高量试题SDNU
华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题
华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题一、单选题 1．若集合{}210Axx a x a =-+-<，集合{}11B xx =-<，满足{}12A B x x ⋂=<<的实数a 的取值范围是（ ） A ．3a < B ．3a ≤ C ．3a>D ．3a≥2．已知复数z 满足()()342i i 1z z +=+-，其中z表示z 的共轭复数，则复数z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．3-D ．3i -3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（ ）A ．全村年用电量的众数一定是500度B ．抽取50户用电量的中位数小于其平均数C ．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电D ．全村用电量为[)400,600度的概率约为0.0015 4．如图，在已知直四棱柱1111A B C DA B C D -中，四边形A B C D 为平行四边形，,,,E MN P分别是111,,,B C B B A D A A 的中点，以下说法错误的是（ ）A ．若1B C=，1A A =1D PBC ^B ．//M NCD C ．//M N 平面1C DE D ．若A BB C=，则平面11A A C C⊥平面1A B D5．将函数()2s in 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移π06ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，再向下平移1个单位长度得到()g x 的图象．若对于任意的π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 的最大值可能是（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．26．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{}n a 本身不是等差数列，但从{}n a 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n b （则称数列{}n a 为一阶等差数列），或者{}n b 仍旧不是等差数列，但从{}n b 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n c （则称数列{}n a 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ） A ．52B ．2C ．212D ．2827．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()1()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122gx a a x x=+--，若01a <<，则()()f x gx -的极值情况是（ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值8．过抛物线()220xp yp =->的焦点F 且倾斜角为5π6的直线l 与抛物线在第三象限交于点P ，过点P 的切线与y 轴交于点M ，则下列说法正确的是（ ） A．直线MP B ．△M P F为等边三角形C ．点P 的横坐标为定值12-D ．点M 与点F 关于x 轴对称9．在三棱锥D A B C-中，A B C是以AC 为底边的等腰直角三角形，D A C △是等边三角形，A C=BD 与平面ADC2，则三棱锥DA B C-外接球的表面积是（ ） A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π10．已知函数()41,0141,02xx x f x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()22110fx t fx t+-+-=有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A．7,52⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．73,,52⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭C．7,52⎛--⎝⎦D ．73,,1522⎛⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．在正三棱柱111A B CA B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面A B C 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12nP ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知,P Q 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>上关于原点对称的两点，过点P 作P Mx⊥轴于点M ，M Q 交双曲线于点N ．设直线P Q 的斜率为k ．则下列说法错误的是（ ） A ．k 的取值范围是b b k a a-<<且0k≠B ．直线M N 的斜率为2kC ．直线P N 的斜率为222b k aD ．直线P N 与直线Q N 的斜率之和的最小值为ba二、填空题13．若,x y 满足约束条件2030630x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =+-的最大值为______．14．已知实数a ，b 满足423a a +=，22lo g 3b =，则32ab +=__________． 15．在A B C中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．若c =，2b=，π3C=，A D 是B C边上的高线，点D 为垂足．点E 为线段B D 上一点，点B 关于直线A E 的对称点为点M．从四边形B A C M 中任取一点，该点来自A B C的概率记为()P A ，则()P A 的最小值为______． 16．已知,A B 是圆22:4Ox y+=上的两点，π3A O B∠=，记O Aa=，O Bb=，向量()c a b ⊥+，若实数x 满足()()6a x c x c b +⋅-≤，则a x cxc b++-的最大值为______．三、解答题 17．已知A B C中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5c=，22co s ac B b=+．(1)求角C ；(2)若点D 在AB 边上，且满足:3:2A DB D =，当A B C的面积最大时，求CD 的长．18．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x=，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程yb x a=+$$$，其中a y b x =-$$，()()()121niii nii xxyybxx==--=-∑∑，()()81228.9iii xxyy =--=∑，119.05y=． 19．已知平行六面体1111A B C DA B C D -中，1A B=，12B C B C ==，π3A B C∠=，侧面11B B A A是菱形，1π3B B A∠=．(1)求1B C 与底面A B C D 所成角的正切值； (2)点,E F 分别在1BA和1B C 上，11E FA C ∥，过点,,B E F 的平面与1B D 交于G 点，确定G 点位置，使得平面B E F ⊥平面11B C D A ．20．已知A ，B 为椭圆22221x y ab+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3D F=．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 21．已知函数()()()22e21ln 21xf x a x x =-++．(1)当2a=时，研究函数()f x 的单调性；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()22c o s 22f x x a x≥--恒成立，求a 的取值范围．22．已知曲线C 的参数方程为c o s s in x a y αα=+⎧⎨=⎩（a 为正数，α为参数），直线l的极坐标方程为πc o s 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭l 与曲线C 交于,A B 两点，A B=(1)求a 的值；(2)若点M 的坐标为(，N是曲线C 上的一点，求M O N △面积的最大值．23．已知函数()123f x x x =-+-.(1)求()f x 的单调递增区间及()f x 的最小值m ； (2)若,,a b c 均为非负数，且12a b c m++=，求141213a b c +++++的最小值及取得最小值时,,a b c 的取值．参考答案：1．D【分析】解不等式可求得集合B ，根据交集结果可确定集合A ，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由11x -<得：111x -<-<，解得：02x <<，即()0,2B =；由210x a x a -+-<得：()()110x a x -+-<，{}12A B x x ⋂=<<，{}11A x x a ∴=<<-，12a ∴-≥，解得：3a ≥.故选：D. 2．A 【分析】设()i ,za b a b =+∈R，根据共轭复数定义、复数乘法运算和复数相等可构造方程组求得,a b ，根据虚部定义得到结果. 【详解】设()i ,za b a b =+∈R，则iza b =-，4i 44i 53i z z a b a b a b ∴+=++-=-，又()()()()32i i 12i 1i 13i +-=+--=--， 53i 13i a b ∴-=--，则5133a b =-⎧⎨-=-⎩，解得：151a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，1i5z ∴=-+，z ∴的虚部为1.故选：A. 3．C【分析】由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间[)400,600内的频率，由此判断各选项.【详解】因为抽取50户的年用电众数为500，所以全村年用电众数的估计值为500， 所以全村年用电众数不一定等于500，所以A 错误．由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14， 则中位数为2160040020033+⨯=，而平均数1000.143000.165000.37000.269000.14520x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为16005203>，所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B 错误． 全村估计年用电量为300520156000⨯=度，年发电量约为200800160000⨯=度156000>度，所以C 正确．由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为[)400,600度的户数的频率为0.30， 所以全村用电量为[)400,600度的户数的概率约为0.30，D 错误． 故选：C. 4．B【分析】利用正切值相等可说明11A D A A P D∠=∠，由此可得1A D D P⊥，结合平行关系可知A 正确；由//C D M P ，M P M N M⋂=可知B 错误；通过证明四边形D E M N 为平行四边形可得//M N D E，由线面平行判定可知C 正确；根据B D A C⊥，1B DA A ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定可知D 正确. 【详解】对于A ，连接1A D ，111111ta n A A A A A D A A D B C∠===，1ta n 12A D B C A P D A PA A ∠===11A D A A P D ∴∠=∠，又1111π2A D A D A A ∠+∠=，11π2A P DD A A ∴∠+∠=，即1A D D P⊥；11////C D C D A B ，11C D A C D B==，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//B C A D ∴，1D P B C ∴⊥，A正确；对于B ，连接,M P C M ，,M P分别为11,B B A A 中点，M P //A B ∴，又//A B C D ，//M P C D ∴，M N M P M⋂=，M N ∴与C D 不平行，B 错误；对于C ，连接1,E M B C，,M E分别为1,B B B C 中点，1//E M B C∴，112E MB C=；11//A B C D，11AB C D=，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//A D B C∴，11A DB C=，NQ 为1A D 中点，112N D A D∴=，//N D E M∴，N D E M=，∴四边形D E M N 为平行四边形，//D E M N∴，又D E⊂平面1C D E ，M N ⊄平面1C D E ，//M N ∴平面1C D E ，C 正确；对于D ，连接1A B ，A B B C =，四边形A B C D 为平行四边形，∴四边形A B C D 为菱形，B D A C∴⊥；1A A ⊥平面A B C D ，B D⊂平面A B C D ，1A A B D∴⊥，又1A A A C A=，1,A A A C⊂平面11A A C C ，B D ∴⊥平面11A A C C ，B D ⊂Q 平面1A B D ，∴平面11A A C C ⊥平面1A B D ，D 正确.故选：B.5．B【分析】根据三角函数伸缩和平移变换可得()g x ，根据正弦型函数单调性判断方法可确定()g x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，由此可得()m a x g x ，结合ϕ的范围可确定()m a x g x 的范围，由此可得结果.【详解】由三角函数伸缩和平移变换得：()()()214s in 223g x fx x ϕϕ=+-=+-，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π222,22x ϕϕϕ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又π06ϕ<<，π20,3ϕ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，πππ2,226ϕ⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭，()gx ∴在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()m a x04s in 23gx g ϕ∴==-，又s in 20,2ϕ⎛∈ ⎪⎝⎭，()4sin 233,3ϕ∴-∈-，则()g x 的最大值可能为2-.故选：B. 6．C【分析】根据数列特征可知数列{}n b 为等比数列，进而得到n b ，利用累乘法可求得n a ，代入8n=即可.【详解】记数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅为{}n a ，设1n n na b a +=，则11b =，22b =，34b =，48b =，⋅⋅⋅，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n nb -∴=，()()()12123221231122n n n n n n n a b b b b a --+++⋅⋅⋅+----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，76212822a ⨯∴==.故选：C. 7．C【分析】结合导数运算公式由条件求()f x ，由此可得()()f x gx -，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数()()f x gx -的极值即可.【详解】∵()()()11x f x fx x f x x''=+=+⎡⎤⎣⎦，∴()ln x fx x x c=++．取1x =可得，()11f c =+，由()1()1f x x f x x'+=+，令1x =，得()(1)12f f '+=，因为()10f '=，可得()12f =，∴1c=，则()ln 11x fx x x=++， ∴()()()ln 2112x f x gx a x a x x-=++-+．令()()ln 2112x h x a x a xx=++-+，则()()221ln 1201x a x h x a x-+-'=<<；令()21ln 12m x x a x =-+-，()21a x m x x-'=，易知0x <<()0m x '<，()mx在0⎛⎝上单调递减；x >()m x '>，()m x在⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以当x=()mx取最小值()1ln 12m a ⎛=-⎝， 又()1ln 102a-<，当0x→时，()mx →+∞，x →+∞时，()m x →+∞，∴存在1x ，2x ，使得()()12m x m x ==．不妨设12x x <，则当10x x <<时，()0m x >，当12xx x <<时，()0m x <，当2xx >时，()0m x >．∴()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． ∴()h x 既有极大值，又有极小值． 故选：C. 8．B【分析】联立抛物线和直线l 求P 的坐标，利用导数几何意义求切线方程，进而逐项判断正误即可.【详解】如图，抛物线22x p y=-的焦点0,2p F⎛⎫- ⎪⎝⎭，过焦点倾斜角5π6的直线l为32p y =--，联立2232x p y py x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，化简得223x p x p-=且0Px <，可得36P P x p p y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∵212y xp=-，则1y xp'=-，故|3x y ='=，∴3M Pk =，故A 、C 错误．∴切线方程为36p y x =+，则0|6x p y==，点0,6p M⎛⎫ ⎪⎝⎭不与焦点F 关于x 轴对称，故D 错误．而23M PM F p==，直线l 倾斜角为5π6，故π3MFP∠=，△M P F为等边三角形，故B 正确．故选：B 9．B【分析】根据线面角算出点B 到平面ADC 的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可.【详解】取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则B E A C ⊥，D E A C⊥，可得A C⊥平面DEB ．又A C ⊂平面ADC ，故平面A D C ⊥平面DEB ，且平面A D C 平面B D E D E=．在平面DEB 中，过点B 作B HD E⊥于点H ，则B H⊥平面ADC ，∴B D H ∠是直线BD 与平面ADC 所成角的平面角． 设B Hx=，则D H=，易求D E=，B E=，则E H=． 由勾股定理可得222B E B H E H=+，即)222x =+，解得3x=，于是3E H=点H 恰好是正D A C △的中心（外心），故球心O 必在BH 上，R t B A C的外心为E ，连接OE ,则O E ⊥平面ABC ，O EB E⊥,设三棱锥DA B C-外接球的半径B OR=，在R t B E O △中，由射影定理可得2B E B H B O =⨯，即23=，解得R=∴三棱锥D A B C-外接球的表面积24π12πSR==．故选：B. 10．D【分析】采用数形结合的方式可将问题转化为()22110xt x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()yc c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c=有3个实数根时，13c -<<，()()()22110fx t fx t∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，()()()()2Δ214102113212110932110t t t t t t t ⎧=--->⎪-⎪-<-<⎪∴⎨⎪--+->⎪+-+->⎪⎩，解得：752t -<<-12t <<，即实数t的取值范围为73,,1522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 11．C【分析】根据古典概型概率公式可确定①错误；记1n P -为第n1-次移动后在底面A B C 上的概率，可确定n P 与1n P -满足的递推关系式，得到②正确；根据递推关系式和等比数列定义可证得③正确；结合等比数列通项公式推导可得④正确.【详解】对于①，第一次移动后，可移动到111,,,,B C A B C 点，其中位于底面A B C 上的点有,B C ，∴当1n=时，125P =，①错误；对于②，当2n ≥时，记1n P -为第n 1-次移动后在底面A B C 上的概率，则11n P --表示第n 1-次移动后在平面111A B C 上的概率，在底面A B C 上移动的概率为25，由平面111A B C 移动到底面的概率为35，()111231315555n n n n P P P P ---∴=+-=-+，2113123135555525P P ∴=-+=-⨯+=，②正确；对于③，由11355nn P P -=-+得：1111252nn P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111210P -=-，∴数列12nP ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以110-为首项，15-为公比的等比数列，③正确；对于④，由③知：11112105n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，11111052n n P -⎛⎫∴=-⨯-+⎪⎝⎭，④正确.故选：C. 12．D【分析】根据直线与双曲线两支各有一个交点可确定k 的范围，知A 正确；利用两点连线斜率公式可知B 正确；根据22N P N Q b k k a⋅=可推导知C 正确；根据基本不等式取等条件不成立可知D 错误.【详解】对于A ，,P Q是双曲线上关于原点对称的两点，∴直线P Q 与双曲线两支各有一个交点，∴直线P Q 的斜率k 在两条渐近线斜率之间，即b b k a a -<<，由题意知：,P M 不重合，0k ∴≠，k ∴的取值范围为b b k aa-<<且0k≠，A 正确；对于B ，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，()0,0M x ，00y k x =，0022M N M Q y k k k x ∴===，B 正确；对于C ，设(),N s t ，则22221s tb a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222022*******22220000N P N Q x s b aa y t y t y tb k k x sx sx sx sa⎛⎫- ⎪----⎝⎭∴⋅=⋅===-----，由B 知：2N QM N k k k ==，222N Pb k k a∴=，C 正确；对于D，2222N PN Q b k b k k k aa+=+≥=，2222b k k a=，即2b ka=±不成立，N PN Q b k k a∴+>，D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题的基本思路是灵活应用斜率公式及双曲线第三定义来构造两直线斜率之间的等量关系，从而利用变量k 表示出直线,P N Q N的斜率.13．52【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为直线1322z y x +=-+在y 轴截距最大问题的求解，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当23z x y =+-取得最大值时，直线1322z y x +=-+在y 轴截距最大，平移直线12yx=-可知：当1322z yx +=-+过点A 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：1252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即15,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，m a x 155322z ∴=+-=.故答案为：52.14．1【分析】由22lo g 3b =可变形为()()lo g 3122lo g 313b b +++=，故考虑构造函数()2xfx x=+，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求,a b .【详解】因为22lo g 3b =，化简得()()2lo g 31313b b +++=．所以()()lo g 3122lo g 313b b +++=，又242223aaa a +=+=，构造函数()2xf x x=+，因为函数2xy=，yx=在(),-∞+∞上都为增函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数， 由()13f =，∴()22lo g 311a b =+=，解得12a =，13b=，∴312ab +=．故答案为：1. 15．12##0.5【分析】利用余弦定理和勾股定理可知A B A C⊥，作MGBC⊥，可知当M G 最大时，()P A最小；设D E Aθ∠=，结合三角形相似和三角恒等变换可表示出πin 26M G θ⎛⎫=--⎪⎝⎭由此可得m in M G ，进而求得()P A 最小值. 【详解】由余弦定理知：2222c o s a b a b C c+-=，即24212a a +-=，解得：4a=，222b c a∴+=，A B C∴为直角三角形，A B A C⊥，设B MA E F=，作M G B C⊥于点G ，b c A D a==，1C D∴==，13B D a =-=，要使得()P A 最小，则B M C △面积最大，即点M 到B C 的距离M G 最大． 设D E Aθ∠=，则F E Bθ∠=，3A D =，3B D =，ta n D E θ∴=，3ta n B Eθ=-，c o s 3c o s ta n E F B E θθθ⎛∴==-⎝⎭，M G B∽E F B △，M G M B E FB E∴=，22s in 23c o s s in 3s in 2o s ta n M G E F θθθθθθ⎛∴==-=- ⎝⎭π3s in 2o s 2in 26θθθ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭则当ππ262θ-=，即π3θ=时，s in 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭取得最大值1，m a x M G ∴=M B C A B CS S =△△，()m in12A B CA B CM B CS PA SS∴==+.故答案为：12. 16．【分析】利用余弦定理可求得B C，设O Dxc=，根据向量线性运算和数量积运算的定义可求得2c o s 6C D BD C DC D B ⋅=∠≤，结合余弦定理可得C D ≤.【详解】π3A OB ∠=，2π3C OB∴∠=，由圆的方程知：圆O 的半径2r =，B C ∴==设O Dx c=，则()O Da b ⊥+，O D ∴为线段B C 的中垂线，C D B D∴=，()()6a O D O D b +⋅-≤，即()()6O D O C O D O B -⋅-≤，2c o s c o s 6C D B D C D B D C D B C DC D B ∴⋅=⋅∠=∠≤；22212c o s 2C DC D B C D-∠=，266C DB DCD ∴⋅=-≤，解得：23C D≤2a x c x cb C D B D C D ∴++-=+=≤故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段C D 长度最值的问题. 17．(1)π3C =(2)C D =【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得1c o s 2C =，即可求出角C ； （2）由余弦定理结合均值不等式可得25a b ≤，可求出当A B C的面积最大值时3A D=，再由余弦定理即可求出CD 的长. 【详解】（1）依题意，22co s a c B b=+，由正弦定理可得2sin 2sin co s sin A C B B=+，∴()2s in 2s in c o s s in B CC B B+=+，所以2sinco s 2co s sin 2sin co s sin B C B C C B B+=+，则2s in c o s s in B C B=，因为()0,π,s inB B ∈≠，化简得1c o s 2C =．∵()0,πC∈，∴π3C =．（2）由余弦定理得2221c o s 22a b cC a b+-==，∴22222a ba b c a b c=+-≥-，∴25a b≤，当且仅当a b=时，等号成立．此时1s in 244A B CS a b C b ==≤． 若A B C的面积取到最大，则5ab ==，A B C为等边三角形，∴3A D =，由余弦定理得222π2c o s193C DA C A D A C A D =+-⋅⋅=，∴C D=18．(1) 5.4594.525yx =+(2)分布列见解析，() 4.2E X =【分析】（1）利用已知数据求x ，()281ii xx=-∑，利用公式和参考数据求b ，a ，由此可得回归方程；（2）由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值. 【详解】（1）由已知1234568847.5x+++++=+=+，所以()()()()()()()()()282222222213.5 2.5 1.50.50.5 1.5 2.5 3.542ii xx=-=-+-+-+-++++=∑又()()81228.9iii xxyy =--=∑所以()()()818215.45iii ii xxyybxx==--==-∑∑，因为119.05y =，所以94.525a yb x =-=，∴ 5.4594.525yx =+．（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个． ∴()35113C 10P X===，()213235C C 34C 5P X ⋅===，()123235C C 35C 10P X ⋅===．所以X 的分布列为数学期望为()133345 4.210510E X =⨯+⨯+⨯=．19．(1)13(2)点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处【分析】（1）证明1M B ⊥平面ABCD ，从而找到1B C 与底面A B C D 所成角，解三角形，即可求得答案；（2）证明当,E F 分别为线段1BA和1B C 的中点时，平面B E F⊥平面11B C D A ，说明1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上，结合三角形相似即可确定G 点位置. 【详解】（1）取A B 的中点M ，连接1M B ，,M C A C ，1BA．∵侧面11B B A A 为菱形，1π3B B A ∠=， ∴1A B B 为等边三角形，11A B B B ==，11,2M B A B M B ⊥∴=∵1A B =，2B C =，π3A B C∠=，由余弦定理知A C ==，∴222B C A B A C=+，∴A CA B⊥．在1A B C V 中，11A B =，12B C =，有22211B CA B A C=+，∴1A C A B ⊥．又∵11,,A B A B A A B A B =⊂∩平面11B B A A ，∴A C⊥平面11B B A A ．又∵1M B ⊂平面11B B A A ，∴1A C MB ⊥．∵1M B A B ⊥，,,A CA B A A C A B ⋂=⊂平面ABCD ，∴1M B ⊥平面ABCD ，∴1B C M ∠为直线1B C 与底面A B C D 所成的角， 由A CA B⊥，则2C M===，∴11ta n 132M B B C MC M∠===（2）当,E F 分别为线段1BA和1B C 的中点时，平面B E F⊥平面11B C D A ．证明如下：连接1A B ，1B C ，EF ，11A C ．侧面11B B A A 是菱形，则11A B A B⊥．又∵11A C A C E F∥∥，A C⊥平面11B B A A ， ∴E F⊥平面11B B A A ，1A B ⊂平面11B B A A ，故1E FA B ⊥，11,B A E F E B A E F =⊂，平面BEF ，∴1A B ⊥平面BEF ，1A B ⊂平面11B C D A ，∴平面11B C D A⊥平面BEF ．连接11BD 交11A C 于点N ，连接BN ，1B D ，BD ．∴平面11B D D B平面B E FB N=，∴1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上． ∵11B D B D∥，1B N G ∴△∽D B G △，∴1112B G B N D GD B==，即点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处． 20．(1)22142xy+=(2)直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上【分析】（1）由题意表示出D F ，1D F ，可得c ，再由椭圆的定义求出a ，即可求出椭圆的方程；（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，D E 的直线方程为()4ykx =-，与椭圆联立，由韦达定理得12x x +，12x x ，化积为和得()1212542x x x x =+-，表示出直线AD 和直线BE 的方程的方程，计算可得1P x =，即可证明直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为(),0F c ，左焦点为()1,0F c -，0c>，3D F ==，解得c=∴11D F ==，∴124D F D F a +==，2a=，b=，∴椭圆的方程为22142xy+=．（2）由题设，直线DE 斜率一定存在，设D E 的直线方程为()4y kx =-．联立椭圆方程，消去y 得()222221163240kx k x k+-+-=．设()11,D x y ，()22,Ex y ，则21221621k x x k+=+，212232421k x x k-=+．∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ， ∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为()2222y yx x =--．联立得()()12122222y y x x x x +=-+-，∴()()()()()()()()12211212211221242242262424238Px x x x x x x x x x x x x x x --+-+--==-+-----．又∵()1212542x x x x =+-，∴()121221212158623813838Px x x x x x x x x x x +-----===----．∴直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上．21．(1)()f x 在定义域内单调递增 (2)3a ≤【分析】（1）求函数()f x 的导函数可得()()24eln 211xf x x '⎡⎤=-+-⎣⎦，根据导数结构考虑构造函数()e 1xF x x =--，利用导数证明e 1x x ≥+，取对数证明()ln 1x x ≥+，由此证明()0f x '≥，由此可得函数()f x 的单调性；（2）设2t x=，[]0,πt ∈，由已知可得()()()2e1ln 1c o s 210ta t t t a t -++-+--≥恒成立，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21th t a t t t a t =-++-+--，讨论a ，利用导数求其最小值，可得a的取值范围． 【详解】（1）因为2a=，所以()()()22e221ln 21xf x x x =-++，所以函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()()24eln 211xf x x '⎡⎤=-+-⎣⎦，构造函数()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-，令()0F x '=，得0x=，∴当0x >时，()0F x '>，()F x 在()0,∞+上单调递增；当0x<时，()0F x '<，()F x 在(),0∞-上单调递减．∴()()00F x F ≥=，∴e 1x x ≥+，∴当1x>-时，()ln 1x x ≥+，所以当12x >-时，2e 21x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，所以当12x >-时，()2ln 21xx ≥+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()2e ln 2112ln 210xx x x -+-≥-+≥，当且仅当0x =时等号成立，∴()0f x '≥，当且仅当0x=时等号成立，∴()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）∵()()22c o s 22f x x a x≥--，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，等价于()()()()22e21ln 21c o s 22210xa x x x a x -++-+--≥，令2tx=，[]0,πt ∈，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21th t a t t t a t =-++-+--，∴()00h =，()()2e ln 1s in 2th t a t t '=-++-，()00h '=．令()()2e ln 1s in 2xg x a x x =-++-，()2e c o s 1xag x xx '=-++，[]0,πx ∈，注意到()03g a'=-． 当3a>时，()00g '<，∴0x ∃>，当[]00,x x ∈时，()0g x <，即当[]00,t x ∈时，()0h t '<，所以()h t 在[]00,x 上单调递减，所以()00h x <，不符合题意．当03a ≤≤时，令()2e c o s 1xa m x xx =-++，[]0,πx ∈，()()()222e s in 2s in 011xaam x x x x x '=+->+->++，∴()m x 单调递增，则()()030m x m a ≥=-≥，当0a<时，则()2e c o s 2c o s 011xaa m x x x x x =-+>+->++，()0g x '≥，()g x 单调递增，()()00g x g ≥=．∴()0h t '≥，()h t 单调递增，()()00h t h ≥=，符合题意．综上所述3a≤．【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．(1)2a =1【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理可构造方程求得a 的值；（2）根据圆的几何性质可求得点N 到直线O M 的距离的最大值，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由曲线C 的参数方程得：()221x a y-+=，则曲线C 是以(),0a 为圆心，1为半径的圆；由πc o s 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭c o s s in 222θθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y --=；∴圆心(),0a 到直线l的距离d =A B ∴==212d=，()21122a-∴=，又0a>，2a∴=.（2）设点N 到直线O M 的距离为h ，则11222M O NS O M h h h=⋅=⨯=，又直线O M方程为：y=，曲线C 的圆心为()2,0，半径为1，m a x 11h ∴==，M O N ∴△1.23．(1)单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，12m=(2)m in 141164213123a b c ⎛⎫++== ⎪+++⎝⎭，此时1a =，5b =，0c=【分析】（1）分别在1x≤、312x <<和32x≥的情况下，去掉绝对值符号可得函数解析式，进而确定单调性；根据单调性可确定最小值； （2）根据()()()21312ab c +++++=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1x ≤时，()13234f x x x x =-+-=-+，此时()f x 单调递减；当312x <<时，()1322f x x x x=-+-=-，此时()f x 单调递减；当32x≥时，()12334f x x x x =-+-=-，此时()f x 单调递增；()fx \的单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；由单调性可知：3122m f ⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）由（1）知：6a b c ++=，()()()21312a b c ∴+++++=，由柯西不等式得：()()()()214121312116213ab c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭（当且仅当1a =，5b =，0c=时等号成立），m in 141164213123a b c ⎛⎫∴++== ⎪+++⎝⎭，此时1a=，5b =，0c=.。
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；①；②；③；④.【答案】①④【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算2.下列各组向量中不平行的是（）A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)【答案】D【解析】略3.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．5.已知向量，，若，则__________________．【答案】或【解析】两向量平行，所以，解得：或．【考点】向量平行的坐标表示6.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．9.设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，由二倍角公式得，故选C．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的三角函数值，从而求得锐角的值．10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。
华大新高考联盟2021届高三3月教学质量测评(全国卷)文科数学试题 (1)
绝密★启用前华大新高考联盟2021届高三3月教学质量测评（全国卷）文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．设集合(){},23A x y y x ==-，(){},4250B x y x y =-+=，则AB =（ ）A ．∅B ．111,84⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭C ．111,84⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D ．13,84⎧1⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭答案：A根据直线和直线的位置关系可得答案. 解：由直线4250x y -+=得522y x =+， 因为直线522y x =+与直线23y x =-的斜率相等，截距不相等，所以两直线相互平行，故AB =∅，故选：A ．2．若在复平面内，复数23zi+所对应的点为()3,4-，则z 的共轭复数为（ ） A ．18i -- B ．18i -+C ．18i -D ．18i +答案：C化简复数z ，进而可得z 的共轭复数． 解：依题意，3423zi i=-+，则()()34236981218z i i i i i =-+=+-+=+，则18z i =-，故选：C ．3．根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B ．可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C ．2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D ．2019年我国研究生在校总人数不超过285万 答案：D根据统计图和表格中的数据逐项分析可得答案.解：2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A 项正确；由于2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万，故B 项正确； 2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C 项正确； 因为144.8286.1660.506≈，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D 项错误． 故选：D4．若20211log 67a =，2021167b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1672021c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<答案：A利用指数和对数的性质，分别判断a ，b ，c 与0,1的大小关系，可得选项．解：依题意，()20211log ,067a =∈-∞，()202110,167b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()16720211,c =∈+∞，故a b c<<，故选：A．5．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物入手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辦认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个21⨯的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这21⨯方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线的概率为（）A．1315B．1115C．23D．35答案：B古典概型，套用等可能性概率计算公式即可计算.解：若从6个顶点中任取2个，则可以构造出26C=15条线段，的线段有4条（AD,BC,AC,BD），故所求概率为411 11515 -=.故选：B.古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：（1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.6．运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则判断框中可以填（）A ．13?b <B ．21?b <C ．33?b <D ．34?b <答案：B根据流程图结构功能，依次运行直到S 的值大于50为止，再确定判断框内的条件即可． 解：运行该程序，2S =；第一次，2c =，4S =，1a =，2b =； 第二次，3c =，7=S ，2a =，3b =； 第三次，5c =，12S =，3a =，5b =； 第四次，8c =，20S =，5a =，8b =； 第五次，13c =，33S =，8a =，13b =； 第六次，21c =，54S =，13a =．21b =； 故判断框中可以填21?b <， 故选：B ．7．已知()0,2AB =，27AC =，若4AB BC ⋅=，则sin BAC ∠=（ ）A ．7B ．7C ．7D ．7答案：D由条件将BC AC AB =-代入题干转化，可求出8AB AC ⋅=，用向量的数量积公式可计算出cos BAC ∠，然后利用平方和为1可求出sin BAC ∠.解：解：依题意，()24AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅⋅⋅=-=-=，故cos 8AB AC BAC ⋅⋅∠=，则2cos 8BAC ⨯∠=，解得cos 7BAC ∠=，故sin 7BAC ∠==. 故选：D ．知识点点睛：（1）向量的减法：共起点，连终点，箭头指向被减向量的终点. （2）向量的数量积公式：cos a b a b θ⋅=⋅.8．若sin170tan10λ︒+︒=λ的值为（ ）A B C D 答案：D由三角函数的诱导公式将()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，再运用三角恒等变换公式求解.解：依题意，sin10sin10cos10λ︒︒+=︒sin10cos10cos10︒︒︒=︒，sin10︒cos10cos10︒︒=︒，即()202cos10sin 30sin10cos302sin 20︒︒︒=︒︒=-︒，故22=，则3λ=故选：D.9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分別为1F ，2F ，过双曲线C 上的一点M 作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，若21216F F MA MB =・，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 答案：B首先设点(),M m n ，利用点到渐近线的距离表示MA MB ，并化简，得到22224a b c c =，转化为关于,a c 的齐次方程，求双曲线的离心率.解：设(),M m n ，则22221m n a b-=，即222222b m a n a b -=，故MA M B ⋅==22222222224b m a n a bc a b c -==+，故4224c a b =，则()42224c a c a =-，则4224440c a c a -+=，即42440e e -+=，故22e =，则e =故选:B方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1032a =，555S =，则（ ） A ．48n a n =- B ．212n a n =+ C ．23722n S n n =+ D ．211722n S n n =+ 答案：C利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 解：依题意，15353()52555522a a a S a +⋅⋅====，解得311a =，而1032a =，所以有10131932, 211,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得15,3,a d =⎧⎨=⎩ 故32n a n =+，()253237222n n n S n n ++==+．故选：C11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有6个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A ．17,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．17,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1710,63⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C由题意利用正弦函数的零点，正弦函数的周期性，可得1720233πππωω<≤，由此得出结论．解：令()0f x =，即()3k x k πωπ+=∈Z ，故()3k x k ππωω=-+∈Z ， 可知第1个零点为1233x πππωωω=-+=， 而第6个零点为661733x πππωωω=-+=， 第7个零点为772033x πππωωω=-+=，故1720233πππωω<≤，解得171063ω<≤， 故选：C ．12．已知ABC 中，24AB BC ==，AC =M 在线段AC 上除A ，C 的位置运动，现沿BM 进行翻折，使得线段AB 上存在一点N ，满足CN ⊥平面ABM ；若NB λ>恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A ．1BC ．2D 答案：A由题意可知当CN ⊥平面ABM 时有两个极限状态，第一是BM 为ABC ∠的角平分线时，此时2NB =，第二是点M 与点A 重合时，此时1NB =，由此可得答案解：易知要满足CN ⊥平面ABM 有两个极限状态，第一是BM 为ABC ∠的角平分线时，此时2NB =，第二是点M 与点A 重合时，此时1NB =；故()1,2NB ∈， 则实数λ的最大值为1， 故选：A.关键点点睛：此题考查立体几何中的动点问题，解题的关键是当CN ⊥平面ABM 时有两个极限状态，分别求出NB 值，从而可得NB 的范围，进而可得结果，属于中档题二、填空题13．若实数x 、y 满足3,3,2.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值为______．答案：5作出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，数形结合即可求解.解：作出不等式组3,3,2.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域如图阴影部分所示；作出2y x =-，平移直线，观察可知，当直线2z x y =+过点()2,1C 时，z 有最大值5．故答案为：514．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()234e xf x f x =--，则曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为______．答案：4y x 45=-+ 由()()234e 0xf x f x --+=，可得出()()324e0xf x f x ----=，二者联立可消去()f x -，从而得到()f x 的解析式，进而结合导数的几何意义，可求出答案.解：∵()()234e 0xf x f x --+=①，∴()()324e0xf x f x ----=②，由①得()()24e 3x f x f x +-=，由②得()()34e 2xf x f x ---=，∴()()24e 34e 32x xf x f x -+-=，整理得()812e e 55x x f x -=+， ∴()04f =，()812e e 55x x f x --'=，∴()405f '=-， ∴所求切线方程为445y x -=-，即4y x 45=-+.故答案为：4y x 45=-+. 15．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别是线段BC ，1CC 的中点，点G 在四边形11BCC B 内运动（含边界），若直线1A G 与平面AEF 无交点，则线段CG 的取值范围______．答案：42⎡⎢⎣⎦先借助于面面平行判断出G 的位置，然后求出线段CG 的取值范围.解：分别取线段11B C ，1B B 的中点P ，Q ，连接1A P ，1A Q ，PQ ， 连结1,EF BC ,由三角形中位线定理得：11//,//,//PQ BC EF BC PQ EF ∴ 又∵PQ ⊆面A 1PQ , EF ⊄面A 1PQ ，∴//EF 面A 1PQ 同理可证：//AE 面A 1PQ又AE EF E ⋂=,∴面AEF //面A 1PQ 故点G 在线段PQ 上运动（含端点位置），当G 与P （或Q ）重合时，maxCG CP ====当G 在PQ 中点R 时，min4CG CR ====.故42CG ⎡∈⎢⎣⎦.故答案为：4⎡⎢⎣⎦ 方法点睛：立体几何中的动态问题：①几何法：根据图形特征，寻找两点之间的距离的范围；②坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标求范围.16．已知点M 在抛物线C ：24y x =上运动，圆C '过点()5,0，(，()3,2-，过点M 引直线1l ，2l 与圆C '相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________.答案：)4⎡⎣先由已知条件求出圆C '的方程，然后画出图形，则由圆的性质可得C P MP '⊥，C Q MQ '⊥，MC PQ '⊥，所以四边形MPC Q '的面积为12MC PQ '⋅，而四边形MPC Q '的面积为MPC '面积的两倍，从而得12MC PQ MP C P '⋅=⋅'，进而有2MP C P Q C P M =⋅'='=PQ 的最小值，而当当x 正无穷大时，PQ 趋近圆的直径4，从而可得结果解：设圆C '的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()5,0，(，()3,2-分别代入，可得255072013320D F D F DEF ++=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩，解得605D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即圆C '：()2234x y -+=；如图，连接MC '，C P '，C Q '，PQ ，易得C P MP '⊥，C Q MQ '⊥，MC PQ '⊥， 所以四边形MPC Q '的面积为12MC PQ '⋅； 另外四边形MPC Q '的面积为MPC '面积的两倍，所以12MC PQ MP C P '⋅=⋅'， 故2MP C P Q C P M =⋅'='=故当C M '最小时，PQ 最小， 设(),M x y ，则MC '==，所以当1x =时，min MC '=x 正无穷大时，PQ 趋近圆的直径4，故PQ的取值范围为)4⎡⎣.故答案为：)4⎡⎣【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查抛物线的有关知识，解题的关键是求出圆的方程，然后结合题意画出图形，由图可得四边形MPC Q '的面积为MPC ∆'面积的两倍，从而可得2MP C P Q C P M =⋅'='=由此可求出PQ 的最小值，考查计算能力，属于中档题三、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314a =，374S =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0n a >，求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 答案：（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，31143n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）()121nn T n =-⋅+.（1）根据等比数列的通项公式和前n 项和公式列出关于q 的方程，解出即可得出{}n a 的通项公式；（2）先确定12n nnn a -=⋅，利用错位相减法求和即可.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则123211174444a a a q q ++=++=， 即2610q q --=，解得12q =或13q =-； 若12q =，则3133111422n n n n a a q ---⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若13q =-，则3331143n n n a a q --⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得，12n nnn a -=⋅， 故01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12321222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得012122222212n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅，故()121nn T n =-⋅+.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解. 18．已知三棱柱111ABC A B C -如图所示，其中平面ABC ⊥平面1CA ，直线1AA 与平面ABC 所成角为30°，190AAC ACB ∠=∠=︒，2AC BC =，点M 在线段11A B 上．（1）求证：11AA A B ⊥；（2）若BC =1A BCM -的体积为6，求11A MMB 的值． 答案：（1）证明见解析；（2）1．（1）通过证明1AA ⊥平面1A BC 即可证得；（2）先判断130A AC ∠=︒，进而得1A BC S ，；利用等体积转化得到点M 到平面1A BC 的距离等于h ，112h BB =，从而得解. 解：（1）证明：∵平面ABC ⊥平面1CA ，平面1CA ⋂平面ABC AC =，BC AC ⊥，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面1CA ；∵1AA ⊂平面1CA ，∴1BC AA ⊥；又∵190AAC ∠=︒，11AA A C ⊥， 而1BCAC C =，∴1AA ⊥平面1A BC ； 又∵1A B ⊂平面1A BC ；∴11AA A B ⊥；（2）由（1）可知，1AA ⊥平面1A BC ，11//BB AA ，∴1BB ⊥平面1A BC ；易知1AA 在底面ABC 上的射影就是AC ，所以1A AC ∠就是直线1AA 与底面ABC 所成的角，且130A AC ∠=︒，∵AC =∴16A A =，16BB =，1AC =，则1162A BC S =⨯=； 设点M 到平面1A BC 的距离等于h ， 则111663A BCM M A BC V V h --==⨯⨯=，∴3h =， 所以112h BB =，所以点M 是棱11A B 的中点，从而111A M MB =为所求． 19．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员作出相关调查，其中表（Ⅰ）为车主张先生买车以后每年的相关花费，表（Ⅱ）为对2016年A 地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，对他们5年以来的新车花费的统计．表（Ⅰ）表（Ⅱ）（1）通过散点图可知，表（Ⅰ）中的数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据表（Ⅱ）中的数据，求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的新车花费用区间的中点值替代）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()121ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 答案：（1）ˆ0.290.13y x =+；（2）平均数为8，方差为8．（1）根据最小二乘法即可求出；（2）根据平均数等于各区间中点值与对应频率之积的和，由方差公式可计算出方差. 解：（1）依题意，1234535x ++++==，0.40.71 1.4 1.515y ++++==，()()51iii x x y y =--=∑()()()()20.610.310.420.5 2.9-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=，()521411410ii x x =-=+++=∑，()()()51521ˆ 0.29iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，故10.29ˆ30.13ˆay bx =-=-⨯=，故所求线性回归方程为ˆ0.290.13y x =+； （2）依题意，新车花费：依题意，40.1560.2580.3100.1120.15140.058x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()2222220.1540.2520.120.1540.0568s =⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=.知识点点睛：在频率分布直方图中，中位数左右两边的直方图面积相等，由此可以估计中位数；平均数的估计值等于各个小矩形的面积（频率）乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点横坐标．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>且过点12⎛- ⎝⎭，点M 在圆O ：225x y +=上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A ，B 是圆O 上异于M 的两点，且直线MA 、MB 与椭圆C 相切，求证：A ，B 关于原点O 对称．答案：（1）2214x y +=；（2）证明见解析． （1）根据题意可列出2222211514162a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解出22,a b ，即得椭圆C 的方程；（2）设()00,M x y ，分类讨论，当过点M 且与椭圆C 相切的直线斜率存在时，设切线的方程为()00y k x x y =-+，由直线与椭圆联立，通过0∆=可得()2220004210x kx y k y -++-=，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，因而121k k =-，故此时A ，B 关于原点O 对称；当有一条切线的斜率不存在时，易求出点A ，B 的坐标，可知A ，B 关于原点O 对称．解：（1）依题意，222221151416a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设点()00,M x y 在圆225x y +=上运动，当过点M 且与椭圆C 相切的直线斜率存在时，设切线的方程为()00y k x x y =-+.由()0022,440,y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=，则()()()2222000064414440ky kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，整理得()22200004210x k x y k y -++-=，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，则2122014y k k x -=-，故121k k =-，即AB 为圆225x y +=的直径，故此时A ，B 关于原点O 对称；当直线MA 的斜率不存在时，直线MA 的方程为2x =或2x =-，当直线MA 的方程为2x =时，不妨设()2,1M ，则()2,1A -，()2,1B -，此时A ，B 关于原点O 对称；当直线MA 的方程为2x =-时，不妨设()2,1M -，则()2,1A --，()2,1B ，此时A ，B 关于原点O 对称；同理可得，当直线MB 的斜率不存在时，A ，B 关于原点O 对称；综上所述，A ，B 关于原点O 对称．关键点点睛：本题第二问求证A ，B 关于原点O 对称，即证AB 为圆的直径，当切线斜率都存在，证明MA MB ⊥，证出1MA MB k k ⋅=-即可；当有一条切线斜率不存在时，直接求出点,A B 的坐标即可证出． 21．已知函数()()331xf x x e x =-+．（1）求函数()f x 在[]0,2上的最值； （2）求证：当0k ≥时，关于x 的方程()2332f x kx +=仅有1个实数解． 答案：（1）最小值为3-，最大值为238e +；（2）证明见解析．（1）求出()()3xf x x e x '=+，再令()xm x e x =+利用()m x 的单调性得可得()0f x '≥，判断出()f x 在[]0,2上单调性，可得答案；（2）转化为()()3211132xg x x e x kx =-+-+，分12k >、102k ≤<两种情况，再利用导数可得函数()g x 的单调性可得答案. 解：（1）依题意，()()2333xxf x xe x x e x '=+=+，令()xm x e x =+，则()10xm x e '=+>，故()m x 在[]0,2上单调递增，故()()01m x m ≥=；故()0f x '≥，即函数()f x 在[]0,2上单调递增，故函数()f x 在[]0,2上的最小值为()03f =-，最大值为()2238f e =+；（2）依题意，()3233132xx e x kx -++=，则()32111032x x e x kx -+-+=， 令()()3211132x g x x e x kx =-+-+，则()()222x x g x xe x kx x e x k '=+-=+-；当12k =时，()()21x xg x xe x x x e x '=+-=+-，当0x ≥时，1110x e x x +-≥+-≥ ，所以()()10xg x x e x '=+-≥，当0x <时，所以01x e <<，10x e -<，10x e x +-<，即()()10xg x x e x '=+->，综上()()10xg x x e x '=+-≥，故函数()g x 在R 上单调递增； 因为()10102g =-+<，()1103g =>，故12k =时，()f x 恰有1个零点；当12k >时，令()2xh x e x k =+-，则()h x 在R 上单调递增， 因为()0120h k =-<，()kh k e k =-，令()10kh k e '=->，得0k >，()h k 单调递增，令()10kh k e '=-<，得0k <，单调递减，所以()()min 01h k h ≥=，所以()0kh k e k =->，故存在唯一实数()10,x k ∈，使得()10h x =，即()10g x '=，故()g x 在(),0-∞上单调递增，在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增， 因为()()110102g x g <=-+<， ()()()()()323311133133310322k k g k k e k k k k e =-+⋅-⋅+=-+>，故当12k >时，函数()g x 恰有1个零点；当102k ≤<时，()2xh x e x k =+-在R 上单调递增；因为()0120h k =->，()11120h k e-=--<，所以存在唯一实数()21,0x ∈-，使得()20h x =，即()20g x '=，所以()g x 在()2,x -∞上单调递增，在()2,0x 上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 因为()10102g =-+<，()111032g k =-+>，所以当()0,x ∈+∞时，函数()g x 只有1个零点，当(),0x ∈-∞时，()()()2322222max11132x g x g x x e x kx ⎡⎤⎣==⎦-+-+，由()20g x '=得222x e x k +=，故()()()22232322222222211111132322x x x e x g x x e x kx x e x x +=-+-+=-+-⋅+()2222321221132x x x e x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣+⎦-；令()()2312213xt x x x e x =-++-，()1,0x ∈-； 因为()()210xt x xe'=+>，故()t x 在()1,0-上单调递增； 因为()()515411033t e e x t >-=--=->，故()20g x <， 故当(),0x ∈-∞时，函数()f x 无零点；故当102k ≤<时，函数()g x 恰有1个零点． 综上所述，当0k ≥时，关于x 的方程()2332f x kx +=仅有1个实数解．本题考查利用导数研究函数的性质，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221,1.x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C '的极坐标方程为216cos 320ρρα-+=．（1）求曲线C 的普通方程以及曲线C '的直角坐标方程；（2）已知过原点的直线l 与曲线C 仅有1个交点M ，若l 与曲线C '也仅有1个交点N ，求点M 的极坐标．答案：（1）22y x =-（2x -≤或2x ≥），2216320x y x +-+=；（2）M 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭或34π⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）．（1）先求得x 的取值范围，然后消去参数t 求得曲线C 的普通方程.根据极坐标与直角坐标的转换公式求得曲线C '的直角坐标方程.（2）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，联立直线的方程和曲线C 的方程，求得M 点的直角坐标并转为极坐标. 解：（1）当0t >时，12t t +≥=，当且仅当1t =时等号成立. 当0t <时，112t t tt ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1t =-时等号成立. 而曲线221,:1,x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩故曲线C 的普通方程22y x =-（2x -≤或2x ≥）；而曲线2:16cos 320C ρρα'-+=，故曲线C '的直角坐标方程2216320x y x +-+=； （2）易知直线l 的斜率存在，设直线:0l kx y ；而圆()22:832C x y '-+==1k =±；联立2,2,y x y x =±⎧⎨=-⎩解得2,2,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =-⎧⎨=⎩故点M的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭或34π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 注：极坐标不唯一，正确的均给分．23．已知函数()32f x ax a x =-+-的图像关于原点对称． （1）求不等式()2f x x >+的解集； （2）若关于x 的不等式()294f x mx ≤+恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）{8x x <-或14}x <<；（2）[)1,+∞.（1）首先利用()00f =，求a ，再利用零点分段法，去绝对值，解不等式；（2）首先画出函数()y f x =和294y mx =+的函数图象，利用不等式()294f x mx ≤+恒成立，找到临界条件，列式求解.解：（1）依题意，函数()f x 为奇函数，故()0320f a =+=，解得32a =-， 当32a =-时，()333322f x x x =+--，()()f x f x -=-，经验证，满足条件，故32a =-成立，故()2f x x >+等价于()3333222x x x +-->+*； 当2x <-时，()*式化为3333222x x x --+->+．解得8x <-，故8x <-； 当22x -≤≤时，()*式化为3333222x x x ++->+，解得1x >，故12x <≤；当2x >时，()*式化为3333222x x x +-+>+，解得4x <，故24x <<；故不等式的解集为{8x x <-或14}x <<；（2）作出函数()f x 的图像如图所示；因为294y mx =+的图像过定点90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故0m ≤不合题意，舍去；当0m >时，临界状态为294y mx =+与直线3y x =相切（如图）； 联立29,43,y mx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩故29304mx x -+=，解得99404m ∆=-⨯=，故1m =， 故实数m 的取值范围为[)1,+∞．关键点点睛：本题考查绝对值不等式的解法、函数的图像与性质，考查考生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是利用图象，分析临界情况，再列式求解.。
名校解析试题精选分类汇编4平面向量
A． B． C． D．
【答案】B 由 得, ,即 .由 ,得 ,即 ,所以 ,所以 ,所以向量 与 的夹角的余弦值为 ,所以 ,选 B
．（山东省淄博市高三温习阶段性检测（二模）数学（理）试题）概念域为 的函数 的图象的两个端点为A,B,M 图象上任意一点,其中 ,若不等式 恒成立,则称函数 上“k阶线性近似”.若函数 上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为（ ）
【答案】C由 ,解得 或 ,即 ,所以 · ,选 C．
．（山东省滨州市高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知向量 , ,且 ∥ ,则 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C因为 ∥ ,所以 ,解得 ,选C．
．（【解析】山东省济宁市高三第一次模拟考试理科数学 ）平面四边形ABCD中 ,则四边形ABCD是 （ ）
山东省2021届高三理科数学备考之名校解析试题精选分类汇编4：平面向量
一、选择题
．（山东省德州市高三3月模拟检测理科数学）若 均为单位向量,且 ,则 的最小值为 （ ）
A． B．1C． D．
【答案】A ,因为 ,且 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以当 时, 最小为 ,所以 ,即 的最小值为 .选 （ ）
A．
．（山东省泰安市高三第一轮温习质量检测数学（理）试题）已知 则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
,所以 ,所以 ,所以 ,选 B．
．（山东省烟台市高三上学期期末考试数学（理）试题）在△ABC中,AB=3,AC=2, 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 所以点 是BC的中点,则 , ,所以
高数考题精选
四川轻化工学院应用数学系
编
1
前
言
高等数学是工科院校最重要的基础课之一， 学生对其内容掌握的程度如何， 不仅直接影响到后续课程的学习，而且对今后工作也将产生重要影响。在高等 数学课程的学习中，学生不仅要注意获取必要的数学知识，更为重要的是，在 获取数学知识的同时，要努力提高自己的抽象思维、逻辑思维、运算技能、综 合应用等方面的能力。一本好的习题集，对内容的消化、所学知识的巩固以及 上述各种能力的培养与训练，都将有重要的作用。 本习题集是由四川轻化工学院历年以来学期期末高等数学考试试题提炼而 成， 曾几经修订、 完善。 习题的深度和广度都紧扣原国家教委 1987 年颁发的 高 等工业学校高等数学课程教学基本要求 。实践表明，使用该习题集，对保证高 等数学课的教学质量起到了积极的作用。 本习题集与同济大学高等数学教研室编 《高等数学》 (第四版)教材配套使用。 本习题几可以作为工科学生学期期末复习的资料。 参加本书编写的有曾光菊、许文俊、陈德勤、李作安等高等数学教师。 本习题集在编写过程中得到了本系同仁们的大力帮助和支持，在此深表谢 意！ 限于编者的水平有限，书中错误、疏漏之处在所难免，敬请同行们批评指 正。
一、设 z = （6 分） y + f (3 x − 1) 且当 y = 1 时， z = x ，求函数 z 的解析表达式。
二、设 z = x arctan( xy ) ，求 z x | (1,1）；z y | (1,1) ；gradz | (1,1)
（9 分）
三、求曲面 e − z + xy = 3 在点 M ( 2,1,0) 处的切平面方程和法线方程。 （9 分）
2、定积分
∫
2 −πБайду номын сангаас2
全国高考数学试卷
全国高考数学试卷2017年全国高考数学试卷大全高考全国卷数学篇一：2017年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学详细解析注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2A?{x|x?4x?3?0}，B?{x|2x?3?0}，则A?B?（1）设集合3333(?3,?)(?3,)(,3)(1,)2（B）2（C）2（D）2（A）【答案】D【详细解答】A?{x|1?x?3}，B?{x|x?}，?A?B?{x|323?x?3}2【试题评析】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易.（2）设(1?i)x?1?yi，其中x，y是实数，则x?yi=（A）1（BCD）2【答案】B【详细解答】由题意知：x?y?1，?x?yi=?i?【试题评析】考察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易.（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【详细解答】解法1：S9?a1?a9a?a9?9a5?27，?a5?3?d?105?1210?5a100?a10?(100?10)d?8?90?98.解法2：S9?9a1?9?8d?27，即a1?4d?3，又a10?a1?9d?8，解得2a1??1,d?1，?a100?a1?(100?1)d??1?99?98【试题评析】考察等差数列的基本性质、前n项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易.1（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）13123（C）（D）234【答案】B【详细解答】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是P?201?，故B选项正确.402【试题评析】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易.x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（5）已知方程2m?n3m2?n（A）(–1,3)（B）(–1,3)（C）(0,3)（D）3)【答案】A1?n?0【详细解答】由题意知：m?n?3m?n?4，解得m?1，??，解得?1?n?3，故A选项3?n?0?222正确.【试题评析】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易.（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28?，则它的表面积是3（A）17?（B）18?（C）20?（D）28?1（如右图所示），故8【答案】A【详细解答】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的43728?7122?r?解得r?2，?S??4?r?3??r?17?，A选项正确.38384 【试题评析】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等.（7）函数y?2x2?e在[?2,2]的图像大致为x（A）（B）2（C）【答案】D（D）【详细解答】解法1（排除法）：?f(x)?2x2?e为偶函数，且xf(2)?8?e2?8?7.4?0.6，故选D..解法2：?f(x)?2x2?e为偶函数，当x?0时，f(x)?4x?ex，作xy?4x与y?ex（如图1），故存在实数x0?(0,1)，使得f(x0)?0且x?(0,x0)时，f(x0)?0，x?(x0,2)时，f(x0)?0，f(x)在(0,x0)上递减，在(x0,2)上递增，故选D.【试题评析】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等.这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除.0?c?1，则（8）若a?b?1，cccc（A）a?b（B）ab?ba（C）alogbc?blogac（D）logac?logbc【答案】Cc?【详细解答】解法1（特殊值法），令a?4,b?2，1，易知C正确.2解法2：当??0时，幂函数f(x)?x在(0,??)上递增，故A选项错误；当a?1时，a越大对数函数f(x)?logax的图像越靠近x轴，当0?c?1时，logac?logbc，故D 选项错误；abc?bac可化为aa?()c，由指数函数知，当a?1时，f(x)?ax在(0,??)上递增，故B选项错误；alogbc?blogac可bb 化为log1bac?log1c，?1?b?b?a，故C选项正确.ab1a1b1b【试题评析】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等.结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除.（9）执行右面的程序图，如果输入的x?0，y?1，n?1，则输出x，y的值满足3（A）y?2x（B）y?3x（C）y?4x（D）y?5x【答案】C【详细解答】x?0，y?1，n?1时，框图运行如下：1、x?0，y?1，n?21，y?2，n?3233、x?，y?6，n?3，故C选项正确.22、x?【试题评析】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易.(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=|DE|=C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【详细解答】排除法：当p?4时，不妨令抛物线方程为y2?8x，当y?x?1，即A点坐标为（1，，所以圆的半径为r?3，此时D点坐标为（-2，符合题意，故B选项正确.p解法2：不妨令抛物线方程为y?2px，D点坐标为（?，则圆的半径为r?22p2r?8??3，即A422，所以?2p?4，故B选项正确.【试题评析】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等.(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a?平面ABCD=m，a?平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为1(B(D)3【答案】A【详细解答】令平面a与平面CB1D1重合，则m=B1D1，n=CD1故直线m、n所成角为60o【试题评析】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等.412.已知函数f(x)?sin(?x+?)(??0?2),x4为f(x)的零点，x??4为y?f(x)图像的对称轴，且f(x)在5单调，则?的最大值为?1836?（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B【详细解答】解法1（特殊值验证法）令??9，则周期T?上递减，恰好符合题意，故选B.2?95?，区间[?]刚为T，且在[]94443636 1?5?2?2?T?(?)9，故选B.解法2：由题意知，所以24369T 【试题评析】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.【答案】?2【详细解答】解法1（几何法）由向量加法的几何意义知a?b，故a?b?m?2?0，所以m??2；解法2（代数法）(m?1)?9?m?1?1?4，解得m??2【试题评析】考察向量运算，必考题型，难易程度：易.(14)(2x【答案】10【详细解答】QTr?1?C(2x)r55?r225的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）?C2rr55?rx5?r2，令5?r45?4?3，解得r?4，?C52?5?2?10.2【试题评析】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等.（15）设等比数列【答案】64【详细解答】由a1+a3=10，a2+a4=5解得a1?8,q?满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为111，?an?8()n?1?()n?4，2225高考全国卷数学篇二：2015年高考数学全国卷I理科试题及答案word2015年全国卷I理科逐题述评1.设复数z满足1?z?i，则|z|=1?z（A）1（B（C（D）21?z?1?i(?1?i)(1?i)?(1?i)2i得1?z?i(1?z)，即z?解析：由，zi，1?z1?i(1?i)(1?i)2|z|=1，选（A）.点评：本题跳出往年考查复数除法的传统直白模式，套用方程思想，由考生自行推导出?1?i，进而求出|z|（从这方面来讲，简单题增加了考生的运算量）.形式简洁（甚至1?i连“i是虚数单位”，“复数z的模”等说明性文字都未曾出现），增加了思维含量.当然，如?1?i果考生在平时的备考中，能拓展了解部分复数的模运算的性质，化简到z?，就可以1?iz?利用分子和分母的模相等迅速得到|z|=1，不必将z?i计算出来，正所谓“失之东隅，收之桑榆”，不难看出命题人在躲避各地题海战术方面的良苦用心.2.sin20cos10?cos160sin10=（A）11（B（C）?（D）22解析：sin20cos10?cos160sin10?sin20cos10?cos20sin10?sin30，选（D）.点评：本题涉及三角函数的三个考点：诱导公式cos(180??)??cos?、两角和与差?公式sin()?sin?cos??cos?sin?的逆用、特殊角的三角函数值.其中由cos160cos20?得进一步做题思路十分关键.2n3.设命题p：?n?N，n?2，则?p为（A）?n?N，n?2（B）?n?N，n?2（C）?n?N，n?2（D）2n2n2nn?N，n2?2n解析：命题p含有存在性量词（特称命题），是真命题（如n?3时），则其否定（?p）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选（C）.点评：涉及含有量词的命题的否定（也可视为复合命题中p与?p 的关系）是近几年高考命题的热点，且常考常新.解答这类题，既可以套用命题的否定的套路（特称命题与全称命题的转换），也可以从命题真假性的角度加以判断.4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.3122解析：该同学通过测试的概率为C30.62?0.4?0.63?0.62(1.2?0.6)?0.648，或11?0.43?C30.42?0.6?0.648，选（A）.点评：本题考查点集中在独立事件、互斥事件与对立事件，难度适中，突出了理科试题的特点.x2y2?1上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若5.已知M(x0,y0)是双曲线C：2MF1?MF2?0，则y0的取值范围是,（B）(?（C）(?（D）(?33663333C的交解析：从MF1F2为直径的圆与1?MF2?0入手考虑，MF1?MF2?0可得到以F（A）(?点M1,M2,M3,M4（不妨设M1,M2在左支上，M3,M4在右支上），此时M1F1?M1F2，M1F1?M1F2??F1F2?S?M1F1F2?|y0|?11M1F1?M1F2?|y0|?F1F2解得22?M或M?M上运动，y(，故选（A）.，则M在双曲线的M01234点评：本题借助向量的数量积这一重要工具，融合了双曲线的定义、性质，考查了构造思想和等体积转化.是对研究和利用过往高考试题正能量的引导和极好的传承.美中不足的是本题运算量比较大，思维含量高，考查点比较综合，如果能放到第10题的位置会更合理.这道高考题脱胎于15年前的2000年高考全国卷文理第14题：x2y21的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当?F1PF2为钝角时，点P的椭圆94横坐标的取值范围是.到下一年，直接演化为2001年高考全国卷文理第14题：x2y21的两个焦点为F1,F2，双曲线点P在双曲线上，若PF1?PF2，则点P到x916轴的的距离为.再过4年，在2005年高考全国卷（III）文理第9题：y21的焦点为F1,F2，已知双曲线x?点M在双曲线上，且MF则点M1?MF2?0，22到x轴的的距离为（A）45（B）（C）（D）336.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛2?R16?8，圆锥底面半径R?，米堆体积4?1320VV??R2h??22，选（B）.，堆放的米约有123?1.62解析：点评：本题难度适中，取材于古代数学著述，一方面考查了简单几何体的体积，另一方面体现了数学估算等应用，更是弘扬和发掘了数学史和古代数学文化.7.设D为?ABC所在平面内一点BC?3CD，则41????4????1??（A）AD??AB?AC（B）AD?AB?AC33334141（C）AD?AB?AC （D）AD?AB?AC33331????????1?????????4????1???解析：AD?AC?CD?AC?BC?AC?(AC?AB)??AB?AC，选（A）.3333 点评：本题知识方面考查平面向量的加减运算，能力方面通过用AB,AC表示AD考查化归思想的应用.另外本题也可以根据选项的特点把已知BC?3CD 转化为起点均为A，即AC?AB?3(AD?AC)，求出AD即可，考查学生灵活运用基础知识分析问题和解决问题的能力以及化归思想的应用.从难易度来看，此题放在第5题的位置最理想.8.函数f(x)=cos(?x??)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为13,k??),k?Z4413（B）(2k??,2k??),k?Z4413（C）(k?,k?),k?Z4413（D）(2k?,2k?),k?Z44（A）(k??1?+42解析：由五点作图知，?，解得?=?，?=，所以f(x)?cos(?x?)，44?5?+??3?42令2kx?（2k??4?2k,k?Z，解得2k?13＜x＜2k?，k?Z，故单调减区间为4431，2k?），k?Z，故选（D）.44点评：本题虽然考查余弦型函数的'图象和性质，但可归结为正弦型函数的图象和性质，且一反常态图象的周期是2k，不是2k?，解答既可由图象先求解析式，再根据解析式求解函数的单调递减区间，又可先求周期，借助图象的对称性得出x?3是其中一条对称轴，数4 形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解，又能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果是得分不高.9.执行右面的程序框图，如果输入的t?0.01，则输出的n?（A）5（B）6（C）7（D）8解析：t?0.01保持不变，初始值s?1,n?0,m?1?0.5，2执行第1次，s?0.5,m?0.25,n?1，s?t，执行循环体；执行第2次，s?0.25,m?0.125,n?2，s?t，执行循环体；执行第3次，s?0.125,m?0.0625,n?3，s?t，执行循环体；执行第4次，s?0.0625,m?0.03125,n?4，s?t，执行循环体；执行第5次，s?0.03125,m?0.015625,n?4，s?t，执行循环体；执行第6次，s?0.015625,m?0.0078125,n?5，s?t，执行循环体；执行第7次，s?0.0078125,m?0.00390625,n?6，s?t，跳出循环体，输出n?7，故选（C）.点评：本题通过含循环结构的程序框图，考查学生的读图能力及运算求解能力.但题中的执行次数有点多，数据有些复杂，其实大可执行3或4次，数据再简单一些，效果会更好！10.(x?x?y)的展开式中，xy的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60解析：在(x?x?y)的5个因式中，2个取因式中x剩余的3个因式中1个取x，其2522552212余因式取y，故x5y2的系数为C5C3C2?30.22232232另解：(x?x?y)(x?x)?y??，含y的项T3?C5(x?x)y，其中(x?x)25514151中含x的项为C3xx?C3x，所以x5y2的系数为C52C3?30，故选（C）.5点评：本题由以往常考的括号内的二项创新演变为三项，既能把三项转化为二项，利用二项展开式的通项公式求解，又能利用计数原理借助组合知识求解，同时考查化归思想的应用以及学生的运算求解以及变通能力.题目排序建议：T7→T5，T9→T6，T6→T7，T5→T10，T10→T8，T8→T9.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16?20?，则r?（A）1（B）2（C）4（D）8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r，圆柱的高为2r，其表面积为1?4?r2??r?2r??r2?2r?2r?5?r2?4r2?16?20?，解得2r?2，故选（B）.点评：本题考查空间几何体的三视图、圆柱和球的表面积，通过三视图到直观图的转化考查学生的空间想象能力与化归思想的应用，通过圆柱和球的表面积计算考查学生的运算求解能力.本题与2013年全国卷Ⅰ（理8，文11）非常相似.但由2013年的三个视图变成了2015年的两个视图，极好的考查了学生的观察能力和空间想象能力.（2013年全国卷Ⅰ（理8，文11））某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（A）16?8?（C）16?16?（B）8?8?（D）8?16?x12.设函数f(x)=e(2x?1)?ax?a,其中a?1，若存在唯一高考全国卷数学篇三：2015高考数学全国卷(精美word版)绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1＋z1．设复数z满足＝i，则|z|＝1－zA．1B．2C．3D．22．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝3311A．－B．C．－D．22223．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为A．?n?N，n2＞2nB．?n?N，n2≤2nC．?n?N，n2≤2nD．?n?N，n2＝2n4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312x22→→5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1、F2是C 上的两个焦点，若MF1·MF2＜0，则2y0的取值范围是22D．?－，?A．－，B．－C．3633??3?6?3?36．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛→→7．设D为△ABC所在平面内一点BC＝3CD，则1→414→A．AD＝－ABACB．AD＝AB－AC33334→141→C．AD＝ABACD．AD＝AB－AC3333→→→→8．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为1313A．?kπ－，kπ＋?(k∈Z)B．?2kπ2kπ＋(k∈Z)44?44??1313C．?k－，k(k∈Z)D．?2k－，2k(k∈Z)444?4?9．执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝A．5B．6C．7D．8正视图俯视图10．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为A．10B．20C．30D．60(第11题图)11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝A．1B．2C．4D．812．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是333333A.?－，1?B.?－?C.?D.?，1??2e??2e4??2e4?2e?第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a.x2y214．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.164x－1≥0(1)y15．若x，y满足约束条件?x－y≤0(2)，则的最大值为.xx＋y－4≤0(3)?16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)E2FSn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an＋2an＝4Sn＋4．(Ⅰ)求{an}的通项公式；1A(Ⅱ)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．anan＋1CB18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.年宣传费/千元1表中w1＝x1，，－＝w8w1x＋1(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1v1)，(u2v2)，??，(unvn)，其回归线v ＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：nu)(vi－－v)?(ui－－u)2?(ui－－i＝1β＝i＝1nα＝－v－β－u20．(本小题满分12分)x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点，4(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.21．(本小题满分12分)1已知函数f(x)＝x3＋ax＋g(x)＝－lnx．4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；(Ⅱ)用min?m,n?表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，讨论h(x)零点的个数．请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 22．(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB是⊙O 的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．(Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(Ⅱ)若OA3CE，求∠ACB的大小.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C1，C2的极坐标方程；π(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M、N，求△C2MN的面积．424．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x ＋1|－2|x－a|，a＞0．(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．。
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评文科数学试题(老教材卷)
一、单选题1. 函数(，是常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数的图象（ ）.A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位2.函数则的解集为（ ）A．B．C．D．3. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为2m ，且水流落在地面上以O 为圆心，6m 为半径的圆内，则管柱OA 的高度为（）A ．2mB ．3mC ．2.5mD ．1.5m4. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，，点E 为AB 的中点，把沿DE 折起，使点A 到达点P的位置，且平面平面BCDE ，则异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5. 若集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 函数的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．8. 若a ，b 是函数的两个极值点，则的值为（ ）A．B．C．D．华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评文科数学试题（老教材卷）二、多选题三、填空题四、解答题9. 设复数（且），则下列结论正确的是（ ）A ．可能是实数B ．恒成立C ．若，则D ．若，则10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是奇函数B．的图象关于点对称C ．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D ．令，若，则实数的取值范围是11. 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A．B．C．D．12. 已知随机性离散变量的分布列如下，则的值可以是（）12A．B．C．D ．113.在中，，点D 在线段上，且满足，，则等于________.14.已知为双曲线右支上一点（非顶点），、分别为双曲线的左右焦点，点为的内心，若，则该双曲线的离心率为________.15. 已知函数为奇函数，则___________.16. 已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．17.如图，已知三棱锥中，是边长为1的等边三角形，，点为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18. 已知双曲线为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点.(1)若直线的斜率为，求的值；(2)设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来.19. 如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在平面，平面ADE⊥平面ACD，且CD∥BE.（1）证明：CD=BE；（2）若AC=1，AB=，∠ADC=45°，求四棱锥A -BCDE的内切球的半径.20. 已知．（）(1)讨论的单调性；(2)若，且存在，使得，求的取值范围．21. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；（2）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积.。
全国高考化学物质的量的综合高考模拟和真题分类汇总附答案解析
全国高考化学物质的量的综合高考模拟和真题分类汇总附答案解析一、高中化学物质的量练习题（含详细答案解析）1．①同温同压下，同体积的氨气和硫化氢气体（H2S）的质量比为_________；②同质量的氨气和硫化氢气体的体积比为_______________，其中含有的氢的原子个数比为___________；③若二者氢原子数相等，它们的体积比为_____________；④在相同条件下，在5.6g氮气中应添加___________g氨气所组成的混合气体与16g氧气所占的体积相等。
【答案】1:2 2:1 3:1 2:3 5.1【解析】【分析】【详解】①同温同压下，气体体积之比等于其物质的量之比，根据m=nM可知，同体积的氨气和硫化氢气体(H2S)的质量比为17g/mol：34g/mol= 1：2 ；②根据n=mM可知，同质量的氨气与硫化氢的物质的量之比为34g/mol: 17g/mol=2:1；相同条件下，气体体积之比等于其物质的量之比，二者体积之比为2:1，所含氢原子数目之比为(2⨯3):(1⨯2)=3:1；③假设H原子为3mol，氨气为1mol，硫化氢为1.5mol，二者体积之比为1mol: 1.5mol=2:3；④氮气物质的量n=5.6g0.2mol28g/mol=，氧气物质的量n=16g32g/mol= 0.2mol，则氨气物质的量为=0.5mol-0.2mol=0.3mol ，氨气的质量为0.3mol⨯17g/mol=5.1g。
2．将一定质量的镁铝混合物投入200mL硫酸中，固体全部溶解后，向所得溶液中加入5 mol/L的NaOH溶液，生成沉淀的物质的量n与加入NaOH溶液的体积V的变化如图所示。
(1)写出Al与NaOH溶液反应的化学方程式___________________；(2)镁和铝的总质量为________g；(3)b点溶液中的溶质为__________，硫酸的物质的量浓度为___________mol/L；(4)生成的氢气在标准状况下的体积为__________L；(5)c点溶液中通入足量的CO2的反应化学方程式为___________。
《教育统计与测量评价》复习资料
《教育统计与测量评价》复习资料单项选择题1．用公式形象表述：“评价=测量(定量描述)+非测量(定性描述)+价值判断”的人是（）A．格兰朗德B．斯塔费尔比姆C．泰勒D．德雷斯2．在教学过程中经常实施的，在性质上相当于现在的中小学单元测验，我们称之为（）A．形成性测量与评价B．诊断性测量与评价C．终结性测量与评价D．安置性测量与评价3．在编制客观性试题时，题干要尽可能地采用（）A．疑问述B．正面述C．否定述D．似真性述4．解释测验分数的参照系为（）A．标准B．常模C．目标D．等级5．包含和目标相适应的一组题目构成的测验称为（）A．领域参照测验B．目标参照测验C．掌握测验D．标准参照测验6．以考试分数作为追求的目标和决策的依据，把学生丰富多彩的个性和学习历程用笼统的分数表达，这种分数我们称之为（）A．表征性分数B．实质性分数C．掌握性分数D．认知性分数7．在原有的感性认识基础上，经过重新组合等加工改造而创造出新形象的活动，我们称之为（）A.记忆B．观察C．思维D．想象8．具有量的大小和相等单位外，还具有绝对零点的量表称为（）A．称名量表B．顺序量表C．等距量表D．比率量表9．科举考试制度始于（）A．春秋战国时期B．两汉时期C．晋南北朝时期D．隋朝10．测量与评价的指导思想是（）A．选拔适合精英教育的学生B．创造适合学生发展的教育C．对学生的学业进行精确的评定D．改变教育的外环境11．效度始终是针对一定的（）A测量目的而言B测量手段而言C测量过程而言D测量方法而言12．美国教育测验中心举办的“托福”考试线性变换分数是（）A．500+100Z B．90+20T C．500+70Z D．100+15Z13．标准参照测验的定量标准是（）A合格分数线B掌握分数线C标准分数线D等级分数线14．以下哪一项不是绝对评价等级制常见的方法（）A．教师综合评价法B．测量结果转换法C．核心容参照法D．最佳行为评价法15．以下哪一项不是思维能力的测量与评价的方法（）A．语言文字推理测验B．图形C．作品分析D．数字符号16．个人把自己的思想、态度、愿望、情绪和性格等特征，不自觉地反应于外界或他人的一种心理过程，我们称这种方法为（）A．自量表法B．投射测验法C．情境测验法D．逆境对话法17．在学生真实的生活情境中，通过控制无关变量，操纵某些自变量，激发学生心矛盾冲突，从而测评学生的品德行为、品德动机、品德情感体验及认识评价的方法是（）A．品德情境模拟测评B．品德现场情境测评C．品德情境积分测评D．品德现场评语测评18．学生身体领域发展目标，本质上是（）A．身体发育、增强体质B．身体素质、身体形态C．身体发育、身体形态D．身体发育、身体素质19．由测验专家严格按照测验程序而编制成的测验称为（）A．标准化测验B．非标准化测验C．成就测验D．能力倾向测验20．情感领域教育目标的最高境界是（）A．接受B．反应C．价值评价D．价值复合体形成的性格化21.在统计检验中，大样本是指n（）A.≥10B.≥20C.≥30D.≥4022.下面对误差的理解正确的是（）A.误差是客观存在的B.误差是不可以控制的C.误差是可以避免的D.误差只在抽样中发生23.离差智商采用的是（）4-110A.百分等级常模B.标准分数常模C.年级常模D.年龄常模24.关于统计假设检验，下列说法不正确的是（）A.使用反证法B.若虚无假设被推翻，备择假设不成立C.被推翻的虚无假设的容可能是正确的D.依据小概率事件原理25.对单向方差分析叙述正确的是（）A.用于对两个的总体平均数差异做出检验B.分析多个方向上两个总体平均数间的差异C.用于比较一个方向差异上两个总体平均数间的差异D.单向方差分析是方差分析最基础的方法26、测验蓝图设计是关于（）A、测验容和测验题型的抽样方案B、测验容和考查目标的抽样方案C、试验时间和测验题目的抽样方案D、测验时间和考查目标的抽样方案27、面试共有6题并采用放回抽取原则，问两个考生抽取同为B题的概率为（）。
晴暑市最量学校高考化学学复习题型特训2第2题陷阱重重的阿伏加德罗常数的正误判断试题
赏掌州晴暑市最量学校题型特训2 第2题“陷阱重重”的阿伏加德罗常数的正误判断1.(2019山东实验中学高三第二次诊断性考试)国际计量大会对摩尔的最新定义为“1摩尔包含6.022 140 76×1023个基本单元,这一常数称作阿伏加德罗常数(N A),单位为 mol-1。
”下列叙述正确的是( )A.状况下,22.4 L SO3含有N A个分子B.6.4 g CH4O含有的C—H键为0.6N AC.0.1 mol Na2O2与CO2反应转移的电子数为0.2N AD.0.1 mol·L-1的乙酸溶液中含有的H+数目小于0.1N A2.(2019江西重点中学盟校高三第一次联考)设N A为阿伏加德罗常数的值。
下列说法错误的是( )A.11.2 L甲烷和乙烯的混合物中含氢原子数目等于2N AB.含N A个C O32-的Na2CO3溶液中,Na+数目大于2N AC.密闭容器中,2 mol SO2和足量O2充分反应,产物的分子数小于2N AD.4.0 g CO2气体中含电子数目等于2N A3.(2019天津耀华中学高三调研)由14CO和12CO组成的混合气体与同温同压下空气的密度相等(空气的平均相对分子质量为29),则下列关系正确的是( )A.混合气体中,12CO占有的体积等于14CO占有的体积B.混合气体中,12CO与14CO分子个数之比为1∶2C.混合气体中,12CO与14CO质量之比为15∶14D.混合气体中,14CO与12CO密度之比为14∶154.(2019河北中原名校联盟高三联考)设N A为阿伏加德罗常数的值,下列说法正确的是( )A.1 L pH=5的醋酸溶液中含有的H+数目小于10N AB.9.2 g 14CO2与N218O的混合物中所含中子数为4.8N AC.硝酸与铜反应生成0.1 mol NO x时,转移电子数为0.2N AD.1 mol SO2和0.5 mol O2充分反应,生成SO3的分子数为N A5.(2019黑龙江大庆铁人中学高三模拟)设N A为阿伏加德罗常数的值,下列说法不正确的是( )A.1 mol Mg在空气中完全燃烧生成MgO和Mg3N2,转移的电子数为2N AB.状况下,22.4 L一氯甲烷中含极性共价键数目为4N AC.状况下,22.4 L HCl气体中含有N A个气体分子D.1 mol SO2与足量O2在一定条件下反应生成SO3,共转移2N A个电子6.(2019湖北沙市中学高三上学期能力测试)N A表示阿伏加德罗常数的值,下列叙述正确的是( )A.向1 L 0.3 mol·L-1 NaOH溶液中通入0.2 mol CO2,溶液中C O32-和HC O3-的数目均为0.1N AB.2 L 0.5 mol·L-1硫酸钾溶液中阴离子所带电荷数为N AC.1 mol FeI2与足量氯气反应时转移的电子数为3N AD.100 g质量分数为46%的乙醇溶液中所含的氢原子数为6N A7.(2019湖南师大附中高三月考)设N A为阿伏加德罗常数的值,下列说法正确的是( )A.状况下,22.4 L CCl4中含CCl4分子数为N AB.5.6 g铁和6.4 g铜分别与0.1 mol氯气完全反应,转移的电子数相等C.0.1 mol·L-1 MgCl2溶液中含Cl-数为0.2N AD.3.9 g Na2O2晶体中含有的离子总数为0.2N A8.(2019安徽合肥高三调研)设N A为阿伏加德罗常数的值,下列叙述正确的是( )A.常温常压下,8 g甲烷中含C—H键数目为0.4N AB.状况下,11.2 L SO3中含分子数目为0.5N AC.1 L 0.1 mol·L-1 NH4NO3溶液中含氧原子数目为0.3N AD.7.8 g Na2O2与足量CO2完全反应转移电子数目为0.1N A9.(2019天津静海一中第一学期高三调研)下列说法正确的是( )①1 mol羟基所含电子数为10N A②一定温度下,1 L 0.50 mol·L -1NH 4Cl 溶液中含N H 4+的数目小于0.5N A③1 mol 臭氧和1.5 mol 氧气含有相同的氧原子数④58.5 g NaCl 固体中含有N A 个氯化钠分子⑤在反应KIO 3+6HIKI+3I 2+3H 2O 中,每生成3 mol I 2转移的电子数为6N A⑥状况下,2.24 L H 2O 含有的分子数等于0.1N A⑦1 mol 乙烷分子中含有8N A 个共价键⑧78 g Na 2O 2中含有N A 个阴离子⑨常温下,7.1 g Cl 2与足量NaOH 溶液反应转移的电子数约为0.2×6.02×1023⑩4.0 g 重水(D 2O)中所含质子数为2N AA.④⑤⑦⑧⑨B.②③⑧⑩C.③D.全部10.(2019安徽江南十校高三综合素质检测)下列说法中正确的是(N A 为阿伏加德罗常数的值)( )A.O 2-的电子式为[··O ······]2-,则O 2-核外有8个电子B.1 mol NH 4Cl 中含有的H —Cl 键的数目为N AC.CrO 5中铬元素的化合价为+6价,每个CrO 5分子中存在两个过氧键D.20 g Na 2O 和Na 2O 2的混合物中,所含阴阳离子数目之比无法确定参考答案题型特训2 第2题 “陷阱重重”的阿伏加德罗常数的正误判断1.B 解析 状况下,SO 3是固体,所以不能使用气体摩尔体积计算SO 3的物质的量,故A 项错误;6.4gCH 3OH 的物质的量为0.2mol,1个甲醇分子中有4个氢原子,含有3个C —H 键和1个O —H 键,所以0.2mol 甲醇分子中含有0.6molC —H 键,B 项正确;0.1molNa 2O 2与足量的CO 2充分反应,生成0.05mol 氧气,转移0.1mol 电子,即转移的电子数为0.1N A ,C 项错误;溶液的体积不确定,无法确定氢离子的数目,氢离子数也可能大于0.1N A ,故D 项错误。
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2009-2010量子力学期末考试题
一、简述题（共5题，每题5分，共25分）
1.试述量子力学的基本原理。
2.当系统的哈密顿sH不含时间时，可以建立海森堡绘景。试给出海
森堡绘景与薛定谔绘景中的态矢量和算符之间的关系，并推导出海森
堡方程。
3.试以氢原子为例，说明系统哈密顿属于任一本征值的本征子空间，
都荷载着其对称性群的一个不可约表示。
4.试给出位置表象中的Hartree-Fock方程并叙述其物理意义。
5.试给出系统从经典力学运动规律到量子运动规律的一次量子化手
续。
二、证明题（共2题，每题10分，共20分）
1.已知>>>=∑2211|||21212211mjmjCjmmmjjmjmj，其中
mmjj
jmmj''|''δδ
>=<
，1'11'111'1'1|mmjjmjmjδδ>=<，
2'22'2
22'2'2
|mmjjmjmjδδ>=<
。
试证明：
>>=>∑jmCmjmjjmjjmjmj|||
21
2211
2211
2.试利用占有数表象中产生和消灭算符的作用公式证明对易关系
llllll
aaaaδε
=−
++
三、计算题（共4题，第1题10分，第2~4题每题15分，共55分）
1.Consideraspin-1system.Let>zS|denoteorthonormalizedstates,
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for=zS-1,0,and1.Nowdefinea"spin-flip"operatorFwiththe
property>−>=zzSSF||.Whatisthematrixformofthisoperatorin
the>zS|basis?IsFhermitian?Isitunitary?
2.设有一个双粒子系统，第一个是电子，第二个是质子。设在二粒子
的自旋空间的直积空间中，4个基矢的次序和定义如下：
211||||>⊗>>=++>=++
χχχ
212||||>⊗>>=+−>=−+
χχχ
213||||>⊗>>=−+>=+−
χχχ
214||||>⊗>>=−−>=−−
χχχ
现取这个双粒子系统的一个纯态：
)||2(|21|>−−+>+−+>++>=
ψ
求其中电子自旋的平均值。
3.在离散本征值谱的情况下，全同粒子系统的一般算符算符G的二次
量子化形式为
⋯
⋯
++><=++=+++∑∑∑∑∑∑lmmlmlmbbbbllllbblaabbgbbaaabgbaGGGlmlmll)||(!21||
)2()1(
)2()1(
'''''''''
试推写出全同粒子系统的总轨道角动量2L的二次量子化形式。
4.Consideranisotropicharmonicoscillatorintwodimensions.The
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Hamiltonianisgivenby
)(222222220yxmmpmpHyx+++=
ω
.
(a)Whataretheennergiesofthethreelowest-lyingstates?Isthereany
degeneracy?
(b)Wenowapplyaperturbation
xymV2ωδ
=
Whereδisadimensionlessrealnumbermuchsmallerthanunity.
Findthezero-orderenergyeigenketandthecorrespondingenergytofirst
order[Thatis,theunperturbedenergyin(a)plusthefirst-orderenergy
shift]foreachofthethreelowest-lyingstates.