圆O 的直径，可得AM⊥BM ，即有DM ＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以 C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D （﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP?k AB＝﹣1，即? ＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA?k AB＝﹣1，即? ＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17<﹣8<﹣，在此范围内，不能满足PB，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在 D 点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8 ）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3 ，当 d 最小时，PQ＝17+3 ．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．3319．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a），根据f（4）＝8，可得（4﹣a）＝8，解得a．222）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{ ﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3 ）2．利用导数研究其单调性可得x＝1 时，函数f（x）取得极小值．．x 1<x 2，可得 x ＝x 1 时， f （ x ）取得极大值为 M ，通过计算化简即可证明结论．3解答】解：（1）∵a ＝b ＝c ，∴f （x ）＝（ x ﹣a ）3，3∵f （4）＝ 8，∴（ 4﹣a ）3＝8， ∴ 4 ﹣ a ＝ 2，解得 a ＝ 2 ．2）a ≠b ，b ＝c ，设 f （ x ）＝（ x ﹣a ）（x ﹣b ） 2令 f （ x ）＝（ x ﹣a ）（x ﹣b ）2＝ 0，解得 x ＝a ，或 x ＝b ．f ′（ x ）＝（ x ﹣b ）2+2（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝（ x ﹣b ）（3x ﹣b ﹣2a ）．令f ′（x ）＝0，解得 x ＝b ，或 x ＝∵f （x ）和 f ′（ x ）的零点均在集合 A ＝{﹣3，1，3} 中，因此 a ＝3，b ＝﹣ 3，＝1∈A ，可得： f （x ）＝（ x ﹣3）（ x+3） 2 f ′（ x ）＝ 3[x ﹣（﹣ 3）]（x ﹣1）．可得 x ＝1 时，函数 f （x ）取得极小值， f （1）＝﹣ 2×42＝﹣ 32．（ 3）证明： a ＝0， 0<b ≤1，c ＝1，f （ x ）＝ x （ x ﹣ b ）（ x ﹣1）．2f ′（ x ）＝（ x ﹣b ）（x ﹣1）+x （x ﹣1）+x （x ﹣b ）＝ 3x ﹣（ 2b+2）x+b ．> 0．令 f ′2x ）＝ 3x 2﹣（ 2b+2）x+b ＝ 0．解得：＝ ∈ ，x 2＝若： a ＝﹣ 3， b ＝ 1，则＝＝﹣ ?A ，舍去．a ＝1，b ＝﹣ 3，则＝＝﹣ ?A ，舍去． a ＝﹣ 3，b ＝3，则＝＝﹣ 1? A ，舍去．．b ＝ 1，则＝＝ ?A ，舍去． b ＝3，则＝ ? A ，舍去． b ＝﹣ 3，则＝＝1∈A ，．a ＝ 3，a ＝ 1，a ＝ 3，2x ）＝ 3x 2﹣（ 2b+2） x+b ＝0．x 1+x 2＝， x 1x 2＝，可得 x ＝x 1时， f （x ）取得极大值为 M ，M ＝f （x 1）＝ x 1（x 1﹣ b ）（ x 1﹣1）＝（ x 1﹣b ）（ ﹣ x 1）＝（ x 1﹣ b ）（ ﹣x 1）＝＝，∵﹣ 2b 2+2b ﹣ 2＝﹣ 2﹣ <0，∴M 在 x 1∈（0， ] 上单调递减， ∴ M ≤ ＝ ≤∴ M ≤ ．点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（ 1）设等比数列 {a n }的公比为 q ，然后根据 a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0 列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出 b 2， b 3， b 4 猜想 b n ，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n }的公比为 q ，将问题转化为，然后构造函数 f （ x ）＝， g （x ）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则由 a 2a 4＝a 5， a 3﹣4a 2+4a 1＝0，得∴，∴数列 { a n }首项为 1 且公比为正数△＝422b+1）2﹣12b ＝ 4b 2﹣4b+4＝4 +3≥3．解得： x 1＝∈ ，x 2＝．x 1<x 2，∵ f ′（ x 1）＝ ﹣（ 2b+2） x 1+b ＝ 0，可得：＝[2b+2）x 1﹣b ］，＝［（2b ﹣ 1） ﹣2b 2x 1+b 2］即数列{a n}为“ M﹣数列”；（2）① ∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1 时，，∴ b2＝2，2当n＝2 时，，∴ b3＝3，当n＝3 时，，∴ b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1 时，b1＝1，满足b n＝n，（ii ）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1 时，由，得＝k+1，故n＝k+1 时结论成立，根据（i）（ii ）可知，b n＝n 对任意的n∈N*都成立．故数列{ b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n} 的公比为q，存在“ M﹣数列” {c n} （n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，k﹣1 k即q k 1≤k≤k对k≤m 恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m 有解，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3 时，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，?'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3 时，，则，，下面求解不等式，化简，得3lnm ﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81>0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243<0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m 的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．选做题】本题包括A、B、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[ 选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）21．【分析】（1）根据矩阵 A 直接求解A 2即可；2）矩阵 A 的特征多项式为f（λ）2＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0 即解答】解：（1）∵ A＝∴A2＝2）矩阵 A 的特征多项式为：f（λ）＝2＝λ﹣5λ+4，令 f （ λ）＝ 0，则由方程 λ2﹣ 5λ+4 ＝0，得λ＝1或 λ＝ 4，∴矩阵 A 的特征值为 1 或 4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.［选修 4-4 ：坐标系与参数方程］（本小题满分 10 分） 22．【分析】（1）设极点为 O ，则由余弦定理可得，解出 AB ；（ 2）根据直线 l 的方程和点 B 的坐标可直接计算 B 到直线 l 的距离．【解答】解：（ 1）设极点为 O ，则在△ OAB 中，由余弦定理，得2 2 2AB2＝OA 2+OB 2﹣ 2OA ，∴ AB ＝＝；（2）由直线 1 的方程 ρsin （θ+ ）＝3，知直线 l 过（ 3 ，），倾斜角为，又 B （，），∴点 B 到直线 l 的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.［选修 4-5：不等式选讲］（本小题满分 0 分）23．【分析】对 |x|+|2x ﹣ 1|去绝对值，然后分别解不等式即可．，或∴ x > 1 或 x ∈?或 x <﹣ ，∴不等式的解集为 { x|x <﹣ 或 x > 1} ．点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．第 20 页（共 22 页）解答】解： |x|+|2x ﹣ 1|＝∵|x|+|2x ﹣1|>2，或【必做题】第24题、第25题，每题10 分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N *，求得（1﹣）5＝a﹣b ，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C +C x+C x2+⋯+C x n，n≥4，可得a2＝ C ＝，a3＝C ＝，a4＝C ＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2? ? ，解得n＝5；（2）方法一、（1+ ）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b ，由于a，b∈N* ，可得a＝C +3C +9C ＝1+30+45 ＝76，b＝ C +3C +9C ＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+ ）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+ b ，（1﹣）5＝C +C （﹣）+C （﹣）2+C （5＝C ﹣ C +C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a，b∈N* ，可得（1﹣）5＝a﹣b ，可得 a ﹣3b ＝（1+ ）?（1﹣）＝（1﹣3）＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X>n），所以只需考虑X>n 的情况，分别讨论b，d 的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，X 的概率分布为P（X＝1）＝；P（X＝）＝P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X>n），所以只需考虑X>n 的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X>n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X> n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X> n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X> n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X>n，X 的所有值是或，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。

(完整)2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直，求源自路PB的长；(2)规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.
19.
(1)若a=b=c,f(4)=8，求a的值;
(2)若azb,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合｛ 3,1,3｝中，求f(x)的极小值;
3.下图是一个算法流程图，则输出S的值是.
/岁I”；』/
1，其中k>0•若在区间(0，9］上，关于x的方,1x2
2
程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.
二、解答题：本大题共
15.在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.
2
(1)若a=3c,b=2,cosB=—，求c的值；
4
(3)若a
0,0 b, 1,C 1，且f(x)的极大值为M，求证:Mw
27
20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”
(1)已知等比数列｛an｝满足：a?a4a5, a34a?4ai0,求证：数列｛an｝为“m—数列”；
, 12 2
(2)已知数列｛bn｝满足：01,，其中Sn为数列｛bn｝的前n项和.
3
…
(2)若，求sin(B -)的值.
a 2b
16.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.
&
T
求证：(1)A1B1//平面DEC1；
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.
18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路

高考真题-2019年江苏卷数学高考试题文档

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B xx x =>∈R ，则A B =I ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数y =的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.【答案】{1,6}.【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，{1,6}A B =I .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 2.【答案】2【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++Q ，令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 【答案】5【解析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【详解】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=；执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=；执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4.【答案】[－1,7]【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 5.【答案】53【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 6.【答案】710【解析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=. 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 7.【答案】y =【解析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431-=，解得b =b = 因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 8.【答案】16【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 9.【答案】10【解析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 10.【答案】4【解析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r的距离最小.由2411y'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线22gR r4=，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 11.【答案】(e,1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 12.【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .的()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u ur u u u r即,AB =u u u r u u r故AB AC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 13.【解析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.【答案】13⎡⎢⎣⎭【解析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，1=，得k =函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围. 二、解答题 15.【答案】（1）c =（2. 【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A.因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 18.【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E . 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， 6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115P B =，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115P B =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 19.【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由题意得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值；（2）由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【详解】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x =b 或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． ()0f 'x =所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x ++==．所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nnn n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． ()0f 'x =x =e .因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k≤，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)21.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.【答案】（1（2）2.【解析】(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可； (2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 23.【答案】1{|1}3x x x <->或.【解析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【详解】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】24.【答案】（1）5n =；（2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值； (2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223ab -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列； (2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值，据此分类讨论①.b d =，②.0,1b d ==，③.0,2b d ==，④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【详解】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ③若02b d ==，，则AB =≤3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．。

(精校版)2019年江苏卷数学高考试题文档

（ 1）已知等比数列 { an} (n N * ) 满足： a2a4 a5 ,a3 4a2 4a4 0 ，求证：数列 { an} 为“ M
－数列”；
（ 2）已知数列 { bn} (n
N * ) 满足： b1
1 1,
Sn
22
，其中 Sn 为数列 { bn} 的前 n 项和．
bn bn 1
①求数列 { bn} 的通项公式；
15．（本小题满分 14 分）
在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c．
（ 1）若 a=3c， b= 2 ， cosB= 2 ，求 c 的值； 3
（ 2）若 sin A
cos B ，求 sin( B
) 的值．
a
2b
2
16．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， D， E 分别为 BC， AC 的中点， AB=BC．求证：（ 1）A1B1∥平面 DEC 1；（ 2） BE⊥ C1E．
1．已知集合 A { 1,0,1,6} ， B { x | x 0, x R } ，则 A B ▲ .
2．已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ▲ .
3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ .
4．函数 y 7 6x x2 的定义域是 ▲ .
.
【详解】因为长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积为 120，
所以 AB BC CC1 120 ，
因为 E 为 CC1 的中点，
1 所以 CE CC1，
2 由长方体的性质知 CC1
底面 ABCD ，
所以 CE 是三棱锥 E BCD 的底面 BCD 上的高，

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2019年江苏数学高考试题数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。

圆锥的体积公式：V圆锥13Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},ABxx则=ABI________▲________. 2.复数(12i)(3i),z其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173xy的焦距是________▲________. 4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y=232xx--的定义域是 ▲ . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221()xyabab＞＞0的右焦点，直线2by与椭圆交于B，C两点，且90BFCo ,则该椭圆的离心率是 ▲ . 精品文档精品文档 2 (第10题) 11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5xaxfxxx其中.aR若59()()22ff，则f（5a）的值是 ▲ .

12. 已知实数x，y满足240220330xyxyxy，则x2+y2的取值范围是 ▲ . 13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BCCAuuuruuur，1BFCFuuuruuur，则BECEuuuruuur的值是 ▲ .

14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC△中，AC=6，4πcos.54BC==，（1）求AB的长；（2）求πcos(6A-)的值. 精品文档

精品文档 3 16.(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11BDAF，1111ACAB.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABCD，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABCD(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO的四倍. 若16,PO2,ABmm则仓库的容积是多少？ (1) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大？精品文档

精品文档 4 18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600xyxy及其上一点A(2，4) (1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； (2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；

(3) 设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQuuruuruuur,求实数t的取值范围。

19. （本小题满分16分）精品文档

精品文档 5 已知函数()(0,0,1,1)xxfxababab. （1）设a=2,b=12. ① 求方程()fx=2的根; ② 若对任意xR,不等式(2)f()6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（2）若01,1ab＞，函数2gxfx有且只有1个零点，求ab的值。

20.（本小题满分16分）记1,2,100U…，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,,kTttt…，，定义12+kTtttSaaa….例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS. 求数列na的通项公式；

(1) 对任意正整数1100kk，若1,2,kT…，，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS,求证：2CCDDSSSI.

数学Ⅱ（附加题）精品文档

精品文档 6 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.

B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵12,02A矩阵B的逆矩阵111=202B，求矩阵AB.

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），椭圆C的参数方程

为cos,2sinxy（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. D.设a＞0，|x-1|＜3a，|y-2|＜3a，求证：|2x+y-4|＜a.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）精品文档精品文档 7 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0). （1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）； ②求p的取值范围.

23.（本小题满分10分）（1）求3467–47CC

的值；

（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）Cmm+（m+2）+1Cmm+（m+3）+2Cmm+…+n–1Cmn+（n+1）Cmn=（m+1）+2+2Cmn.

参考版解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．

已知集合1,2,3,6A，|23Bxx，则ABI ．精品文档精品文档 8 1,2；

i. 由交集的定义可得1,2ABI．

复数12i3iz，其中i为虚数单位，则z的实部是． 5； ii. 由复数乘法可得55iz，则则z的实部是5．

在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173xy的焦距是． 210； iii. 2210cab，因此焦距为2210c．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是． 0.1；

iv. 5.1x，22222210.40.300.30.40.15s．

函数232yxx的定义域是． 3,1；

v. 2320xx≥，解得31x≤≤，因此定义域为3,1．

如图是一个算法的流程图，则输出a的值是．开始

输出a结束

1a9b

ab4aa2bb

9；精品文档

精品文档 9 vi. ,ab的变化如下表： a 1 5 9

b 9 7 5

则输出时9a．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是． 56；

vii. 将先后两次点数记为,xy，则共有6636个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366．

已知na是等差数列，nS是其前n项和．若2123aa，510S，则9a的值是． 20； viii. 设公差为d，则由题意可得2113aad，151010ad，解得14a，3d，则948320a．

定义在区间0,3π上的函数sin2yx的图象与cosyx的图象的交点个数是． 7； ix. 画出函数图象草图，共7个交点．

-11O

如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆222210xyabab的右焦点，直线2by与椭圆交于,BC两点，且90BFC，则该椭圆的离心率是．

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