2019年江苏高考数学试题及答案
2019年江苏高考试题(数学_word解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．（2019年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2．（2019年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2019年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + 。
4．（2019年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
2019年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2019年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含答案
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。
本卷满分为 160 分，考试时 间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据x , x ,…, x1 2n的方差s2x x ni 12，其中1 nxx n i 1．柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．锥体的体积V 1 3Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合 A {1,0,1,6}， B {x | x 0, x R }，则 A B▲.2．已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲.1 n ii ．．．．．． ．．4．函数 y7 6 x x 2的定义域是 ▲.5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲.6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 ▲.7．在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线x 2y b2 2 1(b 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲.8．已知数列{a }(n N ) n是等差数列，S n是其前 n 项和.若a a a0, S27 2 589，则S 8的值是 ▲.9．如图，长方体积是 ▲.ABCD A B C D 1 1 1 1的体积是 120，E 为C C 的中点，则三棱锥 E -BCD 的体110．在平面直角坐标系 xOy中，P 是曲线y x4x( x 0)上的一个动点，则点 P 到直线 x +y =0的距离的最小值是 ▲11．在平面直角坐标系 xOy.中，点 A 在曲线 y =ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲.*12．如图，在△ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE =2EA ，AD 与 CE 交于点O.若AB AC 6 A O EC，则 AB AC的值是 ▲.13．已知tantan2 π 3，则 sin 2 π 4的值是 ▲.14．设 f ( x ), g ( x )是定义在 R 上的两个周期函数， f ( x )的周期为 4， g ( x )的周期为 2，且f ( x )是奇函数 .当 x (0, 2] 时， f ( x ) 1( x 1)2 ， g ( x )k ( x 2),0 x 1 1,1 x 2 2，其中 k >0.若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f ( x ) g ( x )有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b =2，cos B =2 3，求 c 的值；（2）若sin A cos B ，求 sin( B ) a 2b 2的值． 16．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC －A B C 中，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，AB =BC ．1 1 1 求证：（1）A B ∥平面 DEC ；1 11（2）BE ⊥C E ．14．．．．．．．17．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :x 2 y 21(a b 0) a 2 b 2的焦点为 F （–1、0），1F （1，0）．过 F 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方，l 与圆 F : 2 22( x 1)2y 2 4a 2交于点A ，与椭圆 C 交于点 D .连结 AF 并延长交圆 F 于点B ，连结 BF 交椭圆C 于点 E ，连结 122DF ．1已知 DF = 15 2．（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E 的坐标．18．（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规 划要求:线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；．．．．（3）对规划要求下，若道路 P B 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、 Q 两点间的距离．19．（本小题满分 16 分）设函数 f ( x ) ( x a )( x b )( xc ), a , b , c R（1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值；、 f ' ( x ) 为 f （x ）的导函数．（2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f ' (x ) 的零点均在集合{3,1,3} 值；中，求 f （x ）的极小（3）若 a 0,0 b 1, c 1，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤4 27．20．（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a } n(nN * )满足：a aa , a4a4a0 2 45324，求证:数列{a }为n“M －数列”；（2）已知数列{b }满足: nb1, 112 2Sb b nnn 1，其中 S 为数列{b }的前 n 项和． n n①求数列{b }的通项公式；n②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c } nc 剟b c 都有 成立，求 m 的最大值． k k k 1(nN * )，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．已知矩阵 A3 1（1）求A ；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A 3,,B 2, ，直线l 的方程为 sin3.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设 x R ，解不等式 |x |+|2 x 1|>2.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设 (1 x )naa x a x122a x nn, n …4, n N*. 已 知a2 32 a a .24（1）求n 的值；（2）设 (1 3)na b 3 ，其中 a , b N *，求 a 2 3b 2的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系x Oy 中，设点集A{(0,0),(1,0),(2,0), ,( n ,0)} n，B(0,1),(n ,1)},C{(0,2),(1,2),(2,2),nn,( n ,2)}, n N .令M AnnBnC n.从集合M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距n离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；2 2 242 4 ．．．．．．．2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答 案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.{1,6}[ 1,7]1. 2.2 3.54.(e, 1)8.169.10 10.411.12.35. 5 313.6.2107 1014.y 2 x7.1 2 ,二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为 a3c, b2,cos B2 3，由余弦定理cos Ba 2 c 2b 22 (3c ) 2 c 2 ( 2) ，得2ac3 2 3c c2，即 c 21 3.所以c3 3.（2）因为sin A cos Ba 2b，由正弦定理 a b cos B sin B，得 ，所以 sin A sin B 2b bcos B 2sin B .从而cos 2 B (2sin B ) 2 ，即 cos 2 B 4 1cos 2B ，故cos 2 B4 5.因为sin B 0，所以cos B 2sin B 0，从而cos B2 5 5.因此sin Bπ 2 5cos B25.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.证明：（1）因为 D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，所以 ED ∥AB .在直三棱柱 ABCA B C 中，AB ∥A B ，1 1 1 1 1所以 A B ∥ED .1 13 4又因为ED⊂平面DEC ，A B1 1 1平面DEC，所以A B∥平面DEC.1 1 1（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABCA B C是直棱柱，所以CC⊥平面ABC.1 1 1 1又因为BE⊂平面ABC，所以CC⊥BE.1因为C C⊂平面A ACC，AC⊂平面A ACC，C C∩AC=C，1 1 1 1 1 1所以BE⊥平面A ACC.1 1因为C E⊂平面A ACC，所以BE⊥C E.1 1 1 117.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14 分.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F(－1，0)，F(1，0)，所以F F=2，c=1.1 2 1 2又因为DF=152，AF⊥x轴，所以DF=2 253DF2F F2( )22222，因此2a=DF+DF=4，从而a=2.1 2由b =a-c，得b =3.因此，椭圆C的标准方程为（2）解法一：x2y21. 43x2y2由（1）知，椭圆C：143，a=2，因为AF ⊥x轴，所以点A的横坐标为1.2将x=1代入圆F的方程(x-1)+y =16，解得y=±4.2因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F(-1，0)，所以直线AF：y=2x+2.1 1由y 2x 2(x 1)2y216，得5x26x 110，解得x 1或x 11 5.将x1112代入y 2x 2，得y55，1112 2 2 2 22 2因此B(11123 ,).又F(1，0)，所以直线BF：y (x 1) 554. 3y (x 1)4由x2y2143，得7x26x 130 ，解得x1或x137.又因为E是线段BF 与椭圆的交点，所以2x1.将x1代入y333(x 1)，得y .因此E(1,)422.解法二：由（1）知，椭圆C：x2y21.如图，连结EF. 43因为BF=2a，EF+EF=2a，所以EF =EB，2 1 2 1从而∠BF E=∠B.1因为F A=F B，所以∠A=∠B，2 2所以∠A=∠BF E，从而EF∥F A.1 1 2因为AF ⊥x轴，所以EF⊥x轴.2 1x 1因为F(-1，0)，由x2y2，得143y32.又因为E是线段BF 与椭圆的交点，所以22E(1,)因此.2y32.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（1）过A作AE B D，垂足为E.由已知条件得，四边形A CDE为矩形，DE BE AC 6,AE CD 8因为P B⊥AB，.'所以cos PBD sin ABE84 105.221 1所以PBBD1215 cos PBD45.因此道路P B的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段B E上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结A D，由（1）知AD AE2ED210，从而cos BAD AD2AB2BD272A D AB25，所以∠BAD为锐角.所以线段A D上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段P B上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P为l上一点，且1PB A B1，由（1）知，P B=15，1此时PD PB sin PBD PB cos EBA 15 1111359；当∠OBP>90°时，在△PPB1中，PB PB 151.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得Q A≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ QA2AC215262321于圆O的半径..此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小综上，当P B⊥AB，点Q位于点C右侧，且C Q=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O作O H⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为B D=12，AC=6，所以O H=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为A B为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x+y=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线A B的斜率为3 4 .因为P B⊥AB，所以直线P B的斜率为4 3，直线P B的方程为y 425 x33.所以P（−13，9），PB (134)2(93)215.因此道路P B的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段B D上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结A D，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段A D：y 34x 6(4剟x4).15在线段AD上取点M（3，），因为4OM 3215324425，所以线段A D上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.2 22（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段P B上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段P B上任意一点F，OF≥OB，即线段P B上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且PB A B1，由（1）知，P1B=15，此时P1（−13，9）；当∠OBP>90°时，在△PPB1中，PB PB 151.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当Q A=15时，设Q（a，9），由AQ (a 4)2(93)215(a 4)，得a=4321，所以Q（4321，9），此时，线段Q A上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（−13，9），Q（4321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ 4321(13)17321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17321（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c，所以f(x)(x a)(x b)(x c)(x a)3．因为f(4)8，所以(4a)38，解得a 2．（2）因为b c，所以f(x)(x a)(x b)2x3(a 2b)x2b(2a b)x ab2，从而f'(x)3(x b)x 2a b3．令f'(x)0，得x b或x2a b3．因为a,b,2a b3，都在集合{3,1,3}中，且a b，所以2a b31,a 3,b3．此时f(x)(x 3)(x 3)2，f'(x)3(x 3)(x 1)．令f'(x)0，得x3或x 1．列表如下：xf'(x)(,3)+3(3,1)–1(1,)+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232．（3）因为a 0,c 1，所以f(x)x(x b)(x 1)x3(b 1)x2bx，f'(x)3x22(b 1)x b．因为0b 1，所以4(b 1)212b (2b 1)230，则f'(x)有2个不同的零点，设为x,x12x x12．由f'(x)0，得x1b 1b2b 1b 1b,x332b 1．列表如下：x f'(x)(,x )1+x1x,x12–x2(x,)2+f(x)所以f(x)的极大值极大值M f x．1极小值解法一：M f x x 3(b1)x2bx11113x 22(b 1)x b 11x b 11392b b 1b(b 1)x992 b 2b1(b1)27b(b 1) 2927b2b13b(b 1)2(b 1)2(b 1)2( b(b 1)1) 2727273221b(b 1)244．因此M27272727．解法二：因为0b 1，所以x (0,1)1．当x (0,1)时，f(x)x(x b)(x 1)x(x 1)．令g(x)x(x 1)2,x (0,1)1，则g'(x)3x (x 1)3．令g'(x)0，得x 13．列表如下：xg'(x) g(x)1(0,)3+13极大值1( ,1)3–所以当x 13时，g(x)取得极大值，且是最大值，故14g(x)gmax 327．所以当x (0,1)时，f(x)g(x)44，因此M2727．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a }的公比为q，所以a≠0，q≠0.n 1由a a a245a 4a 4a 0321a2q4，得a q21a q414a q 4a 011a 1，解得．q 2因此数列{a}n为“M—数列”.122（2）①因为，所以n n n 1b 0 n．由b 1,S b111得12211b2，则b 22.122b b由，得S ，S b b2(b b )n n n 1n 1n 211 S b bn n 1n当 n 2时，由b SS nn n 1，得bnb b b bn n 1 n 1 n 2 bb2 bb n 1 nnn 1，整理得b n 1bn 12b n．所以数列{b }是首项和公差均为1的等差数列. n因此，数列{b }的通项公式为b =nn n②由①知，b =k ， kN * .kn N*因为数列{c }为“M –数列”，设公比为q ，所以c =1，q >0.n 1因为c ≤b ≤c ，所以 k k k +1q k 1k qk，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln k ln kln q k k 1．设f （x ）=ln x x( x 1) ，则 f ' ( x )1ln x x 2．令f ' ( x ) 0，得x =e.列表如下：xf ' ( x )f （x ）(1,e)+e极大值(e ，+∞)–因为ln 2 ln8 ln 9 ln 3 ln 3 ，所以 f (k ) f (3) 2 6 6 3 3．取 q 3 3 ，当k =1，2，3，4，5时，ln kkln q，即 k q k ，经检验知q k1k也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q ，且q ≤6，从而q ≥243，且q ≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案.max 3 5 15 1521．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为A3 1，所以A 23 1 3 1=33123112115 =．（2）矩阵A 的特征多项式为f ()3212 254.令 f() 0，解得A 的特征值1, 4 1 2.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，），B （ 2 ， 42），由余弦定理，得A B = 3( 2)22 3 2 cos() 5 . 2 4（2）因为直线l 的方程为sin() 3 4 ，则直线l 过点(3 2,2)，倾斜角为34．又B ( 2, )2，所以点B 到直线l 的距离为(3 2 2) sin(3 ) 24 2.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式2 2 2 2 2 2 10 6 23 2 2 2 12 22可化为x 12x 2，解得x<–1 3：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >1 2时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为1{x | x或x 1} 3.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为 (1x )n C 0 C 1 x C 2 x 2 C n x n ，n 4 ，n n n nn (n 1) n (n 1)(n 2) 所以 a C , a C ，2 6a C 4 4 n n (n 1)(n 2)( n 3) 24．因为a 22a a32 4，所以[ n (n 1)(n 2) n (n 1) n (n 1)(n 2)( n 3) ]2262 24， 解得 n 5 ．（2）由（1）知， n5 ．(1 3)n(1 3)5C 0 5C 1 53 C 2 5( 3) 2 C 3 5( 3) 3 C 4 5( 3) 4 C 5 5( 3)5a b 3 ．解法一：因为a ,b N *，所以a C0 53C2 59C476, b C 1553C3 59C5 544，从而 a 23b 2 76 2 3 44 2 32 ．解法二：(1 3) 5C 0 C 1 ( 3) C 2 ( 3) 2 C 3 ( 3) 3 C 4 ( 3) 4 C 5 ( 3) 5555555C 0 5C 1 53 C 2 5( 3) 2 C 3 5( 3) 3 C 4 5( 3) 4 C 5 5( 3)5 ．因为a ,b N *，所以(1 3)5a b 3．因此 a23b2(a b 3)( a b 3) (1 3) 5(1 3)5( 2)532．2 3 2 n 3 n23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当n 1时，X的所有可能取值是1，2，2，5．X 的概率分布为P(X 1)7744,P(X 2)C215C215 66，P(X 2)2222,P(X 5)C215C215 66．（2）设A(a，b)和B(c，d)是从M n中取出的两个点．因为P(X n)1P(X n)，所以仅需考虑X n的情况．①若b d，则AB n，不存在X n的取法；②若b 0，d 1，则AB (a c)21n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0，c n或a n，c 0，有2种取法；③若b 0，d 2，则AB (a c)24n24，因为当n 3时，(n 1)4n，所以X n当且仅当AB n24，此时a 0，c n或a n，c 0，有2种取法；④若b 1，d 2，则AB (a c)21n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0，c n或a n，c 0，有2种取法．综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和n24，且P(X n21)C 422n 4,P(X n24)C222n 4．因此，P(X n)1P(X n21)P(X n24)1C622n 4．2。
2019年江苏省高考数学试卷及参考答案
数学I试题参考公式：样本数据:，.v2，…..V,,的方差^7) 2 ,其中£ = +X_V,.柱体的体积丨Z= S V i ,其中S是柱体的—商1积，/!是柱体的高._锥体的体积F= *|*仙，其中S是锥体的底面积，/;是锥体的高.一、填空题：本大题共、4小题，每小题5分，共计7〇分.请把答案填写在字年單丰.1.已知集合.4=卜1，0, 1, 6丨，= U U> 0, .v e R!,则,4门石..........................2i)(l+ i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实2.已知复数（数a的值是▲-3.右罔是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.4.函数y= V7+6.1-.v2的定义域是▲•5.已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10+则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有〗名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系中，若双曲线(3, 4),则该双曲线的渐近线方程是I I¥(6>〇)经过点8.已知数列丨《…丨（》e N •)是等差数列，又是其前》项和.若《2<V是▲.9.如图，长方体-.4"'/^的体积是120, £为C C jif中点，则三棱锥£，的体积是▲.(第3题〉0, 27,则&的值___________c,10.在平面直角坐标系x()y中，尸是曲线>•= x+ 土(X> 0)上的一X个动点，则点Z3到直线H二0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系A_Oy中，点/I在曲线>•= hi•上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点4的坐标是▲.12.如图，在AA价；巾，0是沉’的中点，£：在边.招上，财；=2E4,AB5, (第9题)az?与⑶交于点a若仙•4Ctan a2 13.已知ta t](a+子)3.，则6.40 •E C,则完的值是_i(2a+ y)的值.是_▲D(第丨2题）C14.设是定义在R上的两个周期闲数，/(.t)的周期为4, #(x_)的周期为2,且/(x)是(k( x+ 2 ) +0 < ^^I,奇函数.当x e(0, 2]时,/U)= V\-(：t-1 )2t g(x)= |_丄<；v$2,其中A‘> 0•若在区间(0,9]上，关于*的方程/U)= 有8个不同的实数根，则A•的取值范围是_二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤...........................15.(本小题满分]4分）在A.4fiC中，角.4, J5, C的对边分别为(1)若n= 3c1，i= v/2 , f.os/〕]=十，求(.•的值；(2)若^^求的值.a 2b 2—16—16.(本小题满分〗4分）如图，在直三棱柱中，D , E 分别为沉’，A C 的中点，.4JS =此. 求证：（1) ,4,,// 平面 £)i ；C ：t ;(2) S 芯丄(：,£；•(第16题)D ______C _____________1_(第18题）17.(本小题满分！4分）22如1^1，在平面直角坐标系中，椭圆C : $ + J y 二1U > 6 > 0)的焦点为尸,（-1，0)，F 2(l ，0)•过厂2作义轴的垂线/，在:t 轴的i 方，/与圆F 2: ( t - 1 )2+ /= 4“2交于点与圆C 交于点连结并延长交圆于点S ，连结交椭圆C 于点连结/>/•'.已知(1 )求椭圆C 的标准方程；（2)求点£：的坐标.18•(本小题满分I 6分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路/，湖上有桥.4/?(_4打是 圆0的直径）.规划在公路/上选两个点P ，（>，并修建两段直线型道路/出，（M ，规划要 求：线段PJ 5, (?/!上的所有点到点0的距离均不小于圆0的半径.已知点,4, 到直线/的 距离分別为.4C 和仙（C ，D 为垂足），测得/l i i 』l 'O , ,4C 二6, = 12 (单位：百米）•(1 )若道路PZ ?与桥A fi 垂直，求道路的长；(2) 在规划要求下，/>和p 中能否有一个点选在1>处？并说明理由；(3) 在规划要求下，若道路和的长度均为^ (单位：百米），求当d 最小时，P ，两点间的距离.19. (本小题满分〗6分）设兩数 f (.v ) = 〇 - a ) (:r - fc ) (^ - f )，a , r e R ，厂〇)为y " (x )的导兩数-(1)若… = 6 = c ，/(4) = 8,求《 的值；(2〉若《 # &，& = c ，且/“)和尸“)的零点均在集合|-3, 1，3丨中，求/〇〇的极小值；(3)若a = 0,0<6矣1，^=1,且/⑴的极大值为M ，求证：M 专為20. {本小题满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列(1)已知等比数列U J U s N * )满足：《.，a 4= «s ,〜-4«，+4…=0,求证：数列丨为“M -数列”;(2 )已知数列! (“ e IV * )满足：6, = i , f = #■ - #_，其中t s …为数列！ \丨的前n 项和_①求数列丨丨的通项公式；(|)设m 为正整数.若存在“M ，数列”),对任意正整数当/c 各m 时,都有成立，求…的最矢搶•数学I 试题参考答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分..A '• 310. 41. U ,6}2. 23. 54.[-1,7]7. )- =8. 169.1011- (e , 1)12. -J3n ^1014.[y ■J 2，417二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：(.1)因为二，厶二 v T ，（-〇s S由余弦定理C fis B a2jf c2- b2 心曰 2_2ac(3e )2+ c 1- (V 2)2 x 3c x c、即A所以c sin ‘4(2)因为〇〇$ B2b '由正弦定理从而ros j =得cos J S sin B，所以cos 5sin A sin B'2bb(2sin，KPcos 2沒=4(1 - f ‘os _S ) t 故{.:<^-5 =2^52siii B. 4因为 sii ] /? > 0,所以 <.，〇s 5 = 2sin B > 0，从而 c ;〇s S j因此 siii (= cos B 二—J6.本小题主要考查直线&与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 叫证明：（1)因为£), £分别为/1C 的中点.所以E D //AR在直三棱柱/1M ； -,4 中，/,所以又因为平面Z ^C ,, ,4,/?,広平面，所以本fi ,//平面(2)因为仙=, £：为此的中点，所以丄/1C .因为三棱柱训C -d W i 是直棱柱，所以C f 丄平面 又因为C 平面,4S C ,所以C , C 丄石£.因为 C 'C 平面 ，，4C C 平面.4丨」4CC ,，C 丨CHAC 二 C ,所以财：丄平面'因为C ,f C 平面:4丨,4CC ,,所以fi £：丄C .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1)设椭圆C 的焦距为2r .因为 ^(-1，0)，F ，（l , 0)，所以 2. c = 1.C (第16题）又因为/)尽=十，狀2丄_1‘轴，所以DF 2= ^DF]-因此2u ： 由厶2 = u :2DFt + DF2-C -2 T 得 i ):224,从而a 3.2.因此，椭圆6’的标准方程为+4(2)解法一：由（1)知，椭圆•v _Tr 22.因为.4 F ，丄；t _轴，所以点/I 的横坐标为1.将.v . = 1代人圆R 的方程(.v - 1):+ y 2= 16 因为点,4在a ■轴上方，所以.4(1, 4).又。
2019年江苏高考数学试卷及答案
2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y =的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x 轴，所以32==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b b b b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知，bk=k ，*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．23．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年高考数学江苏卷-答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏省）数学答案解析一、填空题 1．【答案】{1,6}【解析】由交集定义可得{1,6}A B =I 【考点】集合的交运算 2．【答案】2【解析】(a+2 i)(1+i)=a-2+(a+2) i ，Q 实部是0，-20, 2a a ∴==. 【考点】复数的运算、实部的概念 3．【答案】5【解析】执行算法流程图，11,2x S ==，不满足条件；32,2x S ==，不满足条件；3, 3x S ==，不满足条件；4, 5x S ==，满足条件，结束循环，故输出的S 的值是5. 【考点】算法流程图 4．【答案】[1,7]-【解析】要使函数有意义，则2760x x +-≥，解得17x -剟，则函数的定义域是[-1,7]. 【考点】函数的定义域 5．【答案】53【解析】数据6，7，8.8，9，10的平均数是678891086+++++=，则方差是410014563+++++=.【考点】平均数、方差 6．【答案】710【解析】记3名男同学为,,A B C ，2名女同学为,a b ，则从中任选2名同学的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,)A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(,),(,),(,),()(C, a),(C, ,b),(a, b)A a A b B a B b ，，共7种，故所求概率为710. 【考点】古典概型7．【答案】y =【解析】因为双曲线2221(0)y x b b -=>经过点(3,4)，所以21691b-=，得b =程是y bx =±=. 【考点】双曲线的几何性质 8．【答案】16 【解析】通解设等差数列{}n a 的公差为d .则()(22258111111914)74570,93627a a a a d a d a d a d a d a d S a d +=++++=++++==+=，解得152a d =-=，，则81828405616S a d =+=-+=.优解设等差数列{}n a 的公差为d .()199559927,32a a S a a +====，又2580a a a +=，则3(33)330d d -++=，得2d =，则()(1884584)4(13)162a a S a a +==+=+=.【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式 9．【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，所以1120ABCD CC S ⋅=四边形，又E 是1CC 的中点，所以三棱锥E BCD -的体积11111112010332212E BCD BCD ABCD V EC S CC S -∆=⋅=⨯⨯=⨯=四边形. 【考点】空间几何体的体积 10．【答案】4 【解析】通解设4,,0P x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则点P 到直线0x y +=的距离424x d +==≥=，当且仅当42x x=，即x =时取等号，故点P 到直线0x y +=的距离的最小值是4. 优解由4(0)y x x x =+>得241y x'=-，令2411x -=-，得x =，则当P点的坐标为时，点P 到直线0x y +=4=.【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用 11．【答案】(e, 1)【解析】设()00,ln A x x ，又1y x'=，则曲线ln y x =在点A 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，将(,1)e --代入得，()00011ln x e x x --=--，化简得00ln ex x =，解得0e x =，则点A 的坐标是(,1)e . 【考点】导数的几何意义的理解和应用 12．【解析】解法一以点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨设(,0),(,0),(,),00B a C a A b c a c ->>，，由2BE EA =得22,33b a c E -⎛⎫⎪⎝⎭，则直线:c OA y x b =，直线:(2)()CE b a y c x a -=-，联立可得,22b c O ⎛⎫⎪⎝⎭，则222224222(,)(),,,22333b c a b c b c ab AB AC a b c a b c b c a AO EC -+-⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=+-⋅=--⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，由6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r得()2222222b c a b c ab+-=+-，化简得2224ab b c a =++，则AB AC ===. 解法二由,,A O D 三点共线，可设AO AD =λu u u r u u u r，则()2AO AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，由,,E O C 三点共线可设EO EC =μu u u r r r ，则()AO AE AC AE -=μ-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1(1)(1)3AO AE AC AB AC =-μ+μ=-μ+μu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由平面向量基本定理可得1(1)322λ⎧-μ=⎪⎪⎨λ⎪μ=⎪⎩解得11,42μ=λ=，则11(),43AO AB AC EC AC AE AC AB=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则221132166())43233AO EC AB AC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⋅=⨯+⋅-=⋅+-=⋅ ⎪ ⎝⎭⎝u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简得223AC AB =u u u u r u u u u r ，则ABAC=【考点】向量的线性运算、数量积 13．【答案】10【解析】通解tan tan (1tan )2tan 1tan 131tan αα-α==-α+α+-α得tan 2α=或1tan 3α=-，当tan 2α=时，2222222222sin cos 2tan 4cos sin 1tan 3sin 2,cos2sin cos tan 15sin cos tan 15αααα-α-αα===α===-α+αα+α+αα+此时1sin 2cos25α+α=，同理当1tan 3α=-时，34sin 2,cos255α=-α=，此时1sin 2cos25α+α=，所sin(2)2cos2)4210πα+=α+α=. 优解，sin cos tan 243tan cos sin 44π⎛⎫αα+ ⎪α⎝⎭==-ππ⎛⎫⎛⎫α+αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2sin cos cos sin 434ππ⎛⎫⎛⎫αα+=-αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5sin sin cos cos sin sin cos 244434⎡⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=α+-α=α+α-α+α=α+α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则sin cos 4π⎛⎫α+α=⎪⎝⎭，则11sin 2sin sin cos cos sin sin cos 4444343⎡⎤πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫α+=α++α=α+α+α+α=α+α== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【考点】同角三角画款的基本关系、三角也等变换14．【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】当(0,2]x ∈时，令y =则22(1)1,0x y y -+=…，即()f x 的图象是以(1,0)为圈心、1为半径的半圆，利用()f x 是奇函数，且周期为4，画出函数()f x 在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数()((0,9])g x x ∈的图象，如图，关于x 的方程()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知()((0,1])g x x ∈与()((0,1])f x x ∈的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线(2)y k x =+经过点(1,1)时，13k =，当直线(2)y k x =+与半圆22(1)1(0)x y y -+=…相切时，1=，k =k =，所以k的取值范围是134⎡⎢⎣⎭。
2019年高考文科科数学江苏卷真题及答案详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．函数y＝的定义域是．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P 到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB ＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小．．于．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．时，都有ck2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（文科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V＝E﹣BCD＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x，0），2则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x+x2＝，x1x2＝，1可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）1＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；}的公比为q，②设{cn存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c成立，k+1即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)
YN 输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束 （第5题）2019年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =A BC1ADEF 1B1C9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即33e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==Q QQ n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
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1 (x
1) 2
， g(x)
k(x 2), 0 x
1 2
,1
x
2
1
，其中
k>0.若在区间(0，9]上，关
于 x 的方程 f (x) g(x) 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲ .
15．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
x
最小值是 ▲ .
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自
然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ .
12．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 O .若 AB AC 6AO EC ，
（2）BE⊥C1E．
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的焦点为
F1（–1、0），
F2（1，0）．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: (x 1)2 y 2 4a2 交于点 A，与椭圆 C
2ac
3
2 3c c
3
所以 c 3 . 3
（2）因为 sin A cos B ， a 2b
由正弦定理 a b ，得 cos B sin B ，所以 cos B 2sin B .
sin A sin B
2b b
从而 cos2 B (2sin B)2 ，即 cos2 B 4 1 cos2 B ，故 cos2 B 4 . 5
2019 高考江苏卷数学试题
1．已知集合 A {1, 0,1, 6}， B {x | x 0, x R}，则 A B ▲ . 2．已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ .
27
1.{1,6}
8.16
2.2
3.5
4.[ 1,7]
5. 5
3
9.10
10.4
11. (e, 1)
6. 7 10
12. 3
7. y 2x
13. 2 10
14.
1 3
,
2 4
15解：（1）因为 a 3c, b 2, cos B 2 ， 3
由余弦定理 cos B a2 c2 b2 ，得 2 (3c)2 c2 ( 2)2 ，即 c2 1 .
4．函数 y 7 6x x2 的定义域是 ▲ .
5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .
6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学
的概率是 ▲ .
7．在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2
交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1．
已知
DF1=
5 2
．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）求点 E 的坐标．
18．（本小题满分 16 分） 如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直 径）．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求：线段 PB、QA 上 的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆．O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．
（1）若 a=3c，b= 2 ，cosB= 2 ，求 c 的值； 3
（2）若 sin A cos B ，求 sin(B ) 的值．
a 2b
2
16．（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面 DEC1；
因为 sin B 0 ，所以 cos B 2sin B 0 ，从而 cos B 2 5 . 5
因此
sin
B
π 2
cos
B
25 5
.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推
理论证能力.满分 14 分.
பைடு நூலகம்
y2 b2
1(b
0) 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
▲.
8．已知数列{an}(n N* ) 是等差数列， Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 a8 0, S9 27 ，则 S8 的值是 ▲ . 10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的
（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的 距离．
19．（本小题满分 16 分）
设函数 f (x) (x a)(x b)(x c), a, b, c R 、 f '(x) 为 f（x）的导函数． （1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值； （2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 f '(x) 的零点均在集合{ 3,1, 3} 中，求 f（x）的极小值； （3）若 a 0, 0 b 1, c 1，且 f（x）的极大值为 M，求证:M≤ 4 ．
则 AB 的值是 ▲ . AC
13．已知
tan tan
π 4
2 3
，则
sin
2
π 4
的值是
▲
.
14．设 f (x), g(x) 是定义在 R 上的两个周期函数， f (x) 的周期为 4，g(x) 的周期为 2，且 f (x) 是奇函数.
当 x (0, 2] 时， f (x)